Ecuaciones Diferenciales OrdinariasJoe Garcıa, Departamento de Ciencias Exactas

Nombre: Dayana Mendoza S.

NRC: 1536

Fecha: 17/06/2015

Una ecuacion diferencial de orden superior que tiene la forma: an(x)yn + an−1yn−1 + ...+a2(x)y′′ + a1(x)y′ + a0(x)y = f(x), si f(x) = 0, la ecuacion diferencial se denomina nohomogenea.La solucion general es una combinacion lineal de dos tipos de soluciones,

una solucion complementaria yc y una solucion particular yp.

Metodo de Operador AnuladorLa Ecuacion Diferencial Ordinaria de orden n

andny

dxn+ an−1

dn−1y

dxn−1+ ...+ a2

d2y

dx2+ a1

dy

dx+ a0y = g(x) (1)

Se transforma en una Ecuacion Lineal de grado n mediante el operador L que se escribecomo:

L(y) = g(x) (2)

L(y) = (anDn + an−1D

n−1 + ...+ a2D2 + a1D + a0)y = g(x) (3)

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Donde:Dx es la k enesima derivada

Operador Anulador

Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f(x) es una funcion n veces si:L(f(x))=0se dice que L es un anulador de f(x) —dflushleftCaso 1:Si la funcion es un operador de la forma:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0

su operador anulador es:P1(D) = Dn−1 Polinomio.Ejemplo 0.1.

y′′ + 3y′ + 2y = x2

m2 + 3m+ 2 = 0

(m+ 2)(m+ 1) = 0

m1 = −2;m2 = −1

yH = c1e−2x + c2e

−x

D3anula ax2

(D2 + 3D + 2)y = x2

D3(D2 + 3D + 2)y = D3x2 = 0

m3(m2 + 3m+ 2) = 0

m3(m+ 2)(m+ 1) = 0

m1 = m2 = m3 = 0;m4 = −2;m5 = −1

y = c1e−2x + c2e

−x + 74 −

32x+ 1

2x2

Caso 2:Si la funcion f(x) contiene terminos de la forma:

e∞x, xe∞x, x2e∞x, ..., xne∞x

su operador anulador es:P1(D) = (D −∞)n+1 Exponencial.Ejemplo 0.2.

y4 − 8y′′ + 16y = xe2x + x2ex

Al resolver la ecuacion homogenea asociada tnemos:yH = e−2x(c1 + c2x) + e2x(c3 + c4x)

El termino xe2x se anula mediante el operador (D2 − 2)2 , y x2ex , por medio de (D − 1)3. Enconsecuencia, al aplicar el operador

(D − 2)2(D − 1)3

(D − 2)2(D − 1)3(D − 2)2(D + 2)2y = 0

(yP = (Ax2 +Bx3)e2x + (C +Dx+ Ex2)ex

yP = (− 164x

2 + 196x

3)e2x + ( 49 + 8

27x+ 19x

2ex

y = e−2x(c1 + c2x) + e2x(c3 + c4x) + (− 164x

2 + 196x

3)e2x + ( 49 + 8

27x+ 19x

2ex

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Caso 3:Si la funcion f(x) contiene terminos de la forma:

cos(βx), sin(βx), e∞x cos(β), e∞x sin(βx), xe∞x cos(βx), xe∞x sin(βx), ..., xne∞x cos(βx), xne∞x sin(βx)

su operador anulador es:P1(D) = [D2 − 2∞D + (∞2 + β2)]n+1 Trigonometrica.Ejemplo 0.3.

y′′′ − y′′ + y′ − y = 2cosx− senx+ x2 − 2x

La ecuacion homogenea asociada tiene la solucion:yH = c1e

x + c2cosx+ c3senx

El operador D2 + 1 anula a 2cosx− senx y D3 a x2 − 2x. Por lo tanto, el operador (D2 + 1)D3 anula a2cosx− senx+ x2 − 2x Aplicando este operador a ambos lados de la ecuacion dada, se encuentra que

(D + 1)2D3(D − 1)y = 0

De donde:y = d1 + d2x+ d3x

2 + d4ex + (d5 + d6x)cosx+ (d7 + d8x)senx

Considerando unicamente terminos que no aparezcan en yH , sepuedetomarcomosolucionparticularyP = A+Bx+ Cx2 +Dxcosx+ Exsenx

yP = 2− x2 − 34xcosx−

14xsenx,

y = c1ex + c2cosx+ c3senx+ 2− x2 − frac34xcosx− 1

4xsenx

Tabla

g(x) Anulador (L)k D

x, x2, x3, ..., xn−1 Dn

eαx (D-α)xeαx, x2eαx, ..., xn−1eαx (D-α)n

cos(βx), sen(βx) D2 +B2

xn−1sen(βx), xn−1cos(βx) (D2 +B2)n

eαxcos(βx), eαxsen(βx) D2 − 2αD + α2 +B2

xn−1eαxcos(βx), xn−1eαxsen(βx) (D2 − 2αD + α2 +B2)n

References[1] ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND CALCULUS OF VARIATIONS.

Makarets,Reshetnyak.

[2] ECUACIONES DIFERENCIALES, con problemas con valores en la frontera. Zill,D. , Culler, M.

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