新高中數學課程詮釋

延伸部分單元一

微積分

統計

德軍有多少坦克?

二戰期間，究竟德軍總共製

做了多少部坦克?

戰略中使用點估計的例子

戰略中使用點估計的例子

德國人在製造坦克時是墨守成

規的，他們把坦克從一開始進

行了連續編號。

戰略中使用點估計的例子

在戰爭進行過程中，盟軍繳獲

了一些敵軍坦克，並記錄了它

們的生產編號。

戰略中使用點估計的例子

總體參數是未知的生產出的坦

克總數 N ，而繳獲坦克的編號

則是樣本。

戰略中使用點估計的例子

製造出來的坦克數肯定大於或等於記錄中的

最大編號

計算被繳獲坦克編號的平均值，並認為這個

值是全部編號的中點

因此樣本平均值乘以 2 就是總數的一個估計

戰略中使用點估計的例子

缺點:

不能保證 平均值的 2 倍 一定

大於記錄中的 最大編號

另一個點估計公式

用觀察到的最大編號乘以因

子 ，其中 n 是被俘坦

克個數。例如找到 10 輛坦

克，其中最大編號是60，那

麼坦克總數的 66。

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n11

今天我希望能:

圖片來源: home.kimo.com.tw/and_whose/4word_ans.htm

演示大綱

解讀延伸部分: 單元一

簡介單元一的 三個領域的重點

基礎知識

微積分

統計

學與教的策略

資源的配合

示例

課程設計原則

本單元是為那些

將來在學科或職業上需要更多及更深

入的數學知識

在高中階段多學習一些數學應用

的學生而設。

釐訂學習重點的原則

提供必修部分以外的技能與概念

強調數學的應用性多於其嚴謹性，從而擴闊學生

在數學方面的視野

提供微積分與統計的直觀概念、相關基本技能及

有用工具，為學生將來深造和就業作準備

組織

單元一 (微積分與統計) 分成三個領域，分別為:

「基礎知識」

「微積分」

「統計」

必修部分

求導法及其應用

積分法及其應用

基

礎

知

識

領

域

進

階

概

率

二項、幾何及泊松分佈及其應用

正態分佈及其應用

點及區間估計

學習目標基礎部分 微積分 統計

學生應能:

• 應用二項展式學習概

率與統計；

• 以建模、繪畫圖像和

應用指數函數及對數

函數解決應用題；及

• 理解指數函數和對數

函數的關係，並使用

它們解現實生活中的

應用題。

• 理解極限作為微積分

學的基礎；

• 透過現實情境理解微

積分的概念；及

• 求簡單函數的導數、

不定積分和定積分。

• 理解概率，隨機變

量，離散及連續概率

分佈的概念；

• 以二項、泊松、幾何

及正態分佈理解統計

推理的基礎概念；

• 運用統計方法觀察和

思考，並作出推斷；

及

• 發展對不確定現象的

數學思維能力，並應

用相關知識和技巧解

應用題。

時間分配

修讀必修部分和單元一(微積分與統

計)的課時佔總課時的15% (大約

405小時)。為協助教師了解課程內

各課題的處理深度，在各學習單位

旁 都 標 示 出 建 議 的 教 學 時 數 。

學習重點的動詞

認識 (recognise)能說出概念和規律(定理、公式、法則等)是甚麼，知道它們是怎樣得出來的，它與

其他概念之間的聯繫，有甚麼用途。

學習重點的動詞

理解 (understand)在認識的基礎上，通過練習，形成技能，

能夠用它去解決一些問題

理解 (understand)

認識 (recognise)

注釋

作為學習重點的補充資料，

主要為清楚闡述

該部分的處理深度

該部分的教學內容

注釋內的用詞

包括 (including): 學習重點 3.4 的注釋

例如 (for example): 學習重點

3.2 的注釋

單元一的學習單位

數學及統計學科

(高級補充程度)表面內容有80%相似

但…

單元一的學習單位

我們的學生

• 平均較年幼 (中五?)• 學業程度較低 (中五?)

期望:• 寧可淺些，但要好些 !

• 要讓學生參加學習過程 !

• 應用，應用，應用 !

注意:必修部分與單元一的某些課題在內容

上有直接連繫，教師在編排教學次序

時須注意

教學次序與文件中學習單位/重點的編排無必然關係 (三個領域 與 進階學習單位)

基礎知識何解

二項展式

Σ讀作 summation

因為寫作 1+2+3+4+5+…+ n 麻煩，所以用

)...54321(1

nkn

k++++++=∑

=

來表示 1 至 n 的數學總和，例如，

)...54321( 2222221

2 nkn

k

++++++=∑=

用Σ是加法的省略形式

資料來源: 汕頭大學出版社 “數字專家最搶手”

二項展式

資料來源: 世界圖書出版公司 “概率統計超入門”

nCr

( ) baba 23中的+

資料來源: 世界圖書出版公司 “概率統計超入門”

指數函數及對數函數

ex 的函數圖像

y = ex

由於 e0 = 1 ，這曲線會通過點 (0， 1 )

它永遠為正值 ; ex > 0

它一直在遞增

它遞增得非常快

使用指數函數與對數函數解應用題

100rt

PeA =

0,)( 0 >= keQtQkt

0,)( 0 >=− keQtQ kt

複利息定理

增長定理

衰變定理

微積分

求導法及其應用簡介:

• 認識導數概念的某些實際背景 (如瞬時速度，加

速度，平滑曲線切線的斜率等)

• 知道函數在一點處的導數的定義及其幾何意義

• 懂得基本導數公式

• 理解函數和、差、積、商及複合函數的求導法則

微積分

求導法及其應用簡介:

• 懂得用導數求函數在閉區間上的最大值和最小值

• 通過解決科技、經濟、社會中的某些簡單問題，

體驗導數求最大值與最小值的應用

求導法及其應用簡介:

沒有單元二所列舉的例子

極限的運算

介紹一些求取極限的定理，可採用，但不須證明，例如:

學生須懂得求取某些簡單函數 當 t 趨向無

窮大時的極限，即 ，

[ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx →→→

±=±

tet

t,1如

01lim =∞→ tt

0lim =∞→

tt e

t

函數的導數

學習重點

3.3 的注釋

( )

x

xx

xxx

xxxxxxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xy

x

x

x

xx

21

1

1lim

lim

lim

limlim

0

0

0

00

=

+=

+∆+=

+∆+∆−∆+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∆++∆+

⋅∆

−∆+=

∆−∆+

=∆∆

→∆

→∆

→∆

→∆→∆xy =求函數 的導數

資料來源: 高等教育出版社 “微積分”

這是看圖的一代

因勢利導

= 0

> 0< 0

學習重點3.4

= 0

> 0 < 0

懂得使用這些法

則求函數的導數

學習重點 4.1

學習重點 4.2 的注釋

學習重點 5.2

求顯函數的二階導數

學習重點 5.1 的注釋

不須引入三階及更高階的導數

求導法的應用

1.不須描繪簡單曲線2.不須求函數值的近似值

( ) xxfxfxxf ∆′+≈∆+ )()(

積分法及其應用:

• 認識定積分概念的某些實際背景（如變速

直線運動的路程，曲邊梯形的面積等）

• 認識定積分的定義及其幾何意義

• 認識微積分基本定理，原函數與不定積分

的概念

• 懂得利用基本積分公式求函數的不定積分

• 懂得利用定積分求一些平面圖形的面積、

變速直線運動的路程

積分法及其應用

學習重點 7.1 的注釋

須介紹不定積分法為求

導法的逆運算

某函數 f (x)，“先積分 後求導，則回到原函數＂。

何解

)(3.2

3311.

3)(

2

3

2

xfx

Cxx

xxf

⇒+

++

+=

L

L

求導

積分

。例

學習重點 7.1 的注釋

須介紹不定積分法為

求導法的逆運算

某函數 f (x)，“先求導 後積分，

則不一定能回到原函數 f (x)” 。何解

不同積分

求導

。例

)(.221.

3)(

2

2

xfCxx

xxf

⇒+

+=

L

L

不定積分及其應用

學習重點 7.4

使用代換積分法求不定積分

學習重點 7.4 的注釋

不須引入分部積分法

定積分及其應用

學習重點 8.5使用定積分法求平面圖形的面積

學習重點 9.1

理解梯形法則及使用它計算定積分的近似值

積分法及其應用

當函數的圖像凹向下時，梯

形法則高估了所求的面積

當函數的圖像凸向上的，梯

形法則低估了所求的面積

內容不涉及誤差的估計

統計

• 認識隨機變量的意義，會求出某些簡單的

離散隨機變量的分佈列

• 認識離散隨機變量的期望值、方差的意義

• 認識二項分佈、泊松分佈及幾何分佈的意

義及其性質

• 認識正態分佈的意義及其性質

• 會利用樣本統計量去推測母體參數值，體

會如何從資料中提取資訊並作出統計推斷

學習單位 10 及 11

•概念重溫，著重運用條件概率解說獨立事件的概念

•使用貝葉斯定理解簡單應用題

學習重點 12.1

學習重點 13.1

認識離散概率分佈的概念，並以表列、圖像和數學公式表示離散概率分佈

擲三枚勻稱的硬幣所得正面的數目的概率分佈

x 0 1 2 3

f(x)81

83

83

81

xx

xCxXPxf−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

33

21

21)()(

二項分佈

二項式定理:平均值 = np 方差 = np(1-p)

二項式定理

平均值 方差

二項、幾何及泊松分佈及其應用

在講授學習單位 14 至 17 時，須提及

滿足伯努利分佈，二項分佈，幾何分佈及

泊松分佈的條件

根據不同的隨機現象選取採用何種概率分

佈作為概率模型

各種分佈的平均值與方差但不須證明

不須學習泊松分佈近似二項分佈

正態分佈及其應用

基本定義及其性質

學習重點 18.1 通過正態分佈，認識連續隨機變量及連續概率分佈的概念

正態分佈的概率密度函數 (probability density function) 為:

( )

為標準差和為平均值其中

0,,x,2

1)( 222

σµ

σµπσ

σ

µ

>∞

正態分佈及其應用

在講授學習單位 18 時，須引入 滿足概率密度

函數(pdf) f(x)的條件: 如

概率是用積分表示

對於任意值 x , P(X = x) = 0

不用計算連續概率分佈的概率，把它們視為 pdf

曲線下的面積

( ) ∫∞

∞−=≥ 1)(,0 dxxfxf

正態分佈及其應用

不須提及獨立隨機變量組合成的分佈，即

X1 ~ N(8, 32)，X2 ~ N(12, 42)，學生不須知道

Y = X1 + X2 的分佈， Y ~ N(20, 52).

不須學習正態分佈近似二項分佈

不須學習正態分佈近似泊松分佈

抽樣分佈和點估計

樣本統計量 ( sample statistic )

總體參數 ( population parameter)

抽樣分佈及點估計

(Sampling distribution and point estimates)

中央極限定理

無論母體分佈為何，自任一平均數

µ、標準差為 σ的母體中抽取大小

為 n 之隨機樣本，若樣本大小 n 夠

大，則樣本平均值 的抽樣分佈會

趨近於正態分佈

x

總體

平均數 = 70

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

樣本

的平均數 = 68

的平均數 = 73

的平均數 = 80

的平均數 = 73

的平均數 = 77

對來自同一個總體的每個有相同容量(如 60) 的樣本說明

事件發生頻率

正態曲線

點及區間估計(Point and Interval Estimation)

點估計和區間估計的概念

總體平均值的點估計方法

總體方差和標準差的點估計方法

置信區間 (Confidence interval )

置信水平 (Confidence level )

重點

如何利用樣本平均值來估計總體平均值？

在甚麼條件下所找出的置信區間不包含總體

平均值？

如何理解下面這句話：

“α=0.01表示反覆抽樣1000次，則得到的1000個

區間中不包含真值的僅為10個左右。”

總體參數 µ 的 100(1-α)% 置信區間

並不表示 µ 有 100(1-α)% 的概率落在這區間上

而是在所有的100(1-α)% 置信區間中平均不少於 100(1-α)% 的置信區間包含 µ 在內

資料來源: 香港教育圖書公司 “統計學入門”

關於置信區間長度的重點

樣本中的觀察值個數影響置信區間長度。

大的樣本產生較短的置信區間。

置信水平影響置信區間。

短的置信區間能比長的置信區間提供更多

的有關總體參數的資訊。

點及區間估計

提及點估計的性質時，只須提及無偏性，不須提

及其他性質如 一致性，有效性 及 充分性

在求取總體均值的置信區間時，不涉及 t 分佈

須以樣本標準差 s 構作「非正態總體」的總體平

均值 µ 的置信區間

不涉及求取 兩總體均值 或 兩總體比例之差 的置

信區間

進階學習單位

探索與研究

整個課程須有足夠探索與研究的活動，但不表示每一課皆須編排有關活動。

上海教育部的專家張民生

先生的話:

• 教師應改變自己適應學生

• 有耐心、信心、恆心

我說: