隨機信號處理課程之數位學習研究

計劃類別：■個別型計畫 □整合型計劃

計劃編號：NSC 94-2516-S-151-009

執行期間： 94 年 8 月 1 日至 95 年 9 月 30 日

計劃主持人：蘇德仁

共同主持人：黃世鈺

研究助理：杜彥頤、李光義、張俊偉、王崧任

執行單位：國立高雄應用科技大學電子工程系

中華民國 95 年 10 月 30 日

I

隨機信號處理課程之數位學習研究

摘 要

本 研 究 旨 在 以 「 隨 機 訊 號 處 理 」 作 為 大 學 課 程 的 焦 點 ， 運 用 電 腦 輔

助 教 學 的 方 式，將 課 程 內 容 落 實 於 數 位 平 台 上，就 自 我 導 向 之 學 習 型 態 ，

落 實 各 項 學 習 方 案 。 將 「 隨 機 訊 號 處 理 」 以 一 項 具 親 合 力 與 互 動 方 式 的

數 位 平 台 型 態 呈 現 ， 據 以 逐 步 改 善 學 生 的 遠 距 學 習 環 境 ， 並 能 由 淺 入 深

習 得 課 程 的 基 本 觀 念 ， 使 學 習 者 能 更 容 易 進 入 相 關 領 域 。

研 究 者 運 用 ASUUURE 教 學 模 式 實 施 本 課 程 ， 並 依 據 課 程 本 位 評 量(CBM)理 論 編 製 學 習 評 量 問 卷，同 時 透 過 單 組 前 後 測 設 計 瞭 解 學 習 成 效 。

咸 信 本 研 究 能 提 供 學 習 「 隨 機 訊 號 處 理 」 課 程 的 正 確 方 向 ， 並 能 有

助 於 學 習 者 應 用 於 解 決 相 關 工 程 問 題 上 。

關 鍵 字 ： 隨 機 信 號 處 理 、 數 位 學 習 平 台 、 遠 距 教 學 。

II

The Study of Random Signal Processing Curriculum

in E-learning

Abstract This research focuses on the curriculum of random signal processing

for undergraduates. The e-learning platform is constructed by computer assisted instruction (CAI) for accomplishing the learning program of self-direction. It presents a friendly and interacting mode to improve students’ distance learning step by step.

About the curriculum implementation, researchers utilize the instructional procedure with ASSURE model and compile a questionnaire of learning evaluation which was conducted based on Curriculum-based Assessment(CBA).Through the One Group Pretest-posttest Design , to get and understand about the learning effectiveness of random signal processing curriculum. It is believed that the findings of this research will provide positive guidelines for learning random signal processing and which will be helpful in a successful accomplishment for learners.

Index Terms

Random signal processing, e-learning platform, distance learning.

III

目 錄

摘 要 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I I 目 錄 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I II 表 目 錄 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 圖 目 錄 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI 一 . 緒論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. 研 究 背 景 與 動 機 .......................................................................................... 1 1.2. 研 究 目 的 ........................................................................................................ 2 1.3. 研 究 問 題 ........................................................................................................ 2 1.4. 名 詞 釋 義 ........................................................................................................ 2

二 . 文獻探討 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1. 隨 機 信 號 處 理 的 重 要 性 ............................................................................ 4 2.2. 數 位 學 習 的 優 點 .......................................................................................... 4 2.3. e 化 教 學 的 創 新 性 與 前 瞻 性 ..................................................................... 5 2.4. ASSURE 教 學 模 式 的 特 質 ....................................................................... 6 2.5. 運 用 Matlab 模 擬 設 計 課 程 的 要 項 ..................................................... 10

三 . 研究方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.1. 研 究 設 計 ...................................................................................................... 12 3.2. 研 究 對 象 ...................................................................................................... 13 3.3. 研 究 工 具 ...................................................................................................... 14 3.4. 資 料 處 理 與 分 析 ........................................................................................ 17

四 . 隨 機 信 號 處 理 課 程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1. 機率的基本觀念 ............................................................................................. 18

4.1.1. 條件機率 ............................................................................................ 18 4.1.2. 獨立與互斥事件 ................................................................................ 20 4.1.3. 貝氏定理 ............................................................................................ 20 4.1.4. 練習題 1 ............................................................................................. 23

4.2. 單一隨機變數 ................................................................................................. 24 4.2.1. 機率密度函數 .................................................................................... 24 4.2.2. 期望值與變異數 ................................................................................ 27 4.2.3. 練習題 2 ............................................................................................. 30

4.3. 常見的機率密度函數 ..................................................................................... 34 4.3.1. Bernoulli ............................................................................................. 34 4.3.2. Binomial ............................................................................................. 34 4.3.3. Geometric ........................................................................................... 34

IV

4.3.4. Poisson................................................................................................ 35 4.3.5. Gaussian ............................................................................................. 35 4.3.6. Uniform .............................................................................................. 35 4.3.7. Exponential......................................................................................... 36

4.4. 多重隨機變數 ................................................................................................. 45 4.4.1. 聯合累積分配函數 ............................................................................ 45 4.4.2. 聯合機率密度函數 ............................................................................ 45 4.4.3. 多重隨機變數的運算 ........................................................................ 48 4.4.4. 練習題 3 ............................................................................................. 52

4.5. 隨機程序 ......................................................................................................... 54 4.5.1. 隨機程序的概念 ................................................................................ 54 4.5.2. 隨機程序的分類 ................................................................................ 55 4.5.3. 自相關函數 ........................................................................................ 56 4.5.4. 交叉相關函數 .................................................................................... 58 4.5.5. 功率密度頻譜 .................................................................................... 58 4.5.6. 功率密度頻譜與自相關函數的關係 ................................................ 60 4.5.7. 交叉功率密度頻譜 ............................................................................ 63 4.5.8. 白雜訊 ................................................................................................ 64 4.5.9. 練習題 4 ............................................................................................. 70

4.6. 最佳濾波器系統設計 ..................................................................................... 72 4.6.1. 匹配濾波器 ........................................................................................ 72

五 . 研 究 結 果 與 討 論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1. 隨機信號處理課程規劃之適切度分析 ......................................................... 76 5.2. 探 究 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 之 前 後 差 異 .......................................... 77 5.3. 探 討 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 後 之 反 應 .............................................. 79

六 . 結論與建議 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1. 結論部分 ......................................................................................................... 80 6.2. 建議部分 ......................................................................................................... 80

參 考 文 獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 附 錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

教學平台安裝說明 ..................................................................................................... 83 教學平台使用說明 ..................................................................................................... 86 學習評量(甲) .............................................................................................................. 90 學習評量(乙) .............................................................................................................. 93

V

表 目 錄

表 1： 依 據 學 習 者 特 質 規 劃 的 學 習 方 式 ................................................................. 7 表 2： 受 試 對 象 基 本 資 料 分 析 .................................................................................. 14 表 3： 隨 機 信 號 處 理 課 程 單 元 要 項 ........................................................................ 15 表 4： 測 驗 量 表 統 計 摘 要 ........................................................................................... 16 表 5： 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 評 量 分 測 驗 要 項 ........................................ 17 表 6： 運 用 Matlab 模 擬 設 計 的 隨 機 信 號 處 理 課 程 之 Cronbachα 係 數 ...... 76 表 7：運 用 Matlab 模 擬 設 計 的 隨 機 信 號 處 理 課 程 內 部 一 致 性 分 析（ N=10）

..................................................................................................................................... 76 表 8： 運 用 Matlab 模 擬 設 計 的 隨 機 信 號 處 理 課 程 之 適 合 度 考 驗 (N=10) .. 77 表 9： 受 試 者 前 後 測 總 分 結 果 分 析 ........................................................................ 77 表 10： 學 習 評 量 前 後 測 分 測 驗 結 果 分 析 ............................................................. 78 表 11： 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 學 後 反 應 ................................................................. 79

VI

圖 目 錄

圖 1： 教 學 回 饋 環 線 ...................................................................................................... 8 圖 2： 運 用 多 媒 體 的 教 學 互 動 型 態 .......................................................................... 9 圖 3： e 化 學 習 平 台 的 進 路 環 線 ................................................................................ 9 圖 4： 終 生 教 育 e 化 學 習 方 案 模 式 ......................................................................... 10 圖 5： 離 散 與 連 續 隨 機 變 數 分 佈 的 模 擬 視 窗 案 例 ............................................ 11 圖 6： 點 選 連 續 隨 機 分 佈 的 常 態 分 配 視 窗 .......................................................... 11 圖 7： 點 選 離 散 隨 機 分 佈 帕 松 分 配 視 窗 ............................................................. 12 圖 8： 研 究 設 計 .............................................................................................................. 13 圖 9：隨機信號處理教學平台架構圖 ............................................................................. 15 圖 10：A 為 10Ω、B 為 10%容忍誤差之條件機率模擬結果 ...................................... 19 圖 11：二進位對稱式系統模型 ....................................................................................... 21 圖 12：模擬參數為 1 0( | )P S R = 0.9、 0 1( | )P R S = 0.2、 0( )P S = 0.8 的結果 ........... 22 圖 13： 1 0( | )P S R = 0.5、 0 1( | )P R S = 0.3、 0( )P S = 0.1 的結果 ............................... 22 圖 14：模擬 p = 0.75 的介面圖 ....................................................................................... 26 圖 15：p = 0.75 的機率密度函數與累積分佈函數圖 .................................................... 26 圖 16：單獨查詢 P[x = 1]、F[x

VII

圖 36：多重隨機變數運算的模擬介面 ........................................................................... 51 圖 37：隨機程序 X1(t)與 X2(t) ......................................................................................... 54 圖 38：自相關函數的模擬介面 ....................................................................................... 57 圖 39：自相關函數圖形 ................................................................................................... 58 圖 40：功率密度頻譜與自相關函數的關係的模擬介面 ............................................... 62 圖 41：自相關函數與功率密度頻譜圖形 ....................................................................... 63 圖 42：低通有限頻帶寬白雜訊(lowpass band limited white noise) ............................... 66 圖 43：帶通有限頻帶寬白雜訊(bandpass band limited white noise) ............................. 67 圖 44：有限帶寬白雜訊模擬介面 ................................................................................... 68 圖 45：低通有限頻帶寬白雜訊圖形 ............................................................................... 69 圖 46：帶通有限頻帶寬白雜訊圖形 ............................................................................... 69 圖 47：白雜訊的匹配濾波器設計模擬介面 ................................................................... 75 圖 48：輸入、輸出與最佳濾波器的脈衝響應圖形 ....................................................... 75 圖 49：隨機程序數位教學平台之安裝畫面 ................................................................... 83 圖 50：安裝步驟 2 ............................................................................................................ 83 圖 51：安裝步驟 3 ............................................................................................................ 84 圖 52：安裝步驟 4 ............................................................................................................ 84 圖 53：安裝步驟 5 ............................................................................................................ 85 圖 54：安裝步驟 6 ............................................................................................................ 85 圖 55：安裝步驟 7 ............................................................................................................ 85 圖 56：教學說明步驟 1 .................................................................................................... 86 圖 57：教學說明步驟 2. ................................................................................................... 87 圖 58：教學說明步驟 3-1................................................................................................. 87 圖 59：教學說明步驟 3-2................................................................................................. 88 圖 60：教學說明步驟 3-3................................................................................................. 89

1

一. 緒論

1.1. 研 究 背 景 與 動 機 有 鑑 於 新 世 紀 網 際 網 路 的 蓬 勃 發 展 ， 數 位 學 習 (e-Learning)經 由 通 訊

與 線 上 作 業 (online operation)， 呈 現 多 面 向 的 網 狀 互 動 關 係 ， 能 夠 實 現 自

我 導 向 學 習 (self-directed learning)、 協 同 學 習 (collaborative learning)與 虛 擬

情 境 學 習 (virtual reali ty learning)的 教 育 理 想 [1]， 致 使 遠 距 教 學 與 數 位 學

習 ， 蔚 為 勢 所 必 趨 的 新 潮 。

近 年 間 ， 世 界 科 技 先 進 諸 國 ， 對 於 遠 距 離 教 學 與 數 位 學 習 均 有 長 遠

的 規 劃 與 發 展 ， 其 要 項 概 述 如 下 ：

1999 年 超 過 95%的 澳 洲 學 生 使 用 網 際 網 路 進 行 溝 通 ， 且 積 極 發 展 數

位 學 習 環 境 、 培 訓 遠 距 教 學 之 專 家 ， 掌 握 數 位 學 習 之 發 展 契 機 。 以 澳 洲

昆 士 蘭 大 學 為 例，75%的 學 分 與 學 位 經 由 數 位 學 習 學 程 授 予，目 前 澳 洲 已

經 擴 展 教 育 市 場 至 亞 洲 地 區 。

1999 年 至 2004 年 間 ， 超 過 35 萬 修 讀 授 予 學 位 者 ， 選 擇 美 國 大 學 的

線 上 課 程 ： 2000 至 2001 間 ， 全 美 一 學 年 內 約 有 56%二 年 制 或 四 年 制 教 育

機 構 ， 提 供 約 三 百 一 十 多 萬 個 遠 距 教 育 課 程 ； 並 有 約 45%的 機 構 ， 參 與

具 有 泉 州 規 模 的 教 育 聯 盟 ， 各 項 登 記 的 線 上 學 習 課 程 年 成 長 率 為 33%。

2003 年 ， 英 國 建 立 國 家 型 策 略 機 構 與 組 織 ， 以 影 響 或 運 作 國 家 型 遠 距 教

學 與 數 位 學 習 策 略 ， 提 昇 高 等 教 育 的 教 學 需 要 與 活 動 支 援 、 數 位 化 資 源

的 彙 整 與 傳 遞 、 並 建 立 虛 擬 數 位 學 習 環 境 之 良 好 技 術 架 構 等 項 工 作 。 英

國 學 習 和 科 技 委 員 會 (Learning and Skills Council， LSC， 2004)， 曾 透 過 其

規 劃 的 全 國 學 習 網 路 (National Learning Network，NLN) 力 倡「 擴 大 參 與 和

計 畫 學 習 」 (Widening participation and e-learning， WIPE)， 期 使 透 過 資 訊

通 信 科 技 ， 規 劃 學 習 課 程 ， 運 用 e 化 學 習 ， 將 學 習 無 遠 弗 屆 的 傳 遞 到 希

望 學 習 以 及 難 以 接 觸 的 學 習 者 [2]、 [3]。

此 外 ， 法 國 的 國 家 遠 距 教 學 研 究 中 心 ， 提 供 來 自 190 個 國 家 3 萬 位

學 生 登 記 註 冊 ； 中 國 大 陸 也 從 1999 年 的 38 所 試 點 高 校 開 始 紮 根 ， 迄 至

2004 年 以 擴 增 為 68 所，且 成 立 遠 程 教 育 協 作 組，由 北 京 清 華 大 學 為 教 育

學 院 擔 任 指 導 ， 其 採 用 互 聯 網 、 衛 星 通 訊 網 、 有 線 電 視 網 等 作 為 遠 程 教

育 技 術 平 台 ； 實 施 之 後 亦 提 出 包 括 ； 遠 程 教 育 定 位 、 發 展 重 點 、 課 程 規

劃 、 統 籌 管 理 和 硬 體 設 備 等 項 檢 討 ， 香 港 、 新 加 坡 與 馬 來 西 亞 等 地 ， 也

都 致 力 成 為 國 際 化 數 位 教 育 的 開 發 者 ， 以 作 為 後 續 進 展 的 參 考 。

國 內 近 年 來 所 提 出 有 關 遠 距 教 學 與 數 位 學 習 之 計 畫 ， 自 1994 年 以

來 ， 包 括 下 列 要 項 ：

1994 年 「 遠 距 教 學 先 導 系 統 」 與 「 高 速 網 路 實 驗 平 台 」 設 置 計 畫 、

1996 年 跨 校 「 遠 距 教 學 試 辦 計 畫 」、 1997 年 「 遠 距 教 學 中 程 計 畫 」、 1998

2

至 2000 年 擴 大 實 施 「 同 步 及 時 群 播 遠 距 教 學 計 畫 」、 2001 年 起 鼓 勵 大 專

院 校 發 展 網 路 教 學「 非 同 步 遠 距 教 學 計 畫 」；殆 至 2003 年 起 開 始 推 動「 數

位 學 習 國 家 型 科 技 計 畫 」， 不 僅 考 量 面 臨 網 路 時 代 的 挑 戰 、 且 顧 及 奠 定 國

民 基 本 能 力 、 權 利 與 競 爭 實 力 例 的 培 養 。 可 見 政 府 對 遠 距 教 學 與 數 位 學

習 方 面 極 為 重 視 ， 目 前 ， 國 內 各 大 專 院 校 以 及 坊 間 之 企 業 ， 紛 紛 致 力 於

數 位 學 習 上 之 軟 體 設 計 與 軟 體 架 設 ， 對 原 本 已 蓬 勃 發 展 之 電 腦 輔 助 學 習

與 教 學 (Computer Assisted Learning and Instruction)， 更 有 推 波 助 瀾 的 效果 ， 以 達 到 有 效 教 學 (effectiveness instruction)的 目 標 [4]。

1.2. 研 究 目 的 緣 此 ， 本 研 究 配 合 政 府 推 展 數 位 學 習 的 政 策 ， 運 用 多 媒 體 暨 電 腦 輔

助 教 學 (CAI)、 提 供 數 位 學 習 課 程 服 務 ， 具 有 下 列 研 究 目 的 ： 1.依 據 Matlab 模 擬 設 計 ， 建 置 e 化 數 位 學 習 平 台 ， 規 劃 隨 機 信 號 處 理

課 程 。

2.運 用 ASSURE 教 學 模 式 ， 透 過 課 程 本 位 評 量 ， 比 較 學 習 者 接 受 隨 機

信 號 處 理 課 程 的 學 習 成 效 。

3.瞭 解 學 習 者 接 受 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 前 後 反 應 。

4.綜 合 研 究 成 果 ， 提 出 具 體 建 議 ； 藉 供 行 政 措 施 、 教 學 規 劃 與 學 術 研

究 上 的 參 考 。

1.3. 研 究 問 題 依 據 上 述 研 究 目 的 ， 本 研 究 提 出 下 列 研 究 問 題 ：

1.探 討 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 規 劃 情 形 。

2.探 討 受 試 者 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 差 異 情 形 。

3.探 討 受 試 者 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 學 後 反 應 情 形 。

1.4. 名 詞 釋 義 1.隨 機 訊 號 處 理 (Random signal processing) 隨 機 信 號 是 一 種 非 確 定 性 的 信 號 ， 如 熱 噪 聲 信 號 發 生 器 輸 出 的 電 信號 ， 飛 行 器 起 飛 時 的 結 構 振 動 ， 以 及 起 伏 海 面 的 波 動 高 度 等 。 它 們 的 共

同 特 點 是 無 法 預 測 其 未 來 瞬 間 的 精 確 值 。 離 散 隨 機 信 號 處 理 是 指 利 用 數

字 運 算 ， 對 離 散 隨 機 信 號 進 行 各 種 濾 波 處 理 、 離 散 變 換 和 頻 譜 分 析 。 處

理 的 目 的 是 便 於 從 中 提 取 有 用 的 信 息 ， 消 弱 信 號 中 的 多 餘 信 息 量 ， 便 於

估 計 信 號 的 特 徵 參 數 ， 或 變 換 成 易 於 分 析 和 識 別 的 形 式 等 [5]。

本 研 究 所 稱 隨 機 訊 號 處 理 ， 係 指 利 用 數 字 運 算 ， 對 離 散 隨 機 信 號 進

行 各 種 濾 波 處 理 、 離 散 變 換 和 頻 譜 分 析 等 歷 程 。

3

2.隨 機 訊 號 處 理 課 程 (The course of random signal processing)[6]

係 將 所 有 隨 機 訊 號 處 理 的 理 論 分 門 別 類 ， 從 基 礎 至 進 階 的 定 理 加 以

整 理 而 成 的 教 材 。

本 研 究 所 稱 隨 機 訊 號 處 理 課 程 ， 包 含 ： (1)機 率 的 基 本 概 念 、 (2)單 一

隨 機 變 數 、 (2)常 見 的 機 率 密 度 函 數 、 (3)多 重 隨 機 變 數 、 (4)隨 機 程 序 、 (5)

最 佳 濾 波 器 系 統 設 計 等 六 單 元 ， 除 將 各 項 學 理 進 行 整 理 及 說 明 外 ， 並 提

供 例 題 與 模 擬 算 式 。

3. Matlab(矩 陣 實 驗 室 ) Matlab 是 由 MathWorks 公 司 於 1984 年 推 出 的 數 學 軟 體，其 名 稱 是 由「 矩 陣 實 驗 室 」 (MAtrix LABoratory)所 合 成 ， 因 此 可 知 其 最 早 的 發 展 理念 是 提 供 一 套 非 常 完 善 的 矩 陣 運 算 指 令 ， 但 隨 著 數 值 運 算 需 求 的 演 變 ，

MATLAB 已 成 為 各 種 系 統 模 擬 、 數 位 訊 號 處 理 、 科 學 目 視 的 標 準 語 言 。 本 研 究 所 稱 Matlab， 係 指 運 用 Matlab 強 大 的 數 值 運 算 能 力 ， 例 如 ： 指 數 函 數、高 斯 函 數 等 內 建 函 數 來 規 劃 隨 機 信 號 處 理 課 程。此 外，Matlab提 供 各 式 各 樣 的 繪 圖 指 令 例 如 ： 階 梯 圖 、 長 條 圖 、 向 量 場 圖 等 ， 不 僅 減

少 開 發 平 台 的 時 間 且 模 擬 隨 機 信 號 處 理 中 數 學 定 理 讓 學 生 易 於 了 解 較 為

複 雜 的 理 論 [7]。

4.數 位 學 習 (E-Learning) 又 稱 網 路 化 教 育 (web-based education)， 意 即 透 過 運 用 電 腦 、 網 路 科技 從 事 教 與 學 的 型 態。是 以 電 腦 等 終 端 設 備 為 輔 助 工 具 進 行 線 上 (on-line)或 離 線 (off-line)的 學 習 活 動 ， 又 稱 網 路 化 教 育 (web-based education)。 其內 涵 包 括：數 位 學 習 內 容 製 作、工 具 軟 體 建 置 服 務 及 學 習 課 程 服 務 等 項 ；

具 有 結 合 學 習 的 成 本 效 益 (cost effectiveness)與 時 空 靈 活 性 (at anywhere &anytime)等 特 質 [8][9]。 本 研 究 所 稱 數 位 學 習 ， 係 指 教 學 平 台 與 數 位 化 教 材 的 結 合 。 數 位 化

教 材 部 分 以 HTML 格 式 (俗 稱 網 頁 格 式 )編 輯 而 成 ， 教 學 平 台 則 以 Visual Basic 與 Matlab 建 立 ， 其 中 Matlab 提 供 數 學 指 令 運 算 ， 扮 演 理 論 模 擬 的角 色，而 Visual Basic 則 是 建 立 平 台 的 封 裝、部 署 等 功 能，使 學 生 能 進 行離 線 式 (Off-line)的 學 習 [10][11]。 綜 言 之 ， 本 研 究 係 配 合 規 劃 「 隨 機 信 號 處 理 」 課 程 ， 利 用 e 化 媒 體

素 材 、 運 用 ASSURE 教 學 模 式 ， 透 過 隔 空 教 育 (distance education)方 式 ，

提 供 學 習 者 線 上 數 位 學 習 機 會 ， 並 運 用 課 程 本 位 評 量 方 式 瞭 解 學 習 效

果 ， 以 發 展 、 促 進 學 習 者 尋 找 與 分 析 隨 機 信 號 的 統 計 特 質 ， 及 增 強 學 習

者 解 決 通 信 工 程 問 題 之 能 力 。

4

二. 文獻探討

有 關 本 研 究 的 相 關 文 獻 ， 謹 分 從 隨 機 信 號 處 理 的 重 要 性 、 數 位 學 習

的 優 點 、 e 化 教 學 的 創 新 性 與 前 瞻 性 、 ASSURE 教 學 模 式 的 特 質 與 運 用Matlab 模 擬 設 計 課 程 的 要 項 等 方 面 ， 分 述 如 下 ：

2.1. 隨 機 信 號 處 理 的 重 要 性 日 常 生 活 中 的 工 程 相 關 系 統 (例 如 ： 手 機 通 信 、 衛 星 訊 號 接 收 以 及 電

子 電 路 相 關 儀 器 … 等 等 )都 會 受 到 雜 訊 影 響 ， 而 使 得 系 統 未 能 達 到 預 期 的

效 能 。 因 此 設 計 克 服 此 種 隨 機 雜 訊 信 號 之 系 統 將 是 未 來 主 要 之 研 究 方

向 。 其 中 在 信 號 傳 輸 過 程 中 ， 都 將 伴 隨 著 若 干 雜 訊 ， 而 雜 訊 和 干 擾 之 性

質 是 隨 機 性 的 ， 這 些 雜 訊 本 身 和 系 統 對 它 們 的 響 應 即 是 隨 機 信 號 。 最 常

見 之 隨 機 信 號 是 轉 換 與 測 試 系 統 、 導 航 與 控 制 系 統 及 程 序 檢 測 系 統 中 的

各 種 雜 訊 與 干 擾 。

應 用 隨 機 信 號 處 理 技 術 ， 在 工 程 運 用 方 面 具 有 下 列 重 要 性 [12]：

1.在 精 密 加 工 如 微 米、奈 米 加 工 與 測 試 方 面，解 決 隨 機 干 擾 是 個 關 鍵

的 技 術 問 題 。

2.飛 行 器 在 空 中 受 到 之 許 多 擾 動、汽 車 與 火 車 在 行 駛 中 之 振 動 和 地 震

信 號 等 等 都 是 隨 機 信 號 。 雷 達 和 聲 納 接 收 到 之 訊 號 除 有 用 訊 號 外 ， 也 都

摻 入 了 許 多 隨 機 干 擾 信 號 。

3.在 生 物 醫 學 領 域，心 電、腦 電、肌 肉 電 中 也 帶 有 各 式 各 樣 的 隨 機 信

號，這 些 信 號 不 但 因 人 而 異，因 此 必 須 有 效 地 提 取 來 自 人 體 系 统 之 信 號 ，

加 以 分 析 信 號 之 特 徵 ， 以 便 作 出 正 確 之 醫 療 決 策 。

由 此 可 見 ， 在 工 程 上 隨 機 信 號 處 理 的 運 用 很 廣 ， 其 影 響 深 遠 。 研 究 [4]顯

示 對 於 「 隨 機 通 訊 處 理 」 遠 距 教 學 的 課 程 規 劃 ， 能 使 學 習 者 依 據 工 作 分

析 法 (task analysis)的 細 步 化 建 構 ， 就 個 別 學 習 進 度 ， 循 序 漸 進 的 反 覆 練

習 ， 系 統 化 與 功 能 性 的 協 助 學 習 者 建 立 有 關 「 隨 機 通 信 處 理 」 的 各 項 基

礎 知 識，有 利 於 在 精 密 加 工、訊 號 處 理 等 工 程 與 電 子 介 面，及 生 物 醫 學 、

行 為 研 究 上 之 諸 多 運 用 。 對 邁 向 數 位 學 習 社 會 、 追 求 有 效 知 識 之 努 力 深

具 關 鍵 性 的 作 用 。

2.2. 數 位 學 習 的 優 點 數 位 學 習 係 是 以 電 腦 等 終 端 設 備 為 輔 助 工 具，進 行 線 上 (on-line)或 離

線 (off-l ine)等 系 列 性 學 習 活 動，其 內 涵 包 括：數 位 學 習 內 容 製 作、工 具 軟

體 建 置 服 務 及 學 習 課 程 服 務 等 項 [13]。

數 位 學 習 強 調 電 子 化 方 式 及 學 生 中 心 ， 利 用 各 種 多 媒 體 與 網 路 技

術 ， 學 習 者 能 夠 隨 時 隨 地 進 行 學 習 ， 在 網 路 化 環 境 中 ， 主 導 學 習 進 度 ，

5

並 與 網 路 上 的 多 媒 體 教 材 等 數 位 學 習 資 源 進 行 互 動 ， 進 而 滿 足 個 別 化 的

自 我 學 習 目 標 。 其 優 點 列 述 如 下 ：

1.因 應 個 別 差 異

由 於 個 人 學 習 狀 況 不 同 (排 除 個 人 因 素 )， 每 個 人 的 學 習 狀 況 各 具 異

質 性 ， 有 教 無 類 的 大 眾 化 教 學 方 式 ， 事 實 上 並 不 適 合 運 用 在 比 較 艱 澀 與

困 難 的 題 材 上 ； 相 對 地 ， 達 到 因 材 施 教 與 適 應 學 習 者 個 別 差 異 的 教 學 目

標 ， 才 符 合 教 育 的 理 想 。 而 個 別 化 教 學 方 式 乃 達 到 此 理 想 途 徑 之 一 。

電 腦 輔 助 學 習 與 教 學 ， 能 夠 符 合 個 別 化 教 學 方 面 之 需 求 ， 允 許 學 生

依 個 人 學 習 狀 況 ， 自 行 掌 握 學 習 步 調 ， 並 能 以 合 乎 自 己 之 速 度 及 流 程 學

習 ， 進 而 可 以 提 昇 學 生 之 學 習 動 力 ， 增 加 其 求 知 欲 以 期 能 自 動 學 習 [14]。

2.滿 足 隔 空 教 育 (distance education)的 需 求

透 過 遠 距 教 學 (排 除 外 在 因 素 )，是 滿 足 隔 空 教 育 最 主 要 的 途 徑。遠 距

教 學 能 克 服 地 理 空 間 上 距 離 和 屏 障 ， 當 老 師 與 學 生 無 法 同 時 進 行 教 學 活

動 ， 藉 由 遠 距 教 學 方 式 作 為 跨 越 時 空 隔 閡 的 橋 樑 ， 達 到 學 習 的 目 的 。 此

外 ， 遠 距 教 學 具 有 師 資 互 補 以 及 平 衡 城 鄉 差 距 之 優 點 ， 讓 原 住 民 或 是 居

住 在 遠 地 學 子 們 免 於 舟 車 勞 頓 之 苦 ， 亦 能 充 分 運 用 、 並 經 濟 人 力 與 避 免

時 間 上 之 耗 費 。

3.節 省 成 本 及 發 揮 人 力 資 源

數 位 學 習 僅 需 耗 用 於 起 始 點 的 硬 體 架 設 與 網 路 線 佈 置 ， 以 及 在 軟 體 設 計

上 需 要 耗 費 人 力 與 物 力 ； 當 軟 硬 體 設 備 皆 完 成 後 ， 則 只 需 定 期 進 行 更 新

與 維 護 工 作 ， 卻 可 連 續 性 地 提 供 使 用 者 不 限 次 數 與 時 數 學 習 運 用 ， 非 常

節 省 成 本 與 人 力 資 源 [15]。

2.3. e 化 教 學 的 創 新 性 與 前 瞻 性 可 從 下 列 取 向 進 行 初 探 ： 1.在 e 化 教 學 的 創 新 性 方 面 從 跨 文 化 (cross cultural)的 觀 點，強 調 e 化 教 學 所 形 塑 的 文 化 異 質 性(cultural diversity)與 數 位 學 習 世 界 (e-digital world)， 超 越 現 存 的 學 習 途徑 、 挑 戰 傳 統 學 習 的 侷 限 性 ， 展 現 無 遠 弗 屆 、 隨 時 隨 地 、 自 我 導 向

(self-direction)的 創 新 教 學 特 質 [15][16][17]。 教 育 部 近 年 間 鼓 勵 大 專 校 院 開 放 非 同 步 遠 距 教 學 ， 各 項 e 化 教 學 之努 力 ， 隨 之 方 興 未 艾 漸 次 展 開 [18][19]。 2.在 e 化 教 學 的 前 瞻 性 方 面 開 啟 網 頁 為 主 (web-based)的 未 來 學 習 趨 勢 ， 啟 動 電 子 化 與 通 信 器 械聯 組 的 多 元 基 模 (multischema)，呈 現 e 化 學 習 的 彈 性 教 學 策 略，包 括：核心 課 程 、 認 知 項 目 (knowledge items)、 學 習 單 元 (learning units)、 附 屬 課程 (sub-course)等 階 層，彙 整 數 位 通 信 的 後 設 資 訊 (meta data)，延 展 日 新 月

6

異 的 科 技 學 習 空 間 [20][21][22][23]。 e 化 教 學 的 數 位 學 習 風 潮，從 教 育 改 革 起 步，各 項 針 對 業 界 未 來 e 化的 發 展 迭 有 新 猷 [24]。

2.4. ASSURE 教 學 模 式 的 特 質 ASSURE 模 式 包 括 ： 分 析 學 習 者 (A--Analyze)、 敘 寫 目 標 (S— State)、

使 用 媒 體 與 教 材 (U--Util ize)、激 勵 學 習 者 參 與 (R--Require)、回 饋、評 量 與

修 正 (E--Evaluate)等 歷 程 [25]。

透 過 ASSURE 模 式 能 瞭 解 學 習 者 的 起 點 能 力 ， 以 利 於 因 應 個 別 差 異

(individualized difference)、 選 擇 適 性 的 媒 體、 激 發 學 習 者 主 動 性 與 自 發 性

的 學 習 動 機 ， 以 積 極 投 入 、 並 能 透 過 反 覆 自 我 操 作 與 練 習 而 充 分 吸 收 ；

最 後 ， 透 過 教 學 回 饋 環 線 (teaching feedback cycle )評 估 學 習 成 效 ， 將 能 有

效 增 強 學 習 者 面 對 工 作 或 業 務 瓶 頸 、 解 決 問 題 之 能 力 。

ASSURE 模 式 包 括 下 列 流 程 ：

1.A--Analyze： 分 析 學 習 者

教 學 設 計 的 起 步 ， 在 於 瞭 解 學 習 者 的 起 點 能 力 ， 以 利 於 因 應 個 別 差

異 (individualized difference)、選 擇 適 性 的 媒 體。本 研 究 將 從 下 列 向 度 著 手：

(1)學 習 者 的 一 般 特 性 ：

從 遠 距 教 學 與 隔 空 教 育 (distance education)的 觀 點 ， 就 學 習 者 地 域 性

的 差 別 分 析 ， 瞭 解 學 習 者 的 一 般 特 性 ； 以 高 雄 市 為 例 ： 旗 津 地 區 的 學 習

者 是 屬 於 離 島 環 境 、 楠 梓 、 右 昌 、 前 鎮 與 小 港 地 區 是 屬 於 工 業 環 境 、 苓

雅 與 新 興 地 區 偏 向 文 教 環 境 、 三 民 與 塩 埕 地 區 具 有 傳 統 商 業 環 境 的 特

質 、 左 營 地 區 呈 現 眷 村 環 境 的 形 貌 。

(2)具 體 的 起 點 能 力 與 教 學 主 體 相 關 的 知 識 、 技 能 和 態 度 。

依 據 學 習 者 的 學 習 動 機 ， 探 究 教 學 主 體 的 興 趣 導 向 ， 作 為 規 劃 CAI

學 習 內 容 的 參 考。例 如：對「 機 率 的 基 本 概 念 」具 有 強 烈 的 學 習 動 機 者 ，

提 供 手 機 通 訊 、 衛 星 訊 號 接 收 與 電 子 電 路 相 關 儀 器 等 項 學 習 課 程 ； 對 學

習「 隨 機 變 數 」充 滿 好 奇 者，提 供 數 學 化、模 型 化 的 隨 機 系 統 學 習 內 容 ；

對 於 「 隨 機 信 號 程 序 」 有 興 趣 德 學 習 者 ， 提 供 與 時 間 有 關 的 隨 機 變 數 與

程 序 等 課 程 內 容 ， 期 使 能 經 由 滿 足 學 習 動 機 ， 達 到 數 位 學 習 、 遠 距 教 學

的 目 標 。

(3)學 習 型 態 (learning style)

就 學 習 者 的 學 習 型 態 ， 依 據 其 學 習 特 質 ， 規 劃 學 習 方 式 ； 例 如 ： 需

要 透 過 示 範 演 練 過 程 ， 才 能 進 行 學 習 的 學 習 者 ， 將 提 供 模 仿 與 操 作 學 習

的 方 式 ， 引 導 其 學 習 (如 表 1)。

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表 1： 依 據 學 習 者 特 質 規 劃 的 學 習 方 式 學 習 者 特 質 規 劃 的 學 習 方 式

示 範 演 練 型 模 仿 與 操 作 學 習

反 覆 實 作 型 圖 示 解 說 並 重 複 步 驟

認 知 思 考 型 釐 清 基 本 概 念 引 導 擴 散 性 思 考

呼 朋 引 伴 型 同 儕 與 團 體 學 習

沉 默 觀 察 型 個 別 化 學 習

開 朗 表 現 型 主 動 探 索 學 習

2. S--State： 敘 寫 目 標 依 據 課 程 與 學 習 主 旨 ，首 先 分 析 各 項 學 習 方 案 中 可 預 期 (desirable)的

學 後 表 現 行 為 與 學 習 成 效 ， 明 確 地 發 展 並 敘 寫 學 習 目 標 ， 其 內 涵 包 括 下

列 領 域 ： (1)認 知 領 域 (cognitive domain)—從 建 立 核 心 知 識 ， 引 導 理 解 並 獲 得

基 本 概 念 。 (2)技 能 領 域 (skill domain)—從 熟 練 基 本 操 作 能 力 ， 引 導 習 得 與 經 熟

操 作 知 能 。 (3)情 意 領 域 (affective domain)—從 建 立 基 本 價 值，引 導 領 略 與 培 養 正

向 態 度 。 3.S--Slect： 選 擇 方 法 、 媒 體 與 教 材 在 確 定 教 學 對 象 與 學 習 目 標 後 ， 必 須 進 一 步 建 構 這 兩 項 教 學 起 始 與

終 點 間 的 橋 樑 ， 其 內 涵 包 括 方 法 、 媒 體 與 教 材 等 項 。 就 規 劃 「 Matlab 套 裝 軟 體 」 課 程 學 習 審 視 ， 選 擇 CAI 式 自 學 導 向 的

方 法 可 以 從 方 案 教 學 法 (programmed instruction) 、 教 學 機 (teaching machine)、S→ R 直 接 教 學 法 (direct instruction)與 工 作 分 析 法 (task analysis)等 項 著 手 ， 邁 向 精 熟 學 習 (mastery learning)的 程 度 。

就 應 用 於「 Matlab 套 裝 軟 體 」課 程 教 學，選 擇 數 位 學 習 的 輔 助 媒 體 ，可 以 充 分 運 用 板 書 (黑 板 /白 板 )基 礎 媒 體、反 射 /實 物 /單 槍 投 影 機 等 展 示 媒體 、 錄 放 影 機 /VCD/DVD 播 放 機 等 視 聽 媒 體 、 以 及 錄 影 機 、 一 般 /數 位 相機 等 紀 錄 媒 體 。

就 設 計 「 Matlab 套 裝 軟 體 」 課 程 教 材 ， 選 擇 隨 機 信 號 處 理 的 相 關 學習 內 容，具 有 時 效 特 質 的 功 能 性 教 材 (functional materials)，能 即 學 即 用 、傑 出 特 質 的 充 實 性 教 材 (enrichment materials)， 能 顯 現 優 勢 專 長 、 具 有 關懷 弱 勢 特 質 的 補 償 性 教 材 (compensatory materials)， 能 激 勵 尚 待 努 力 的 缺憾 。

4.U--Utilize： 使 用 媒 體 與 教 材 配 合 前 項 選 擇 ， 首 先 進 行 各 項 教 材 的 試 用 與 調 整 ； 其 次 ， 依 據 所 選

8

用 的 教 材 內 容 、 安 排 適 當 的 學 習 方 法 ； 並 從 遠 距 教 學 環 境 中 ， 透 過 e 化學 習 的 各 項 視 聽 媒 體 ， 掌 握 需 求 導 向 (needs approach)的 功 能 性 教 材 、 專長 導 向 (profession approach) 的 充 實 性 教 材 與 差 異 導 向 (difference approach)的 補 償 性 教 材 等 項 特 色 ， 活 潑 化 整 體 學 習 過 程 、 強 化 長 程 學 習(long term learning)記 憶 。

5.R--Require： 激 勵 學 習 者 參 與 為 能 有 效 進 行 數 位 學 習 課 程 服 務 ， 必 須 激 發 學 習 者 主 動 性 與 自 發 性

的 學 習 動 機 ， 以 積 極 投 入 、 並 能 透 過 反 覆 自 我 操 作 與 練 習 而 充 分 吸 收 。 在 激 勵 學 習 者 參 與 中，將 運 用 下 列 數 位 學 習 中 常 用 的 活 動 方 式 進 行： (1)遊 戲 法 (play game)—包 括 腦 力 激 盪 、 傳 聲 筒 、 解 碼 接 龍 、 比 手 畫

腳 等 活 動 。 (2)模 擬 法 (simulation game)—包 括 情 境 式 角 色 扮 演 與 虛 擬 問 題 解 決

等 活 動 。 (3)互 動 式 討 論 法 (interactive discussion game)—包 括 傾 聽 、 協 調 、 整

合 共 識 或 批 判 異 見 等 活 動 。 6.E--Evaluate： 回 饋 、 評 量 與 修 正

在 完 成 全 部 學 習 流 程 後 ， 必 須 透 過 下 列 教 學 回 饋 環 線 (teaching feedback cycle )評 估 學 習 成 效 (見 圖 1)：

圖 1： 教 學 回 饋 環 線 運 用 ASSURE 模 式 進 行 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 之 教 學 流 程 規劃、並 依 據 CBA 學 理 進 行 學 習 評 量，其 有 別 於 一 般 典 型 e 化 學 習 之 創 見，具 有 下 列 特 點 ：

1.综 合 運 用 多 媒 體 學 習 系 統 (Multimedia Learning System， MMLS) [26]

的 互 動 教 學 型 態，在 CBA 架 構 下，提 供 即 時 回 饋，以 達 精 熟 學 習 (mastery

learning)的 目 的 如 下 圖 (見 圖 2)：

目標 內容 方法 評量

9

圖 2： 運 用 多 媒 體 的 教 學 互 動 型 態 2.從 建 置 e 化 學 習 平 台 的 進 路 環 線 (Access Cycle-line Procedure，ACP)(Ho,et.al;2004)， 結 合 團 隊 、 以 工 作 分 析 法 (task analysis) 的 細 步 化原 則 ， 由 淺 入 深 逐 層 漸 進 引 導 ， 培 養 學 習 者 有 關 隨 機 信 號 的 處 理 知 能 ，

達 到 有 效 學 習 (effectiveness learning)、 滿 足 學 習 成 就 的 指 標 如 下 圖 (見 圖3)：

圖 3： e 化 學 習 平 台 的 進 路 環 線

3.兼 融 軟 體 方 案 管 理 (Software Project Management，SWPM)與 執 行 管理 方 案 (Executive Management IT， EMIT) [9]於 Matlab 模 擬 課 程 設 計 中 ，創 設 提 供 成 人 學 習 、 終 生 教 育 的 e 化 學 習 方 案 ， 激 發 自 發 性 學 習 意 願 ，培 養 主 動 學 習 者 如 下 圖 (見 圖 4)：

Skills & Desire

Success

Team

work

隨機信號處理課程數位化檔

案群 互動教學

即時回饋

教多媒體學習系統

精熟學習

10

圖 4： 終 生 教 育 e 化 學 習 方 案 模 式

2.5. 運 用 Matlab 模 擬 設 計 課 程 的 要 項 基 於 ”網 路 服 務 ”(as a Web Service)觀 點，運 用 Matlab 模 擬 設 計 課 程 ，其 要 點 包 括 下 列 要 項 [7][22]： 1.資 訊 時 代 通 識 素 養 (common sense of information age)—將 隨 機 信 號 處 理 知 能，透 過 e 化 學 習，推 廣 為 普 羅 大 眾 的 基 礎 常 識。 2.知 識 經 濟 創 造 利 益 (creative advantage of knowledge economy)—就知 識 管 理 與 分 享 的 經 濟 價 值 ， 透 過 數 位 學 習 平 台 ， 創 造 隨 機 信 號 處 理 的

學 習 利 多 與 效 益 。 3.智 慧 屬 性 隔 空 教 育 (distance education of intellectual property)—以多 元 化 的 線 上 學 習 模 組 ， 建 構 因 應 學 習 需 求 的 教 育 網 絡 ， 跨 越 校 際 學 習

的 藩 籬 、 擴 展 充 滿 潛 能 的 廣 泛 學 習 視 野 。 透 過 Matlab 軟 體 內 的 一 些 訊 號 處 理 相 關 指 令 ， 來 設 計 出 一 些 可 供 使

用 者 輸 入 參 數 的 介 面 。

下 例 所 示 ， 係 將 隨 機 訊 號 處 理 課 程 的 內 容 ， 透 過 Matlab 規 劃 學 習 平

台 ， 據 以 線 上 調 整 參 數 ， 經 由 學 習 者 於 網 路 視 窗 上 實 際 動 手 操 作 ， 達 到

最 佳 的 數 位 學 習 效 果 。

(1)案 例 一

以 離 散 與 連 續 隨 機 變 數 分 佈 之 模 擬 視 窗 為 例 ， 我 們 將 完 成 如 下 之 類 似 介

面 (見 圖 5)：

SWPM

EMIT

Matlab

成人學習終生教育

11

圖 5： 離 散 與 連 續 隨 機 變 數 分 佈 的 模 擬 視 窗 案 例

(2)案 例 二

規 劃 過 程 係 將 隨 機 變 數 分 佈 分 成 離 散 隨 機 分 佈 與 連 續 隨 機 分 佈 兩 部 分 ，

以 下 為 點 選 連 續 隨 機 分 佈 中 呈 現 常 態 分 配 的 視 窗 (見 圖 6)：

圖 6： 點 選 連 續 隨 機 分 佈 的 常 態 分 配 視 窗

此按鈕可供使用者點選

使用者參數輸入區 根據使用者設定之參

數顯示之波形與數據

12

其 中 參 數 部 分 是 由 使 用 者 輸 入，當 參 數 輸 入 完 成 後 按 下 ok 鍵，波 形

圖 將 會 顯 在 出 右 邊 的 圖 框 中 ， 此 波 形 圖 即 為 常 態 分 佈 之 機 率 密 度 函 數

(Probability Density Function 或 簡 稱 PDF)分 佈 圖。而 圖 的 正 上 方 之 數 值為 常 態 分 佈 之 累 積 分 佈 函 數 (Cumulative Distribution Function)值 。 (3)案 例 三

若 點 選 離 散 隨 機 分 佈 底 下 的 帕 松 分 配 將 產 生 如 下 所 示 的 視 窗 (見 圖 7)：

圖 7： 點 選 離 散 隨 機 分 佈 帕 松 分 配 視 窗

其 相 關 參 數 輸 入 與 上 例 相 似 ， 因 此 不 再 詳 述 。 右 邊 的 波 形 圖 代 表 帕

松 分 佈 之 機 率 密 度 函 數 ， 要 特 別 注 意 的 是 此 帕 松 分 佈 為 離 散 隨 機 分 佈 函

數 ， 因 此 可 以 看 到 此 波 形 圖 並 非 為 連 續 而 是 離 散 的 。

如 上 案 例 所 示 ， 每 當 使 用 者 輸 入 參 數 後 ， 即 可 按 下 ok 鍵 ， 以 顯 示 其 結 果

波 形 圖 。 若 是 使 用 者 欲 將 其 計 算 出 數 值 作 驗 證 ， 或 是 以 圖 例 顯 示 ， 即 可

利 用 此 模 擬 視 窗 來 達 到 驗 證 之 成 效 。

三. 研究方法

3.1. 研 究 設 計 包 括：運 用 Matlab 模 擬 設 計「 隨 機 信 號 處 理 課 程 」，建 置 e 化 數 位 學習 平 台 ； 以 及 採 單 組 前 後 測 設 計 (one group pretest-posttest design)， 瞭 解學 習 成 效 兩 項 設 計 。 1.在 運 用 Matlab 模 擬 設 計 「 隨 機 信 號 處 理 課 程 」 方 面 首 先 規 劃 為 機 率 之 基 本 觀 念 、 隨 機 變 數 、 隨 機 信 號 程 序 與 最 佳 濾 波

13

系 統 設 計 等 四 部 分 ； 其 次 利 用 Matlab 軟 體 ， 設 計 ： 數 位 學 習 平 台 、 各 學

習 單 元 基 本 原 理 介 紹 、 數 學 運 算 實 例 、 提 供 可 讓 使 用 者 輸 入 參 數 的 模 擬

視 窗 、 根 據 使 用 者 輸 入 參 數 顯 示 出 波 形 與 結 果 、 模 擬 日 常 生 活 中 有 關 隨

機 信 號 處 理 案 例 、 網 路 學 習 評 量 等 項 。

2.在 採 單 組 前 後 測 設 計 方 面 首 先 以「 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 評 量 (甲 )」作 為 前 測；在 受 試 樣本 進 行 線 上 學 習 後，緊 接 著 以「 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 評 量 (乙 )」作為 後 測 ； 並 透 過「 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 反 應 訪 談 問 卷 」， 瞭 解 受 試

者 的 學 後 反 應 。 參 照 ASSURE 模 式 ， 本 研 究 的 整 體 設 計 如 下 圖 (見 圖 8)：

ASSURE 模 式 Matlab 模 擬 設 計 課 程 CBM 課 程 本 位 評 量 ↓ ↓ 分 析 學 習 者 (A)------ 前 測 ↓ ↓ 敘 寫 目 標 (S)------ 建 立 e 化 學 習 平 台 ------ ( 目 標 )

↓ ↓ ↓ 選 擇 教 材 (S) ------ 隨 機 信 號 處 理 課 程 ------ ( 內 容 ) ↓ ↓ ↓ 使 用 媒 體 (U) ------ 網 路 /線 上 學 習 ------- ( 方 法 ) 鼓 勵 學 習 (R) ------ ↓ 學 習 評 量 (E) ------ 後 測 ------- ( 評 量 )

圖 8： 研 究 設 計

3.2. 研 究 對 象

本 研 究 採 立 意 取 樣，以 國 立 高 雄 應 用 科 技 大 學 選 修「 隨 機 信 號 」 課程 的 電 子 系 所 學 生 為 對 象 ， 其 基 本 資 料 分 析 如 表 2：

14

表 2： 受 試 對 象 基 本 資 料 分 析 N=13 代

號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 合

計

男 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11性別 女 1 1 2

日

間

部

1 1 1 1 1 1 1 1 8 學制

進

修

部

1 1 1 1 1 5

3.3. 研 究 工 具

依 據 研 究 目 的 ， 使 用 「 隨 機 信 號 處 理 數 位 教 學 系 統 」、「 隨 機 信 號 處理 課 程 數 位 學 習 評 量 」、「 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 反 應 問 卷 」 等 項 研

究 工 具 ， 其 內 涵 分 述 如 下 ： 1.隨 機 信 號 處 理 數 位 教 學 系 統 本 系 統 主 要 架 構 可 分 成 教 學 平 台 的 開 發 與 隨 機 信 號 處 理 課 程 規 劃 兩項，教 學 平 台 架 構 如 圖 9 所 示，其 核 心 採 用 Visual Basic 程 式 開 發 軟 體 建立，透 過 Visual Basic 可 以 輕 易 且 快 速 建 立 友 善 的 圖 形 使 用 介 面（ Graphic User Interface： GUI）， 提 高 學 習 上 的 方 便 性 與 使 用 的 意 願 。 此 外 ， Visual Basic 提 供 封 裝 與 部 署 的 功 能，讓 學 習 者 容 易 安 裝 本 系 統 以 順 利 進 行 離 線式 的 學 習 。 另 一 方 面 ， 以 功 能 的 角 度 來 描 述 教 學 平 台 時 ， 可 分 成 內 容 單

元 與 模 擬 單 元 兩 項 ， 內 容 單 元 是 負 責 將 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 化 ， 以 文

字 、 圖 像 方 式 呈 現 ， 且 每 項 課 程 皆 以 HTML 格 式 (俗 稱 網 頁 格 式 )製 程 模組 ， 對 於 日 後 教 材 的 建 製 更 具 多 元 化 ， 且 方 便 更 新 與 維 護 。 模 擬 單 元 則

是 運 用 Matlab 強 大 的 數 值 運 算 能 力 ， 模 擬 隨 機 信 號 處 理 中 數 學 定 理 ， 讓學 生 易 於 了 解 較 為 複 雜 的 理 論 。 隨 機 信 號 處 理 課 程 包 括 ： 機 率 的 基 本 觀 念 、 單 一 隨 機 變 數 、 常 見 的機 率 密 度 函 數 、 多 重 隨 機 變 數 、 隨 機 程 序 與 最 佳 率 波 系 統 等 六 單 元 ： 強

調 透 過 線 上 學 習 ， 讓 學 習 者 從 操 作 中 體 會 自 主 性 求 知 的 流 程 與 樂 趣 ， 其

要 項 統 整 如 表 3：

15

Random Signal Processing E-learning Framework

Content Unit Simulation Unit

＊.html

＊.html ＊.html

＊.m

＊.m＊.m

HTML files MATLAB files

Visual Basic

圖 9：隨機信號處理教學平台架構圖

表 3： 隨 機 信 號 處 理 課 程 單 元 要 項

單 元 要 項 ----------------------------------------------------------------------------------- 一 機率的基本觀念 (一)條件機率 (二)獨立與互斥事件 (三)貝氏定理 二 單一隨機變數 (一)機率密度函數 (二)期望值與變異數 三 常見的機率密度函數 (一) Bernoulli (二)Binomial (三)Geometric (四)Poisson (五)Gaussian (六)Uniform(七)Exponential 四 多重隨機變數 (一)聯合累積分配函數 (二)聯合機率密度函數 (三)多重隨機變數的運算 五 隨機程序 (一)隨機程序的概念 (二)隨機程序的分類 (三)自相關函數 (四)交叉相關函數 (五)功率密度頻譜 (六)功率密度頻譜與自相關函數的關係 (七)交叉功率密度頻譜 (八)白雜訊 六 最佳濾波器系統設計 (一)匹配濾波器 -------------------------------------------------------------------------------------------------------

16

透 過 前 述 課 程 ， 進 一 步 建 構 包 括 ： 原 理 介 紹 、 例 題 解 說 與 理 論 模 擬

等 項 目 ， 其 內 涵 概 述 如 下 ：

(1)原 理 介 紹 ： 彙 整 隨 機 信 號 處 理 相 關 課 程 理 論 、 依 據 課 程 內 容 循 序

編 排 ， 著 重 於 公 式 說 明 與 探 討 ， 以 文 件 形 式 呈 現 並 提 供 學 習 者 於 網 路 上

之 連 結 。

(2)例 題 解 說 ： 在 學 習 者 閱 畢 訊 號 處 理 相 關 理 論 後 ， 於 每 一 個 課 程 單

元 設 計 數 學 運 算 實 例 ， 作 測 試 以 確 定 學 習 者 能 否 完 全 融 會 貫 通 。

(3)理論模擬：由於隨機信號處理之相關理論過於艱深及抽象，因此搭配設計可

供學習者操作之模擬視窗，提高課程親合力與理解程度。此視窗設計分成二部分：一

為供使用者輸入之參數輸入區，其二為依據使用者輸入的參數顯示數值或波形的結果

區。

2.隨機信號處理課程數位學習評量

包 括 甲 、 乙 兩 式 各 10 項 分 測 驗 ， 於 前 、 後 測 中 使 用 ， 旨 在 瞭 解 學 習

者 的 起 點 行 為 與 學 習 成 效 ； 係 由 研 究 者 依 據 課 程 本 位 評 量 原 理 ， 就 學 習

者 接 受 隨 機 信 號 處 理 課 程 的 學 習 內 容 而 編 製 。

研 究 者 使 用 ITEMAN 項 目 分 析 軟 體 ， 統 計 測 驗 量 表 的 題 數 ， 以 瞭 解

(甲 )(乙 )兩 卷 題 目 的 鑑 別 度 (如 表 4 )。

表 4： 測 驗 量 表 統 計 摘 要

量 表

統 計

1 2

N 10 10

M 2.43 2.51

SD .312 .343

α 係 數 .678 .723

r (題 目 與 量 表 相 關 ) .710 .741

量 表 得 分 交 互 相 關 矩 陣

1 2

1 1.000 .873

2 .873 1.000

緣 此 ， 研 究 者 經 分 析 題 目 內 容 、 操 作 方 法 與 學 習 經 驗 的 符 合 程 度 ，

以 及 探 討 實 施 方 式 能 否 配 合 評 分 向 度 後 、 編 擬 為 正 式 的 學 習 評 量 (如 附 件二 、 三 )。 在 正 式 實 施 時 ， 由 具 有 隨 機 信 號 處 理 課 程 教 育 背 景 及 曾 經 接 受 相 關

專 業 訓 練 的 研 究 生 ， 擔 任 評 分 工 作 ， 復 以 肯 德 爾 和 諧 係 數 (Kendall

17

coefficient of concordance)作 為 暸 解 評 分 者 一 致 性 的 指 標。測 驗 要 項 統 整 如

表 5：

表 5： 隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 評 量 分 測 驗 要 項 測 驗 前 測 (甲 式 ) 後 測 (乙 式 )

3.隨 機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 反 應 問 卷

配 合 學 習 者 的 線 上 學 習 進 度 與 歷 程 ， 本 問 卷 針 對 受 試 對 象 在 接 受 隨

機 信 號 處 理 課 程 數 位 學 習 後 的 反 應 進 行 分 析 。 問 卷 題 項 包 括 下 列 10 項 ：

(1)對 課 程 內 容 感 到 滿 意

(2)對 網 路 平 台 操 作 感 到 滿 意

(3)對 線 上 學 習 感 到 滿 意

(4)對 獲 得 相 關 數 位 學 習 知 能 感 到 滿 意

(5)對 軟 體 應 用 的 便 利 性 感 到 滿 意

(6)對 教 學 互 動 感 到 滿 意

(7)對 節 省 經 費 感 到 滿 意

(8)對 使 用 時 間 感 到 滿 意

(9)對 體 力 消 耗 感 到 滿 意

(10)對 促 進 學 習 效 果 感 到 滿 意

問 卷 評 量 類 型 採 Likert 式 評 定 量 表，列 述「 非 常 同 意 」、「 同 意 」、「 沒

意 見 」、「 不 同 意 」、「 非 常 不 同 意 」等 選 項 (如 附 件 四 )，就 受 試 者 於 各 題 項的 滿 意 程 度 ， 在 、 的 反 應 中 圈 選 結 果 ， 進 行 瞭 解 。

3.4. 資 料 處 理 與 分 析 本 研 究 資 料 包 括 受 試 者 基 本 資 料 、 受 事 者 學 習 差 異 及 受 試 者 學 習 反

應 等 項 ； 除 針 對 前 後 測 甲 乙 兩 式 測 驗 量 表 使 用 ITEMAN 項 目 分 析 瞭 解 題

1 求 小 於 4 的 偶 數 集 合 機 率 求 等 於 4 的 偶 數 集 合 機 率 2 求 隨 機 機 率 求 隨 機 變 數 N 的 PMF 3 求 隨 機 變 數 X 的 PMF 求 離 散 隨 機 變 數 X 的 CDF 4 求 隨 機 變 數 X 的 期 望 值 求 隨 機 變 數 X 的 標 準 差 σ 5 求 離 散 隨 機 變 數 X 的 PMF 求 連 續 隨 機 變 數 X 的 CDF 6 求 兩 離 散 隨 機 變 數 X 的 PMF 求 離 散 隨 機 變 數 X 的 標 準 差 σ7 求 兩 連 續 隨 機 變 數 Y 的 PDF 求 兩 離 散 隨 機 變 數 XY 的 PDF8 求 兩 連 續 隨 機 變 數 Cov［ X,Y］ 求 自 相 關 函 數 9 求 功 率 密 度 頻 譜 求 功 率 密 度 頻 譜 10 求 線 性 非 時 變 系 統 的 脈 衝 響 應 求 線 性 非 時 變 系 統 的 脈 衝 響 應

18

目 的 鑑 別 度 外 ； 在 進 行 全 部 研 究 歷 程 後 ， 研 究 者 運 用 社 會 科 學 統 計 套 裝

程 式 (Statistics Package for the Social Science， SPSS pc +12.0)處 理 與 分 析 各

項 研 究 資 料 ， 如 下 ：

(一 )將 運 用 Matlab 模 擬 設 計 的 隨 機 信 號 處 理 課 程 進 行 Cronbach α 係

數 的 穩 定 性 、 內 部 一 致 性 分 析 及 適 合 度 考 驗 (test of goodness of f i t)， 以 探

討 研 究 問 題 1。

(二 )以 t 考 驗 分 析 前 後 測 得 分 結 果，瞭 解 受 試 者 在 學 習 隨 機 信 號 處 理

課 程 前 後 得 分 上 的 差 異 ， 以 探 討 研 究 問 題 2。

(三 )為 瞭 解 受 試 者 學 習 隨 機 信 號 處 理 課 程 後 的 反 應，本 研 究 以 193 版

分 比 分 析 受 試 樣 本 在 學 後 訪 談 問 卷 中 的 得 分 是 否 具 有 差 異 ， 以 探 討 研 究

問 題 3。

四 . 隨 機 信 號 處 理 課 程

4.1. 機 率 的 基 本 觀 念 4.1.1. 條 件 機 率

當一非零機率的事件 B 發生時( P(B) >0 )，事件 A 的機率為條件機率(conditional probability)，其定義如下:

( )( | )( )

P A BP A BP B∩

.........................................................................( 1 )

Note: 當 事 件 A 與 事 件 B 為 互 斥 時 ( A B∩ = ∅ )， ( | )P A B = 0

實驗一 條件機率(Condition Probability)

實驗目的: 根據條件機率公式，舉一實際例題說明。並透過教學模擬軟體運算不同情況，觀察其相對應的機率結果為何。 實驗原理: 條件機率是為了探討當已知事件(B)發生時，計算特定事件(A)發生的機率，而條件機率的定義如下:

( )( | )( )

P A BP A BP B∩

19

實驗步驟: (1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 機率的基本概念 / 條件機率課程。

在課程視窗中切換至例題模擬視窗。 (2) 藉由題目與表格的說明，選擇特定 A(電阻值)、B(容忍誤差值)即可求得相關

結果與運算。(在此選定 A 為 10Ω、B 為 10%容忍誤差，其運算結果如圖 10所示)。

(3) 透過滑鼠將游標指向特定位置時，游標呈現手指圖像，此時便顯示相關註解。

圖 10：A 為 10Ω、B 為 10%容忍誤差之條件機率模擬結果

20

4.1.2. 獨 立 與 互 斥 事 件

獨立事件 令兩個事件 A 和 B 具有非零的機率，亦即 ( ) 0, ( ) 0P A P B≠ ≠ 。當一個事件發生時，如不引響另一個事件觸發的機率值，則 A 與 B 為統計上的獨立，且兩者事件的聯合發生機率等於個別機率的乘積。

( | ) ( )( | ) ( )( ) ( ) ( )

P A B P AP B A P BP A B P A P B

==

∩ =.......................................................................( 2 )

互斥事件 當兩事件的交集為空集合，則稱 A 與 B 互斥。則 ( ) 0P A B∩ = Note: 如果兩個事件 A 和 B 具有非零機率時，則不可能同時為互斥與統計上的獨立，其原因是當事件 A 與 B 為互斥且統計獨立時，則應滿足 ( ) ( ) ( ) 0P A B P A P B∩ = = ，即 ( )P A 或 ( )P B 為零，此項結論與獨立事件的定義互為矛盾。

4.1.3. 貝 氏 定 理 條件機率的產生，使我們了解資料之間的意義。貝氏定理可藉由已知的條件機率來獲取相對應的訊息。舉例而言，已知 ( | )P A B 、 ( )P A 、 ( )P B ，欲求 ( | )P B A ，根據貝氏定理即可獲得，其關係式如下:

( | ) ( )( | )( )

P A B P BP B AP A

= ...................................................................( 3 )

證明: 欲證明貝氏定理，首先根據條件機率定義，可推得(4)、(5)式，又因

( )P A B∩ = ( )P B A∩ ，即可推得此定理。

( )( | ) ( ) ( | ) ( )( )

P A BP A B P A B P A B P BP B∩

= ⇒ ∩ = ...........................( 4 )

( )( | ) ( ) ( | ) ( )

( )P B AP B A P B A P B A P A

P A∩

= ⇒ ∩ = ...........................( 5 )

( | ) ( )(4) (5) ( | )

( )P A B P BP B A

P A= ∴ =Q

21

實驗二 貝氏定理(Bayes＇Theorem)

實驗目的: 透過一對稱式雙數位頻道(binary symmetric channel)的通訊例題，了解貝氏定理的用法並透過教學模擬軟體運算不同情況下，觀察其相對應結果為何。 實驗原理: 圖 11 為二進位對稱式系統，發射端(Send)可傳送 0 與 1 兩種訊號( 0S 、 1S )，相對的，接收端可接收 0 與 1 兩種訊號( 0R 、 1R )。其中 0 0( | )P S R 與 1 1( | )P S R 所代表的涵義是指訊息接收正確時的機率，然通道受到干擾時便有接收錯誤訊息的可能，此時便

以 0 1( | )P S R 、 1 0( | )P S R 。因此探討這些相關問題時，可採用貝氏定理來計算其機率。

1S

0S

1R

0R

1 1( | )P S R

0 0( | )P S R

01

(| )

P SR1

0

(|

)

P SR

圖 11：二進位對稱式系統模型

實驗步驟:

(1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 機率的基本概念 / 貝氏定理課程。在課程視窗中切換至例題模擬視窗。

(2) 選定相關機率值後，按計算按鈕即可獲得結果，此時會根據相關參數設定而顯示接收訊號 0 與 1 之間正確率的比較。在此分成兩組參數設定分別如下:

( i ). 1 0( | )P S R = 0.9、 0 1( | )P R S = 0.2、 0( )P S = 0.8 結果如圖 12 所示。接收 0 訊號比 1 訊號較準確。 ( ii ). 1 0( | )P S R = 0.5、 0 1( | )P R S = 0.3、 0( )P S = 0.1 結果如圖 13 所示。接收 1 訊號比 0 訊號較準確。

(3) 透過滑鼠將游標指向特定位置時，游標呈現手指圖像，顯示相關註解。

22

圖 12：模擬參數為 1 0( | )P S R = 0.9、 0 1( | )P R S = 0.2、 0( )P S = 0.8 的結果

圖 13： 1 0( | )P S R = 0.5、 0 1( | )P R S = 0.3、 0( )P S = 0.1 的結果

23

4.1.4. 練 習 題 1 1. 考慮投擲骰子一次時，令事件 Ri 為投擲結果為 i 的集合、Gj 為投擲結果大於點數

j 的集合、E 則表示投擲結果為偶數的集合。試問

(a). [ ]5 3|P R G : 當已知投出結果大於點數 3 時，其該點數是 5 的機率為何?

(b). [ ]2 |P G E : 當已知投出結果為偶數時，其該點數大於 2 的機率為何?

(c). [ ]2|P E G : 當已知投出結果大於點數 2 時，其該點數為偶數的機率為何?

2. 考慮一副僅有 5 張卡片的撲克牌，其數字分別為 1、3、6、8、13，並從中抽出一

張，令 Ci 為抽出卡片數字為 i 的集合，O 則表示抽出卡片數字為奇 數的集合。試問

(a). 3[ | ]P O C : 當已知抽中一張數字為 3 的卡片時，其該點數為奇數的機率為何?

(b). [ ]3 |P C O : 當已知抽中一張數字為奇數的卡片時，其該點為 3 的機率為何?

3. 考慮一種病毒為 HIV(human immunodeficiency virus)，每 5000 人中有 1 人受感染，而針對此病毒的檢驗方法，其檢測結果可分為陰性(－)與陽性(＋)兩種。當結果為

陽性時，則表示已感染 HIV。此外該檢驗程序的正確性為 99%。根據以上描述，試問

(a). [ ]|P H− : 已知一位 HIV 患者，其檢驗結果卻為陰性反應的機率為何?

(b). [ ]|P H + : 隨機挑選一人檢驗且呈現陽性反應時，該人確實為 HIV 患者

的機率為何?

24

4.2. 單 一 隨 機 變 數 4.2.1. 機 率 密 度 函 數

機 率 密 度 函 數

ㄧ隨機變數 X 的機率分佈是指 X 所有可能呈現的值，其相對應的機率。在此我們可以以函數形式表達，分別為離散形式的機率密度函數(Probability Mass Function : PMF)與連續形式的機率密度函數(Probability Density Function : PDF)。 Probabili ty Mass Function (PMF)

ㄧ個離散隨機變數 X 的 PMF 如下，其中 x 為整數

( ) [ ]XP x P X x= = ..............................................................................( 6 ) Probabili ty Density Function (PDF)

ㄧ個連續隨機變數 X 的 PDF 如下，其中 ( )XF x 為累積分佈函數(Cumulative Distribution Function : CDF)

( )( ) XXdF xf x

dx= .................................................................................( 7 )

累 積 分 佈 函 數 (Cumulative Distribution Function : CDF)

[ ]

( ) [ ]( )

i

ix x

xX

P x discrete form

F x P X xf u du continuous form

≤

−∞

⎧⎪⎪= ≤ = ⎨⎪⎪⎩

∑

∫..........................( 8 )

Note: CDF 的特性

2 1 1 2

(1). 0 ( ) 1(2). ( ) 0 , ( ) 1(3). ( ) - ( ) [ ]

F xF FF x F x P x X x

≤ <−∞ = ∞ =

= < ≤

25

實驗三 機率密度函數&累積密度函數

實驗目的: 透過二項式密度函數(binomial density function)了解機率密度函數與累積密度函數，並透過教學模擬軟體繪出其分佈圖形。 實驗原理: 計算相關機率時，對於機率密度與累積的函數相當重要，在此一個離散隨機變數X 其機率函數與累積密度函數的定義如下: (1) 機率密度函數:

( ) [ ]XP x P X x= = (2) 累積密度函數:

[ ] [ ]( )i

X ix x

F x P X x P x≤

= ≤ = ∑

透過教學軟題計算例題，運用下列步驟即可相關結果。 實驗步驟:

(1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 單一隨機變數 / 機率密度函數課程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。

(2) 該例題是二項式密度函數，其中參數 p 指的是正向結果的機率 (詳見起參考目錄視窗中 / 常見的機率分佈函數 / Binomial)，適當選擇 p 值(例如: p = 0.75)

後，按下計算&繪圖，可獲得二項式密度函數圖與該函數之累積密度函數圖

如圖 14、15 所示。 (3) 模擬視窗中以兩個下拉式選單，分別在 P[ ]與 F[ ]中，可單獨觀看特定條件

時的相關數值，在此選擇 P[x = 1]、F[x

26

圖 14：模擬 p = 0.75 的介面圖

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5機率密度函數圖

x

PX

(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

0.0156250.15625

0.57813

1

累積分布函數圖

x

FX

(x)

圖 15：p = 0.75 的機率密度函數與累積分佈函數圖

27

圖 16：單獨查詢 P[x = 1]、F[x

28

其中標準差(standard deviation) ( )Var Xσ ，一種隨機變數與其平均差異程度

的指標，當σ 越小時則結果分佈越往平均值集中，如圖 17、18 所示。

-30 -20 -10 0 10 20 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Gaussian的機率密度分佈

x

PX

(x)

圖 17：Gaussian 機率密度分佈 0 , = 1μ σ=

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04Gaussian的機率密度分佈

x

PX

(x)

圖 18：Gaussian 機率密度分佈 0 , = 10μ σ=

期 望 值 與 變 異 數 的 特 性 :

1. [ ] ( ) ( )X XE c cf x dx c f x dx c∞ ∞

−∞ −∞= = =∫ ∫ 其 中 c 為 常 數

當隨機變數為一常數時，則可預期每次測試的結果皆相同。

29

2. [ ] [ ]E aX b aE X b+ = + 其 中 a , b 為 常 數 3.

2

2 2

2 2

2 2

( ) [( - ) ]

[ - 2 ]

[ ] - 2 [ ]

[ ] -

X

X X

X X

X

Var X E X

E X X

E X E X

E X

μ

μ μ

μ μ

μ

=

= +

= +

=

實驗四 期望值&變異數的運算

實驗目的: 透過二項式機率密度函數來計算特定參數時的期望值與變異數 實驗原理: 期望值與變異數的基本定義如下:

(1) 期望值:

[ ] [ ]X i ii

E X x P X xμ= = =∑

(2) 變異數:

2 2( ) [( ) ]XVar X E Xσ μ= −

在此根據基本定義可推得二項式機率密度函數的期望值與變異數，其公式如下:

接下來透過數值計算來驗證其公式。

30

實驗步驟: (1). 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 單一隨機變數 / 期望值與變異數課

程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。 (2). 選定一個特定的參數，其參數式二項式中的正向結果機率(詳細內容請參照

目錄視窗 / 常見的機率密度函數 / Binomial)，並按計算即可獲得期望值與變異數。在此將參數設為 0.5，其結果如圖 19 所示。

(3). 根據書本教材，當機率密度函數為二項式分佈時，其相關公式如下，其中將n = 5、p = 0.5 代入，驗證該期望值與變異數之公式是否與數值計算結果相符。

圖 19：參數為 0.5 其二項式 PMF 之 Xμ 與 [ ]Var X 的計算結果

4.2.3. 練 習 題 2 1. 考慮一隨機變數 N，其 PMF 如下:

( ) ( )1/ 3 2,3,4,0 .

n

Nc nP n

otherwise

⎧ =⎪= ⎨⎪⎩

試求: (a). c = ?

(b). [ ]3 ?P N ≤ =

2. 考慮一隨機變數 X，其 PMF 如下:

31

( )/ 1,3,7,0 .X

c x xP x

otherwise=⎧

= ⎨⎩

試求: (a). c = ?

(b). [ ]3P X = = ?

(c). [ ]3P X < = ?

(d). [ ]2 9P X≤ ≤ = ?

3. 假設一包水果糖中，草莓糖的個數 Y，呈現 5 ~ 15 顆的均勻分佈。 試求： (a). Y 的 PMF ?

(b). [ ]9P Y < = ?

(c). [ ]12P Y > = ?

(d). [ ]7 13P Y≤ ≤ = ?

4. 考慮一離散隨機變數 X，其 CDF 如下:

0 10.2 1 0

( )0.7 0 11 1

X

xx

F xx

x

≤ −⎧⎪ − ≤

32

試求：

(a). [ ]1P Y ≤ = ?

(b). [ ]2P Y ≥ = ?

(c). [ ]3P Y = = ?

(d). 求 Y 的 PMF 6. 考慮一離散隨機變數 X，其 CDF 如下:

0 20.4 2 5

( )0.8 5 81 8

X

xx

F xx

x

< −⎧⎪ − ≤

33

10. 考慮一連續隨機變數 X，其 PDF 如下:

1/ 4 1 5

( )0X

xf x

otherwise≤ ≤⎧

= ⎨⎩

試求：

(a). [ ]E X = ?

(b). [ ]Var X = ?

11. 考慮一連續隨機變數 X，其 CDF 如下:

0 0( ) / 2 0 2

1 2X

xF x x x

x

⎩

試求：

(a). [ ]E X = ?

(b). [ ]Var X = ?

34

4.3. 常 見 的 機 率 密 度 函 數 4.3.1. Bernoulli 白努利試驗(Bernoulli trial):一種僅可能呈現兩種結果的隨機實驗，其機率密度函

數(PMF)的數學表示式如下:

..................................( 11 )

X 為一個隨機變數，代表實驗結果。當 X 為正向結果(x=1)時，其可能發生 的機率值為 p，又因機率值的定義範圍為 0 至 1 之間，因此當 X 為反向結果(x=0)時，其可能發生的機率值為 1－p。

4.3.2. Binomial 二項式密度函數(binomial density function)的數學式如下:

.............................................................( 12 )

其涵義指，每次測試或實驗皆為獨立的白努利試驗(Bernoulli trial)。測試 n 次後，呈現 x 次為正向結果的機率。其中 X 為一隨機變數，代表呈現正向結果的次數。

4.3.3. Geometric 幾何密度函數(geometric density function)的數學式如下:

..................( 13 )

35

每次測試皆為獨立的白努利試驗(Bernoulli trial)，不斷測試，直到呈現正向結果的

機率。

4.3.4. Poisson

Poisson density function 的數學式如下:

0,1, 2,...( ) 0!0

[ ][ ]

x

X

e xP x wherexotherwise

E XVar X

ααα

αα

−⎧=⎪= >⎨

⎪⎩==

..................................( 14 )

4.3.5. Gaussian

Gaussian density function 的數學式如下:

2 2( ) / 2

2

( ) 2

> 0 , [ ]

[ ]

x

Xef x

whereE XVar X

μ σ

σ πσ μμ

σ

− −

=

−∞ < < ∞=

=

...............................................................( 15 )

4.3.6. Uniform

Uniform density function 的數學式如下:

Continuous form:

2

1 ( )

0

[ ]2( )[ ]

12

X

a x bf x b a

otherwisea bE X

b aVar X

⎧ <

36

Discrete form：

1/( 1) , 1,...,( )

0

[ ]2( )( 2)[ ]

12

X

l k x k k lP x

otherwisek lE X

l k l kVar X

− + = +⎧= ⎨⎩+

=

− − +=

..............................................( 17 )

4.3.7. Exponential Exponential density function 的 數 學 式 如 下 :

2

0( ) > 0

0 [ ] 1/

[ ] 1/

x

Xe x

f x forotherwise

E XVar X

λλλ

λ

λ

−⎧ ≥= ⎨⎩

=

=

.............................................( 18 )

37

實驗五 常見機率密度函數模擬

實驗目的: 介紹常見的機率密度函數，並透過教學模擬軟體繪製其函數圖形。 實驗原理: 機率密度函數有很多且常應用於工程領域上，例如:高斯白雜訊，在此常見的機率密度函數將介紹七種，分別如下:

(i). Bernoulli (ii). Binomial (iii). Geometric (iv). Poisson (v). Gaussian (vi). Uniform (vii). Exponential 其相關的函數模擬由下面步驟可獲得。

實驗步驟: (1). 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 常見的機率密度函數 / 選定相關機

率密度函數課程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。 (2). 根據不同的機率密度函數設定相關參數，並按繪圖，即可獲得該函數圖形與

相對應的期望值與變異數。以下是個別函數的介面與特定參數所獲得的函數

圖形。

38

Bernoulli : 0.3p =

圖 20：Bernoulli 機率密度函數模擬介面

圖 21：Bernoulli 機率密度函數圖

39

Binomial : 0.3 , 15p n= =

圖 22：Binomial 機率密度函數模擬介面

圖 23：Binomial 機率密度函數圖

40

Geometric : 0.4 , 20p n= =

圖 24：Geometric 機率密度函數模擬介面

圖 25：Geometric 機率密度函數圖

41

Poisson : 15 , 60nα = = \

圖 26：Poisson 機率密度函數模擬介面

圖 27：Poisson 機率密度函數圖

42

Gaussian : 0 , 1μ σ= =

圖 28：Gaussian 機率密度函數模擬介面

圖 29：Gaussian 機率密度函數圖

43

Uniform : / 0 , / 10a k b l= =

圖 30：Uniform 機率密度函數模擬介面

圖 31：Uniform 機率密度函數圖

44

Exponential : 0.7 , 12nλ = =

圖 32：Exponential 機率密度函數模擬介面

圖 33：Exponential 機率密度函數圖

45

4.4. 多重隨機變數 4.4.1. 聯合累積分配函數

聯合累積分配函數(joint cumulative distribution function : joint CDF)

兩個事件 { }A X x= ≤ 和 { }B Y y= ≤ 的機率稱為機率累積分布函數

{ }{ }

( )

( )X

Y

F x P X x

F y P Y y

= ≤

= ≤.............................................................................( 19 )

在此定義聯合事件{ },X x Y y≤ ≤ 的機率 , ( , )X YF x y

{ }, ( , ) ,X YF x y P X x Y y= ≤ ≤ .............................................................( 20 )

聯合累積分配函數的特性

, , ,(1). ( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0X Y X Y X YF F y F x−∞ −∞ = −∞ = −∞ =

,(2). ( , ) 1X YF ∞ ∞ =

,(3). 0 ( , ) 1X YF x y≤ ≤

{ }

, 2 2 , 1 1 , 1 2 , 2 1

1 2 1 2

(4). ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

, 0X Y X Y X Y X YF x y F x y F x y F x y

P x X x y Y y

+ − −

= < ≤ < ≤ ≥

, ,(5). ( , ) ( ) ( , ) ( )X Y X X Y XF x F x F x F x∞ = ∞ =

4.4.2. 聯合機率密度函數 聯合機率密度函數(joint probability density function : joint PDF) 兩個連續隨機變數 X、Y 聯合機率密度函數的定義如下:

2 2

, ( , ) ( , ) ( , )X Yf x y F x y F x yx y y x∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

..........................................( 21 )

46

聯合機率密度函數的特性

(1). ( , ) 0f x y ≥

,(2). ( , ) ( , )x y

X Y u vF x y f u v dudv

=−∞ =−∞= ∫ ∫

(3). ( ) ( , ) ( ) ( , )X Yf x f x v dv f y f u y du∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫ : marginal PDFs

{ } 2 21 1

1 2 1 2(4). , ( , )y x

y xP x X x y Y y f x y dxdy< ≤ < ≤ = ∫ ∫ 連續形式

{ }2 2

1 1

1 2 1 2, ( , )x y

XYx x y y

P x X x y Y y P x y= =

< ≤ < ≤ = ∑∑ 離散形式

證明:

{ }1 2 1 2,P x X x y Y y< ≤ < ≤

, 2 2 , 1 1 , 1 2 , 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )X Y X Y X Y X YF x y F x y F x y F x y= + − −

2 2 1 1 1 2 2 1( ) ( , )x y x y x y x y

f u v dvdu−∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

= + − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 1 2 21 1 1 1

( ) ( , ) ( , )x y x y y x

x x y xf u v dvdu f x y dxdy

−∞ −∞= − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

實驗六 聯合機率密度函數的運用

實驗目的:

根據例題中的特定聯合密度函數，以教學模擬軟體計算相關問題。

實驗原理: 當以知聯合機率密度函數時，如何透過此函數計算特定的機率值，例如:單一變數的機率值、特定區域的機率值。在此離散形式的公式如下：

{ }2 2

1 1

1 2 1 2, ( , )x y

XYx x y y

P x X x y Y y P x y= =

< ≤ < ≤ = ∑∑

當計算單一個變數的機率值時，想像另一個變數包含該集合所有可能數值，而特定區域機率值，則依據上下限來完成相關計算。

47

實驗步驟: (1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 多重隨機變數 / 聯合機率密度函數

課程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。 (2) 選定變數 Y 的區域，即可繪至出聯合機率密度函數的圖形與相關運算結果。

在此選定 Y 的區域為 1 與 3，其函數圖形如圖 34 所示

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1c

3c

3c

9c

5c

15c

x

y

P(x,y)

圖 34：聯合機率密度函數分佈圖

48

圖 35：聯合機率密度函數相關運用之模擬介面

4.4.3. 多重隨機變數的運算 多重隨機變數的運算

期望值(Expectation)

針對具有兩個隨機變數，其函數 g(x,y)期望值的定義如下:

[ ] { }( , ) ( , ) ( , )

( , )( , ) , ( , ) i j i j

i j

g x y f x y dxdy X Y continuousE g X Y

g x y P X x Y y X Y discrete

∞ ∞

−∞ −∞

⎧⎪= ⎨

= =⎪⎩

∫ ∫∑∑

..( 22 )

Correlation

兩個隨機變數 X 與 Y 的 correlation 為 [ ],X Yr E XY=

註: 如果 , 0X Yr = 則稱隨機變數 X 與 Y 為正交(orthogonal)

49

Covariance 兩個隨機變數 X 與 Y 的 covariance 為

[ ] [ ], ( )( )X YCov X Y E X Yμ μ= − − = ,X Yr - Xμ Yμ ..............................( 23 )

註: 如果 [ ], 0Cov X Y = 則稱兩個隨機變數 X 與 Y 為不相關(uncorrelated)

此時 [ ] [ ],X Y X Yr E x E y μ μ= = 亦可稱 X 與 Y 是獨立的

Correlation Coefficient 兩個隨機變數 X 與 Y 的 correlation coefficient 為

[ ][ ] [ ]

[ ],

, ,X Y

X Y

Cov X Y Cov X Y

Var X Var Yρ

σ σ= = ..............................................( 24 )

註: ,X Yρ 是一種線性相關性的量測

當 ,X Yρ =1 時，指 X 與 Y 具有正值的絕對線性關係

當 ,X Yρ =-1 時，指 X 與 Y 具有負值的絕對線性關係

當 ,X Yρ =0 時，指 X 與 Y 不具線性關係

當 ,X Yρ 的數值大(小)，指 X 與 Y 具有較大(較小)的線性關係

Ex: 兩個隨機變數 Y 與 Z 分別為 Y=cos( X )、Z=cos( X + θ)，其中 X 是一個 ~π π−連續均勻分佈的隨機變數，θ是一常數。找尋 Y 與 Z 的 correlation coefficient 並探討兩隨機變數的相關性。

1

( ) 20

xf x

elsewhere

π ππ

⎧ − < ≤⎪= ⎨⎪⎩

[ ] 1cos( ) 02

E Y y x dxπ

π π−= = ⋅ =∫

[ ] 1cos( ) 02

E Z z x dxπ

πθ

π−= = + ⋅ =∫

50

2 2 2 2 1 1( ) cos ( )2 2Y

E Y y x dxπ

πσ

π−⎡ ⎤= − = ⋅ =⎣ ⎦ ∫

2 2 2 2 1 1( ) cos ( )2 2Z

E Z z x dxπ

πσ θ

π−⎡ ⎤= − = + ⋅ =⎣ ⎦ ∫

[ ] [ ] 1 1[ , ] cos( ) cos( ) cos( )2 2

Cov X Y E XY y z E XY x x dxπ

πθ θ

π−= − ⋅ = = ⋅ + ⋅ =∫

,

1 cos( )[ , ] 2 cos( )1 12 2

Y ZY Z

Cov X Y θρ θσ σ

= = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 1 Y Zθ ρ= ⇒ = ⇒ = 絕對的線性關係 -1 -Y Zθ π ρ= ⇒ = ⇒ = 絕對的線性關係 /2 0 ,ZYθ π ρ= ± ⇒ = ⇒ 不相關(uncorrelated)

θ 為其他數值時 0<

51

註: [ ], 0Cov X Y = 則稱兩個隨機變數 X 與 Y 為不相關(uncorrleated)

實驗步驟:

(1) 開啟教學平台後，由目錄視窗中選取 / 多重隨機變數 / 多重隨機變數的運算課程，在課程視窗中切換至例題模擬視窗。

(2) 選定變數 Y 的區域，即可相關運算結果。在此選定 Y 的區域為 1 與 3，其結果如圖 36 所示

(3) 從圖 36 可知，該例題隨機變數 X 與 Y 為不相關，因為 [ ], 0Cov X Y = 。

圖 36：多重隨機變數運算的模擬介面

52

4.4.4. 練習題 3 1. 考慮兩個離散隨機變數 X 和 Y，其聯合機率密度函數(joint PMF)如下:

( ),1,3, 4 1,3

,0X Y

cxy x yP x y

otherwise= =⎧

= ⎨⎩

試求: (a). ?c =

(b). [ ] ?P Y X> =

(c). [ ] ?P Y X= =

2. 承上題 試求

(a). 邊際密度函數 ( )XP x 和 ( )YP y

(b). [ ]E X = ? [ ]E Y = ?

(c). 標準差 Xσ 、 Yσ = ? 3. 考慮兩個離散隨機變數 X 和 Y，其聯合機率密度函數(joint PMF)如下: