정답과풀이 1

EDUCATIONAL BROADCASTING SYSTEM정답과풀이

Ⅰ.수열의극한

수열의극한01본문 6~11쪽

유형� ① 1€ +1, 2€ +2, 3€ +3, 4€ +4, …`이므로발산한다.

(발산)

②2, 0, 2, 0, 2, 0, …`이므로진동(발산)한다. (발산)

③ 2, 2€ , 2‹ , 2› , …`이므로발산한다. (발산)

④ 0, ;4#;, ;9*;, ;1!6%;, ;2@5$;, …`이므로 1에수렴한다. (수렴)

⑤ 1+1, ;2!;-1, ;3!;+1, ;4!;-1, ;5!;+1, …`이므로진동(발

②산)한다. (발산)

따라서수렴하는수열은④`이다.

답⃞④

01 다음그림에서n의값이한없이커질때, (-1 ) « ±⁄ ;n!;의값은0에한없이가까워지므로이수열의극한값은 0이다.

즉, [(-1 ) « ±⁄ ;n!;]=0

답⃞③

02 ① , , , , …`이므로 0에수렴한

①다. (수렴)

② ;3$;, ;;¡9º;;, ;2@7*;, ;8*1@;, …`이므로 1에수렴한다. (수렴)

③ 0, 1, 0, ;2!;, 0, ;3!;, 0, ;4!;, …`이므로 0에수렴한다. (수렴)

④ cos 60˘, 2 cos 60˘, 3 cos 60˘, 4 cos 60˘, …`에서

14€ +1

13€ +1

12€ +1

11€ +1

limnڦ

y

O

-12

n

1

1 32 4

① ;2!;, 1, ;2#;, 2, …`이므로발산한다. (발산)⑤ 2+;2!;, 2+;3!;, 2+;4!;, 2+;5!;, …`이므로2에수렴한다.

①(수렴)

따라서발산하는수열은④`이다.

답⃞④

03 ㄱ. 수열 2-1, 2-;2!;, 2-;3!;, 2-;4!;, …`은 2에수렴하므로

ㄴ. 주어진수열은 log 2에수렴한다. (수렴)

ㄴ. 4€ , , , , , …`이므로발산한다. (발산)

ㄷ. -;3!;, -;3@;, -1, -;3$;, -;3%;, -2, …이므로발산한

ㄷ. 다. (발산)

따라서수렴하는수열은ㄱ이다.

답⃞①

유형� a«=¶이고 a«b«=7이므로

b«= =0

( a«b« € -a«b«-b«+1)

= {a«b«( b«-1)-(b«-1)}

= {( a«b«-1) (b«-1)}

= ( a«b«-1)_ ( b«-1)

=(7-1)_(0-1)=-6

답⃞③

04 2b«= { (a«+2b«) -a«}

2b«= ( a«+2b«) - a«

2b«=10-(-2)=12

이므로 b«=6

답⃞①

05 = { _ }

= _

=5_2=10

이므로 =

이므로 = =5

답⃞⑤

5+2_105+0

5+2a«n

5+;n!;limnڦ

5n+2a«5n+1

limnڦ

2n+3n

limnڦ

a«2n+3

limnڦ

2n+3n

a«2n+3

limnڦ

a«n

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

a«b«a«

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

4fl5

4fi4

4›3

4‹2

유형� ④ 01 ③ 02 ④ 03 ①

유형� ③ 04① 05 ⑤ 06 72

유형� ③ 07 ① 08 ② 09 ③ 10①

유형� ① 11④ 12③ 13④

유형� ⑤ 14 ;8!; 15② 16 3-2'217① 18④ 19④ 20③

유형� ③ 21⑤ 22② 23③ 24 ;2ª0ª0;유형� ② 25② 26⑤ 27④

[서술형+고난이도]

28 8 29 9 30-2…x<-1 또는 0<x…1

31② 32 ;2!; 33 ;2#4%;

정답과풀이

정답과풀이2

06 =3, =6이므로

= { _ }

= _

=3_6=18

= _

=18_4=72

답⃞72

유형� ㄱ. a«=0이므로

ㄴ. a«€ = a«_ a«=0 (참)

ㄴ. (반례) a«=n, b«=;n!;일때, ㄴ. a«=¶이고 b«=0이지만

ㄴ. a«b«=1이므로 a«b«=1이다. (거짓)

ㄷ. ;n!;(na«+1)= {a«+;n!;}=0에서

ㄴ. b«=a«+;n!;이라고하면 b«=0

ㄴ. a«=b«-;n!;이므로

ㄴ. a«= {b«-;n!;}= b«- ;n!;=0

ㄴ. 그러므로 (a«+1)= a«+1=0+1=1 (참)

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞③

07 ㄱ. a«=a, b«=b이므로

ㄴ. (a«+2b«)= a«+ 2b«

ㄴ. (a«+2b«)= a«+2 b«

ㄴ. (a«+2b«)=a+2b (참)

ㄴ. (반례) a«=n, b«=n€이면 a«=¶, b«=¶

ㄴ. 이지만 = = ;n!;=0이다. (거짓)

ㄷ. (반례) a«=;n!;, b«=n이면

ㄴ. a«=0, a«b«= ;nN;=1이지만

ㄴ. 수열 {b«}은발산한다. (거짓)

따라서옳은것은ㄱ이다.

답⃞①

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

nn€

limnڦ

a«b«

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

(2n+1)(4n-3)2n€ +1

limnڦ

a«b«(2n+1)(4n-3)

limnڦ

a«b«2n€ +1

limnڦ

b«4n-3

limnڦ

a«2n+1

limnڦ

b«4n-3

a«2n+1

limnڦ

a«b«(2n+1)(4n-3)

limnڦ

b«4n-3

limnڦ

a«2n+1

limnڦ

08 ㄱ. (반례) a«=(-1) « 이면a« € =(-1)€ « =1이므로

ㄴ. a« € =1이지만 수열 {a«}의 극한값은 존재하지 않

ㄴ. 는다. (거짓)

ㄴ. a«=a, ( a«-b«)=b(a, b는상수)라고하면

ㄴ. b«= {a«-(a«-b«) }

ㄴ. b«= a«- (a«-b«)

ㄴ. b«=a-b (참)

ㄷ. (반례) a«=2+;n!;, b«=(-1) « 이면 a«=2이고

ㄴ. |b«|<a«이지만 b«은 발산(진동)한다. (거짓)

따라서옳은것은ㄴ이다.

답⃞②

09 ㄱ. a«+b«=c«이라고하면

ㄴ. c«=0이고 b«=c«-a«이므로

ㄴ. b«= ( c«-a«) = c«- a«

ㄴ. b«=- a«

ㄴ. 그러므로 a«=- b« (참)

ㄴ. (반례) a«=1, b«=n이면

ㄴ. a«=1, = ;n!;=0이지만

ㄴ. b«= n=¶ (거짓)

ㄷ. a«-b«=c«이라고하면 b«=a«-c«이므로

ㄴ. = = {1- }=1 (참)

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞③

10 ㄱ. a«=a, b«=b(a, b는상수)라고하면

ㄴ. a«b«= a«¥ b«=ab (참)

ㄴ. (반례) a«=1일때, =0으로수렴하지만

ㄴ. a«= 1=1(수렴) (거짓)

ㄷ. (반례) a«=n-;n!;, b«=n+;n!;, c«=n에서

ㄴ. a«<c«<b«, ( b«-a«) = ;n@;=0이지만

ㄴ. c«=¶ (거짓)

따라서옳은것은ㄱ이다.

답⃞①

유형� -1…f ( n )…1이므로

-1-3n'n… f(n)-3n'n…1-3n'n… …

1-3n'n"√n‹ +2

f(n)-3n'n"√n‹ +2

-1-3n'n"√n‹ +2

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

a«n

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

c«a«

limnڦ

a«-c«a«

limnڦ

b«a«

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

a«b«

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

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정답과풀이 3

그런데 =-3, =-3

이므로수열의극한값의대소관계에의하여

=-3

답⃞①

11 2n-1<na«< 에서

<a«< 이므로

… a«… 이고,

=2, =2이므로

a«=2

답⃞④

12 9n € <a«<(3n+1)€ 이므로

11n€ <a«+2n€ <11n€ +6n+1

< <

그런데 =11, =11

이므로수열의극한값의대소관계에의하여

=11

답⃞③

13 9n€ <9n€ +5n+1<9n€ +6n+1이므로

(3n)€ <9n€ +5n+1<(3n+1)€

즉, 3n<"√9n€ +5n+1<3n+1

"√9n€ +5n+1의정수부분이 3n이므로

소수부분a«은 a«="√9n€ +5n+1-3n

a«= ( "√9n€ +5n+1-3n)

a«=

a«=

a«= =;6%;답⃞④

유형�

=( 'ƒn+2k-'n ) ('ƒn+2k+'n ) ('ƒn+1+'n )( 'ƒn+1-'n ) ('ƒn+1+'n ) ('ƒn+2k+'n )

limnڦ

'ƒn+2k-'n'ƒn+1-'nlim

nڦ

53+3

limnڦ

5n+1

"√9n€ +5n+1+3nlimn⁄¶

limnڦ

limnڦ

a«+2n€

"√n› +3limn⁄¶

11n€ +6n+1

"√n› +3limn⁄¶

11n€"√n› +3

limnڦ

11n€ +6n+1

"√n› +3a«+2n€

"√n› +311n€"√n› +3

limnڦ

2n€ +3n+1n€

limnڦ

2n-1n

limnڦ

2n€ +3n+1n€

limnڦ

limnڦ

2n-1n

limnڦ

2n€ +3n+1n€

2n-1n

2n€ +3n+1n

f(n)-3n'n"√n‹ +2

limnڦ

1-3n'n"√n‹ +2

limnڦ

-1-3n'n"√n‹ +2

limnڦ =

=

= =6

에서 2k=6이므로k=3

답⃞⑤

14 주어진수열의일반항을a«이라고하면

a«=

a«=

a«=

이므로

a«=

a«=

a«= =;8!;

답⃞ ;8!;

15 (n+a-"√n€ +3n+1)

=

=

=

= =0

이므로

a=;2#;답⃞②

16

=

=(n+1) €

n ('ƒ2n+1+'n) €limn⁄¶

( 'ƒ2n+1-'n) € ('ƒ2n+1+'n) €n ('ƒ2n+1+'n) €lim

nڦ

( 'ƒ2n+1-'n) €n

limnڦ

2a-32

limnڦ

(2a-3)n+a€ -1

n+a+"√n€ +3n+1limn⁄¶

(n+a-"√n€ +3n+1)(n+a+"√n€ +3n+1)

n+a+"√n€ +3n+1limn⁄¶

limnڦ

limnڦ

n€ +n8n€ -8n+2

limnڦ

n(n+1)2(2n-1)€

limnڦ

limnڦ

n(n+1)2(2n-1)€

n(n+1)2

(2n-1) €

1+2+3+y+n(2n-1) €

limnڦ

2k ('ƒn+1+'n )'ƒn+2k+'nlim

nڦ

(n+2k-n)('ƒn+1+'n )(n+1-n)('ƒn+2k+'n )

limnڦ

5+1n

8- +2n€

8n

1+1n

1+ +æ≠1+ +1n€

3n

an

2a-3+a€ -1n

2k{æ≠1+ +1}1n

æ≠1+ +12kn

æ≠9+ + +31n€

5n

정답과풀이

정답과풀이4

=

=

=

= =3-2'2답⃞3-2'2

[다른풀이]

(주어진식)= { } €

(주어진식)= {Æ…2+ -1} €(주어진식)= ('2-1)€ =3-2'2

17 다항식 f ( x )를 3x-n으로나눈나머지는 f{;3N;}이므로R(n )=f{;3N;}=3{;3N;} € +;3N;+3

=

=

=;9!;답⃞①

18 f ( n )이일차함수이고, =4이므로

f (n )=;2!;n+a(a는상수)로놓을수있다.

이때, ( f Á f ) (n )=;2!;{;2!;n+a}+a=;4!;n+;2#;a이므로

= =8

답⃞④

19 ㄱ. =

ㄱ. = =¶ (발산)

ㄴ. = = {2-;n#;}=2 (수렴)

ㄷ. =2n-"√n€ -1

nlimnڦ

a«'nlim

nڦ

limnڦ

2n-3n

limnڦ

a«'nlim

nڦ

'nlimnڦ

n€'n(n-1)

limnڦ

a«'nlim

nڦ

2n+1

;4!;n+;2#;alimnڦ

2n+1(f Á f ) ( n )

limnڦ

2n+1f ( n )

limnڦ

limnڦ

3n€ +n+3limn⁄¶

R (n )f ( n )

limnڦ

1n

limnڦ

'ƒ2n+1-'n'nlim

nڦ

13+2'2

limnڦ

n€ +2n+1

3n€ +n+"√8n› +4n‹limn⁄¶

(n+1) €

n(3n+1+"√8n€ +4n)limn⁄¶ ㄷ. = =1 (수렴)

따라서 이수렴하는것은ㄴ, ㄷ이다.

답⃞④

20 n단계에서 (n+1)단계로올라갈때마

다그림과같이선분 6개가늘어나므로

a«≠¡=a«+6, a¡=4

즉, 첫째항이 4, 공차가 6인 등차수열

이므로일반항a«은

a«=6n-2

한편, 정사각형의개수가각단계마다 2개씩늘어나므로넓

이는첫째항이 1, 공차가 2인등차수열이고일반항 b«은

b«=2n-1

따라서 = =12

답⃞③

유형� =

유형� =

유형� = =2

답⃞③

21 =

=

= =6

답⃞⑤

22 a«=a(a는상수)라고하면

= =-4a

-4a=12이므로a=-3

따라서 a«=-3

답⃞②

23 ⁄ x=-2일때, 주어진수열은수렴한다.

limnڦ

{;4#;} « +4a«

{;4#;} « a«-1limn⁄¶

3« +4« ±⁄ a«3« a«-2€ «

limnڦ

limnڦ

61-2_0

6

1-2¥{;9@;} «limn⁄¶

6¥9«9« -2¥2«

limnڦ

2¥3€ « ±⁄3€ « -2« ±⁄

limnڦ

;2!;;4!;

;2!;+9¥{;4#;} «;4!;

limnڦ

;2!;¥4« +9¥3«

;4!;¥4«limn⁄¶

2€ « —⁄ +3« ±€

4« —⁄limn⁄¶

(6n-2)(2n-1)

n€limn⁄¶

a«b«

n€limn⁄¶

a«'nlim

nڦ

1limnڦ

3+ +æ≠8+ 4n

1n

1+ +1n€

2n

+ +3n3

n€3

1-1n

2-æ≠1- 1n€

+ +3n€

13n

13

3+ +3n€

1n

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정답과풀이 5

€ x+-2일때

€ =(x+2){ } «이므로

€등비수열 [( x+2 ){ } « ]이수렴하려면

€-1< …1, -5<2x-1…5

€즉, -2<x…3

⁄, €에서-2…x…3

따라서구하는정수 x는-2, -1, 0, 1, 2, 3이므로이들의

합은 3이다.

답⃞③

24 a«=10« —⁄ +(10« —⁄ +1)+(10« —⁄ +2)+y+(10« -1 )

이므로수열 {a«}은공차가 1인등차수열의합이고

항의개수는 ( 10« -1)-10 « —⁄+1=9¥10« —⁄

a«=

a«=;2(;¥10« —⁄ (11¥10« —⁄ -1)

이므로

= ;2(;¥ ( 11¥10« —⁄-1)

= ;2(;{11¥ - }

= ;2(;{ - }=답⃞ ;2ª0ª0;

유형� ⁄ 0<r<1일때

€ r« =0이므로

€ =r+1=;3%;에서

€r=;3@;€ r=1일때

€ ` = =;2#;+;3%;‹ r>1일때, r« =¶이므로

€ = =r

€즉, r=;3%;⁄, €, ‹에서구하는 r의값의합은`

;3@;+;3%;=;3&;답⃞②

limnڦ

r« ±⁄ +r+1r« +1

limnڦ

limnڦ

1+1+11+1

r« ±⁄ +r+1r« +1

limnڦ

r« ±⁄ +r+1r« +1

limnڦ

limnڦ

99200

1

10« ±⁄1110€

limnڦ

1

10« ±⁄

10€ « —€

10€ «limn⁄¶

10« —⁄

10€ «limn⁄¶

a«

10€ «limn⁄¶

9¥10« — ⁄ (10« —⁄ +10« -1 )2

2x-15

2x-15

2x-15

(x+2)(2x-1) «5«

25 ⁄ 0<r<1일때, r« =0이므로

€ ` =;1!;=1에서p=1

€ r>1일때, r« =¶이므로 =0

€ ` = =;2!;에서 q=;2!;

따라서p+q=1+;2!;=;2#;답⃞`②

26 양수a에대하여a+1>a이므로 0< <1이고

{ } « =0이므로

=

=a+1=6

즉, a=5

답⃞`⑤

27 = 이므로

⁄ 0<a<1일때, a« =0이므로

⁄ =-;8!;+;5@;€ a=1일때, a« =1이므로

⁄ =;5@;‹ a=2일때, a« = 2« =¶이므로

⁄ = =¶

› a>1(a+2 )일때, a« =¶이므로

⁄ =

⁄ = = =;5@;⁄에서 2a-4=5이므로

⁄ a=;2(;따라서구하는a의값은 1, ;2(;이므로그합은` ;;¡2¡;;이다.

답⃞④

1a-2

a+2a€ -4

limnڦ

(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8

limnڦ

limnڦ

4¥2« -18

limnڦ

(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8

limnڦ

limnڦ

limnڦ

(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8

limnڦ

limnڦ

(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8

limnڦ

limnڦ

(a+2)a « -1(a€ -4)a« +8

a« ±⁄ +2a« -1a« ±€ -4a« +8

limnڦ

(a+1) « ±⁄ +a« ±⁄(a+1) « +a«

limnڦ

aa+1

limnڦ

aa+1

limnڦ

r« +1

1+2r«limn⁄¶

1

r«limn⁄¶

limnڦ

r« +1

1+2r«limn⁄¶

limnڦ

r+ +1r«

1r« —⁄

1+1r«

a+1+a{ } «aa+1

a+2-1a«

a€ -4+8a«

1+{ } «aa+1

+21r«

1+1r«

정답과풀이

정답과풀이6

[서술형+고난이도]

28 수열 {a«}의첫째항을a라고하면공차가6이므로

a«=a+(n-1)6=6n+(a-6)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

=

= {8+ }=8

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

답⃞ 8

29 |na«-3n|<3에서-3<na«-3n<3이고

3n-3<na«<3n+3이므로

3-;n#;<a«<3+;n#;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

이때, {3-;n#;}= {3+;n#;}=3이므로

a«=3이고 a«≠¡=3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

( 2a«+a«≠¡)=2 a«+ a«≠¡

( 2a«+a«≠¡) =2_3+3=9

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞ 9

30 수열 {r« }은-1<r…1일때, 수렴하므로

-1<x€ +x-1…1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

⁄ x€ +x-1>-1에서x€ +x>0

⁄ x(x+1)>0이므로

⁄ x<-1또는x>0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

€ x€ +x-1…1에서x€ +x-2…0

⁄ (x-1) (x+2)…0이므로

⁄-2…x…1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

a-6n

limnڦ

8n+(a-6)n

limnڦ

a«+2nn

limnڦ

⁄, €에서-2…x<-1또는 0<x…1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (라)

답⃞-2…x<-1 또는 0<x…1

31 a«={1-;2!;}{1-;3!;}{1-;4!;}y{1- }

a«=;2!;¥;3@;¥;4#;¥y¥ =

이므로

a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=

a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=

a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )=

a« ‹ (1€ +2€ +y+n€ )

=

=;3!;답⃞②

32 P« {n, }, Q« {n, }에서

P«Q« ”= -

P«≠¡{n+1, }, Q«≠¡{n+1, }에서

P«≠¡Q«≠¡ ”= -

이므로사다리꼴P«Q«Q«≠¡P«≠¡의넓이S«은

S«=;2!;[{ - }+{ - }]

S«=;2!;{ - }

S«=

n€ S«= =;2!;답⃞ ;2!;

2n€(2n-1)(2n+3)

limnڦ

limnڦ

2(2n-1)(2n+3)

12n+3

12n-1

12n+3

12n+1

12n+1

12n-1

12n+3

12n+1

12n+3

12n+1

12n+1

12n-1

12n+1

12n-1

n(n+1)(2n+1)6(n+1) ‹

limnڦ

limnڦ

n(n+1)(2n+1)6(n+1) ‹

n(n+1)(2n+1)6

(n+1) ‹

1€ +2€ +y+n€(n+1) ‹

1n+1

nn+1

1n+1

채점기준단계 배점

수열 {a«}의일반항을구한경우

극한값을구한경우

총 점

(가)

(나)

40%

60%

100%

채점기준단계 배점

a«의범위를구한경우

수열 {a«}의극한값을구한경우

극한값을구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

30%

30%

40%

100%

채점기준단계 배점

공비를구하여범위를나타낸경우

x€ +x-1>-1을만족하는해를구한경우

x€ +x-1…1을만족하는해를구한경우

공통의범위를구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

(라)

10%

40%

40%

10%

100%

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정답과풀이 7

33 35« =5« ¥7«이므로

S«=(1+5+5€ +y+5« )(1+7+7€ +y+7« )

S«= _

S«=;2¡4;( 5 « ± ⁄ -1)(7« ±⁄ -1)

= ;2¡4;{5- }{7- }=;2¡4;_5_7

=;2#4%;답⃞`;2#4%;

17«

15«

limnڦ

S«35«

limnڦ

7« ±⁄ -17-1

5« ±⁄ -15-1 본문 12~17쪽

유형� ① 01 ② 02 ⑤ 03 ② 04 8

유형� ⑤ 05 ① 06 ⑤ 07 ①

유형� ② 08 ④ 09 ②

유형� ② 10② 11② 12①

유형� ② 13⑴ ;3@; ⑵ ;2%; 14③ 15②

유형� ④ 16⑤ 17 6 18①

유형� ① 19③ 20②

유형� ② 21③ 22 12 23 6+4'324 '3-1 25 ;2¢1;

[서술형+고난이도]

26 4 27 28 3 29 8 30'36

'23

유형� = - 이므로

= { - }

= [{ - }+{ - }

+y+{ - }]

= { - }=답⃞①

01 a«= =;2!; {;n!;- }이므로

S«=;2!;[{1-;3!;}+{;2!;-;4!;}+{;3!;-;5!;}+

y+{ - }+{;n!;- }]

S«=;2!;{1+;2!;- - }

S«=;2!;{1+;2!;}=;4#;답⃞②

02 a«=a¡+a™+a£+a¢+y= S«이므로

S«=

S«=;2K;=5

kn€ +7n-52n€ +1

limnڦlim

nڦ

limnڦ

¶¡n=1

limnڦ

1n+2

1n+1

1n+2

1n+1

1n-1

1n+2

1n(n+2)

'22

1'ƒn+2

1'2lim

nڦ

1'ƒn+2

1'ƒn+1

1'4

1'3

1'3

1'2lim

nڦ

1'ƒk+2

1'ƒk+1

n¡k=1

limnڦ

'ƒn+2-'ƒn+1'ƒ(n+1) (n+2)

¶¡n=1

1'ƒn+2

1'ƒn+1

'ƒn+2-'ƒn+1'ƒ(n+1) (n+2)

Ⅰ.수열의극한

급수02

정답과풀이

정답과풀이8

에서k=10

답⃞⑤

03 수열 {a«}의첫째항부터제n항까지의합을S«이라고하면

S«=a¡+a™+a£+y+a«

S«={log™ ;2#;-log™ ;1@;}+{log™ ;3$;-log™ ;2#;}+y+{log™ -log™ }

S«=-log™ 2+log™

이때, log™ =log™1=0이므로

a«= S«= {-log™ 2+log™ }a«=-1+0=-1

답⃞②

04 수열 {a«}의공차를d라하면a«≠¡-a«=d이므로

=

=;d!; { - }

=;d!; [{ - }+{ - }

+y+{ - }]

=;d!; { - }한편, a«=1+(n-1)d이고공차d가양수이므로

= =0

=;d!; { - }=;d!;=2이므로

d=;2!;따라서a«=1+(n-1)_;2!;이므로a¡∞=1+(15-1)_;2!;=8

답⃞8

유형� { -2}=3이므로, { -2}=0

즉, = [{ -2}+2]=0+2=2

= limnڦ

n€ +na«+12n€ +a«

limnڦ

a«n

limnڦ

a«n

limnڦ

a«n

limnڦ

a«n

¶¡n=1

1a«≠¡

1a¡

limnڦ

1a«a«≠¡

¶¡n=1

11+nd

limnڦ

1a«≠¡

limnڦ

1a«≠¡

1a¡

limnڦ

1a«≠¡

1a«

1a£

1a™

1a™

1a¡

limnڦ

1a˚≠¡

1a˚

n¡k=1

limnڦ

1a˚a˚≠¡

n¡k=1

limnڦ

1a«a«≠¡

¶¡n=1

n+2n+1

limnڦlim

n⁄¶¶¡

n=1

n+2n+1

limnڦ

n+2n+1

n+1n

n+2n+1

∴ = =;2#;답⃞⑤

05 {a«- }이수렴하므로

{a«- }=0

즉, a«= [{a«- }+ ]=;2!;답⃞①

06 (n€ a«-3)=10이므로

(n€ a«-3)=0

n€ a«= { (n€ a«-3)+3}=0+3=3

=

= =10

답⃞⑤

07 주어진급수가수렴하므로

= =a=0

이때급수의합 b는

b=

b=

b= { - }

b= [{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{ - }]

b= {;2!;- }=;2!;따라서a+b=0+;2!;=;2!;

답⃞①

유형� ㄱ. = =1+0

ㄴ. 이므로 은발산한다. (발산)

ㄴ. (cos « 30˘+sin« 30˘)¶¡

n=1

nn+1

¶¡n=1

1

1+;n!;limnڦ

nn+1

limnڦ

1n+2

limnڦ

1n+2

1n+1

limnڦ

1k+2

1k+1

n¡k=1

limnڦ

1(k+1) (k+2)

n¡k=1

limnڦ

1n€ +3n+2

¶¡n=1

limnڦ

an€ +1n€ +3n+2

limnڦ

8+4_32

limnڦ

8n-1+4n‹ a«2n+1

limnڦ

limnڦlim

nڦ

limnڦ

¶¡n=1

n-12n-1

n-12n-1

limnڦlim

nڦ

n-12n-1

limnڦ

n-12n-1

¶¡n=1

1+2+02+0

1+ +1n€

a«n

2+a«n€

8- +4n€ a«1n

a+1n€

1+ +2n€

3n

2+1n

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정답과풀이 9

ㄴ. =(cos 30˘+sin 30˘)+(cos€ 30˘+sin€ 30˘)

+(cos‹ 30˘+sin‹ 30˘)+y

ㄴ. =(cos 30˘+cos€ 30˘+cos‹ 30˘+y)

+(sin 30˘+sin€ 30˘+sin‹ 30˘+y)

ㄴ. =[ +{ } € +{ } ‹ +y]

+[;2!;+{;2!;}€ +{;2!;} ‹ +y]

ㄴ. = + =4+2'3 (수렴)

ㄷ. =

ㄷ. =

ㄷ. = ( 'ƒk+1-'k )ㄷ. = ( 'ƒn+1-1)=¶ (발산)

따라서수렴하는것은ㄴ이다.

답⃞②

08 ㄱ. 주어진급수의제n항까지의부분합을S«이라고하면

ㄱ. S™«–¡=;n!;, S™«=0이므로

ㄱ. S™«–¡= S™«=0

ㄱ. 그러므로 a«= S«=0 (수렴)

ㄴ. 주어진급수의제n항까지의부분합을S«이라고하면

ㄱ. S«= ('2-1)+('3-'2 )+ ('4-'3 )+y+ ('ƒn+1-'n )

ㄱ. S«=-1+'ƒn+1

ㄱ. 그러므로 S«= ( 'ƒn+1-1)=¶ (발산)

ㄷ. a«=- + 이므로

ㄱ. S«= a˚= {- + }

ㄱ. S«=;2!;+{-;2!;+;3@;}+{-;3@;+;4#;}+y+{- + }

ㄱ. S«=

ㄱ. 그러므로 a«= S«= =1 (수렴)

따라서수렴하는것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞④

09 ㄱ. a«= 이므로 에서'∂2n'ƒn+1

¶¡n=1

'∂2n'ƒn+1

nn+1

limnڦlim

n⁄¶¶¡

n=1

nn+1

nn+1

n-1n

kk+1

k-1k

n¡k=1

n¡k=1

nn+1

n-1n

limnڦlim

nڦ

limnڦ

¶¡n=1

limnڦlim

nڦ

limnڦ

n¡k=1

limnڦ

'ƒk+1-'k( 'ƒk+1+'k ) ('ƒk+1-'k )

n¡k=1

limnڦ

1'ƒk+1+'k

n¡k=1

limnڦ

1'ƒn+1+'n

¶¡n=1

;2!;1-;2!;

'32

'32

'32

ㄱ. ='2+0이므로

ㄱ. 급수 은발산한다.

ㄴ. a«= = -

ㄱ. S«= a˚= { - }

ㄱ. S«={;3!;- }+{ - }+{ - }

+y+{ - }

ㄱ. S«=;3!;-

ㄷ. 그러므로 S«= {;3!;- }=;3!; (수렴)

ㄷ. a«=nÆ…1+;n!;-n이므로

ㄷ. a«= {nÆ…1+;n!;-n}

ㄷ. a«= ( "√n€ +n-n) (∵n>0)

ㄷ. 그런데a«= ( "√n€ +n-n)

ㄷ. 그런데a«=

ㄷ. 그런데a«=

ㄷ. 그런데a«= =;2!;+0

ㄷ. 이므로급수 ( "√n€ +n-n)은발산한다.

따라서수렴하는것은ㄴ이다.

답⃞②

유형� 3a«+2b«=c«이라고하면 c«=40이다.

이때, b«=;2!;c«-;2#;a«이므로

b«= {;2!;c«-;2#;a«}

b«=;2!; c«-;2#; a«

b«=;2!;_40-;2#;_2=17

답⃞②

10 ( 5a«-2b«) = 5a«- 2b«

( 5a«-2b«) =5 a«-2 b«¶¡

n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

1

Æ…1+;n!;+1

limnڦ

n

"√n€ +n+nlimn⁄¶

( "√n€ +n-n)("√n€ +n+n)

"√n€ +n+nlimn⁄¶

limnڦ

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

13« ±⁄

limnڦlim

nڦ

13« ±⁄

13« ±⁄

13«

13›

13‹

13‹

13€

13€

13˚ ±⁄

13˚

n¡k=1

n¡k=1

13« ±⁄

13«

3« ±⁄ -3«3€ « ±⁄

'∂2n'ƒn+1

¶¡n=1

'∂2n'ƒn+1

limnڦ

'32

1-'32

정답과풀이

정답과풀이10

( 5a«-2b«) =5_2-2_3=4

답⃞②

11 두급수 ( a«+2b«) , ( b«-2c«)이수렴하므로

( a«+4b«-4c«)

= ( a«+2b«)+2 ( b«-2c«)

=3+2_(-2)=-1

답⃞②

12 두급수 ( a«+4), ( b«-1)이수렴하므로

( a«+4)= ( b«-1)=0에서

a«=-4, b«=1

또한, ( a«+4b«) = ( a«+4)+4 ( b«-1)

또한, ( a«+4b«) =2+4_3=14

이므로

2a«b«+ ( a«+4b«)

=2_(-4)_1+14=6

답⃞①

유형� + + +y

=[;4!;+{-;4#;}]+[{;4!;}€ +{-;4#;}€ ]

+[{;4!;}‹ +{-;4#;}‹ ]+y=[;4!;+{;4!;} € +{;4!;}‹ +y]

+[{-;4#;}+{-;4#;}€ +{-;4#;}‹ +y]

= +

=;3!;+{-;7#;}=-;2™1;답⃞②

13 ⑴ = {;5@;}«이고, 수열 [{;5@;} « ]은첫째항이 ;5@;,⑴공비가 ;5@;이므로

⑴ = =;3@;

⑵ = +(-1) € «

3«

¶¡n=1

2«3«

¶¡n=1

2« +(-1)€ «3«

¶¡n=1

;5@;1-;5@;

2«5«

¶¡n=1

¶¡n=1

2«5«

¶¡n=1

-;4#;1-{-;4#;}

;4!;1-;4!;

1‹ +(-3)‹4‹

1 € +(-3)€4€

1+(-3)4

¶¡n=1

limnڦ

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

limnڦlim

nڦ

limnڦlim

nڦ

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

⑵ = {;3@;} « + {;3!;}«

⑵ = +

⑵ =2+;2!;=;2%;답⃞⑴ ;3@; ⑵ ;2%;

14 a«≠¡a«= 에서a«≠¡= 이므로

a¡=1

a™= = =;2!;, a£= = =;2!;

a¢= = =;4!;, a∞= = =;4!;

a§= = =;8!;, a¶= = =;8!;

⋯

a«=1+;2!;+;2!;+;4!;+;4!;+;8!;+;8!;+y

a«=1+2{;2!;+;4!;+;8!;+y}

a«=1+2¥ =3

답⃞③

15 a«=ar« —⁄으로놓으면

a«= ar« —⁄ = =2 ……`㉠

(-1 )« ±⁄ a«

= (-1 )« ±⁄ ar« —⁄

=a-ar+ar€ -ar‹ +y

=

= =;3%; ……㉡

㉠에서a=2(1-r)이므로㉡에대입하면

=;3%;, 6-6r=5+5r

따라서 r=;1¡1;답⃞②

유형� 주어진등비급수의공비가 2"ç'x-5이므로

수렴하려면-1<2"ç'x-5<1에서

2(1-r)1+r

a1+r

a1-(-r)

¶¡n=1

¶¡n=1

a1-r

¶¡n=1

¶¡n=1

;2!;1-;2!;

¶¡n=1

1

64¥;8!;1

2fl ¥a§1

32¥;4!;1

2fi ¥a∞

1

16¥;4!;1

2› ¥a¢1

8¥;2!;1

2‹ ¥a£

1

4¥;2!;1

2€ ¥a™12¥1

12a¡

12« ¥a«

12«

;3!;1-;3!;

;3@;1-;3@;

¶¡n=1

¶¡n=1

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정답과풀이 11

4<2"ç'x<6

2<"ç'x<3이므로 2<x <3

즉, 2› <x<3›

따라서정수x의개수는 (3› -2› )-1=64이다.

답⃞④

16 공비가 이므로-1< <1이어야한다.

59<2x<65이므로

;;∞2ª;;<x<;;§2∞;;따라서구하는자연수x는 30, 31, 32이므로

그합은 30+31+32=93

답⃞⑤

17 등비급수 {;4{;} « (x-3)« 의공비가 ;4{;( x-3)이므로

수렴하기위해서는-1<;4{;(x-3)<1이어야한다.

즉, -4<x(x-3)<4, -4<x€ -3x<4

x€ -3x>-4에서x€ -3x+4>0

{x-;2#;}€ +;4&;>0이므로x는모든실수이다.

x€ -3x<4에서x€ -3x-4<0, (x-4)(x+1)<0

이므로-1<x<4

따라서구하는정수x는 0, 1, 2, 3이므로그합은 6이다.

답⃞6

18 두등비급수가모두수렴하기위해서는

-1<x+a<1, -1<;;Å6”;;<1

이어야한다. 즉,

-1-a<x<1-a, -;a^;<x<;a^;(∵ a>0)

두범위를모두만족하는실수x의값이존재하려면-1-a

는 0보다작으므로

-;a^;<1-a, a€ -a-6<0

(a-3)(a+2)<0 ⋯ ⋯

-2<a<3

그런데a는양수이므로 0<a<3

답⃞①

유형� ㄱ. ( a«-1)이수렴하므로 ( a«-1)=0

ㄱ. a«=1+0이므로 a«은발산한다. (참)

ㄴ. (반례) a«=0, b«=1이면

ㄱ. a«=0, a«b«=0으로수렴하지만¶¡

n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

limnڦ

limnڦ

¶¡n=1

¶¡n=1

2x-623

2x-623

14

ㄱ. b«=1+0이므로 b«은발산한다. (거짓)

ㄷ. (반례) a«={-;2!;} «이면

ㄱ. a«= =-;3!;=a (수렴)

ㄱ. |a«|= |{-;2!;} « |= =1+|a| (거짓)

따라서옳은것은ㄱ이다.

답⃞①

19 ㄱ. a«=0, b«=0이므로

ㄱ. ( a«+b«) = a«+ b«=0 (참)

ㄴ. (반례) 수열 {a«}을

ㄱ. 1, 0, 1, 0, 1, 0, y, , y

ㄱ. 이라고하면 a™«=0으로수렴하지만 a«은발산

ㄱ. 한다. (거짓)

ㄷ. a«=a, ( a«+b«) =b (a, b는상수)라고하면

ㄱ. b«= { (a«+b«) -a«}

ㄱ. b«= ( a«+b«) - a«

ㄱ. b«=b-a (참)

따라서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞③

20 두등비수열 {a«}, {b«}의공비를각각 r, r'이라고하면수열

{a«b«}은공비가 rr'인등비수열이다.

ㄱ. (반례) a«={;2!;} « —⁄일때,

ㄱ. a«=1+;2!;+{;2!;}€ +y= =2=a

ㄱ. 라고하면

ㄱ. a«€=1+{;2!;} €+{;2!;} ›+y

ㄱ. a«€=

ㄱ. a«€=;3$;+a € (거짓)

ㄴ. a«, b«이모두발산하면 |r|æ1, |r'|æ1이므

ㄴ. 로 |rr'|=|r||r'|æ1이다.

¶¡n=1

¶¡n=1

1

1-{;2!;}€

¶¡n=1

1

1-;2!;¶¡

n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

1+(-1) « ±⁄2

limnڦlim

nڦlimnڦ

limnڦlim

nڦ

;2!;1-;2!;

¶¡n=1

¶¡n=1

-;2!;1-{-;2!;}

¶¡n=1

¶¡n=1

limnڦ

정답과풀이

정답과풀이12

ㄴ. 즉, a«b«은발산한다. (참)

ㄷ. (반례) r=;4!;, r'=2이면 rr'=;2!;이므로 a«b«이수

ㄴ. 렴하지만수열 {b«}은발산한다. (거짓)

따라서옳은것은ㄴ이다.

답⃞②

유형� 사분원OA¡B¡의반지름의길이

를 r¡이라 하고, 점 O에서 선분 AB

에내린수선의발을 H라고하면직

각이등변삼각형OBH에서OB”=1이

므로

OH”=OB¡”= , 즉 r¡=

따라서 l¡=;4!;_2p_ = p

사분원 OA«B«의반지름의길이를 r«이라고하면

r«≠¡= r«이므로 r«={ } «

즉, l«=;4!;_2p_{ } «=;2“;{ } «= { } « —⁄

l«=

l«= =

답⃞②

21 정사각형모양의종이P¡의넓이가a이고,

S«≠¡=;2!;S«이므로

S¡=a, S™=;2!;a, S£={;2!;} € a, S¢={;2!;} ‹ a, yS«=S¡+S™+S£+y

S«=a+;2!;a+{;2!;}€ a+{;2!;} ‹ a+yS«=a[1+{;2!;}€ +{;2!;} ‹ +y]S«= =2a

따라서 2a=150이므로 a=75

답⃞③

22 A«B« ”：A«≠¡B«≠¡”=2：1이므로 l«：l«≠¡=2：1

에서 l«≠¡=;2!;l«l¡=2_2+1_2=6이므로

l«=l¡+l™+l£+y¶¡

n=1

a

1-;2!;

¶¡n=1

( '2+1)p2

2p4 ('2-1)

'2 p4

1-1'2

¶¡n=1

1'2

'2p4

1'2

1'2

1'2

1'2

'24

1'2

1'2

1'2

A

A¡

A™

O BB™

H

B¡

¶¡n=1

¶¡n=1

l«=6+3+;2#;+y

l«= =12

답⃞ 12

23 Q¡D”='3이고,∠Q¡DB=∠Q™DQ¡=∠Q£DQ™=y=30˘이므로

Q™D”='3_cos 30˘=;2#;Q£D”='3_cos 30˘_cos 30˘=

Q’«≠¡ ”D”= Q«D”에서

수열 { Q«D” }는첫째항이'3, 공비가 인등비수열이

므로

Q«D”= = = =6+4'3

답⃞ 6+4'3

24 n번째 정사각형의 한 변의 길이

를a«이라고하면그림에서

tan h=

즉, a«≠¡= a«

수열 {S«}은공비가

r= 인등비수열이다.

또, S«= =;2#;S¡에서

r=;3!;이므로 =;3!;1+tan h='3tan h='3-1

답⃞'3-1

25 두점A«, B«의좌표는각각

A«{2« , }, B«( 2« , 2€ « )이므로

A«B« ”=2€ « -2€ « —€ =2€ « —€ (2 € -1)=3¥2€ « —€

한편, 점C«의 y좌표는 2€ « 이므로C« (k , 2€ « )으로놓으면

;4!;k€=2€ « 에서k€ =2€ « ±€

k>0이므로k=2« ±⁄

따라서C«( 2« ±⁄ , 2€ « )이므로

B«C« ”=2« ±⁄ -2« =2« (2-1)=2«

2€ «4

1( 1+tan h) €

S¡1-r

¶¡n=1

1(1+tan h) €

11+tan h

a«-a«≠¡a«≠¡

h

h

an+1

an-an+1

an

an

O

2'3(2+'3 )4-3

2'32-'3

'31-

'32

¶¡n=1

'32

'32

3'34

6

1-;2!;

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정답과풀이 13

=

=

=;3!; {;2!;} ‹ « —€

=;3!;_ =;2¢1;

답⃞ ;2¢1;

[서술형+고난이도]

26 급수 { +a«}이수렴하므로

{ +a«}=0

이어야한다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

= = =-4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

이므로

a«= [{ +a«}- ]a«=0-(-4)=4

따라서 a«=4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞ 4

27 "√2⁄ —› « = '2¥2—€ «

"√2⁄ —€ « = '2 {;4!;}«yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

"√2⁄ —€ « = =

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

'23

"24

1-;4!;

¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

limnڦ

2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄

2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄

limnڦlim

nڦ

0+40-1

4{;2!;}« —⁄ +4

{;2!;}« —⁄ -1limn⁄¶

2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄

limnڦ

2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄

limnڦ

2« ±⁄ +4«2« —⁄ -4« —⁄

¶¡n=1

;2!;1-;8!;

¶¡n=1

13¥2€ « —€ _2«

¶¡n=1

1

A«B« ”_B«C« ”

¶¡n=1

1S«

¶¡n=1

답⃞

28 = = { } «이므로이등비급수가수렴할조건은

-1< <1

-3<x€ -2x<3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

⁄ x€ -2x>-3일때

⁄ x€ -2x+3=(x-1)€ +2>0

⁄ 이므로x는모든실수

€ x€ -2x<3일때

⁄ x€ -2x-3<0, (x+1)(x-3)<0

⁄ 이므로-1<x<3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

⁄, €에의하여-1<x<3

따라서정수x는 0, 1, 2로 3개이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞3

29 수열 {a«}은공차가3인등차수열이므로첫째항을a라고하면

S«= =

이수렴하므로 =0

즉, =0이어야하므로

다항식 f ( x )는이차항의계수가-3인 x에대한이차식이

고, f (0)=0이므로

f(x)=-3x€ +px (단, p는상수)

f (k )= (-3k€ +pk)

f ( k )=-3_ +p_

f ( k )=-165+15p=0

에서p=11이므로 f(n)=-3n€ +11n

5¥62

5_6_116

5¡k=1

5¡k=1

3n€ +(2a-3)n+f(n)n€

limnڦ

2S«+f(n )n€

limnڦ

2S«+f(n )n€

¶¡n=1

3n€ +(2a-3)n2

n{2a+ (n-1)¥3}2

x€ -2x3

x€ -2x3

¶¡n=1

{x(x-2)} «3«

¶¡n=1

x« (x-2)«3«

¶¡n=1

'23

채점기준단계 배점

조건을구한경우

극한값을구한경우

{a«}의극한값을구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

20%

50%

30%

100%

채점기준단계 배점

등비급수로나타낸경우

급수의합을구한경우

총 점

(가)

(나)

40%

60%

100%

채점기준단계 배점

수렴할조건을구한경우

x의값의범위를구한경우

공통의범위를구하여정수 x의개수를구

한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

30%

50%

20%

100%

정답과풀이

정답과풀이14

따라서 f(1)=-3+11=8

답⃞ 8

30 원 x€ +y€ =2€의 반지름과

접선이이루는각의크기는

90˘이고두개의접선이이

루는 각의 크기는 60˘이므

로 그림에서 두 접선의 교

점 P¡과원점 O 사이의거

리는 2_2=4이다.

점 P¡의좌표를 ( x, y )라고하면도형 C¡이나타내는도형

은 x€ +y€ =4€이다. 원점 O에서선분 P¡Q¡에내린수선의

발을H¡이라고하면직각삼각형P¡OH¡에서

P¡Q¡”=2P¡H¡”=2"√4€ -2€ =4'3같은방법으로도형C™는중심이 ( 0, 0 )이고반지름의길이

가 2_4=8인원이다.

원점O에서선분P™Q™에내린수선의발을H™라고하면직

각삼각형P™OH™에서

P™Q™ ”=2P™H™ ”=2"√8€ -4€ =8'3따라서도형 C«은원을나타내고이원의반지름의길이를

r«이라고하면 r«≠¡=2r«이므로

P«≠¡Q«≠¡ ”=2P«Q« ”

따라서수열 [ ]은첫째항이 = 이고,

공비가 ;2!;인등비수열이다.

= + + +y

= =

답⃞'36

'36

1

4"31-;2!;

1P£Q£”

1P™Q™”

1P¡Q¡”

1P«Q« ””

¶¡n=1

14'3

1P¡Q¡”

1P«Q« ”

x

y

O

P¡(x, y)

H¡

Q¡

C¡

230˘

-2

-2 24

01

=

=분모, 분자를각각`n으로나누면

=;3$;답⃞④

02 분모, 분자를각각 3«으로나누면

=

=

=

=3˚

3˚ =9에서k=2

답⃞④

03 (3n+1)a«=b«이라고하면

b«=2이고a«= 이므로

(4n-3)a«= { _b«}

(4n-3)a«= _ b«

(4n-3)a«=;3$;_2=;3*;답⃞⑤

limnڦ

4-;n#;3+;n!;

limnڦ

4n-33n+1

limnڦlim

nڦ

b«3n+1

limnڦ

3˚ +0+01+0

3˚ +2˚ ¥{;3@;} « +{;3!;}«

1+2¥{;3@;}«limn⁄¶

limnڦ

3« ± +2« ± +13« +2« ±⁄

limnڦ

3limnڦ

2 ("√n€ +2n+"√n€ +2n-3)3n

limnڦ

2 ("√n€ +2n+"√n€ +2n-3)

n{( "√n€ +2n)€ -("√n€ +2n-3 )€ }limn⁄¶

2

n ("√n€ +2n-"√n€ +2n-3 )limn⁄¶

01 ④ 02 ④ 03 ⑤ 04 ② 05 ② 06 ④

07 ① 08 ④ 09 ① 10③ 11④ 12①

13① 14④ 15④ 16① 17③ 18⑤

19④ 20⑤

[서술형] 21 0 22수렴 23 ;2(; 24 ;4!;[고난이도] 25④ 26② 27⑤

[이것이수능이다!]

28② 29② 30 20

대단원종합문제 본문 18~23쪽

2{æ≠1+;n@;+æ≠1+;n@;- }3n€

3˚ +2˚ ¥ +13«

2«3«

1+2¥2«3«

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정답과풀이 15

04 0<b<a에서 0<;aB;<1이므로

주어진식의분모, 분자를각각a€ « 으로나누면

=

=4a=c

c=4a이므로

= =-;3%;답⃞②

05 |a«+a«≠¡|<2이므로

-2<a«+a«≠¡<2 ……㉠

㉠에서- < < , - < <

이고

{- }= =0, {- }= =0

이므로 =0, =0

따라서

=

= =;2!;답⃞②

06 1+2+3+y+n<a«<1+2+3+y+n+ (n+1)에서

<a«<

따라서

< a˚<

{ + }< a˚< { + +1}

< a˚<

따라서수열의극한의대소관계에의하여

… …

6… …6

따라서 =6

답⃞④

n‹a¡+a™+a£+y+a«

limnڦ

n‹a¡+a™+a£+y+a«

limnڦ

6n‹n‹ +3n€ +2n

limnڦ

n‹a¡+a™+a£+y+a«

limnڦ

6n‹n‹ +6n€ +11n

limnڦ

n‹ +6n€ +11n6

n¡k=1

n‹ +3n€ +2n6

3k2

k€2

n¡k=1

n¡k=1

k2

k€2

n¡k=1

(k+1) (k+2)2

n¡k=1

n¡k=1

k(k+1)2

n¡k=1

(n+1) (n+2)2

n(n+1)2

1+02+0

1+a«+a«≠¡

n€

2+a«+a«≠¡

n

limnڦ

n€ +a«+a«≠¡2n€ +na«+na«≠¡

limnڦ

a«+a«≠¡n€

limnڦ

a«+a«≠¡n

limnڦ

2n€

limnڦ

2n€

limnڦ

2n

limnڦ

2n

limnڦ

2n€

a«+a«≠¡n€

2n€

2n

a«+a«≠¡n

2n

a+4aa-4a

a+ca-c

4a-2b{;aB;} € «

1-{;aB;} € «limn⁄¶

4a€ « ±⁄ -2b€ « ±⁄a€ « -b€ «

limnڦ

07 a«=¶, ( a«+b«)=2에서

=0이므로 {1+ }=0

= [{1+ }-1]=-1이므로

{ + }=

=

= ( a«+b« )_

=2_ =-6

답⃞①

08 =;2!;, =;3!;이므로

= ¥ =;2!;¥;3!;=;6!;

따라서 =c«이라고하면

a«b«=c«(2n+3)(5n+1)

= c«¥

=;6!;_10=;3%;답⃞④

09 등차수열 {a«}, {b«}의 공차를각각d¡, d™라고하면

S«= ,

T«= 이므로

=

=

=

따라서 =;7!;에서d™=7d¡

a«=d¡n+p, b«=d™n+q (p, q는실수)로놓으면

a«+b«=(d¡+d™)n+(p+q)

a«+b«=8d¡n+p+q

a«-b«=(d¡-d™)n+(p-q)

a«-b«=-6d¡n+p-q

d¡d™

d¡d™

d¡n+(2a¡-d¡)d™n+(2b¡-d™)

limnڦ

n{2a¡+(n-1)d¡}n{2b¡+(n-1)d™}

limnڦ

S«T«

limnڦ

n{2b¡+(n-1)d™}2

n{2a¡+(n-1)d¡}2

(2n+3)(5n+1)n€ +1

limnڦ

a«b«n€ +1

limnڦ

a«b«(2n+3)(5n+1)

b«5n+1

limnڦ

a«2n+3

limnڦ

a«b«(2n+3)(5n+1)

limnڦ

b«5n+1

limnڦ

a«2n+3

limnڦ

1-(-1)+(-1) €-1

)}0

({9

limnڦ

( a«+b«) ( a« € -a«b«+b« € )a«b«

limnڦ

a« ‹ +b« ‹a«b«

limnڦ

b« €a«

a« €b«

limnڦ

b«a«

limnڦ

b«a«

limnڦ

b«a«

limnڦ

a«+b«a«

limnڦ

limnڦlim

nڦ

1- +{ } €b«a«

b«a«b«a«

정답과풀이

정답과풀이16

따라서

=

=-;4#;답⃞①

10 ㄱ. a«이수렴하고 ( a«-b«)=0이므로

b«= {a«- (a«-b«) }

b«= a«- ( a«-b«)

b«= a« (참)

ㄴ. ( a«+b«) =a, ( a«-b«) =b (a, b는상수)

라고하면

a«=

a«=;2!;[ ( a«+b«) + ( a«-b«) ]a«=;2!;( a+b)b«=

b«=;2!;[ ( a«+b«) - ( a«-b«) ]b«=;2!;( a-b) (참)

ㄷ. (반례) {a«} : 1, 0, 1, 0, 1, 0, …

ㄷ. (반례) {b«} : 0, 1, 0, 1, 0, 1, …`이면

ㄷ. (반례) {a«b«} : 0, 0, 0, 0, 0, 0, …`이므로

a«b«=0이지만 a«, b«의값은존재하

지않는다. (거짓)

따라서옳은것은 ㄱ, ㄴ이다.

답⃞③

11 주어진수들의총합은T«=2a¡+3a™+4a£+y+(n+1)a«

T«=n(n+1)(n+2)(n+3)

T«–¡=2a¡+3a™+4a£+y+na«–¡

T«–¡=(n-1)n(n+1)(n+2)(næ2 )

T«-T«–¡에서

(n+1)a«=4n(n+1)(n+2)이므로

a«=4n(n+2)(næ2 )

= =4

답⃞④

12 급수 ( a«+1)이수렴하므로

( a«+1)=0에서 a«=-1limn⁄¶lim

nڦ

¶¡n=1

4n‹ (n+2)n(n+1)(n+2)(n+3)

limnڦ

n€ a«T«

limnڦ

limnڦlim

nڦlimnڦ

limnڦlim

nڦ

( a«+b«)- ( a«-b«)2

limnڦlim

nڦ

limnڦlim

nڦ

( a«+b«)+ ( a«-b«)2

limnڦlim

nڦ

limnڦlim

nڦ

limnڦ

limnڦlim

nڦ

limnڦlim

nڦ

limnڦlim

nڦ

-6d¡n+p-q8d¡n+p+q

limnڦ

a«-b«a«+b«

limnڦ

( 2a«-1)=2 a«-1

( 2a«-1)=2_(-1)-1=-3

답⃞①

13 오른쪽그림과같은사분원A«OB«에서반지름의길이를

r«이라고하면현A«B«의중

점 M에 대하여 △A«OM은

직각이등변삼각형이다.

r«≠¡=OM”=A«M”이므로

2r«≠¡ € =r« €에서

r«≠¡= r«

S«= (사분원A«OB«의넓이) - (삼각형A«OB«의넓이)

S«=;4!;pr« € -;2!;r« €S«≠¡=;4!;pr«≠¡ € -;2!;r«≠¡ €S«≠¡=;8!;pr« € -;4!;r« €S«≠¡=;2!; {;4!;pr« € -;2!;r« € }=;2!;S«S¡=;4!;p_1€ -;2!;_1€ =;2!; {;2“;-1}따라서

S«=S¡+S™+S£+y

S«= =;2“;-1

답⃞①

14 a˚=10에서급수 a«이수렴하므로

a«=0이다.

= =;;™9¶;;=3

답⃞④

15 직선 y=-;2!;x+{;4#;} « 과x축, y축이만나는점을각각

A, B라고하면

A{2{;4#;}« , 0}, B{0, {;4#;}« }이므로삼각형OAB의넓이S«은

S«=;2!;_2{;4#;}« _{;4#;} « ={;4#;}€ «

S«= {;4#;}€ «= {;1ª6;}«¶¡n=1

¶¡n=1

¶¡n=1

limnڦ

2a«+3€ « ±‹ -3«a«+9« ±⁄

limnڦ

limnڦ

¶¡n=1

n¡k=1

limnڦ

;2!;{;2“;-1}1-;2!;

¶¡n=1

1'2

limnڦlim

nڦ

An Bn

An+1 rn rn+1Bn+1

M

O

+27-13«

2a«9«

+9a«9«

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정답과풀이 17

S«= =;7(;

답⃞④

16 log(S«+1)=n에서S«=10« -1

næ2일때, a«=S«-S«–¡=10« -10« —⁄ =9¥10« —⁄

n=1일때, a¡=S¡=9

이므로a«=9¥10« — ⁄ (næ1 )

= + + + +y

= =;8!1);

답⃞①

17 2« +1…x+y…3« +2«

2«…xy…3« _2«

이므로a«=3« +2« , b«=3« _2« =6«

=

= [{;2!;} «+{;3!;} « ]

= +

=1+;2!;

=;2#;답⃞③

18 주어진급수는첫째항이a, 공비가 ;b!;인등비급수이다.등비급수가`수렴하므로

-1<;b!;<1에서 b>1또는 b<-1 ……㉠

a {;b!;} « —⁄ = = =;2%;에서

2ab=5b-5

(5-2a)b=5

a, b는정수이고㉠에의하여

b=5, 5-2a=1또는 b=-5, 5-2a=-1

a=2또는a=3

따라서구하는정수 a의값의합은 5이다.

답⃞⑤

19 수열 [{ } « ]은공비가 인등비수열이므로x-13

x-13

abb-1

a

1-;b!;¶¡

n=1

;3!;1-;3!;

;2!;1-;2!;

¶¡n=1

3« +2«6«

¶¡n=1

a«b«

¶¡n=1

;9!;1-;1¡0;

19¥10‹

19¥10€

19¥10

19

1a«

¶¡n=1

;1ª6;1-;1ª6;

등비수열이수렴하려면

-1< …1에서-3<x-1…3이므로

-2<x…4 ……㉠

급수 (x+1){ } « 은첫째항이 ,

공비가 인등비급수이므로

등비급수가수렴하려면

=0또는-1< <1

x=-1또는-1<x<5

즉, -1…x<5 ……㉡

㉠, ㉡`에서-1…x…4

따라서정수x는-1, 0, 1, 2, 3, 4의 6개이다.

답⃞④

20 ㄱ. 수열 {a«}의공비를 r(r>1)라고하면

수열 [ ]은공비가 ;r!;인등비수열이고

0<;r!;<1이므로 은수렴한다. (참)

ㄴ.수열 {a«}의공차를d(d+0 )라고하면

a«=dn+q (q는실수)

로놓을수있다.

= { - }

= ;d!;{ - }

=;d!; [{ - }+{ - }+

y+{ - }]

=;d!; { - }

=;d!; [ - ]

=;d!;_

즉, 은수렴한다. (참)

ㄷ. a«이수렴하므로

a«= a«≠¡=0

( a˚≠¡-a˚)=a«≠¡-a¡이므로

( a«≠¡-a«)= ( a«≠¡-a¡)=-a¡

즉, ( a«≠¡-a«)은수렴한다. (참)¶¡

n=1

limnڦ

¶¡n=1

n¡k=1

limnڦlim

nڦ

¶¡n=1

1a«a«≠¡

¶¡n=1

1a¡

1d(n+1)+q

1a¡

limnڦ

1a«≠¡

1a¡

limnڦ

1a«≠¡

1a«

1a£

1a™

1a™

1a¡

limnڦ

1a«≠¡

1a«

¶¡n=1

1a«≠¡

1a«

1a«≠¡-a«

¶¡n=1

1a«a«≠¡

¶¡n=1

1a«

¶¡n=1

1a«

x-23

(x+1) (x-2)3

x-23

(x+1) (x-2)3

x-23

¶¡n=1

x-13

정답과풀이

정답과풀이18

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답⃞⑤

[서술형]

21 S«≠¡=;2!;S«+1 ……㉠

S«=;2!;S«–¡+1 (næ2) ……㉡

㉠, ㉡에서S«≠¡-S«=;2!;(S«-S«–¡)

이때, S«≠¡-S«=a«≠¡, S«-S«–¡=a« (næ2)이므로

a«≠¡=;2!;a« (næ2)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

따라서a¡=3, a«=a™¥{;2!;}« —€ (næ2)이므로

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

a«=a™ {;2!;}« —€ =0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞0

22 ⁄ |r|<1일때, r€ « =0이므로

= =2 (수렴)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

€ r=1일때, = =;2#; (수렴)

‹ r=-1일때, = =;2!; (수렴)yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

› |r|>1일때, r€ « =¶이므로

=

= =;r!; (수렴)yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

따라서수열 [ ]는수렴한다.답⃞`수렴

r€ « —⁄ +2r€ « +1

;r!;+0

1+0

limnڦ

r€ « —⁄ +2r€ « +1

limnڦ

limnڦ

-1+21+1

r€ « —⁄ +2r€ « +1

limnڦ

1+21+1

r€ « —⁄ +2r€ « +1

limnڦ

0+20+1

r€ « —⁄ +2r€ « +1

limnڦ

limnڦ

limnڦ

limnڦ

23 첫째항을a, 공비를 r라고하면-1<r<1이고

a¡+a™+a£+y= =3 ……㉠

a™+a¢+a§+y= =;4#; ……㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

㉠, ㉡에서 =;4!; ……㉢

㉠, ㉢`에서a=2, r=;3!;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

a« € =a€ +a€ r€ +a€ r› +y

a« € =

a« € = =;2(;

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞` ;2(;

24 원x€ +y€ =2n위의점 ( 'n, 'n )에서의접선의방정식은

'nx+'ny=2n, 즉x+y=2'n이므로yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (가)

접선과x축, y축과의교점의좌표는각각

( 2'n, 0 ), ( 0, 2'n )

이다. 따라서

S«=;2!;_2'n_2'n=2n

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (나)

=

=;4!; { - }1n+1

1n

¶¡n=1

12n¥2(n+1)

¶¡n=1

1S«S«≠¡

¶¡n=1

4

1-;9!;

a€1-r€

¶¡n=1

r1+r

ar1-r€

a1-r

채점기준단계 배점

합을 이용하여 일반항을 구하는 식을 구한

경우

일반항을구한경우

극한값을옳게구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

50%

30%

20%

100%

채점기준단계 배점

|r|<1일때극한값을구한경우

r=1일 때와 r=-1일 때 극한값을 구한

경우

|r|>1일때극한값을구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

40%

20%

40%

100%

+2r€ «

1r

1+1r€ «

채점기준단계 배점

주어진식을첫째항과공비로나타낸경우

첫째항과공비를구한경우

급수의합을옳게구한경우

총 점

(가)

(나)

(다)

40%

30%

30%

100%

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정답과풀이 19

=;4!; [{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+y+{ - }]

=;4!; {1- }=;4!;yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy (다)

답⃞ ;4!;

[고난이도]

25 S¡=-1

S™=-1+1=0

S£=-1+1-1=-1

S¢=-1+1-1+1=0

yy

이므로S™˚–¡=-1, S™˚=0 (k=1, 2, 3, y)

T™μ= (-1 ) S˚

T™μ= (-S¡+S™-S£+S¢-S™«–¡+y+S™μ)

T™μ= (1+0+1+0+y+1+0)

T™μ= =;4!;

T™μ–¡= (-1 )˚ S˚

T™μ–¡= (-S¡+S™-S£+S¢-y-S™μ–¡)

T™μ–¡= (1+0+1+0+y+1)

T™μ–¡=

T™μ= T™μ–¡=;4!;이므로T«=;4!;

답⃞④

26 BC”=a«, AC”=b«이라고하면

a« € +b« € =n€

선분CD는∠C의이등분선이므로a«：b«=1：2n이다.

즉, b«=2na«

a« € +(2na«) € =(1+4n€ )a« € =n€이므로

a« € =n€

1+4n€

limnڦ

limmڦ

limmڦ

m4m-2

14m-2

14m-2

2m-1¡k=1

12(2m-1)

m4m

14m

14m

2m¡k=1

12¥2m

1n+1

limnڦ

1n+1

1n

limnڦ

채점기준단계 배점

접선의방정식을구한경우

삼각형의넓이를구한경우

의값을옳게구한경우1

S«S«≠¡

¶¡n=1

총 점

(가)

(나)

(다)

20%

30%

50%

100%

따라서 a«= æ≠ =;2!;직각삼각형ABC의넓이는

;2!;a«b«=;2!;r«(n+a«+b«)

2na« € =r«(n+a«+2na«)

r«=

r«=

r«= = =;4!;

답⃞②

27 두수열 {a«}, {b«}에대하여다음관계식이성립한다.

a«≠¡=0.7a«+0.4b« ……㉠

b«≠¡=0.3a«+0.6b« ……㉡

이지역의전체가구수를N이라고하면

㉠, ㉡에서a«≠¡+b«≠¡=a«+b«

즉, a«≠¡+b«≠¡=a«+b«=y

즉, a«≠¡+b«≠¡=a¡+b¡=N ……㉢

㉠, ㉢에서

a«≠¡=0.7a«+0.4b«=0.7a«+0.4(N-a«)

a«≠¡=0.3a«+0.4N ……㉣

a«=a(a는상수)라고하면㉣에서

a«≠¡= (0.3a«+0.4N)

a=0.3a+0.4N, a=

또, b«= (N-a«)=N- =

= = =;4#;

답⃞⑤

[이것이수능이다!]

28 =2+ , =1이므로

수열 [ ]은첫째항이 1, 공차가 2인등차수열이다.

=1+(n-1)¥2=2n-1

즉, a«=

(n+1) (a«+a«≠¡)limn⁄¶

12n-1

1a«

1a«

1a¡

1a«

1a«≠¡

3N74N7

b«a«

limnڦ

3N7

4N7

limnڦ

limnڦ

4N7

limnڦ

limnڦ

limnڦ

2_{;2!;}€1+0+2_;2!;

2a« €limn⁄¶

2na« €n+a«+2na«

limnڦ

limnڦ

2na« €n+a«+2na«

n€1+4n€

limnڦ

limnڦ

b«limn⁄¶

a«limn⁄¶

1+ +2a«a«n

정답과풀이

정답과풀이20

= (n+1){ + }

= { + }

=;2!;+;2!;=1

답⃞②

29 급수 [ -(bn+2)]가수렴하므로

[ -(bn+2)]

= =0

이어야한다.

따라서a=2, b=1이다.

S«=bn€ +an=n€ +2n이므로

a«=S«-S«–¡

a«=(n€ +2n)-{(n-1) € +2(n-1)}

a«=2n+1 (næ2 )

a¡=S¡=3이므로a«=2n+1 (næ1 )이다.

=

= { - }= [{;3!;-;5!;}+{;5!;-;7!;}+{;7!;-;9!;}

+y+{ - }]

= {;3!;- }=;3!;답⃞②

30 원x€ +y€ = 위의점 { , }에서의접선 l«의방정식은

x+ y= , 즉x+'2y=;n!;접선 l«이x축, y축과만나는점의좌표는각각

{;n!;, 0}, {0, }이므로구하는도형의넓이S«은

S«=;2!;_;n!;_ =

= =4=a이므로

5a=20

답⃞20

12'2n€1

8'2n€limn⁄¶

S«S™«

limnڦ

12'2n€

1'2n

1'2n

13n€

'23n

13n

'23n

13n

13n€

12n+3

limnڦ

12n+3

12n+1

limnڦ

12n+3

12n+1

¶¡n=1

2(2n+1)(2n+3)

¶¡n=1

2a«a«≠¡

¶¡n=1

(1-b)n‹ +(a-2)n€n€

limnڦ

n‹ +an€n€

limnڦ

n‹ +an€n€

¶¡n=1

n+12n+1

n+12n-1

limnڦ

12n+1

12n-1

limnڦ

Ⅱ.함수의극한과연속

함수의극한03본문 24~29쪽

유형� ㄱ. x→ 2일때, (x-2) € → 0

ㄱ.이므로

ㄱ. (x-2)€ =0 (참)

ㄴ. x→¶일때, →0이므로

ㄱ. =0 (참)

ㄷ. =‡ 이므로

ㄱ. +1 (거짓)

따라서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

답⃞③

01 x→ 0일때, 2x€ -1→-1이므로

(2x€ -1)=-1

x→¶일때, → 0이므로

=0

(2x€ -1)-

=-1-0=-1

답⃞④

02 ㄱ. x→ 1일때, 2x-3→-1이므로

ㄱ. (2x-3)=-1 (참)limx ⁄1

2x

limx ڦ

limx ⁄0

2x

limx ڦ

2x

limx ⁄0

|x|x

limx ⁄0

1 (x>0)

-1 (x<0)|x|x

1x-1

limx ڦ

1x-1

limx ⁄2

유형� ③ 01 ④ 02 ③ 03 10

유형� ② 04⑤ 05 ② 06 ②

유형� ③ 07 2 08 ① 09 ③

유형� ⑤ 10③ 11④ 12②

유형� ④ 13③ 14⑤ 15① 16④

유형� ③ 17① 18③ 19 1 20①

유형� ⑤ 21② 22③ 23 18

유형� ② 24④ 25④

유형� ① 26④ 27③

[서술형+고난이도]

28 3 29 5 30② 31②

yy=(x-2)¤

xO 2

yy= 1

x-1

xO

1

y

xO

1

-1

y=|x|x

yy=2x™-1

xO

-1

yy=

2x

xO

y y=2x-3

xO 1

-1

-3