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7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica
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Equacoes Diferenciaise
Oscilacoes
Escola OlmpicaGabriel O. Alves
Revisao: Gabriel Lefundes, Pedro Alves, Felipe Guima, Iuri
Grangeiro
7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica
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Prefacio
A Escola Olmpica e um projeto isento de lucros que surgiu no final de2013, fundada por Pedro Alves e Gabriel Lefundes. Inicialmente a EscolaOlmpica era um grupo no facebook que tinha como intuito proporcionar umambiente propcio a discussoes a respeito de diversas areas do conhecimento,a nvel de vestibulares, vestibulares militares, olimpadas cientficas etc. Pos-teriormente a equipe que constitui a Escola Olmpica (agora com tres novosmembros: Iuri Grangeiro, Felipe Guima e Gabriel Alves) decidiu expandir oprojeto, passando a desenvolver materiais destinados a olmpicos e estudan-
tes do ensino medio no geral, a diferentes nveis. Deste modo, esta apostila,alem de algumas listas de exerccios ja elaboradas, e o primeiro material con-feccionado pela equipe. Esperamos, em breve, desenvolver novas apostilasdestinadas ao ensino de fsica geral, com qualidade cada vez melhor. Logoque o projeto estiver mais consolidado, esperamos tambem produzir mate-riais para outras areas, como matematica, computacao etc, assim como umsite para o projeto.
Este trabalho em especial tem como publico alvo estudantes do primeiroe segundo ano do ensino medio que estao se preparando para as seletivas dasolimpadas internacionais de fsica (IPhO e OIbF). A primeira parte destaapostila almeja introduzir os principais conceitos de equacoes diferenciais esuas aplicacoes na fsica. As partes subsequentes tratam de equacoes dife-renciais de segunda ordem e sistemas de EDOs e os assuntos sao abordadosda mesma maneira, mas com enfoque em oscilacoes.
A apostila foi escrita visando contextualizar os conceitos mostrados em si-tuacoes fsica e preferencialmente em questoes comuns a olimpadas cientficase provas de seletivas. As secoes opcionais estao marcadas com um asterisco(*). Essas secoes, apesar de opcionais, sao importantes e apresentam algumasferramentas e conceitos que podem ser muito uteis na resolucao de proble-mas. Recomendamos que, se possvel, elas sejam feitas. Caso o tempo depreparo do estudante seja curto, elas podem ser deixadas por ultimo, assim
como algumas das demonstracoes matematicas.Esta versao prelimiar da apostila possui um numero de exerccios redu-
zido, desta forma, estamos buscando aumentar esse numero com questoes dequalidade, que serao introduzidas na nova versao. Portanto, esperamos com-plementa-la com novos topicos, exerccios e exemplos adicionais nas versoesposteriores deste trabalho. Tambem e recomendavel que o leitor confira oslinks e referencias listados no final do mesmo.
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Assim sendo, a equipe da Escola Olmpica deseja que voce se divirta du-
rante seus estudos e sua preparacao para a seletiva das OIFs e que o materialconfeccionado por nos o auxilie. E tambem nao deixe de conferir nosso grupono facebook: https://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=ts e os novos materiais que em breve serao postados. Caso voce tenhacrticas, sugestoes, duvidas, dentre outros, entre em contato conosco man-dando um e-mail para: [email protected] contate algum dosadministradores do grupo. Muito obrigado!
- Gabriel O. Alves
https://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=tshttps://www.facebook.com/groups/402050929927944/?fref=ts7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica
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Conteudo
1 Introducao as EDOs 61.1 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Classificacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 EDOs de primeira ordem 92.1 EDOs separaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 EDOs lineares de primeira ordem*. . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 EDOs de segunda ordem 24
3.1 Equacoes na forma x + 2
x= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Equacoes na forma x + 2x= C . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0 . 36
3.3.1 Amortecimento supercrtico . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.2 Amortecimento crtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3.3 Amortecimento subcrtico . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x + 2x= F(t) . . . . 433.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x +
2x= F(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.1 Ressonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1.1 Ressonancia em oscilacoes forcadas . . . . . . 493.5.1.2 Ressonancia em oscilacoes forcadas amortecidas 523.5.1.3 Fator de qualidade . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.2 Efeitos transientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6 O metodo dos coeficientes a determinar para EDOs de segunda
ordem nao homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Sistemas de EDOs* 604.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2 Solucoes de sistemas de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.1 Metodo dos autovetores e autovalores . . . . . . . . . . 63
5 Oscilacoes acopladas 675.1 O metodo dos autovalores*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.1.1 2 corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.1.2 3 corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.1.3 N corpos acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 Movimento devido a um potencial U(r)* . . . . . . . . . . . . 76
6 Exerccios 80
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7 Apendice 85
7.1 A formula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Funcoes hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Links e referencias 90
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1 INTRODUCAO AS EDOS
1 Introducao as EDOs
As equacoes diferenciais estao presentes em diversas areas do conheci-mento, seja na matematica, na fsica, na biologia etc. Ha um especial inte-resse em seu estudo na fsica pois elas aparecem com frequencia, principal-mente em problemas relacionados a descricao do movimento de corpos. Nestetrabalho faremos uma breve introducao as equacoes diferenciais de primeirae segunda ordem e suas aplicacoes na fsica.
1.1 Terminologia
Primeiramente, qual e a definicao de uma equacao diferencial? Uma possveldefinicao e a seguinte:
Definicao 1. Uma equacao diferencial e qualquer equacao que contenhaderivadas, sejam elas ordinarias ou parciais, e que as relacione com umaou mais funcoes.
Portanto, uma equacao diferencial e uma expressao que contem uma seriede diferenciais, que se relacionam com certas funcoes, e seu ob jetivo e desco-brir qual ou quais funcoes satisfazem essa expressao em questao.
Equacoes diferenciais sao, de certa forma, semelhantes a equacoes algebricas,contudo equacoes algebricas possuem como solucao numeros (Como 5,
2
etc) ou termos literais (mas que no caso, tambem nao passam de uma repre-sentacao de algum numero ou grandeza fsica). Ja as as equacoes diferenciais,ao inves de possurem simplesmente numeros como solucao, na verdade pos-suem um conjunto de funcoes que satisfazem a determinada equacao. (Comox,x2,cos x,ln xetc). Por exemplo, veja a equacao linear e a quadratica:
x + 5 = 2 = x= 3
ou
(x 2)(x + 2) = 5 = x= 3Veja que as equacoes algebricas acima tem como solucoes numeros. Agora
imagine uma equacao diferencial como a seguinte:
dy
dx=cos(x)
Nesse caso, tal equacao tem como solucao qualquer funcao na forma:
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1.1 Terminologia
y(x) = sin x + C
Essa equacao pode ser interpretada da seguinte maneira: Quais sao aspossveis funcoes y(x) tal que dy
dx = cos x? Voce deve se lembrar que a
derivada de sin x a respeito de x e cos x, portanto, a solucao da equacaodiferencial apresentada deve ser algo na forma:
y(x) = sin x + C
Onde C e uma constante. Veja bem, se voce derivar a expressao acimatermo a termo, vera que a derivada de sin x e cos xe que a derivada de C, o
termo constante, e 0. Portanto, fica claro que:
d
dx(sin x + C) = cos x
Deste modo, qualquer funcao na forma sin x+ C e solucao da equacaodiferencial do nosso exemplo.
1.1.1 Classificacoes
As equacoes diferenciais podem ser classificadas quanto a:
Ordem: A ordem de uma equacao diferencial e igual a maior ordemdentre as derivadas presentes na equacao. Por exemplo:
d3y
dx3+ 2
dy
dx= 5x (1.1.1)
A ordem desta equacao e 3, pois a derivada de maior ordem e a quepossui ordem tres.
Linearidade: Uma equacao diferencial e dita linear se e da forma:
an(x)dny
dxn+ an1(x)
dn1y
dxn1 + + a1(x) d
1y
dx1+ a0(x)y = p(x) (1.1.2)
Por exemplo,a equacao:
d2y
dx2+
dy
dx+ y=x
E uma equacao diferencial linear de segunda ordem. Ja a equacao:
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1 INTRODUCAO AS EDOS
y2 dydx
+ y3 = 3x
E uma equacao diferencial nao-linear de primeira ordem. (Veja queque ha um coeficiente y 2 acompanhando a derivada de primeira ordeme que o termo y esta elevado ao cubo).
Tipo: Esta classificacao se refere ao tipos de derivadas presentes naequacao diferencial:
Ordinaria: Se uma equacao diferencial possui somente derivadas
ordinarias, isto e, derivadas com respeito a somente uma variavelindependente, ela e considerada uma equacao diferencial ordinaria(EDO), por exemplo:
dy
dx+ 3xy= 1
Parcial: Se uma equacao diferencial possui derivadas parciais, istoe, se depende de duas ou mais variaveis independentes ela e classi-ficada como uma equacao diferencial parcial (EDP), por exemplo:
y fx
+ xfy
= sin(xy)
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2 EDOs de primeira ordem
2.1 EDOs separaveis
Definicao 2. Uma EDO que possua a seguinte forma:
dy
dx=P(y)Q(x) (2.1.1)
E chamada de EDO separavel.
Elas recebem este nome pois para resolve-las e necessario agrupar ostermos contendo y de um lado da equacao e os termos contendo x do outrolado, posteriormente basta integrar para obter a solucao desejada.
Teorema 1. A solucao de uma EDO separavel e da forma: 1
P(y)dy =
Q(x)dx (2.1.2)
Exemplo 1 : Decaimento radioativo
Sabendo que a taxa de decaimento de uma substancia radioativa e dire-tamente proporcional a quantidade do numero de atomos presentes naqueleinstante:
dN
dt = kN (2.1.3)
Encontre o numero de atomos radioativos em funcao do tempo, N(t),sabendo que k e uma constante.
Solucao: Veja que a equacao diferencial apresentada no exerccios possuia mesma forma da (2.1.1), portanto, iremos simplesmente separar as variaveise integrar:
dN
N = kdt
Integrando: N(t)N0
1
NdN= k
tt0
dt
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
OndeN0e o numero inicial de atomos da substancia et0e o tempo inicial.
No caso consideraremos que t0 = 0. Logo:
ln N(t) ln N0= lnN(t)N0
= kt = eln N(t)N0 = N(t)N0
=ekt
Portanto a resposta e:
N(t) =N0ekt (2.1.4)
Exemplo 2: (Envolve conhecimentos relacionados a circuitos eletricos,pule este exemplo caso ainda nao tenha estudado o assunto) Um circuito RLe constitudo de um indutor de indutancia L e um resistor de resistencia R,alimentados por um gerador CC, como mostra a figura:
V
R
L
Figura 1: Circuito RL
Encontre a correntei(t) no circuito, sabendo que no instante inicialt0= 0a corrente era nula i(0) = 0.
Solucao: Para resolver este problema precisamos recorrer a 2a lei de Kir-chhoff: a soma algebrica das diferencas de potencial em um percurso fechado(uma malha), e nula. A diferenca de potencial em cada componente e:
Gerador: V
Resistor:Ri Indutor:Ldi
dt
Portanto, aplicando a segunda lei de Kirchhoff temos:
V Ri L didt
= 0 (2.1.5)
Agora iremos separar as variaveis:
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2.1 EDOs separaveis
L didt
=V Ri
di
V Ri = 1
Ldt (2.1.6)
ii0
di
V Ri = tt0
1
Ldt (2.1.7)
Para resolver a integral do lado esquerdo da equa cao iremos fazer asseguintes substituicoes:
u= V Rie
du
di = R = di= 1
Rdu
Logo:
1
R u
u0
du
u =
1
L(t
t
0) (2.1.8)
Resolvendo a integral:
ln u
u0= R
L(t t0)
u
u0=e
RL
(tt0)
Como u= V Ri:
V Ri= (V Ri0)eRL (tt0)
Mas de acordo com as equacoes iniciais t0= 0 e i(0) =i0= 0. Portanto:
V Ri= V eRL t
A corrente que percorre o circuito e, portanto:
i(t) =V
R(1 eRL t) (2.1.9)
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
Figura 2: Grafico representando o processo de carga do circuito e a corrente (Em mili-amperes) em funcao to tempo para V = 5V e R= 1000 . Veja que a corrente converge
para i = 5mAconformet . Isso se deve ao fato de que em corrente contnua o indu-tor se comporta como um curto-circuito ao ficar carregado, nessa situa cao o circuito secomporta como se existisse somente a resistencia R e a bateria. Nesse caso, aplicando aprimeira lei de Ohm voce vera que i = V
R = 5
1000= 5mA.
Exemplo 3: (Irodov, 1981) A velocidade de uma partcula se movendo nadirecao positiva do eixo xvaria de acordo com:
v(x) =
x
Onde e uma constante positiva, alem disso considere que quando t = 0,
x= 0. Obtenha:
a) A aceleracao e a velocidade do corpo em funcao do tempo.
b) A velocidade media do corpo apos ele ter percorrido uma distancia s.
Solucao:
a) A velocidade do corpo e dada por v(x) = x12 , e sabemos que a ace-
leracao e dada por:
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2.1 EDOs separaveis
a= dvdt
Lembre-se que pela regra de cadeia a expressao para a aceleracao podeser escrita como:
a=dx
dt.dv
dx (2.1.10)
Vamos indentificar cada termo da expressao anterior. Sabemos que:
dx
dt
=v = x12 (2.1.11)
E derivando a expressao anterior conclumos que:
dv
dx=
1
2x
12 (2.1.12)
Substituindo a (2.1.11) e a (2.1.12) na (2.1.10) obtemos:
a= x12 .
1
2x
12
Logo:
a=2
2 (2.1.13)
Para obter a velocidade a partir da aceleracao basta fazer o seguinte:
a=dv
dt
Logo:
a=2
2 =
dv
dt = dv=
2
2dt (2.1.14)
vv0
dv=2
2
tt0
dt (2.1.15)
Como v0= 0 e t0= 0.
v(t) =2
2 t (2.1.16)
b) Agora que obtemos a funcao v(t) podemos descobrir a velocidade mediado corpo a partir da definicao de valor medio de uma funcao:
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
vm=
tt0
vdt
t t0 (2.1.17)
Como t t0 =t ett0
vdt = 2t2
4 :
vm=2t2
4t =
2t
4 (2.1.18)
Para calcular t em termos da distancia percorrida s podemos usar x(t),que e:
x(t) =
tt0
vdt =2t2
4 (2.1.19)
Como x(t) =s:
s=2t2
4 = t= 2
s
(2.1.20)
Substituindo na (2.1.18):
vm=
s
2 (2.1.21)
Exemplo 4 : Uma bola em queda sofre uma forca resistiva Fr que e di-retamente proporcional a sua velocidade v(t), ou seja, Fr = bv. Encontre avelocidade v(t) da bola em funcao do tempo, alem disso encontre a veloci-dade terminal vt para diferentes valore de b (Use b = 0.4,b = 0.5,b = 0.6 eb= 0.7) por fim, encontre sua altura z(t) em funcao do tempo, sabendo queas unicas forcas que agem sobre ela sao a de atracao gravitacional e a forca
resistivaFr. Utilize como condicao inicial que v(0) = 0, z(0) = 0 e considereque m= 0.5kg e que g= 9.8m/s2.
Solucao: Primeiramente iremos assumir que a forca resistiva e da forma:
Fr =bv (2.1.22)
Ondeb e uma constante. Portanto, identificando todas as forcas que agemsobre o corpo:
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2.1 EDOs separaveis
Obtemos:
ma= mg bv = dvdt
=g bm
v (2.1.23)
Essa equacao e separavel, portanto: vv0
1
g bm
vdv=
tt0
dt (2.1.24)
Fazendo a substituicao:
u= g b
mv
e
du
dv =
bm
= dv= mb
du
A integral passa a ser:
mb
1
udu=
tt0
dt (2.1.25)
Resolvendo:
mb
[ln u]
uu0
=t (2.1.26)
Trocandoupor g bm
v:ln
g b
mv
vv0
= bm
t (2.1.27)
Resolvendo a expressao anterior e lembrando que v0 = 0:
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
ln
g bm
v
ln g= bm
t (2.1.28)
Simplificando a expressao anterior obtemos:
v(t) =mg
b
1 e bm t
(2.1.29)
Para encontrar z(t) basta integrar a expressao anterior:
dz
dt =v = z(t) = t
0
mg
b1 e bm t dt
Resolvendo a integral:
z(t) =mg
b t gm
2
b2 e
bm
t + C (2.1.30)
Onde C e uma constante. Utilizando a condicao inicial z(0) = 0 encon-tramos:
C= gm2
b2
Portanto:
z(t) =mg
b t gm
2
b2
e
bm
t 1
(2.1.31)
Agora, para encontrar as velocidades terminais e simples. O corpo atingea velocidade terminal quando a forca resistiva se iguala a forca peso, portanto:
mg=bv = v=mg
b (2.1.32)
Substituindo b pelos valores dados no enunciado as velocidades terminaisencontradas sao:
vt1 = 12.81ms1, vt2 = 9.8ms
1, vt3 = 8.16ms1, vt4 = 7ms
1
E os graficos obtidos para v vs. t sao:
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2.1 EDOs separaveis
Figura 3: Grafico da velocidade em funcao do tempo para diferentes valores de b.
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
2.2 EDOs lineares de primeira ordem*
Nesta secao iremos tratar de EDOs de primeira ordem que possuem umaforma mais geral. Apesar de serem menos recorrentes que as EDOs separaveisainda sao frequentes e e util estuda-las.
Definicao 3. Uma equacao diferencial ordinaria linear de primeira or-dem possui a seguinte forma:
dy
dx+ P(x)y=Q(x) (2.2.1)
Teorema 2. A solucao de uma equacao diferencial ordinaria linear deprimeira ordem toma a forma:
y(x) =
(x)Q(x)dx + C
(x) (2.2.2)
Onde(x) e uma funcao que recebe o nome de fator integrante e edefinida por:
(x) =eP(x)dx (2.2.3)
OndeC e uma constante.
Segue a demonstracao:
Demonstracao. Suponha que iremos multiplicar a equacao:
dy
dx+ P(x)y=Q(x) (2.2.4)
Por uma funcao qualquer (x), a (2.2.4) passa a ser:
(x)dy
dx+ (x)P(x)y = (x)Q(x) (2.2.5)
E tambem suponha que (x) satisfaz a seguinte relacao:
(x)P(x) =d((x))
dx =(x) (2.2.6)
Substituindo (x)P(x) por (x):
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2.2 EDOs lineares de primeira ordem*
(x) dydx
+ (x)y= (x)Q(x) (2.2.7)
Agora, perceba que:
(x)dy
dx+ (x)y= (x)
d(y(x))
dx +
d((x))
dx y(x) (2.2.8)
Agora, lembre-se da regra da derivada de produtos: qual e a deviradade (x)y(x) com respeito a x?
d(y(x)(x))
dx =(x)
d(y(x))
dx +
d((x))
dx y(x) (2.2.9)
Que e basicamente o lado direito da (2.2.8). Portanto a (2.2.4) podeser escrita como:
d(y(x)(x))
dx =(x)Q(x) (2.2.10)
Deste modo:
y(x)(x) =
(x)Q(x)dx + c
Onde crepresenta uma constante. Por fim:
y(x) =
(x)Q(x)dx + c
(x) (2.2.11)
E como encontrar (x)?Definimos que (x) deve obedecer se seguinte relacao:
(x) =(x)P(x) = d((x))dx
1
(x)=P(x)
Lembre-se que pela regra de cadeia:
d(ln (x))dx
= 1(x)
d((x))dx
(2.2.12)
Portanto:
d(ln (x))
dx =P(x) (2.2.13)
Integrando:
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
ln (x) = P(x)dx + a (2.2.14)Onde a e uma constante. Portanto:
(x) =eP(x)dx+a =eae
P(x)dx (2.2.15)
Como ea tambem e uma constante, podemos chama-lo de k, entao:
(x) =keP(x)dx (2.2.16)
Contundo, substituindo o termo anterior na (2.2.11) obtemos, apos
simplificar a expressao:
y(x) =
(x)Q(x)dx + c/k
(x) (2.2.17)
Reescrevendo a constante c/k como C obtemos:
y(x) =
(x)Q(x)dx + C
(x) (2.2.18)
Com fator integrante:
(x) =eP(x)dx
(2.2.19)
Exemplo 5: Resolva a seguinte EDO:
dy
dx+ 4x3y = 2x7 (2.2.20)
Dada a condicao inicial y(0) = 3/2.
Solucao: A primeira coisa que devemos fazer e encontrar o fator inte-grante, entao e necessario identificarP(x) e Q(x):
dy
dx+ 4x3
P(x)
y= 2x7Q(x)
(2.2.21)
Portanto temos que: P(x) = 4x3
Q(x) = 2x7
Agora para encontrar o fator integrante usamos a (2.2.3)
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2.2 EDOs lineares de primeira ordem*
(x) =eP(x)d(x) =e
4x3dx =ex4
Portanto a partir da (2.2.2) obtemos:
y(x) =
(x)Q(x)dx + C
(x) =
2
ex4x7dx + C
ex4 (2.2.22)
Como calcular esta integral? Reescrevendo como: ex
4
x7dx=
ex
4
x4(x3dx)
E fazendo a substituicao u = x4 o processo se torna um pouco maissimples:
u= x4
dudx
= 4x3 = x3dx= du4
Substituindo na integral obtemos: ex
4
x7dx=
ex
4
x4(x3dx) =1
4
ueudu (2.2.23)
Agora, basta integrar por partes. Sabemos que: f(x)g(x)dx= f(x)g(x)
f(x)g(x)dx
Adotanto: g(x) =eu = g(x) =euf(x) =u = f(x) = 1
Chegamos em:
1
2
ueudu=
1
2
ueu
eudu
=
eu
4(u 1) = e
x4
4 (x4 1)
Portanto: (x)Q(x)dx=
ex
4
x7dx=ex
4
4 (x4 1) (2.2.24)
A (2.2.22) se torna:
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2 EDOS DE PRIMEIRA ORDEM
y(x) =2ex44 (x
4 1) + Cex4
(2.2.25)
Simplificando:
y(x) =x4
21
2+ Cex
4
(2.2.26)
E pela condicao inicial y(0) = 3/2 encontramos C = 2. Deste modo asolucao final e:
y(x) =x4
2 1
2+ 2ex4
(2.2.27)
O metodo anterior em alguns casos pode ser um pouco mais dispendioso eexige a memorizacao de mais formulas. Uma estrategia alternativa que vocepode adotar e a que sera mostrada no exemplo seguinte.
Exemplo 6: Movimento de uma partcula em um superfcies esferica (Se-letiva IPhO 2012 - Adaptada)
O movimento de uma partcula pontual em uma superfcie esferica concavapode ser descrito pela seguinte equacao diferencial:
d(2)
d 22 = 2g
R(sin cos ) (2.2.28)
Ondeg e uma constante e e uma constante. Resolva a equacao diferen-cial para sua velocidade angular (). Considere que o angulo inicial 0 e 0.
Solucao: Primeiramente iremos realizar a seguinte substituicao:
() = (())2
Portanto a EDO e reescrita como:
d()
d 2= 2g
R(sin cos ) (2.2.29)
Agora iremos multiplica-la por uma funcao f() = e2, que e o fatorintegrante da EDO:
e2.d()
d 2e2.= e2 2g
R(sin cos ) (2.2.30)
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2.2 EDOs lineares de primeira ordem*
Agora, perceba que:
df
d =f() = 2e2
Reescrevendo a equacao anterior em termos de f e f():
fd
d+
df
d= e2 2g
R(sin cos ) (2.2.31)
Veja que o lado da expressao e basicamente o resultado obtido ao derivaro produto f()():
d(()f())d
=fdd
+dfd
= e2.d()
d 2e2. (2.2.32)
Portanto e possvel reescrever a (2.2.30) como:
d(f()()) = e2 2gR
(sin cos )d (2.2.33)Integrando:
f()() =
0
e2 2gR
(sin cos )d (2.2.34)
Como 0 = 0:
f()() = e2
1 + 42[(1 22)cos + 3 sin ] (2.2.35)
Como f() =e2:
() = 11 + 42
[(1 22)cos + 3 sin ] (2.2.36)
Portanto:
() =
11 + 42
[(1 22)] cos + 3 sin ] (2.2.37)
Veja que esta solucao nao utilizou nenhuma das formulas mostradas nestasecao, na verdade, em muitos casos a abordagem adotada nesse exerccoacaba sendo mais rapida e simples. (Detalhe: Veja que ao adotar uma funcaoQ() =2g
R(sin cos ) e P() =2 e possvel resolve-la pelo mesmo
metodo do exemplo anterior).
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
3 EDOs de segunda ordem
As equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem costumam aparecerfrequentemente em problemas fsicos, principalmente naqueles relacionadosa oscilacoes e potenciais, deste modo, saber trabalhar com EDOs de segundaordem e de suma importancia.
Definicao 4. Uma equacao diferencial linear de segunda ordem com co-eficientes constantes possui a seguinte forma:
a
d2x
dt2 + b
dx
dt + cx= F(t) (3.0.38)Ondea,b ec representam constantes.
A seguinte notacao tambem e frequentemente encontrada na literatura:
ax+ bx+ cx= F(t) (3.0.39)
E a mais comum em problemas de fsica, que tambem sera a equacao coma qual trabalharemos, e:
x + x + 2x= F(t) (3.0.40)
Onde x= dxdt
, x= d2x
dt2 e e sao constantes. E importante notar que o
na equacao representa a frequencia angulardo movimento, uma variavelimportante em problemas envolvendo oscilacoes e representa um fator deamortecimento, termo que sera explicada mais adiante.
As EDOs de segunda ordem desse tipo tambem apresentam uma propri-edade importante quando sao homogeneas, isto e, quando F(t) = 0:
Teorema 3(Princpio da superposicao). Sendox1(t)ex2(t)duas solucoeslinearmente independentes da EDO homogenea:
ad2x
dt2 + b
dx
dt + cx= 0 (3.0.41)
A combinacao linear das suas solucoes:
x(t) =k1x1(t) + k2x2(t) (3.0.42)
Tambem e uma solucao, ondek1 ek2 sao constantes.
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3.1 Equacoes na forma x + 2x= 0
Demonstracao. A funcao x(t) e definida como:
x(t) k1x1(t) + k2x2(t) (3.0.43)Assim:
ad2x(t)
dt2 + b
dx(t)
dt + cx(t) = 0
ad2(k1x1+ k2x2)
dt2 + b
d(k1x1+ k2x2)
dt + c(k1x1+ k2x2) = 0
Reescrevendo a equacao:
k1(ad2x1dt2
+ bdx1dt
+ cx1) + k2(ad2x2dt2
+ bdx2dt
+ cx2) = 0 (3.0.44)
Sendo x1 uma solucao, a seguinte equacao e satisfeita:
ad2x1dt2
+ bdx1dt
+ cx1= 0
O mesmo se aplica a x2. Portanto:
k1.0 + k2.0 = 0 (3.0.45)
3.1 Equacoes na forma x + 2x= 0
EDOs de segunda ordem na forma:
x + 2x= 0 (3.1.1)
sao as que possuem solucoes mais simples, basta achar um funcao cuja se-gunda derivada seja oposta a propria funcao multiplicada por uma constante.Funcoes trigonometricas e exponeciais possuem esse tipo de comportamento.
Alguns exemplos sao:
x(t) =eit = dxdt
=ieit = d2x
dt2 =i22et = 2eit
x(t) = sin t = dxdt
= cos t = d2x
dt2 = 2 sin t
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
Ambas as funcoes satisfazem a (3.1.1). (Verifique! Faca o mesmo para a
funcao x(t) = cos t).Assim, EDOs de segunda ordem com coeficienes constantes tem solucoes
das seguintes formas:
x(t) =Aeit + Beit (3.1.2)
ou,
x(t) =Csin t + D cos t (3.1.3)
e uma forma mais frequente, que sempre vemos em livros de fsica doensino medio:
x(t) =a cos(t + ) (3.1.4)
Onde representa a fase da funcao.
Contudo, para2 0
2
20 , e o termo dentro da raiz serapositivo. Chamando
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3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0
24 20
de , podemos encontrar uma solucao da forma da (3.1.2):
x(t) =ae1t + be2t (3.3.4)
x(t) =a(e(2 +)t) + b(e(
2 )t) (3.3.5)
Portanto, a solucao geral para o movimento supercrtico e:
x(t) =e 2 t aet + bet (3.3.6)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
0
5
10
15
20
t
x
(t)
Figura 8: Grafico caracterstico do amortecimento supercrtico. Valores utilizados: =0.3, /2 = 1,a= 5/2 eb= 6/7.
Perceba que nesse caso o movimento nao e mais perodco, porque x(t) esomente a soma de duas funcoes exponenciais.
3.3.2 Amortecimento crtico
O amortecimento crtico ocorre quando:
2
4 =20
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
Como = 0, nao podemos utilizar a solucao da secao anterior, pois as
razes sao repetidas, isto e, 1 = 2 =2 . Nesse caso, a solucao sera acombinacao de uma exponencial e uma funcao linear:
x(t) =e2 t(a + bt) (3.3.7)
Que tambem pode ser escrita em funcao da frequencia natural:
x(t) =e0t(a + bt) (3.3.8)
Demonstracao. No caso do amortecimento crtico a (3.3.1) pode ser re-
escrita como:
x + 20x + 20x= 0 (3.3.9)
e:
= 2
= 0Como a solucao e da forma aet chegamos em:
x1(t) =ae0t
Que e uma solucao da (3.3.9). Agora, iremos supor que ha umasegunda solucao, da forma:
x2(t) =y(t)x1(t) =y(t)e0t (3.3.10)
Onde y(t) e uma funcao arbitraria (A constante a foi omitida porconveniencia, pois pode ser incorporada pela funcao y(t)). Substituindoa (3.3.10) na (3.3.9):
x2+ 20x2+ 20x2 = 0
d2(y(t)e0t)
dt2 + 20
d(y(t)e0t)
dt + 20(y(t)e
0t) = 0
Apos um processo um pouco laborioso, derivando os termos e simpli-ficando a expressao, encontramos:
e0td2y
dt2 = 0
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3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0
Como e0t > 0
t, conlu-se que d
2ydt2
= 0 . Apos integrar chega-se
a:
dy
dt =b
Integrando a expressao novamente:
y(t) =bt + c
Ondeb e uma constante. Finalmente, encontramos a segunda solucao,que e:
x2(t) = (bt + c)e0t (3.3.11)
Recorrendo ao princpio de superposicao para EDOs lineares ho-mogenea, concluimos que a solucao geral e a soma das duas solucoesencontradas anteriormente, deste modo:
x(t) =c1x1(t) + c2x2(t) = (a + bt)e0t (3.3.12)
Figura 9: Grafico caracterstico do amortecimento crtico. Valores utilizados no primeirografico:0 = 1s
1,a = 100m e b = 270m/s. Para o segundos grafico foram utilizadosvalores de 1s1,20me 10m, respectivamente.
Veja que quando as constantesa e b possuem um valor muito elevado emrelacao ao expoente 0, isto e, para t pequenos (a+ bt) e suficientementegrande para que x(t) nao caia muito rapido, o grafico possui um extremo.(Na realidade e necessario que b > a0 para que isso ocorra, caso contrarioo maximo ou mnimo ocorre para valores de t
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
Alem disso amortecimento crtico e o decai de maneira mais rapida, por
isso e muitas vezes empregados em freios, portas, etc.
3.3.3 Amortecimento subcrtico
O amortecimento subcrtico ocorre quando 2
4 < 20. Nesse caso, suas solucoes
sao complexas e podem ser representadas por:
1,2 =
2 i20 2
4 (3.3.13)
Sua solucao sera:
x(t) =Ae1t + Be2t (3.3.14)
x(t) =Ae2 e
i
20
2
4
t
+ Be2 e
i
202
4
t
(3.3.15)
Em termos de funcoes trigonometricas:
x(t) =e2 t (A cos(subt) + B sin(subt)) (3.3.16)
ou
x(t) =C e
2t
cos(subt + ) (3.3.17)
Onde:
sub=
20
2
4
E A, B e C sao constantes definidas pelas condicoes iniciais.
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3.3 Oscilacoes amortecidas: equacoes na forma x + x + 20x= 0
Figura 10: Grafico caracterstico do amortecimento subcrtico. A linha pontilhada re-presenta a envoltoriaC e
2t. Os valores utilizados foram:sub= 3s
1,C= 17m, 2
= 0.25e = .
A (3.3.16) nos permite analisar algumas caractersticas interessantes doamortecimento subcrtico. Diferente dos outros tipos de amortercimento, seugrafico se assemelha ao de uma funcao periodica, que teria uma frequenciasub. E como podemos ver, a amplitude vai diminuindo com o tempo, con-vergindo para zero. O termoe
2 t mostra que essa amplitude decai exponen-
cialmente.
Solucao homogenea2
4 > 20 x(t) =e
2 (aet + bet)2
4 =20 x(t) =e
0t(a + bt)2
4 > 20 x(t) =e
2t (A cos(subt) + B sin(subt))
Tabela 2: Resumo com as diferentes solucoes para oscilacoes amortecidas
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
Figura 11: Comparacao entre os tres tipos de amortecimento para as condicoes iniciaisx(0) = 5m e v(0) = 0m/s. Veja que o amortecimento crtico e o que atinge o equilbriomais rapidamente, ja o subcrtico e o que mais demora.
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3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x + 2x= F(t)
3.4 Oscilacoes forcadas: equacoes na forma x+2x =F(t)
As oscilacoes forcadas estao presentes em sistemas fsicos submetidos a al-guma forca de impulsao externa F(t). Em muitos casos essa forca e cosse-noidal (ou senoidal) de frequencia e amplitude F0, na forma:
F(t) =F0m
cos(t) (3.4.1)
A EDO sera da forma:
x + x + 2
0x= F(t) (3.4.2)Na ausencia de amortecimento:
x + 20x= F(t) (3.4.3)
Ao estudar este tipo de sistema e importante distinguir duas situacoesnesse sistema. O estado transiente e o estado estacionario.
O comportamento do sistema para t e descrito como o estadoestacionario. Nessa situacao os efeitos de amortecimento se tornam irrisoriosfrente a forca de impulsao, e acabam sendo desprezados e a forca externa
passa a dominar. Matematicamente falando, consideramos que a solucaogeral dessa equacao e igual a sua solucao particular no estado estacionario,ou seja, a equacao no estado estacionario equivale a solucao particular daEDO correspondente.
Ja o estado transiente se refere ao comportamento do sistema para tem instantes proximos a t = 0, todos os efeitos sao significativos neste ins-tante (forca de repulsao, amortecimento, forca restauradora etc), portantonenhuma delas pode ser desprezada . Nesse caso e importante analisar comocada uma das forcas afeta o sistema, isso requer uma solucao um poucomais sofisticada. Inicialmente iremos trabalhar com oscilacoes forcadas comausencia de amortecimento.
No caso do estado estacionario, supondo que a solucao e da forma:
x= Ccos (t) (3.4.4)
Temos que:
x= 2Ccos (t) = 2x (3.4.5)Substituindo as duas variaveis anteriores na (3.4.3):
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
2x + 20x= F0cos (t) (3.4.6)Portanto:
x= F0cos (t)
m (20 2) (3.4.7)
E a amplitude sera:
C= F0
m (20 2) (3.4.8)
Adotando um metodo alternativo, admitindo que a solucao e complexa:z(t) =x(t) + iy(t).
Escrevendo-a na forma exponencial, temos que:
z(t) =z0eit
z(t) = 2z0eit = 2z (3.4.9)
Substituindo na (3.4.3):
z(20 2) =F0e
it
m = z(t) = F0
m(20
2)eit (3.4.10)
Que e equivalente ao resultado anterior.E conveniente expressar nossa solucao para x(t) como uma funcao senoi-
dal, contendo uma fase e uma amplitude A. Deste modo, iremos substituira amplitudeCpor uma nova amplitude A multiplicada por umfator de faseei, portanto:
Aei = F0
m(20 2) (3.4.11)
E aqui, a fase e definida convenientemente do seguinte modo:
=0, se < 0
, se > 0(3.4.12)
Desse modo Apassa a depender do modulo da diferenca entre (20 2)(Poisei = 1,e e0 = 1):
A= F0
m|20 2| (3.4.13)
Substituindo emz(t):
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3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)
z(t) =Aeieit =Aei(+t) (3.4.14)
Como x(t) e a parte real de z(t):
x(t) =A cos(t + ) (3.4.15)
3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na formax + x + 2x= F(t)
Oscilacoes forcadas amortecidas sao da forma:
x + x + 20x= F(t) (3.5.1)
No caso, novamente iremos considerar que:
F(t) =F0m
cos(t) (3.5.2)
Sendo x(t) uma solucao da equacao:
x + x + 20x=F0m
cos(t) (3.5.3)
e y(t) uma solucao da equacao equivalente (A diferenca neste caso e quea forca nao e mais cossenoidal, e sim senoidal) :
y+ y+ 20y =F0m
sin(t) (3.5.4)
Somando a equacao (3.5.40) com a equacao (3.5.4) multiplicada pela uni-dade imaginaria i, obtemos:
x + x + 20 x + iy+ iy+ i20y =
F0m
cos(t) + iF0m
sin(t)
d2
dt2(x + yi) +
d
dt(x + yi) + 20 (x + yi) =
F0m
(cos(t) + i sin(t)) (3.5.5)
Agora serao feitas as substituicoes:
z(t) =x(t) + y(t)i
Logo x(t) e:
x(t) =Re{z(t)} (3.5.6)
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
E tambem sera feita a substituicao:
cos(t) + i sin(t) =eit
Portanto a (3.5.5) pode ser reescrita como:
d2z
dt2 +
dz
dt+ 20z=
F0m
eit
z+ z+ 20z=F0m
eit (3.5.7)
Mas ztambem pode ser reescrito como uma exponencial complexa, por-tanto:
z(t) =Aei(t+) (3.5.8)
As derivadas de z(t) serao:
z=Aei(t+)
z=iAei(t+) =iz
z= 2Aei(t+) = 2z(3.5.9)
Substituindo os termos anteriores na (3.5.7):
z+ z+ 20z=F0m
eit
2z+ iz+ 20z=F0m
eit
Colocando os termos que acompanham zem evidencia:
z(2 + i + 20) =F0m
eit
Aei(t+)(2 + i + 20) =F0m
eit
Cancelando ei(t):
Aei = F0
m(20 2 + i) (3.5.10)
Para encontrar a amplitudeAe conveniente reescrever a equacao anteriorda seguinte forma:
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3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)
F0m
=ei[A(20 2) + Ai] (3.5.11)
A equacao anterior pode ser representada no plano complexo da seguintemaneira:
Agora e facil ver que:
(F0m
)2 =A2(20 2)2 + (A)2 (3.5.12)
Portanto a amplitude Asera escrita como:
A2() = F20
m2 [(20 2)2 + 22)] (3.5.13)
E que a fase e dado por:
tan(()) =
(20 2) (3.5.14)
A e sao escritos em funcao de pois em breve serao analisados seuscomportamentos para diferentes valores de , portanto e conveniente utilizaressa notacao.
Exemplo 10: Um circuito RLC serie e constitudo de um resistor de re-sistencia R, um indutor de indutancia L e um capacitor de capacitancia C,todos ligados em serie, conforme a figura:
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
V0sin (t)
R
C
L
Figura 12: Circuito RL
Alem disso, o circuito tambem e alimentado por um gerador de cor-
rente alternada, que forece uma tensao V =V0sin (t), onde representa afrequencia e V0 a amplitude. Encontre a corrente em funcao do tempo nessecirtuito.
Solucao: Identificando a d.d.p. em cada um dos componentes:
Resistor:VR = Ri= Rdqdt Indutor: VL= Ldidt = Ld
2qdt2
Capacitor: VC=
1C
q
Gerador: V =V0sin (t)
Onde qrepresenta a carga. Pela segunda lei de Kirchhoff:
V0sin (t) Ld2q
dt2 R dq
dt 1
Cq= 0 (3.5.15)
Reescrevendo a equacao:
q+R
Lq+
1
LCq= V0sin (t) (3.5.16)
Se tomarmos = RL
, 0 = 1LC e F0=V0 a solucao desta EDO e analoga
aquela feita nesta secao (Compare a (3.5.16) com a (3.5.40)). Portanto, aamplitude Aq da carga sera:
Aq = F0
m
(20 2)2 22=
V0
L
1LC
22 + RL
2
(3.5.17)
A carga q(t) sera:
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3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)
q(t) =Aqcos (t + ) (3.5.18)
Como i= dqdt
:
i(t) = Aqsin (t + ) = V0L
1LC
2 + RL
2
Fazendo as devidas simplificacoes obtemos:
i(t) = V0
(R2 + 1C+ L2cos(t + ) (3.5.19)
Com fase dada por:
= tan1
20 2
= tan1
R
L
1
LC 2
(3.5.20)
Negativa devido ao atraso entre a impulsao e a resposta do sistema.
3.5.1 Ressonancias
Conforme a frequencia angular de impulsao de um sistema fsico se apro-
xima de sua frequencia natural0, sua amplitude de oscilacao comeca a cres-cer, atingindo valor maximo quando se torna proximo de 0, no caso deoscilacoes fracamente amortecidas, isso ocorre exatamente no ponto = 0.Esse e o fenomeno da ressonancia.
Alguns fenomenos de ressonancia ja sao bem conhecidos e costumam seraplicados amplamente em diversas tecnologias, como o da ressonancia emcircuitos eletricos, que costumam ser utilizadas em circuitos de radio, TV,etc. Alem disso ha outros tipos de ressonancia alem da ressonancia eletrica,como a ressonancia acustica, a ressonancia magnetica etc. O estudo de res-sonancias tambem e amplamente estudado em diversas areas, como engenha-
ria civil, por exemplo. A ressonancia e um objeto de estudo importante nessaarea para evitar acidentes como o ocorrido em 1831 na ponte de Broughton,que desabou devido a ressonancia causada pela marcha de soldados que aatravessavam.
3.5.1.1 Ressonancia em oscilacoes forcadas No caso da ressonanciaem oscilacoes forcadas sem amortecimento a amplitude A e:
A() = F0
m|20 2| (3.5.21)
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50/92
3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
A amplitude A cresce conforme a frequencia da forca impulsiva se
aproxima da frequencia natural do sistema, contudo o caso onde = 0requer uma analise especial. Alem disso esse modelo nao leva em contaefeitos de oscilacoes nao-lineares e as dissipacoes, que podem fazer com queo sistema se comporte de maneira diferente.
Figura 13: Grafico caracterstico da amplitude A na solucao estacionaria de uma os-cilacao forcada para diferentes valores de . Veja que neste modelo ha uma divergenciana amplitude para = 0.
Quando = 0, a EDO que descreve uma oscilacao forcada se torna:
x + 20x=F0m
cos(0t) (3.5.22)
A funcao:
xhomog(t) =a cos(0t) + b sin(0t) (3.5.23)
e uma solucao da equacao homogenea. Deste modo, para encontrar umasolucao particular para esta EDO devemos procurar uma funcao distinta,afinal, nao e coerente procurar uma solucao particular que seja da mesmaforma que a solucao homogenea, elas nao seriam linearmente independentes.Portanto, iremos procurar uma solucao na forma:
xpart(t) =At cos(0t) + Bt sin(0t) (3.5.24)
ou na forma:
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3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)
xpart(t) =C tei0t (3.5.25)
No caso iremos supor que a solucao e da forma da (3.5.24), mas as duasequacoes sao equivalentes (apesar de ser necessario realizar procedimentos di-ferentes), portanto e possvel encontrar a solucao desejada adotando qualqueruma das equacoes anteriores.
Primeiramente e necessario derivar a (3.5.24) (Lembre-se que e precisoutilizar a regra dos produtos) :
x= Ad(t cos(0t))
dt + B
d(t sin(0t))
dt (3.5.26)
x= A[cos(0t) t0sin (0t)] + B[sin(0t) + t0cos (0t)]Derivando novamente para encontrar x:
x= A20t cos(0t) B20t sin(0t) 20A sin(0t) + 20B cos(0t) (3.5.27)
Como:
x +
2
0x=
F0
m cos(0t)
A20t cos(0t) B20t sin(0t)+A20t cos(0t) + B
20t sin(0t)
20A sin(0t) + 20B cos(0t)=
F0m
cos 0t
Mas os termos nas duas primeiras linhas da equacao anterior se cancelam, logo:
20A sin(0t) + 20B cos(0t) = F0m
cos 0t
B cos(0t) A sin(0t) = F02m0
cos(0t) (3.5.28)
Os coeficientes de cos(0t) do lado esquerdo da equacao devem ser iguaisaqueles no lado direito, a mesma condicao deve ser satisfeita para sin (0t) (Paramais detalhes veja a secao3.6). Portanto:
A= 0
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3 EDOS DE SEGUNDA ORDEM
e,
B cos(0t) = F02m0
cos(0t)
Portanto:
B = F02m0
(3.5.29)
Substituindo na (3.5.24):
xpart(t) = F02m0
t sin(0t) (3.5.30)
E a solucao geral sera:
x(t) =a cos(0t) + b sin(0t) + F02m0
t sin(0t) (3.5.31)
Conclumos, portanto, que na ressonancia o movimento se mantem periodico,com frequencia 0, mas sua amplitude cresce linearmente com o tempo.
Figura 14: Grafico de x(t) na ressonancia (Em azul). A envoltoria vermelha representa o termoF0
2m0t. Os valores utilizados foram: a= 0.3m,b= 0.1m,F0 = 10N,m= 0.7kg e 0 = 0.5
rads
3.5.1.2 Ressonancia em oscilacoes forcadas amortecidas Na secaoanterior o valor obtido para a amplitude A em funcao da frequencia da forca deimpulsao para um oscilador forcado amortecido era:
A() = F0m
1(20 2)2 + 22)
(3.5.32)Escola Olmpica 52
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3.5 Oscilacoes forcadas amortecidas: equacoes na forma x + x + 2x= F(t)
Derivando com respeito a :
dA
d = 1
2
(22 4(20 2)
22 + (20 2)2
32 (3.5.33)Igualando a expressao anterior a 0 iremos encontrar o valor de para o qual
A e maximo:
dA
d = 0
(22 4(20 2)) = 0 (3.5.34)
res =
20 22 (3.5.35)Veja que se
0 A frequencia de ressonancia se torna:
res 0 (3.5.36)Ou seja, a frequencia de ressonancia sera aproximadamente igual a frequencia
natural do sistema. Por conveniencia, neste tipo de sistema (fracamente amorte-
cido), costumamos considerar queres = 0, visto que a diferenca e desprezvel.Alem disso caso a seguinte condicao seja satisfeita:
20 0 caso seja satisfeita a condicaob > a0.
Questao 6 Resolva as seguintes EDOs:
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a)y+ 3y= 0, y(0) = 3, y(0) = 2Resp:y= 2e3x3 73c) 12 18 = 0, (0) = 0, = 0Resp:(t) =Ae(
14 (
31)t) + Be(14 (
3+1)t)
b)7d2xdt2 + 2
dxdt + 5x= 0, x(0) = 0, x(0) =6
Resp:x= 21
217e
t7sin
347 t
d)x + 12x + 36x= 0, x(0) = 5, x(0) = 0Resp:x= 5e6t(6t + 1)
Questao 7 (Seletiva IPhO 2015) Uma massa de 1kg est a suspensa por umamola linear de constante elastica k = 10N
m e coeficiente de amortecimento =
5.102 Nsm
.A mola e excitada por uma forca externa Fc =F0sin t onde F0 = 2, 5N e
e o dobro da frequencia natural 0 do sistema.
Determinar:a) Equacao do movimento deste sistema.b) A amplitude do movimento resultante.c) A diferenca de fase entre o deslocamento e a forca impulsora
Questao8 (IPhO 2004 - Adaptada) Os microscopios de forca atomica (AFMs)sao ferramentas poderosas na area da nanociencia,o movimento de um cantileverem um AFM pode ser detectado por um fotodetector que monitora o feixe de umlaser, como mostra a figura.
Figura 22: Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_TheoreticalData de acesso: 19/02/2015
O cantilever esta restrito ao movimento na direcao vertical, cujo deslocamentoz em funcao de t pode ser expresso por meio de uma equacao diferencial que des-creve oscilacao forcada amortecida. Sendo m a massa do cantilever, k = m20 suaconstante elastica (onde 0 e a frequencia natural de oscilacao), =
bm
, onde b e
o fator de amortecimento, que satisfaz a condicao 0 >> bm
> 0, e F e a forca
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http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoreticalhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/2004/IPhO_2004_Theoretical7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica
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modelo podemos assumir que essas ligacoes podem ser aproximadas ligacoes feitaspor molas que obedecem a lei de Hooke e possuem constante elasticak1,k2,...,kN2e kN1
Figura 23: Modelo para uma molecula composta de N atomos. Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf
Leve os seguintes fatos em consideracao: o movimento vibracional longitudinalde uma molecula linear consiste de uma superposicao de diferentes movimentososcilatorios chamados modos normais. Em um modo normal todos os atomos vi-bram em um movimento harmonico simples com a mesma frequencia e passar porsuas respectivas posicoes de equilbrio simultaneamente. Questoes:
a) Seja xi o deslocamento do atomo i em relacao a sua posilao de equilbrio.Seja a forcaFi atuando em cada atomoi em funcao dos deslocamentosx1,x2,...,xne constantes elasticas k1,k2,...,kN2 e kN1. Qual e a relacao entre as forcasF1,F2,...,Fn. Usando essa relacao, encontre uma relacao entre os deslocamentosx1,x2,...,xn e de uma interpretacao fsica desses resultados.Resp:Ni=1(mixi) =cte.
Figura 24: Molecula diatomica (esquerda), molecula triatomica (direita). Fonte: http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf
b) Analise o movimento de uma molecula diatomicaAB . O valor da constanteelastica e k. Encontre uma expressao para a forca agindo nos atomos A e B. De-termine os possveis tipos de movimento para a molecula. Determine a frequenciade oscilacao correspondente e interprete o resultado. Em particular, explique comoe possvel dois atomos vibrarem com a mesma frequencia se suas massas nao saoiguais.
Resp:1= 0, 2=
k(mA+mB)mAmB
c) Analise o movimento da uma molecula triatomica BA2. Encontre a forcaresultante em cada atomo em funcao de seu deslocamento. Deduza os possveistipos de movimentos e frequencias correspondentes.
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http://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdfhttp://ipho.phy.ntnu.edu.tw/problems-and-solutions/1992/23rd_IPhO_1992_Theo_Question_2.pdf7/25/2019 EDOs e Oscilaes - Escola Olmpica
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6 EXERCICIOS
Resp:1= 0, 2= k(mA+mB)mAmB , 3 = k(2mA+mB)mAmBd) As frequencias de dois modos normais de uma molecula de C O2 sao 3.998
1013 Hz e 7.0421013 Hz, respectivamente. Determine o valor da constanteelastica k para a molecula de CO2. (Assuma que k1 = k2 = k). As estimativasfeitas, os resultados obtidos e o modelo utilizado foram razoaveis e consistentescom a vibracao real da molecula? A massa atomcia do carbono e de 12u.m.ae do oxigenio e de 16u.m.a. Uma unidade de massa atomica u.m.a equivale a1.660 1027 kg.Resp:k1 1670N/m,k3 1420N/m
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7 Apendice7.1 A formula de Euler
Expandidindo sin x e cos xpor meio de uma serie de MacLaurin obtemos:
sin x= x x3
3! +
x5
5! x
7
7! =
n=0
(1)n x2n+1
(2n + 1)! (7.1.1)
e
cos x= 1 x2
2! +
x4
4!x6
6! =
n=0(1)
n x2n
(2n)! (7.1.2)
Expandidindoex por meio de uma serie de MacLaurin obtemos:
ey = 1 + y
1!+
y 2
2! + y
n
n! =
n=0
yn
n! (7.1.3)
Fazendo a substituicao y = ix:
eix = 1 +ix
1! +
(ix)2
2! +(ix)
n
n! =
n=0(ix)n
n! (7.1.4)
Sabendo que i2 = 1, i3 = i e i4 = 1:
eix = 1 + ix
1!x
2
2! i x
3
3! +
x4
4! + i
x5
5! x
6
6! +(ix)
n
n! (7.1.5)
Colocando i em evidencia:
eix = 1 x2
2! +
x4
4! x
6
6! + + i
x x
3
3! +
x5
5!
(7.1.6)
Veja que a parte real da expressao anterior e identica a expansao de cos x, eque a parte imaginaria, que acompanha i, e identica a expansao de sin x, deste
modo chegamos a famosa formula de Euler:
eix = cos x + i sin x (7.1.7)
7.2 Funcoes hiperbolicas
O seno hiperbolico e uma funcao definida pela seguinte formula:
sinh x=
ex ex
2
(7.2.1)
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7 APENDICE
Figura 25: Seno hiperbolico
E o cosseno hiperbolico e definido por:
cosh x= ex + ex
2 (7.2.2)
Figura 26: Cosseno hiperbolico
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7.2 Funcoes hiperbolicas
Veja que podemos relacionar as funcoes trigonometricas com as hiperbolicas:
sinh (ix) =
eix eix
2
(7.2.3)
Utilizando a formula de Euler:
eix = cos(x) + i sin(x) (7.2.4)
e
eix = cos (x) + i sin x= cos (x) i sin x (7.2.5)
Substituindo na (7.2.3):
sinh(ix) =i sin x (7.2.6)
De maneira analoga podemos obter propriedades similares, como cosh (ix) =cos x.
A tabela a seguir contem algumas das principais propriedades das funcoeshiperbolicas:
Propriedades de funcoes hiperbolicas
cosh2 x sinh2 x= 1 tgh(x) = e2x1e2x+1
sinh(x + y) = sinh x cosh y+ cosh x sinh y cosh(x + y) = cosh x cosh y+ sinh x sinh yd
dxsinh x= cosh x d
dxcosh x= sinh x
sin(ix) =i sinh x sinh(ix) =i sin xcos(ix) = cosh x cosh (ix) = cos x
sinh1 x= ln (x +
x2 + 1) cosh1 x= ln (x +
x2 1), x >1
Contudo, agora voce deve estar se perguntando: mas como essas funcoes foramdefinidas?
Nos podemos definir o seno e o cosseno hiperb olicos a partir do angulo hi-perbolico e de um triangulo retangulo. Observe a seguinte figura:
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7 APENDICE
Figura 27: As linhas em azul representam a hiperbole, a area em azul claro representaa area compreendida pela hiperbole, de 1 atex, e a area em vermelho representa a areaScom a qual estamos trabalhando.
Assim, cosh representa o segmento de comprimento x, que e o cateto ad-jacente no triangulo retangulo em questao, e sinh representa o cateto oposto,isto e, o segmento de comprimento y. Deste modo, e possvel parametrizar umahiperbole que tem como formula:
x2
a y
2
b = 1 (7.2.7)
A partir do angulo hiperbolico e das constantes a e b.:
x= a cosh (7.2.8)
y= b sinh (7.2.9)
E como obter uma formula para cosh e sinh ?
Assim como e possvel obter relacoes trigonometricas a partir do crculo unitario,tambem e possvel obter as relacoes para as funcoes hiperbolicas a partir da cha-mada hiperbole unit aria, que e a hiperbole gerada por:
x2 y2 = 1 (7.2.10)Isolandoy :
y = x2 1 (7.2.11)
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7.2 Funcoes hiperbolicas
Como so iremos trabalhar com a hiperbole no primeiro quadrante, iremos con-siderar que:
y =
x2 1 (7.2.12)Primeiramente, queremos descobrir qual e o valor da area em vermelho na
figura7.2, que chamaremos deS. Essa area sera igual a area do triangulo retanguloque tem uma base de comprimento x e altura y menos a area compreendida pelahiperbole no intervalo [1, x], que e a area representada em azul claro na figura.Quantificando isto:
S=xy
2 x
1 (t2 1)dt (7.2.13)Veja que como queremos calcular a area compreendida pelo hiperbole de 1 ate
x, usamos 1 exna nossa integral e utilizamos uma variavel auxiliart, que e tratadacomo incognita, para calcular o valor da integral. (Tente voce mesmo! Voce poderesolve-la utilizando substituicao trigonometrica e integracao por partes).
Resolvendo a integral, o valor de Sencontrado e:
S=1
2ln (x +
x2 1) (7.2.14)
Isolandox obtemos:
x= e
2S
+ e2S
2 (7.2.15)
Mas ja sabemos que cosh = x, portanto:
cosh =e2S + e2S
2 (7.2.16)
E como relacionar S e ? Veja novamente a figura 7.2. Para encontrar a areaSem vermelho podemos usar aquela mesma integral e utilizar cosh 0, que e 1, ecosh , que e x, como limites de integracao. Para calcular o produto xy podemossubstituirxpor cosh e y por sinh ,fazendo isto obtemos:
S=
cosh sinh
2 cosh
cosh 0t2 1dt= 2 (7.2.17)
Portanto, a area S e metade do angulo hiperbolico!SubstituindoS por /2 na (7.2.16) obtemos uma expressao geral para cosh :
cosh =e + e
2 (7.2.18)
E utilizando a relacao y =
x2 1 e que y = sinh obtemos:
sinh = e e
2 (7.2.19)
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8 LINKS E REFERENCIAS
8 Links e referenciasLinks uteis
Simulacoes de osciladores acoplados:
http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/coupled/osc2.htm http://www.walter-fendt.de/ph14e/cpendula.htm http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent367911&view=view.do&vie wParam_
name=DoubleSpringSim.html#a_icb_pagecontent367911
Simulacoes de sistemas massa-mola:
https://phet.colorado.edu/en/simulation/mass-spring-lab https://phet.colorado.edu/en/simulation/resonance http://www.walter-fendt.de/ph14e/resonance.htm http://www.walter-fendt.de/ph14e/springpendulum.htm http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent340862&view=view.do&vie wParam_name=SingleSpringSim.html#a_icb_pagecontent340862
http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k16940&pageid=icb.page163978&pageContentId=icb.pagecontent376223&view=view.do&vie wParam_
name=DiskOscillator.html#a_icb_pagecontent376223
https://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI
Simulacoes de circuitos eletricos:
http://www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm
Solucionadores de equacoes e plotagem de graficos:
https://www.wolframalpha.com/ http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=66d47ae0c1f736b76f1df86c0cc92 http://www.zweigmedia.com/RealWorld/deSystemGrapher/func.html
Notas de aula:
http://tutorial.math.lamar.edu/
Escola Olmpica 90
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Escola Olmpica 91
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