불확실성하의 원가-조업도-이익분석과

정보의 가치에 한 고찰*

김 성 기**

획일성 하에서의 원가-조업도-이익분석은 변수에 내재된 불확실성을 고려하지 않는다. 그러나 판매

량, 가격, 원가 변수에 한 불확실성 없이는 특정의사결정에 따른 기 기회손실과 같은 정보를 얻을 수

없다. 이 논문은 정보의 가치를 어떻게 측정할 것인가에 하여 설명한다. 즉 다음과 같은 주제에 하여

구체적으로 살펴본다.

�기회손실함수를 어떻게 도출할 것인가?

�완전정보의 가치를 어떻게 구분할 것인가?

�판매량이 정규분포를 따른다는 가정 하에서 기 기회손실과 완전정보의 가치를 어떻게 측정할 것인

가?

�표준정보의 기 가치를 어떻게 측정할 것인가?

�실제 판매량을 알기 전에 생산하는 경우 최적생산량을 어떻게 결정할 것인가?

I. 서 론

확실성하의 원가-조업도-이익분석은 모든 변수의 값을 가정한 상태에서 문제를 분

석한다. 그러나 거의 모든 의사결정상황은 미래에 한 불확실성을 내포하고 있으므

로 불확실성하에서 의사결정을 내리기 위해 경 자들은 미래상황에 한 정보를 원

한다. 이 논문에서는 기회손실함수와 사후적 확률분포를 도입하여 미래의 불확실성

을 감소시켜 주는 정보의 가치를 평가하는 문제를 살펴본다.

經 � , 38 卷 2∙3 (2004年 9 )

1

*본 연구는 서울 학교 경 학 경 연구소의 연구비 지원에 의해 수행되었음.

**서울 학교 경 학 교수

이 논문에서는 다음 항목을 설명한다.

�기회손실함수의 도출

�완전정보의 가치를 두 가지 유형으로 구분

�판매량이 정규분포를 따른다는 가정하에 기 기회손실과 완전정보의 기 가치의

측정

�표준정보의 기 가치의 측정

�일회용 상품에 한 최적생산량의 결정

II. 기회손실함수와 완전정보의 가치

1. 기회손실함수

불확실성하에서는 미래에 어떤 사상(event)이 발생할 것인가를 사전에 확실하게 알

수 없으므로 의사결정자는 특정변수가 미래에 취할 수 있는 값에 하여 현재시점에

서 추정을 하고, 이 추정치에 입각해서 최적 안을 선택한다. 이와 같이 사전의 추정

치에 근거한 최적의사결정을 사전적 최적의사결정(ex-ante optimal decision)이라 하는

데, 사상은 의사결정자가 추정했던 바와 같이 발생하는 것은 아니다. 의사결정자는

시간이 경과함에 따라 실제로 어떤 사상이 발생하 는지를 사후적으로 알게 된다. 사

후에 실제로 밝혀진 변수값을 만일 처음부터 알 수 있었더라면 사후에 밝혀진 변수값

에 근거한 사후적 최적의사결정(ex-post optimal decision)을 내릴 수 있다.

사전적 최적의사결정이 사후적 최적의사결정과 일치하는 것으로 밝혀졌다면 의사

결정자는 사후에 아무런 후회도 하지 않을 것이다. 왜냐하면 그가 사전적으로 내린

의사결정은 사후적으로 보아도 역시 옳은 의사결정이기 때문이다. 반면에, 사전적 최

적의사결정이 사후적 최적의사결정과 일치하지 않는 것으로 밝혀졌다면 의사결정자

는 자신의 사전적 의사결정이 결과적으로 잘못된 것이었다는 사실을 깨닫고 후회할

것이다. 이때는 사전적 의사결정에 따른 보상과 사후적 최적의사결정에 따른 보상의

차이만큼 기회손실이 발생한다. 이러한 기회손실을 함수로 나타낸 기회손실함수

(opportunity loss function)는 불확실성하에서 내린 사전적 최적의사결정이 사후적최적

2 經 � , 38 卷 2∙3

의사결정과 상이함으로 인해 손실이 발생할 수 있다는 사실에 착안하여 사전적 최적

의사결정에 따른 보상과 사후적 최적의사결정에 따른 보상 간의 차이를 측정하는 함

수이다.

기회손실함수를 살펴보기 전에 분석을 단순화하기 위해 먼저 다음과 같은 가정을

한다.

① 기업에서는 단일제품만을 생산∙판매하고 있으며 이 제품에 한 의사결정은

다른 의사결정과는 독립적이다.

② 제품의 단위당 판매가격은 판매수량에 관계없이 일정하다.

③ 제품의 원가는 고정원가와 변동원가로 구성되어 있으며 원가함수는 선형함수의

형태를 띤다.

④ 고정원가 및 단위당 변동원가는 생산량에 관계없이 일정하다.

⑤ 제품의 수요량은 정규분포를 이룬다.

⑥ 보상은 화폐적 이익으로 측정한다.

위의 가정들 중에서 다섯번째의 가정이 불확실성을 반 하고 있는 것이다. 물론,

제품의 단위당 판매가격이나 변동원가, 고정원가 등도 현실세계에서는 불확실성을

내포할 수 있으나 이들은 ②, ③, ④의 가정에 불확실성을 내포하지 않는다고 해석한

다. 이러한 상황하에서는 이용가능한 모든 정보를 바탕으로 하여 최적의 의사결정을

내리더라도 제품의 수요량이 궁극적으로 어떻게 실현되는가에 따라 처음의 의사결정

이 사후적으로 최적이 아닌 것으로 판명될 가능성이 존재한다.

앞의 여섯 가지 가정을 수식으로 나타내면 다음과 같다.

수익: R = P · X

여기서 R = 총수익

P = 단위당 판매가격

X = 판매량

원가: C = a + bX

여기서 C = 총원가

a = 고정원가

김 성 기 3

b = 단위당 변동원가

판매량: X~N(µ, σ2)

여기서 µ = 판매량의 평균

σ2 = 판매량의 분산

N = 정규분포

위의 식에 의하여 이익(π)을 구하면 다음과 같다.

이익: π= R – C (1)

= PX – (a + bX)

= (P – b)X – a

판매량 X가 확률변수이므로 이익 또한 확률변수이다. 따라서 이익에 한 기 치

를 구하면 다음과 같다.

기 이익: E(π) = (P – b)E(X) – a

= (P – b) µ – a

여기서 E = 기 값

여기서 의사결정문제가 이 제품을 생산할 것인가 생산하지 않을 것인가 하는 것이

라고 가정하자. 이때 기 이익이 ＼0을 초과하면 기업은 제품을 생산 판매하는 것이

사전적 최적의사결정이 되고, 기 이익이 ＼0 미만이면 제품을 생산하지 않는 것이

사전적 최적의사결정이 된다. 한편, 손익분기점의 판매량을 Xb라 하면 Xb는 다음과

같다.

aXb =

P – b

물론 실제판매량 X가 손익분기점의 판매량 Xb를 초과하여 이익이 발생할 것인지,

4 經 � , 38 卷 2∙3

Xb보다 작아서 손실이 발생할 것인지는 사전적으로 알 수 없다.

사전적 의사결정과 사후적 의사결정 간의 관계에 따라 다음과 같은 두 가지 유형의

기회손실이 발생한다.

첫번째 유형은 사전적으로 생산하는 것이 최적이었으나 사후적으로는 생산을 중단

하는 것이 최적인 경우이다. 사전적으로 제품을 생산∙판매하기로 의사결정을 내리

는 경우는 기 판매량이 손익분기점의 판매량을 초과할 때이다. 이때 사후적으로 실

제판매량이 기 했던 로 손익분기점의 판매량을 초과한다면 사전적 의사결정에

해 후회를 하지 않을 것이다. 그러나 사후적으로 실제판매량이 예상과는 달리 손익분

기점의 판매량보다 적다면 경 자는 사전적 의사결정은 잘못된 의사결정이었다는 것

을 알게 되어 후회하게 될 것이다. 즉, 기 판매량이 손익분기점의 판매량을 초과하

여 사전적으로 제품을 생산 판매하기로 의사결정을 내렸는데 사후적으로 실제판매

량이 손익분기점의 판매량보다 적은 경우에는 기회손실이 발생한다. 이때의 기회손

실(opportunity loss: OL)은 다음과 같다.

OL = 사후적 최적의사결정시의 이익 – 사전적 최적의사결정시의 이익

= 조업중단시의 이익 – 생산결정시의 이익

= 0-[(P-b)X-a]

= a-(P- b)X

그러므로 사전적으로 제품을 생산∙판매하기로 한 경우에 기회손실함수는 다음과

김 성 기 5

사전적 의사결정과 사후적 의사결정과의 관계

사전적 생산결정 조업중단

사후적 기 판매량 > 손익분기점의 판매량 기 판매량 < 손익분기점의 판매량

생산결정:

실제판매량 > 올바른 의사결정 잘못된 의사결정이므로 기회손실이

손익분기점의 판매량 발생

조업중단:

실제판매량 < 잘못된 의사결정이므로 기회손실이 올바른 의사결정

손익분기점의 판매량 발생

같다.

OL =a – (P – b) X, 0 ≤ X ≤ Xb인 경우 (2)

0 , X>Xb인 경우

두번째 유형의 기회손실은 사전적으로 생산을 중지하는 것이 최적이었으나 사후적

으로는 생산하는 것이 최적인 경우이다. 사전적으로 제품을 생산하지 않는다는 의사

결정을 내린 경우, 즉 기 판매량이 손익분기점의 판매량보다 적은 경우에 기회손실

함수는 다음과 같다.

OL =0 , 0 ≤ X ≤ Xb인 경우 (2′)

(P – b) X – a, X > Xb인 경우

2. 완전정보의 가치

전지전능한 예언자가 제품의 미래판매량이 어느 정도가 될 것인가에 하여 완전

한 정보를 가지고 있다고 가정하자. 이 예언자가 제공하는 정보의 가치는 그 정보의

내용이 어떤 것인가에 따라 달라진다. 예를 들어 사전적 최적의사 결정이 제품의 생

산∙판매인 상황하에서 예언자가 미래의 판매량 X가 손익분기점의 판매량을 확실히

초과할 것이라고 예언했다면 그 정보는 아무런 가치를 지니지 못한다. 왜냐하면, 그

정보는 최적의사결정이 제품의 생산∙판매임을 가르쳐 주는 것이지만 그러한 정보가

없었더라도 의사결정자는 기 이익이 양(+)의 값을 가지므로 제품을 생산하려고 했

을 것이기 때문이다. 즉, 정보의 가치는 그 정보로 인하여 기존의 의사결정이 수정되

는 경우에만 존재한다.1) 이 상황하에서 제품을 생산 판매한다는 의사결정을 잠정적

6 經 � , 38 卷 2∙3

1) 이 경우에는 예언자의 정보가 처음의 의사결정을 강화시켜 주는 역할을 한다. 즉, 기업은 이

정보의 덕택으로 처음의 의사결정에 한 확신의 정도를 증가시키는 한편, 절 로 처음의 의

사결정을 변경하려 하지 않을 것이다. 그러므로 이러한 정보는 전혀 가치를 갖지 못하는 것

이 아니라 확신의 정도를 증가시켜 주는 만큼 가치를 갖는다고 본다. 그러나 여기에서는 문

제를 단순화시키기 위하여 의사결정을 변경시키지 못하는 정보는 정보가치가 없다고 가정한다.

으로 내리고 있는데 예언자가 미래의 판매량이 손익분기점의 판매량에 이르지 못할

것이라는 정보를 제공한다면 의사결정자는 자신의 의사결정을 수정하여 생산을 하지

않음으로써 기회손실을 회피하려 할 것이다. 이 경우에 예언자가 자신의 정보를 무료

로 제공하지 않으면 의사결정자가 이 완전정보에 하여 최 한 지불하려고 하는 금

액이 얼마인가 하는 문제가 제기된다.

제품의 판매량이 손익분기점의 판매량을 초과할 것이라는 정보는 가치가 없으므로

의사결정자는 그 정보에 해 아무런 가를 지불하지 않을 것이다. 그러나 제품의

판매량이 손익분기점에 이르지 못할 것이라는 정보는 의사결정자의 의사결정에 향

을 미치는 정보로서 가치를 갖는다. 이때 의사결정자가 정보에 해 지불하려는 최

금액은 기회손실금액과 같다. 왜냐하면, 완전정보의 가격이 기회손실보다 낮으면

그 정보를 구입하여 사전적 의사결정을 옳게 내림으로써 기회손실을 줄일 수 있으나,

완전정보의 가격이 기회손실보다 높으면, 정보구입원가가 회피할 수 있는 기회손실

보다 더 크므로 의사결정자는 그 정보를 구입하지 않을 것이기 때문이다. 따라서 완

전정보에 한 최 지불가금액은 기회손실금액이다. 이때 의사결정자가 미래의 불확

실성을 제거하여 주는 완전정보에 하여 최 한으로 지불하려는 금액을 완전정보의

가치(value of perfect information: VPI)라 한다.

완전정보의 가치는 다음과 같이 두 가지 유형으로 구분된다.

첫째, 사전적 최적의사결정이 제품을 생산∙판매하기로 한 경우, 완전정보의 가치

는 다음과 같다.

VPI = a – (P – b)Xp, 0 ≤ Xp ≤ Xb인 경우 (3)

0 , Xp > Xb인`경우

여기서 Xp = 판매량에 한 완전정보

Xp는 완전정보이므로 X = Xp가 되며, 식 (3)은 기회손실함수의 식 (2)와 같은 개념

이다.

둘째, 사전적 최적의사결정이 제품생산을 중단하기로 한 경우, 완전정보의 가치는

다음과 같다.

김 성 기 7

VPI = 0 , 0 ≤ Xp ≤ Xb인`경우 (3′)

(P – b) Xp – a, Xp > Xb인`경우

식 (3′)은 기회손실함수의 식 (2′)과 같은 개념이다.

III. 기 기회손실과 완전정보의 기 가치

기회손실은 미래의 어떤 사상이 구체적으로 실현된 경우를 고려한 사후적 개념이

다. 그러나 사전적으로는 제품의 판매량이 어떻게 실현되어 정확하게 얼마만큼의 기

회손실을 가져다줄지 알 수가 없다. 다만 확률변수인 판매량이 정규분포를 이룬다고

하 으므로 판매량이 어떤 값을 가질 것인가에 한 확률은 알 수가 있다. 이를 이용

하여 기회손실의 기 값을 계산할 수 있다. 기회손실의 기 값은 특정판매량에서의

기회손실에다 그 특정판매량이 실현될 확률을 곱한 값을 판매량이 취할 수 있는 모든

값에 하여 합한 것이고, 이러한 기 값을 기 기회손실(expected opportunity loss:

EOL)이라 한다.

여기서는 사전적 최적의사결정이 제품을 생산 판매하기로 한 경우, 즉 기 판매량

(µ)이 손익분기점의 판매량(Xp)보다 많은 경우의 기 기회손실을 살펴본다.

판매량이 정규분포를 따른다고 가정하 으므로 판매량은 –∞에서 +∞까지의 값을

연속적으로 취할 수 있으나 실제 판매량이 0보다 작은 값을 가질 수는 없으므로 판매

량은 0에서 +∞까지의 값을 취한다고 할 수 있다. 그러므로 기 기회손실(EOL)을 다

음과 같이 나타낼 수 있다.

(4)

여기서 f(X|µ, σ)는 평균이 µ이고 표준편차가 σ인 정규분포의 확률 도함수이다.

즉,

EOL a p b X f X dX f X dXX

X

b

b= +∞

∫∫ [ – ( – ) ] ( | , ) ( ) ( | , )µ σ µ σ00

8 經 � , 38 卷 2∙3

그러나 기 기회손실을 구하기 위하여 식 (4)와 같이 복잡한 적분을 할 필요는 없

으며, 다음 식을 이용하여 기 기회손실을 간편히 구할 수 있다.2)

EOL = C · σ · L(D) (5)

여기서 C = 기회손실함수의 기울기의 절 값(단위당 공헌이익)

L(D) = 단위정규손실함수의 값

식 (5)에서 보는 바와 같이 기 기회손실은 다음과 같은 세 가지 요소의 함수이다.

첫번째 요소는 기회손실함수의 기울기의 절 값(C)으로 이는 단위당 공헌이익(p –

b)과 같다. 실제판매량이 손익분기점의 판매량에 미달할 경우 단위당 공헌이익이 클

수록 기회손실이 크게 발생한다. 따라서 C가 클수록 EOL은 증가한다.

두번째 요소는 판매량의 표준편차(σ)이다. 판매량의 평균값이 동일한 상황에서는

표준편차가 클수록 정규분포의 꼬리부분이 두꺼워져서 실제판매량이 손익분기점의

판매량보다 적을 확률이 커지며, 이에 따라 기회손실이 발생할 확률도 커진다. 따라

서 σ가 클수록 EOL도 증가한다.

세번째 요소는 손익분기점의 판매량과 기 판매량과의 차이를 표준편차로 표준화

한 것(D)이다. 손익분기점의 판매량(Xb)과 기 판매량(µ)과의 차이가 작다는 것, 즉

D가 작다는 것은 다른 조건이 동일하다면 확률 도함수가 좌측으로 이동하 다는 것

을 의미한다. 이에 따라 실제판매량이 손익분기점의 판매량보다 적을 확률이 많아지

며 기 기회손실도 커진다. 그런데 D가 작을수록 L(D)값은 커지며 L(D)값이 클수록

기 기회손실은 증가한다.

한편, 사전적 최적의사결정이 제품생산을 중단하기로 한 경우, 즉 기 판매량(µ)이

손익분기점의 판매량(Xb)보다 적은 경우에도 기 기회손실은 식 (5)와 동일하다. 이

DXb= – µ

σ

f X ExpX

( | , ) –( – )µ σ

πσµ

σ=

12 2

2

2

김 성 기 9

2) 부록에서 식 (4)가 식 (5)와 동일함을 증명한다.

경우 기회손실함수의 기울기, 즉 단위당공헌이익이 원래부터 양수(+)라는 점에서만

차이가 난다.

완전정보의 기 가치(expected value of perfect information: EVPI)는 기회손실의 기

값과 같은 개념이다. 즉, 기회손실의 정확한 크기를 사전적으로는 알 수 없으므로

판매량의 확률분포에 한 기 값으로 기회손실의 크기를 파악했던 것과 마찬가지로

완전정보의 가치도 사전적으로는 정확한 크기를 알 수 없으므로 판매량의 확률분포

에 한 기 값으로 완전정보의 가치를 파악하는 것이다.

IV. 사전적 확률분포와 사후적 확률분포

완전정보를 얻는다는 것이 현실적으로 불가능하므로 불확실성을 조금이라도 감소

시켜 줄 수 있는 정보가 존재한다면 경 자는 그러한 정보를 획득하여 의사결정에 반

하고자 한다. 이때에 경 자에게 중요한 관심사항은 그러한 정보를 획득하여 의사

결정을 할 경우의 효익이 정보의 획득비용보다 더 큰가 하는 점이다. 정보를 획득하

는데 소요되는 비용(정보비용)이 정보를 이용함으로써 얻을 수 있는 효익(정보효익)

보다 더 큰 경우에는 그 정보를 수집할 필요가 없다. 그런데 정보비용은 비교적 측정

하기가 용이한 반면, 정보효익은 측정하기가 그리 쉽지 않다.

그러나 정보효익을 측정하지 않고서는 정보비용이 정보효익보다 더 큰지 또는 작

은지를 알 수 없으므로 정보효익의 크기(정보가치)를 평가하는 문제가 두된다. 그

런데 정보효익의 크기를 평가하기 위해서는 사전적 확률분포와 사후적 확률분포를

알아야 한다.

표본추출을 통해 표본평균(X—)에 한 확률분포를 파악한 다음에는, 즉 정보를 획

득한 다음에는 이를 이용하여 모집단평균에 한 사전적 확률분포를 수정하여 새로

운 확률분포를얻을 수 있다. 이처럼 추가정보를 이용하여 사전적 확률분포를 수정함

으로써 얻어진 새로운 확률분포를 사후적 확률분포라 한다. 사전적 확률분포와 표본

평균의 확률분포가 모두 정규분포를 이룬다면 사후적 확률분포 역시 정규분포를 이

루게 된다. 설명의 편의상 모집단평균에 한 사후적 확률분포의 평균과 분산을 각각

µ1과 σ12으로 표시한다.

10 經 � , 38 卷 2∙3

표본평균의 확률분포는 모집단평균에 한 사전적 확률분포와 결합되어 모집단평

균에 한 사후적 확률분포를 형성한다. 모집단평균에 한 사전적 확률분포가 평균

이 µ0고 분산이 σ02인 정규포를 따른다는 가정하에 정보량에 하여 살펴보자. 어떤

임의의 확률분포에서 분산의 크기가 작으면 그만큼 불확실성이 작다고 할 수 있다.

그러므로 그러한 확률분포에서 얻을 수 있는 정보량은 많다고 본다. 이러한 이유에서

어떤 확률분포로부터 얻는 정보량을 분산의 역수로 정의할 수 있다. 이때 사전적 확

률분포, 표본평균의 확률분포 및 사후적 확률분포로부터의 정보량을 각각 I0, IX–, I1이

라 하면, 이들은 다음과 같이 표시할 수 있다.

1사전적 확률분포의 정보량: I0 =

σ02

1 n표본평균확률분포의 정보량: IX– = =

σ2X– σ2

1사후적 확률분포의 정보량: I1 =

σ02

사후적 확률분포의 평균(µ1)은 사전적 확률분포의 평균(µ0)과 표본평균(X—)을 각

분포에서의 정보량을 기초로 다음과 같이 가중평균하여 구한다. 즉,

(6)

한편, 사후적 확률분포에서 얻는 정보량 사전적 확률분포에서의 정보량과 표본평

균의 확률분포에서의 정보량을 합한 것과 같다. 즉,

I1 = I0 + IX– (7)

식 (7)은 다음과 같이 표시할 수 있다.

µ µ10

00

0=

+

+

+

II I

II I

XX

X

X

김 성 기 11

또는

(8)

물론, 식 (8)에서 인데 모집단의 분산(σ2)을 알 수 없으므로 σ2 신 σ2에

한 불편추정량인 s2을 사용하여야 한다.

모집단의 평균 및 분산에 한 사후적 확률분포가 형성되는 과정을 살펴보면 다음

과 같은 두 가지 점을 발견할 수 있다.

첫째, 사후적 확률분포의 평균인 µ1은 사전적 확률분포의 정보량(I0) 및 표본평균

확률분포의 정보량(IX–)에 의해 가중평균되어 결정된다. 따라서 µ1값은 I0 및 IX– 중 어

느 것의 값이 더 큰가에 따라 µ0에 더 가깝게 결정되기도 하고 X—에 더 가깝게 결정되

기도 한다. 즉, I0값이 클수록(σ02이 작을수록) µ1은 µ0에 가깝게 결정되며, IX–값이 클

수록(σ2X–이 작거나 n이 클수록) µ1은 X

—에 가깝게 결정된다. 따라서 표본정보에 의해

사전적 확률분포의 평균이 사후적 확률분포로 얼마나 수정되는가는 사전적 확률분포

의 분산, 표본평균의 분산, 표본의 크기에 달려 있다고 할 수 있다.

둘째, 식 (8)에서 사후적 확률분포의 분산(σ12)은 사전적 확률분포의 분산(σ0

2) 또

는 표본평균의 분산(σ2X–)보다 항상 작음을 알 수 있다. 따라서 사후적 확률분포는 그

만큼 많은 정보량을 포함한다.

σ σX n2

2

=

σσ σσ σ1

2 02 2

02 2=

⋅

+X

X

I

X

X

X

112

12 2

02 2

02 2

1

1 1

=

= +

=⋅

+

σ

σ σ

σ σσ σ

12 經 � , 38 卷 2∙3

V. 불완전정보의 기 가치

사전적 확률분포만을 가진 상태 하에서 표본추출을 하고자 한다면 의사결정자는

먼저 앞으로 얻을 표본정보를 통하여 사전적 확률분포를 얼마나 수정할 수 있겠는지

를 예측하려 할 것이다. 즉, 실제로 표본추출을 통해서 사후적 확률분포를 파악하기

이전에 표본정보를 이용한다면 불확실성을 얼마나 감소시킬 수 있는가를 평가하고,

나아가 표본정보의 가치를 예측할 것이다. 표본추출을 하지 않은 상태에서는 표본평

균과 사후적 확률분포의 평균을 알 수가 없다. 그러나, 만약표본평균의 분산(σ2X–)을

추정할 수 있다면 식 (8)을 이용하여 사후적 확률분포의 분산(σ12)을 예측할 수 있고

따라서 사전적 확률분포의 분산과 예측된 사후적확률분포의 분산을 비교함으로써 실

제의 표본추출이 어느 정도의 정보량을 제공해 주는가를 평가할 수 있다. 이를 단계

적으로 설명하면 다음과 같다.

첫째, 과거의 경험이나 합리적인 판단에 의해서 모집단의 분산(σ2)을 어느 정도 근

사하게 추정할 수 있다면 n개의 표본을 추출할 경우 표본평균의 분산(σ2X–)을 다음과

같이 추정한다.

둘째, 이렇게 추정된 표본평균의 분산(σ2X–)을 식 (8)에 입하여 사후적 확률분포

의 분산(σ12)을 예측한다.

셋째, 표본정보를 이용함으로써 감소하는 분산의 크기를 추정한다. 이를 위해 새로

운 변수 σ*2을 다음과 같이 정의하자.

σ*2 = σ02 – σ1

2 (9)

여기서 σ02은 사전적 확률분포의 분산이며 σ1

2은 사후적 확률분포의 분산이다. σ12은

과거의 경험이나 합리적인 판단에 의하여 사후적 확률분포를 예측한 경우 또는 직접

표본추출을 통해 사후적 확률분포를 형성한 경우의 분산이다. 따라서 σ*2은 사후적

σ σ

X n2

2

=

김 성 기 13

확률분포를 갖게 됨으로써 감소된 분산의 크기를 의미한다.

식 (8)을 식 (9)에 입하여 σ*를 구하면 다음과 같다.

(10)

표본정보가 경제적 가치를 가지는 이유는 비록 그 정보가 미래의 불확실성을 완전

히 제거하여 주지는 못하지만 어느 정도까지는 그 불확실성으로 인한 기회손실을 감

소시켜 주기 때문이다. 즉, 표본정보가 의사결정자에게 추가적인 정보를 제공함으로

써 잘못된 의사결정을 내릴 가능성을 감소시켜 주기 때문이다.

표본정보의 기 가치(expected value of sample information: EVSI)는 표본정보에

하여 의사결정자가 지불할 수 있는 최 한의 금액을 나타낸다. 표본정보를 획득하는

데 지불해야 하는 금액이 EVSI를 초과한다면 의사결정자는 표본정보를 획득하려 하

지 않을 것이다.

EVSI의 계산공식을 유도하는 과정은 EVPI의 유도과정과 동일하므로 그 결과만을

나타내면 다음과 같다.

EVSI = C · σ* · L(D*)

여기서 C = 단위당 공헌이익

= 기회손실함수의 기울기의 절 값

σ* = 사후적 확률분포에 의해 감소된 표준편차의 크기

DXb*

–*

= µσ

0

σ σ

σ σ* =

+02

02 2

X

σ σ σ

σσ σσ σ

σσ σ

* –

–

( )

202

12

02 0

2 2

02 2

02 2

02 2

=

=⋅

+

=+

X

X

X

14 經 � , 38 卷 2∙3

즉, 손익분기점과 사전적 확률분포의 평규과의 상 적 거리

L(D) = 단위정규손실함수의 값*

표본정보가 경제적 가치를 갖는 이유는 기회손실을 감소시켜 주기 때문이다. 표본

조사에 의하여 사후적 확률분포가 형성되는 경우,기회손실이 감소하는 과정에 해

서는 다음의 예제를 참조하라.

일반적으로 D값이 작을 경우, 즉 손익분기점과 평균 간의 차이가 작거나 가 클 경

우 의사결정자는 불완전정보에 해 더 많은 금액을 지불하고서라도 그 정보를 구입

하려 한다. 즉, 불완전정보에 하여 더 높은 가치를 부여한다. 이 경우 추가적인 정

보에 의해 사전적 의사결정을 변경할 가능성이 매우 높아질 것이고 따라서 기회손실

을 회피할 수 있게 된다. 이를 식으로 살펴보면 다음과 같다.

EVSI = C · σ* · L(D*)

위에서 사전적 확률분포의 가 클 경우 불완전정보로 인한 표준편차(σ*)의 감소도

상 적으로 크게 된다. 따라서 표본정보(불완전정보)의 가치가 증가한다. 반면에 D

값이 클 경우, 즉 손익분기점과 평균 간의 차이가 크거나 가 작을 경우 정보의 가치

는 작게 되는데 그 이유는 추가적인 정보로 인하여 사전적 의사결정이 바뀔 가능성이

작기 때문이다.

[예제]

백마강회사는 일엽편주를 생산∙판매하는 중소기업이다. 사장인 달밤 씨는 시장에

새로운 모형의 제품을 출하할 필요성을 느끼고 있다. 신제품의 예상판매가격은 단위

당 ＼30이고 예상변동원가는 단위당 ＼26이다. 신제품을 생산하는 데 소요되는 고정

원가는 ＼420,000으로 예상된다. 과거의 경험으로 미루어 보아 신제품의 판매량은 평

균이102,500개이고 표준편차가 20,000개인 정규분포를 따를 것으로 예상된다. 달밤

씨의 친구인 물새 씨는 시장조사를 하면 의사결정을 하는 데 큰 도움이 될 것이라면

서 무보수로 조사를 하여 그 결과를 달밤 씨에게 알려주었다. 물새 씨의 표본조사결

김 성 기 15

과에 의하면 평균은 102,500개이며 표본평균의 표준편차는 10,000개일 것으로 판명

되었다.

(물음)

1. 물새 씨의 도움이 없었다면 달밤 씨는 어떤 의사결정을 하 겠는가?

2. 위의 의사결정에 따른 기회손실함수를 구하라.

3. 물새 씨의 도움이 없는 상태에서 달밤 씨가 완전정보에 하여 최 로 지불할

수 있는 금액은 얼마인가 ?

4. 달밤 씨가 물새 씨의 정보와 자신의 사전적 확률분포를 이용하여 사후적 확률분

포를 형성했다고 하자. 달밤 씨는 물새 씨의 도움에 해 감사히 생각하여 보수를 제

공하려고 한다. 달밤 씨가 물새 씨에게 최 로 지불할 수 있는 금액은 얼마인가?

5. 사전적 확률분포와 사후적 확률분포에서 실제판매량이 각각의 확률분포의 평균

보다 2σ만큼 초과하여 실현될 경우 각각의 확률분포에서의 기회손실을 구하고 그 차

이의 원인을 설명하라.

6. 사후적 확률분포를 가진 상태 하에서 완전정보가 제공된다면 달밤 씨는 최 한

얼마를 지불하려 하겠는가? 금액의 크기를 물음3과 비교하여 어떤 경제적 해석을 할

수 있는가 ?

(해답)

1. 손익분기점의 판매량은 105,000개(＼420,000÷＼4)로서 이 수량은 사전적 확률

분포의 평균인 102,500단위보다 크므로 달밤 씨는 신제품을 생산하지 않는다는 의사

결정을 내렸을 것이다.

2. 판매량을 X라 하면 이익은 다음과 같다.

이익 = (＼30 – ＼26)X – ＼420,000

= ＼4X – ＼420,000(단, X ≥ 105,000)

따라서 기회손실함수는 다음과 같다.

16 經 � , 38 卷 2∙3

OL =0 , X ≤ 105,000개인`경우`

4X – 420,000 , X > 105,000개인`경우

3. EVPI = C · σ · L(D)

C = ＼30 – ＼26 = ＼4

σ = 20,000개

105,000개 – 102,500개D = | | ÷ 0.13

20,000개

표에서 L(0.13)은 0.3373이므로 EVPI는 다음과 같다.

EVPI = ＼4×20,000개×0.3373 = ＼26,984

4. = 3.2×108개

σ2 = 17,889개

105,000개 – 102,500개D* = | | = 0.14

17,889개

L(0.14) = 0.3328

EVSI = ＼4×17,889개×0.3328

= ＼23,814

5.

이를 이용하여 사후적 확률분포의 평균인 µ1을 구하면 다음과 같다.

I

IX

X

002 2

2 2

1 120 000

1 110 000

= =

= =

σ

σ

,

,

( *)( ) ( , )

, ,σ σ

σ σ2 0

2 2

02 2

2 2

2 220 000

20 000 10 000=

+=

+X

김 성 기 17

= ×102,500개 + ×102,500개

= 102,500개*

*사전적 확률분포의 평균(µ0)과 표본평균(X—)이 같기 때문에 이를 가중평균한 사후

적 확률분포의 평균 µ1은 µ1 = µ0 = X—가 성립한다.

한편, 사후적 확률분포의 분산인 σ12과 표준편차인 σ1은 다음과 같다.

= 8×107개

= 8,944개

그러므로 사후적 확률분포는 평균이 102,500개이고 표준편차가 8,944개인 정규분

포를 이룬다. 사후적 확률분포하에서의 실제판매량과 기회손실은 각각 다음과 같다.

µ1 + 2σ1 = 102,500개 + 2×8,944개

= 120,388개

OL = ＼4×120,388개 – ＼420,000

= ＼61,552

사전적 확률분포하에서의 실제판매량과 기회손실은 각각 다음과 같다.

µ0 + 2σ0 = 102,500개 + 2×20,000개

= 142,500개

OL = ＼4×142,500개 – ＼420,000

= ＼150,000

σ178 10= ×

σσ σσ σ1

2 02 2

02 2

2 2

2 220 000 10 00020 000 10 000

=⋅

+= ×

+X

X

, ,, ,

110 000

120 000

110 000

2

2 2

,

, ,+

120 000

120 000

110 000

2

2 2

,

, ,+

µ µ10

00

0=

+

+

+

II I

II I

XX

X

X

18 經 � , 38 卷 2∙3

그러므로 사후적 확률분포하에서의 기 손실이 사전적 확률분포하에서의 기 손실

보다 ＼88,448(＼150,000 – ＼61,552)만큼 작다. 이는 표본정보를 통해서 수정된 사후

적 확률분포의 분산이 사전적 확률분포의 분산보다 작기 때문이다.

6. EVPI = C · σ1 · L(D1)

C = ＼30 – ＼26 = ＼4

σ1 = 8,944개

105,000개 – 102,500개D1 = | | = 0.28

8,944개

L(0.28) = 0.2745

EVPI = ＼4×8,944개×0.2745 = ＼9,821

물음 3에서보다 완전정보의 가치가 ＼17,163(＼26,984 – ＼9,821)만큼 작다. 이는

표본추출을 통한 사후적 확률분포를 갖게 됨으로써 미래에 한 불확실성이 그만큼

더 감소되었기 때문에 완전정보에 하여 지불하고자 하는 금액이 감소하게 되었음

을 의미한다.

VI. 일회용 상품인 경우의 의사결정

앞의 분석에서는 제품생산에 한 의사결정이 이루어지면, 이에 따라 생산된 모든

제품은 전부 판매할 수 있다고 암묵적으로 가정하 다. 그러나 판매량을 알기 이전에

제품을 생산하여야 하는 만큼 생산량이 수요량과 정확히 일치되는 경우가 거의 없다.

그러므로 기업은 생산량 또는 주문량이 수요량을 초과하거나 이에 미달하지 않도록

적정량을 생산 또는 주문하여야 한다. 특히 판매량을 초과하는 재고가 급격하게 증가

하여 제품으로서의 가치를 상실하게 되는 경우에는 더욱 그러하다. 예를 들어, 가두

에서 또는 지하철 등에서 판매하는 일간신문이나 크리스마스트리 같은 상품이 이에

해당한다.

이 경우에 최적생산량 또는 주문량을 결정하는 방법에 하여 살펴본다. 확실성하

에서는 제품의 한계수익과 한계비용이 같아지는 점에서 최적생산량 또는 최적주문량

김 성 기 19

이 결정된다. 동일한 논리로 불확실성하에서는 기 한계수익과 기 한계비용이 같아

지는 수준에서 최적생산량 또는 주문량이 결정된다.

최적생산량을 X*라 하면, 기 한계수익은 다음과 같다.

기 한계 수익 = P(X ≥ X*)×＼S + P(X < X*)×＼0

= P(X ≥ X*)×＼S

여기서 P = 확률

S = 제품의 단위당 판매가격

즉, 기 한계수익은 추가적으로 한 단위를 더 생산했을 때 수요량 X가 X*를 초과하

여 판매될 확률에 판매가격을 곱한 값이다.

한편, 추가적으로 한 단위를 생산할 경우의 기 한계비용을 b라 하면 균형점에서는

다음 식이 성립한다.

P(X ≥ X*)×S = b (11)

그런데 P(X ≥ X*)는 1 – P(X < X*)이므로 식 (11)은 다음과 같이 표현할 수 있다.

[1 – P(X < X*)]×S = b

1 – P(X < X*) = b—S

S – bP(X < X*) = —— (12)S

식 (12)를 만족시키는 X*가 최적생산량 또는 최적주문량이다. 그런데 이 식의 우변

은 제품의 공헌이익률을 나타내므로 최적생산량 및 최적주문량은 판매량이 X*에 못

미칠 확률이 제품의 공전이익률과 같은 점에서 결정된다고 해석할 수 있다.

20 經 � , 38 卷 2∙3

부록: 기 기회손실

여기에서는 본문의 식 (4)가 식 (5)와 동일함을 증명한다. 식 (4)는 다음과 같다.

(4)

여기서

위의 식을 표준정규분포로 전환하기 위하여 z값을 다음과 같이 정의한다.

따라서 X는 다음과 같다.

X = σ · z + µ

여기서 X – µ < 0이므로 이다.

위의 식을 기회손실함수 (α – (p-b)X)에 입하면 기회손실은 다음과 같다.

OL a p b Xa p b z

p b z a p b

p b za p b

p b

p b z

ap b

== ⋅ += ⋅ +

=

=

– ( – )– ( – )( )

–( – ) – ( – )

–( – ) –– ( – )( – )

–( – ) – ––

σ µσ µ

σ µσ

σµ

σ

––∞ < <z

Xb µσ

zX= – µ

σ

f X ExpX

s( | , ) –

( – )µ σπσ

µσ

=

12 2

2

2

EOL a p b X f X dX f X dX

X

X

b

b= +∞

∫∫ [ – ( – ) ] ( | , ) ( ) ( | , )µ σ µ σ00

김 성 기 21

그런데 는 손익분기점의 판매량 Xb이므로 OL을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 D를 로 놓으면 기회손실은 다음과 같다.

OL = – (p – b) σ (z – D)

또한 z의 범위는 - ∞ < z < D가 된다. 따라서 식 (4)를 다음과 같이 표시할 수 있다.

이때 마지막 식의 괄호부분을 단위정규손실함수(unit normal loss function)라 하고

L(D)로 표시한다. 즉,

위에서 정의한 단위정규손실함수 L(D)는 기울기가 1이고 표준정규확률분포를 갖는

선형손실함수(z – D)에 한 기 기회손실을 의미한다.

한편, 앞에서 정의한 는 손익분기점의 판매량 Xb와 평균판매량 µ의 거

리를 표준편차(σ)로 나눈 것으로 표준편차의 크기에 한 상 적 거리를 나타낸다.

즉, D는 Xb와 µ간의 상 적 거리를 나타내는 측정치이므로 보다 일반적인 경우, 즉 µ

≤ Xb와 µ > Xb를 모두 포함할 수 있도록 D의 절 값을 사용한다. 따라서

와 같이 절 값을 이용하여 보다 일반적인 형태로 정의하면 EOL은 다음과 같다.

EOL = C · σ · L(D) (5)

여기서 C = p – b, 즉 단위당 공헌이익

DXb=|

–|

µσ

DXb(|

–|)

µσ

L D z D f z dz

D( ) – ( – ) ( | , )

–=

∞∫ 0 1

EOL p b z D f z dz

p b z D f z dz

D

D

=

=

∞

∞

∫∫

[–( – ) ( – )] ( | , )

( – ) [– ( – ) ( | , ) ]

–

–

σ

σ

0 1

0 1

Xb – µσ

OL p b zXb=

–( – ) ––σ µ

σ

ap b–

22 經 � , 38 卷 2∙3

그러므로 식 (4)는 식 (5)와 동일하다.

김 성 기 23

A Tutorial Introduction to Cost-Volume-Profit Analysisunder Uncertainty and Value of Information

Kim, Song-Ki*

The cost-volume-profit analysis under certainty does not explicitly recognize uncertainty

in any of the related variables. However, without a formal model of uncertainty in sales, price,

or cost parameters, information such as the expected opportunity loss from following a given

course of action cannot be obtained. In this paper, we illustrate how to evaluate the value of

information. Specifically, the following issues are to be explored:

• how to derive expected opportunity loss function?

• how to separate value of perfect information?

• how to measure expected opportunity loss and value of perfect information

under the assumption that sales are normally distributed?

• how to measure expected value of sample information?

• how to determine the optimal production level when the production decision must be

made before actual sales are known?

Key Word: ex-ante optimal decision, ex-post optimal decision, ex-ante probability

distribution, ex-post probability distribution, opportunity loss, opportunity loss

function, expected opportunity loss, value of perfect information, expected

value of perfect information, expected value of sample information

24 經 � , 38 卷 2∙3

*Professor, Seoul National University.