加速器超入門①

Kikuchi, M. ‘08_04_15 FTBL meeting

ベータ関数　30分早分かり

問題解答付き

x′ = ξx

x

x’

x′ − ξx

1. エミッタンス

位相空間(x,x’)に粒子達が分布しているとき、その位相空間に占める面積（に相当する量）をエミッタンスと呼ぶ。＜＞を粒子全体にわたる平均とすれば、エミッタンス　は

で与えられる。これは良い量であって、実際、(x,x’)が線形変換（ただしdet=1)を受けるときには保存量となる。

1.1 エミッタンスの概念

問１ これを実際に確かめよ。

図１位相空間における粒子達の分布

(1)

ε

ε2 =⟨x2

⟩ ⟨x′2⟩ − 〈xx′〉2

1.2 分布を表すパラメータ

x x’に関する2次の統計量 はそれぞれエミッタンスに比例する量である。その比例係数 をTwiss パラメータと呼ぶ：

β , α , γ

(2)

エミッタンス　は(1)で定義されているので　　　　は独立ではなく、

ε β , α , γ

βγ − α2 = 1 (3)

が成り立たなければならない。（問２ これを確かめよ。）逆に　　　 が与えられたとき、これからエミッタンス及びTwissパラメータを求めることができる。

⟨x2

⟩= βε

〈xx′〉 = −αε⟨x′2⟩ = γε

⟨x2

⟩, 〈xx′〉 ,

⟨x′2⟩

⟨x2

⟩, 〈xx′〉 ,

⟨x′2⟩

Twiss パラメータの幾何学的意味

変数を(x, x’)から、次で与えられる変数(X, Y)に変えてみる。X = x

Y = x′ − ξx

新しい変数では となるように を選ぶとする：ξ

すなわち、直線　　　　の上下で等分布になるような傾き　がちょうど になる。

x′ = ξx ξ

−α/β

(4)

〈XY 〉 = 〈xx′〉 − ξ⟨x2

⟩= 0

ξ =〈xx′〉〈x2〉 = −α

β

〈XY 〉 = 0

x

x’

√βε

√γε√

ε/β

面積= πε

図2 Twiss パラメータの幾何学的意味

x′ = −α

βx

はビーム幅を表す はビームの傾きの幅を表す

√βε√γε

1.3 Twiss パラメータの場所による変化粒子達がビームラインにそって運動するとき、位相空間における分布もまた変化する。エミッタンスは保存量なので、Twiss パラメータの変化だけを考えればよい。簡単のためにここでは自由空間を運動する場合を考える。ビームラインに沿った長さをsとし、s=0における位置と傾きを　　 、s=sにおけるそれを とかくことにすれば、

x = x + sx′

x′ = x′

(x, x′) (x, x′)

(5)

という関係が成り立つ。これから

即ち、β = β − 2sα + s2γα = α− sγ

(6)(自由空間)

⟨x2

⟩=

⟨(x + sx′)2

⟩=

⟨x2

⟩+ 2s 〈xx′〉 + s2

⟨x′2⟩

〈xx′〉 = 〈(x + sx′)x′〉 = 〈xx′〉 + s⟨x′2⟩

粒子の軌跡

√β(s)ε

s

x

は粒子の軌跡群の包絡線を表す

x

x’

x

x’

√β(s)ε

問3 一般にx = m11x + m12x′

x′ = m21x + m22x′

のとき、

β = m211β − 2m11m12α + m2

12γα = −m11m21β + (m11m22 + m12m21)α−m12m22γ

が成り立つことを示せ。

問4 一般に次式が成り立つことを証明せよ。dβ

ds= −2α

2. FTBLの問題測定された分布からビーム幅が最小になるsを求めてみる。βが最小になるsをs=0とし、最小値をβ* とすると、(6)から

（α*=0に注意）。測定値 , から、(2-1)(2-2)を使って , を求めることができて、

(2-1)

(2-2)

β∗s

(2-3)

(2-4)図3 測定された位相空間

α = − s

β∗

β α

s = − β

α + α−1

β∗ =β

α2 + 1

β = β∗ +s2

β∗

分布のデータがあるのでこれから , を求めるべきであるが、ここでは目の子で求めてみる。仮に図3のような楕円にフィットできたとすると、 , , (水平方向)、 , , （垂直方向）を得る。これから、

β∗s

√ε/β = 0.00415

√βε = 0.0255

√ε/β = 0.00153

√βε = 0.0575

ε = 1.06× 10−4 mβ = 6.14 m

−α/β = 0.0731

α = −0.45

s = 2.30 m

β∗ = 5.11 m

−α/β = 0.104

ε = 8.80× 10−4 m

β = 3.76 m

α = −0.392

s = 1.28 m

β∗ = 3.26 m

（水平方向）

（垂直方向）

いずれもβとβ*はあまり違わない。

補遺解答問1

とかけることに注意して のとき

u = (x, x′)t とかくことにする。

det⟨uut

⟩= det

( ⟨x2

⟩〈xx′〉

〈xx′〉⟨x′2⟩

)=

⟨x2

⟩ ⟨x′2⟩ − 〈xx′〉2

u = Mu

det⟨uut

⟩= detM

⟨uut

⟩M t = (detM)2 det

⟨uut

⟩= det

⟨uut

⟩

問2 (2)を(1)に代入する。

問3 を計算する。⟨x2

⟩,⟨x′2⟩

問4

であることを思い起こすと、

x = m11x + m12x′

x′ = m21x + m22x′

x′ = dx/ds

sに関する微分を で表すことにする。(′)

において

dx/ds = m′11x + m′

12x′ = m12x + m22x

′

これは任意の初期条件 に対して成り立たねばならないのでx , x′

が成立する。問3の式

β = m211β − 2m11m12α + m2

12γα = −m11m21β + (m11m22 + m12m21)α−m12m22γ

の第１式を微分して第2式と比べると

β′ = 2(m11m′11β − (m′

11m12 + m11m′12)α + m12m

′12γ

= 2(m11m21β − (m21m12 + m11m22)α + m12m22γ

= −2α

を得る。

m21 = m′11 , m22 = m′

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