基礎物理学概論　2007年度前期

小テスト

42

v (t ) =

dr(t )

dte

r(t )+ r(t )

d (t )

dte (t )

r (t) = r(t)er (t)

速度を極座標表示すると

となることを示せ。

er(t )：r方向の単位ベクトル

e (t )：r方向に垂直な方向の単位ベクトル

基礎物理学概論　2007年度前期

速度の極座標表示

43

v (t ) =

dr(t )

dte

r(t )+ r(t )

d (t )

dte (t )

基礎物理学概論　2007年度前期

加速度の極座標表示

44

der

dt=

d

dte ,

de

dt=

d

dte

r

動径方向成分 方向成分

a (t ) =d2r

dt2 r

d

dt

2

er+ 2

dr

dt

d

dt+ r

d2

dt2 e

a (t ) =d

dt

dr(t )

dte

r(t )+ r(t )

d (t )

dte (t )

=d2r

dt2 e

r+

dr

dt

der

dt+

dr

dt

d

dte + r

d2

dt2 e + r

d

dt

de

dt

基礎物理学概論　2007年度前期

等速円運動

45

x 軸からの角度（　　　　）は時間に比例して増加する。　　　　

POA

時間 dt あたりの角度の増加量：d

d = dt

：角速度［rad/s］=d

dt

rd = vdt

d

dt= =

v

r, v = r

基礎物理学概論　2007年度前期

等速円運動

46

v (t ) =

dr

dte

r+ r

d

dte = r e (

dr

dt= 0)

a (t ) =d2r

dt2 r

d

dt

2

er+ 2

dr

dt

d

dt+ r

d2

dt2 e

= r2e

r(

d2

dt2 =

d

dt

d

dt= 0)

基礎物理学概論　2007年度前期

問題

47

１．二つの関数 f(x), g(x)の商　　　に対する微分の公式

f (x )

g(x )

d

dx

f (x )

g(x )=

df (x )dx

g(x ) f (x )dg(x )dx

[g(x )]2 を微分の定義を用いて証明せよ。

２．　　を(a)１番の公式を用いて，(b) 微分の定義から求めよ。　　

d

dx

1

x

３．地球は太陽の周りを１年の周期で等速円運動しているとして，地球の速さ，加速度　　の大きさ，角速度を求めよ。太陽と地球の間の距離は1.5 x 1011(m)とする。

４．ある点がxy 平面上で　　　　　　　　　　　　　　　 で表される運動をしている。

　　(a) 時刻t1 における速度ベクトル　　 を求めよ。(b) 上の式からt を消去して点の軌道　　の方程式もとめよ。(c) x = x(t1)における軌道の接線の勾配を求め，接線の方向が速度　　　　　の方向に一致することを確かめよ。

x(t ) = v

x 0t, y(t ) =1

2gt

2+v

y 0t

v (t1)

v (t1)

５．半径Rの円周上を点Pが回転している。その速さが時間に比例して増加していくと　　き，点Pの加速度の大きさとその向きを求めよ。

基礎物理学概論　2007年度前期

力と運動

48

運動方程式（ニュートンの第２法則）

F =ma =m

dv

dt=m

d2r

dt2 =

d

dt(mv ) =

d

dtp

・力の方向と加速度の方向は同じ。

・力，加速度を任意の方向の成分に分解　できる。それぞれの方向に対して第２　法則を適用すれば良い。・力は合成することができる。

基礎物理学概論　2007年度前期

鉛直方向の放物運動

49

初速度v0で真上に投げ上げる v(t ) = v0 gt

速度が刻々と変わる点の位置y(t)を求めたい

微少時間 tの間は等速運動と考える

tの間に進む距離：v(t1) t

y(t ) = v0t

1

2v0 v(t )[ ]t = v0t

1

2gt

2

基礎物理学概論　2007年度前期

鉛直方向の放物運動

50

積分で求める

y(t ) = v(t )dt0

t

= v0 gt( )0

t

dt

= v0t1

2gt 2

基礎物理学概論　2007年度前期

鉛直方向の放物運動

51

v(t ) = v0 gt y(t ) = y0 +v0t

1

2gt

2

二つの式からt を消去してまとめると

1

2v(t )2 + gy(t ) =

1

2v02+ gy0

保存量［自分で確認のこと！］

基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

52

F =ma =m

d2r

dt2

運動方程式

速度・変位を求める：積分

初期条件が必要

基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

53

初期条件初期位置：(x0, y0)

初速度　：(v0x, v0y)

x 方向：等速直線運動y 方向：鉛直方向の放物運動

運動の分解（運動の独立性）g

基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

54

g

x = x0 +v0t cos

y = y0 +v0t sin

1

2gt

2

v

x= v0 cos , v

y= v0 sin gt

1

2v(t )2 + gy(t ) =

1

2v02+ gy0

［自分で確認のこと！］基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

55

軌道の方程式

y = y0 + tan (x x0 )1

2

g

v02 cos2

(x x0 )2

・xに対する２次方程式（放物線）・x =x0 のとき， y =y0

基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

56

微積分を使う F =m

dv (t )

dt

0 =m

dvx (t )

dt, mg =m

dvy (t )

dt

v

x(t ) = A, v

y(t ) = gt +B

A = vx (0) = v0 cos , B = vy (0) = v0 sin

v

x(t ) = v0 cos , v

y(t ) = gt +v0 sin

基礎物理学概論　2007年度前期

任意の放物運動

57

vx (t ) =

dx

dt= v0 cos , vy (t ) =

dy

dt= gt +v0 sin

x(t ) = v0 cos t +C , y(t ) =

1

2gt 2 +v0 sin t +D

x(0) =C = x0 , y(0) =D = y0

x(t ) = v0 cos t + x0 , y(t ) =

1

2gt

2+v0 sin t +y0

基礎物理学概論　2007年度前期

テレビの中の電子の運動

58

m

d 2x

dt 2= 0, m

d 2y

dt 2= eE (0 x l )

基礎物理学概論　2007年度前期

テレビの中の電子の運動

59

m

d 2x

dt 2= 0, m

d 2y

dt 2= eE (0 x l )

x < 0, x > l

0 x l：-eE = -mgと考えれば，　重力中での放物運動と同じ

：等速直線運動

スクリーン上での変位：d を求めよ

基礎物理学概論　2007年度前期

エネルギー保存則

60

仕事（Work）（力の大きさ）ｘ（動いた距離）

W = F// s = F cos s F s

単位は[N·m] = [J]

基礎物理学概論　2007年度前期

エネルギー保存則

61

スカラー積・内積 (Scalar Product)

A B =AB cos =AxBx +AyBy

W = F// s = F cos s F s