萬有引力定律萬有引力定律萬有引力定律萬有引力定律

項少龍項少龍項少龍項少龍 老師老師老師老師

1

一、牛頓萬有引力定律

1. 牛頓萬有引力定律牛頓萬有引力定律牛頓萬有引力定律牛頓萬有引力定律：：：：

任兩 質點 間皆存在一對相互吸引的力 F，此力大小與二物質量 1 2( )m m、 的乘積成正比，

而與二物距離(r)的平方成反比

表示式表示式表示式表示式：：：：

1 22g

Gm mF

r

⋅=

2. 思考思考思考思考：：：：

• G 稱萬有引力常數，經英國科學家卡文迪西利用扭秤測出，為 11 2 26.67 10 /N m kg−× ⋅

兩 質點 間

• 適用範圍： 均勻球體 其 外部 之萬有引力

均勻球殼 其 外部

3. 卡文狄西實驗卡文狄西實驗卡文狄西實驗卡文狄西實驗：：：：卡文狄西在 1798年利用扭秤，成功地測出兩物體間之萬有引力大小，並

推算出地球值量以及萬有引力常數(G)

光源 入射光

反射光

尺

M

M

m

轉 m

小面鏡

θ θ

細桿

細絲

主題一：萬有引力定律

2

4.4.4.4.原理原理原理原理 : : : : 利用兩個位置對稱的大球，場質量均為 M。而在扭秤兩端則是兩個檢驗質量 m，

當兩檢驗質量受到場質量的吸引時，會轉動石英絲，此時，石英絲產生反方向的

抗力，使兩檢驗質量成力平衡，再利用小面鏡的反射使入射光產生一偏角，測量

在尺上的偏移量，即可推得萬有引力之大小以及萬有引力常數。

二、重力與重力加速度

1. 重力重力重力重力：：：：當兩物受萬有引力而互相吸引，且其中一物體為星球時，我們常稱此萬有引力

為 重力 ( gF W= )

2. 重力場重力場重力場重力場(強度強度強度強度))))：：：：物體 單位質量 所受重力，又稱為重力加速度

gFg

m≡

3. 思考思考思考思考：：：：

• 星球 外 一點，且距球心 r 處之重力場強度2

2

/gF GMm r GMg

m m r≡ = =

• 地表附近之重力場強度：2

22

/9.8 /g e e e

e

F GM m R GMg m s

m m R≡ = = ≈ (即W mg= )

3

~/~獵殺新物理>

1. 下列有關重力與質量相關的敘述，哪些正確？ (A)若只考慮地球的萬有引力作用，地表

的重力加速度比離地球較遠的其他位置來得大 (B)質量的單位可以有公斤、公克或是公

斤重與公克重 (C)在真空中，不能測得物體的重量 (D)同一物體在任何地方質量不變

(E)繞地球旋轉的太空船內，漂浮的太空人不受重力的作用

2. 地球質量為月球質量的 81 倍，兩者相距 d。有一火箭在地球與月球的連心線上，當其與

月心的距離為 a 時，此火箭受地球與月球引力之合力為零，求a

d之值為多少？ (A)

1

6

(B)1

10 (C)

8

9 (D)

9

10 (E)

10

9

3. 在獨立系統中有相距 d各為 m1，m2之二星球，則在兩者間距 m1多遠呈無重力狀態？

4. 如果地球的半徑為 R，則一個在地球表面重量為 80 牛頓的物體，當其在距離地球表面高

度為 3R 處，受到的地球引力為多少牛頓？ (A)80 (B)80

3 (C)20 (D)

80

9 (E)5。

5. 將密度相同的大、小兩實心球靠在一起，如圖所示。若小球質量為 m，則兩球間的萬有引

力大小為 (A)2

2

Gm

R (B)

2

2

2

3

Gm

R (C)

2

2

8

9

Gm

R (D)

2

2

2

9

Gm

R (E)

2

2

8

3

Gm

R。

6. 某星球的質量是地球的 3倍，半徑是地球的 2倍，在地球表面 24 公斤重的物體，置於該

星球表面時，則重量變為若干公斤重？ (A)4 (B)6 (C)12 (D)18 (E)20。

4

7. 下列各地表上的物理量，哪些會受到地球重力加速度的影響？ (A)大力士的舉重能力

(B)跳高選手的跳高能力 (C)大氣壓力 (D)自由落體落地的速率 (E)自由落體由開始

掉落至落地的時間。

8. 某星球的半徑為地球的 2倍，密度為地球的 3倍，則在地面上重 784 牛頓的太空人到

該星球表面時

(1) 重量為若干牛頓？

(2) 質量為若干公斤？

(3) 跳高高度為地球上若干倍？(設人體能條件相同)

9. 一個密度均勻的星球，分裂為 8個密度不變，質量相等的星球。則每個星球表面的重力

加速度變為原來的多少倍？(A) 1/8 (B) 1/2 (C) 2 (D) 8 〈86 學測〉

10. 在望遠鏡中觀察某一行星外有一小衛星以速率 v 繞行星作等速率圓周運動，若在此圓周

軌道處之重力加速度值為 gv，則該衛星的週期 T應為何？ (A)22

vg

vπ (B)

22

v

v

g

π (C)2

vg

vπ

(D)2

v

v

g

π (E)2 vvgπ 。

11. 設地表重力場強度為 0g ，地球半徑為R ，則距地表 / 2R 處的軌道上

(1) 重力場強度為若干？

(2) 人造衛星於該軌道上運行的速率為何？

5

12. 由地面垂直發射之火箭，升至某高處時，發現質量減為原來的1/ 4，重量為出發時的

1/ 36，若地球半徑為 R，求此時火箭高度？

13. 一物體在地面上空高某處時，其重量為在海平面上時重量的一半，若地球半徑為 R，則

其高度為 。

14. 某星球其平均密度與地球相同，半徑則為地球之兩倍，在地球上重量為 64 公斤的人到該

星球上時，其重量為 (A) 16 公斤 (B) 32 公斤 (C) 128 公斤 (D) 256 公斤 〈日大〉

15. 設一行星體積為地球 27 倍，平均密度為地球31倍，在地球表面的物體作自由落體 4秒

到達地面，則在該行星上作同高度之自由落體需時若干？(A) 1 秒 (B) 2 秒 (C) 4 秒 (D)

8 秒 (E) 16 秒

16. 一行星之旁有一小衛星繞其轉動，軌道半徑為 r，週期為 T，若行星的半徑為衛星軌道半

徑的81，則此行星表面的重力場強度之量值為 。

6

17. 設某行星半徑 R，密度ρ，若其半徑增為 2R，密度變為 2ρ，則離行星中心 4R 處之重力

場強度變為原來的(A) 1/2 (B) 2 (C) 4 (D) 16 (E) 8 倍。

18. A 與 B 兩星球之半徑比為 2：1，密度比為 1：3，則兩者表面之重力加速度為

(A) 1：3 (B) 2：3 (C) 4：9 (D) 2 ： 3 。

19. 在太陽系中發現一新行星，繞日週期為廿七年，則下列何敘述為可推知者？ (A)其質量

為地球的27倍 (B)其軌道半徑為地球繞日軌道半徑的9倍 (C)此新行星即月球 (D)我們

在此行星上的體重較在地球上為小

7

<~*~試題簡答>

1. (A)(D) 2. (B) 3. 1

1 2

mx d

m m=

+ 4. (E) 5. (C)

6. (D) 7. (A)(B)(C)(D)(E) 8. (1)4704( )N (2)80( )kg (3)6倍

9. (B) 10. (D) 11. (1) 0

4

9g (2) 02

3

g R 12. 2R

13. ( 2 1)R− 14. (C) 15. (C) 16. 2

2

256 r

T

π 17. (D)

18. (B) 19. (B)

<~,~試題解析>

1. (A) 2g

MGmF

r=

(B) kgw & gw為力的單位

(C) 仍可測

(E) 重力作用範圍為無窮遠，故太空人仍受重力作用。

2. 由題： F F=地 地

2 2

8

( )

G m M G m M

d a a

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ =

−

9 1 1

10

a

d a a d⇒ = ⇒ =

−。

3. 由題：

1 2g gF F=

1 22 2( )

Gm m Gm m

x d x⇒ =

−1 2m m

x d x⇒ =

− 2 1 1m x m d m x⇒ = −

1 2 1( )m m x m d⇒ + = 1

1 2

mx d

m m⇒ =

+。

M火 地F地 F地

a

地

81m

d

m

d x−

2gF1gF

d

x

8

4. 由2g

G M mF

r

⋅ ⋅=

所求1

80 516

Nt= × = 。

5. 由 34

3 M V Rρ ρ π= × = × ⇒大球質量8m

由2

2 2 2

8 8

(3 ) 9g

GMm G m m GmF

r R R

⋅ ⋅= = = 。

.

6.2 2

324 18

4g

GMm G M mF kgw

r R= = ⇒ = × =

地

表所求 。

7.(A) 舉重 F W m g⇒ = = ⋅

(B) 視為鉛直線上拋：2

00

1( )

2 2

vH v v t

g= + ⋅ =升

(C) 大氣壓力為氣體重量所造成之壓力，故 g 會影響

(D) 2

2 d

v g t g g dg

= ⋅ = ⋅ =

(E) 由 22

1 2

2

dd g t t

g= ⋅ ⋅ ⇒ = 。

8. (1)

2

2 2

4( ) 43

3g

G R mGMmW F G R

R R

ρ πρπ

×= = = = ⋅

6 4704( )W W N∴ = =星 地

(2) 784

80( )9.8

Wm m kg

g= = = =地

星 地

地

(3) �

20 0

00

1( )

2 2

v vH v v

g g= + =

24 倍1

16倍

R 3R

32 倍8倍

22 倍3

4倍

3倍

6倍 3倍 2倍

6倍

9

9. 2

gF G Mg

m R= =

10.∵為圓形軌道，故2 2

cv

v vg a T

T g

π π= = ⇒ = 。

11. (1) 2

GMg

r= 0

4

9g g∴ =

(2) 由 c cF na=2

23 3( ) ( )2 2

GMm vm

R R⇒ = ×

20 02 22

3 3 3

g R g RGMv

R R⇒ = = = 。

12. 由題：

1'

36g gF F=

2 2

114

( ) 36

GM m GMm

R h R⇒ =

+1 1

3R h R= =

+

2h R⇒ = 。

13. 由題目敘述可知2 2

1

2 ( )

GMm GMm

R R h× =

+2

R h

R

+⇒ = ( 2 1)h R⇒ = − 。

14. 由2

= GMmW

r 2

= G V m

r

ρ

∴重量變為 2 倍，故選(C)。

1

2倍

1

8倍

21(2) 倍

3

1

3

V R

R V

∝

⇒ ∝

1

2倍

1

8

v

2

R

R

2g =

4

9倍

23( )2

倍

h

R

2 1： 3 32 1：

2 22 1：

10

15. 由題2 2

= =GM G Vg

r r

ρ

故該星球表面重力加速度與地表相同，故自由落體需時2h

tg

= 亦相同。

16. 設行星質量 M，衛星質量 m，則由

c cF ma=2

2 2

4GMm rm

r T

π⇒ =

2 3

2

4 rM

GT

π⇒ =

再由

2 3

2

2 2

4( )

( ) ( )8 8

rGGM GTg

r r

π

= =2

2

256 r

T

π= 。

17. 2 2

GM G Vg

r r

ρ= =

(小心：高度仍為 4R，故 2r 項不變)

g∴ 變 16 倍。

18. 由2

GMg

r=

2

= G V

r

ρ

∴g 之比為 2：3。

19. 由 K.3.L3 3

2 2⇒ =

R R

T T星 地

星 地

9R R⇒ =星 地

故(A) 無法得知

(B) 正確

(C) 地球並未繞日運轉

(D) 2

=GM

gR

星

星

，無法判定。

1 1： 1 3：1 3 27 1：

23 ： 21

16 1： 2 1： 3 32 1：

2 3： 1 3：

3 32 1：

2 22 1：