第 35 卷 第 1 期2014 年 1 月

宇 航 学 报Journal of Astronautics

Vol． 35January

No． 12014

航天仪表轴承极低速下保持架摩擦力矩分析

姜绍娜1，陈晓阳1，顾家铭2，肖 琳2

( 1． 上海大学轴承研究室，上海 200072; 2． 上海天安轴承有限公司，上海 201108)

摘 要: 针对航天仪表轴承摩擦力矩敏感的应用场合，建立了冠形保持架六自由度运动分析模型，借助四阶

Ｒunge-Kutta 数值算法，通过变步长方法提高运算速度，求出保持架的运动规律，获得其对轴承总摩擦力矩的影响比

重。理论分析结果与非接触激光线位移传感器测得保持架轴向运动、YZC-II 仪测试轴承总摩擦力矩试验结果吻合

较好，验证程序的可行性。分析表明，对航天仪表轴承保持架在极低速低载工况下，保持架与球滑动引起的摩擦力

矩不可忽视，尤其在启动过程中，占轴承总摩擦力矩比重较大。关键词: 航天仪表轴承; 摩擦力矩; 冠形保持架; 极低速

中图分类号: TH133． 33 文献标识码: A 文章编号: 1000-1328( 2014) 01-0047-07DOI: 10． 3873 / j． issn． 1000-1328． 2014． 01． 006

Analysis of Friction Moment Caused by Cage of Aerospace InstrumentBearing at the Ultra-Low Speed

JIANG Shao-na1，CHEN Xiao-yang1，GU Jia-ming2，XIAO Lin2

( 1． Ｒesearch Institute of Bearings，Shanghai University，Shanghai 200072，China;

2． Shanghai Tian An Bearing Co． Ltd，Shanghai 201108，China)

Abstract: For the applications of sensitive to the friction moment of aerospace instrument bearing，the model of thecrown style cage with six degree-of-freedom is built． The conventional fourth-order Ｒunge-Kutta method with variable timesteps is used to perform the numerical integration． The cage motion is obtained and the proportion of friction moment causedby cage in the bearing’s total friction moment can be known． The cage axial motion can be measured by using a non-contactlaser linear displacement sensor，and the bearing’s total friction moment can be measured by YZC-II tester． Comparingthese experimental results to calculated results，an acceptable consistent is achieved，which can help to verify of feasibilityof the program． The analysis shows that for the aerospace instrument bearings working at ultra-low speeds and under lowloads，the friction moment caused by cage cannot be neglected，and especially it occupies a large proportion in thebearing’s total friction moment at the startup time．

Key words: Aerospace instrument bearing; Friction moment; Crown style cage; Ultra-low speed

收稿日期: 2013-01-22; 修回日期: 2013-07-30

基金项目:“十一五”国家重点科技项目( D09-0109-06-004) ; 上海市教委高校创新团队项目( B-48-0109-09-002)

0 引 言

轴承大量应用于许多卫星系统的功能部件中，

如陀螺仪、敏感器、执行机构、太阳帆板驱动机构及

动量轮等［1］。航天用惯导系统等高精度稳定平台

要求其配套轴承精度高、具有小而稳定的摩擦力矩，

因轴承摩擦力矩是稳定轴上干扰力矩的主要来源，

其大小和波动值直接影响到系统工作的稳定性和可

靠性，所以平台惯导系统对轴承摩擦力矩要求极为

苛刻［2］。为了满足摩擦力矩要求，优先考虑微型球

轴承，传统的观念认为极低速下球轴承中保持架摩

擦力矩影响可忽略不计，但对摩擦力矩敏感场合的

航天仪表球轴承是否忽略仍需深入探讨。Walters［3］、Gupta［4］、Meeks 等［5 － 6］ 先后以高速

陀螺仪轴承、发动机轴承为研究对象，对冠形保持架

进行深入分析，证实保持架的不稳定性对轴承性能

研究至关重要，模型中均把保持架视为刚体，由于保

持架动力学分析运算量大，兼之早期计算机性能较

低，分析时间短，以文献［6］为例，给出了 0． 01s 的动

态分析过程。Houpert［7 － 9］ 研发的 CAGEDYN 软件

不仅大大提高运算速度，又可很好应用于工程实践

中，模型分析时间已达到 2． 5 秒。相比之下，国内在

轴承保持架动力学分析时间较短。赖拥军等［10］在

考虑弹性流体动力润滑的基础上，提出航空发动机

主轴轴承冠形保持架振动响应模型，建立了保持架

三自由度动力学方程。邓四二等［11］建立了高速角

接触球轴承冠形保持架三自由度稳态动力学微分方

程，对轴承结构参数及工况与保持架动态特性关系

进行了研究。以上分析成果均以高速轴承保持架为

研究对象，而对于极低速工况下的保持架与滚动体

动态接触过程中的时间步长比高速轴承要小很多，

若等步长，即便 0． 1 秒内也需要循环百万次运行量，

而研究极低速轴承摩擦力矩启动时间至少 3 ～ 5s，为此，文中建立保持架六自由度分析模型，在求解过

程中通过变步长来缩小运行量。极低速工况保持架的质心不会出现涡动，周向

运动轨迹必然稳定在保持架中心，以现有的测试手

段，测试极低速下直径 10mm 内的微小轴承的质心

轨迹，测试装置不仅要有很高精度要求，也要尽可能

做的足够小，但因测试空间限制，无法同时安装多个

测试仪器，无法测得保持架质心轨迹。同时，目前仅

能对轴承的整体摩擦力矩进行综合测试，无法具体

测量某单一影响因素，如保持架与滚动体的摩擦力

矩。因该单一摩擦力矩值来源于保持架运动过程中

与滚动体的接触，接触力必然使保持架存在微小摆

动及其在轴向的微小波动。因此，测试保持架节圆

上某点的轴向位移( 包括该节圆点因摆动产生的轴

向位移及该点沿轴向线位移) ，并与程序计算对应

值比对。若能较好吻合，便可验证程序的可行性，间

接反映保持架对轴承摩擦力矩的影响。同时借助程

序计算轴承总摩擦力矩值与摩擦力矩测试仪测试结

果比对，验证程序的可信性，为后续轴承优化工作奠

定基础。

图 1 建立坐标系

Fig． 1 Ｒelationship of reference frames

1 建立模型

1． 1 坐标系建立与转换

为了测试保持架的运动，需对保持架进行运动

模拟求出其三维运动状态。如图 1 所示，动坐标系

Ocxcyczc ( c系) 固定在保持架上，原点 Oc 为保持架几

何中心，把固定惯性坐标系 OIxIyIzI ( I 系) 原点 OI 建

立在轴承受载后球心所在节圆的圆心，xI 轴与轴承

旋 转 轴 重 合，逆 时 针 方 向 转 动 为 正。动 坐 标 系

Opxpypzp ( p 系) 固定在保持架兜孔上，原点 Op 为兜

孔中心，初始时刻第一个球心在 yI 轴上，球的位置

逆时针排序，第 i个兜孔位置角为Ψi，则 c系到第 i个p 系的转换矩阵为 Bi :

Bi =1 0 00 cosψi sinψi

0 － sinψi cosψ

i

( 1)

参考文献［4］方法，给出了从 I 系先后绕 x，y，z 轴

转动 η，ξ，λ 角到 c 系，则从 I 系到 c 系的转换矩阵 AIc :

AIc =cosξcosλ cosηsinλ + sinηsinξcosλ sinηsinλ － cosηsinξcosλ－ cosξsinλ cosηcosλ － sinηsinξsinλ sinηcosλ + cosηsinξsinλ

sinξ － sinηcosξ cosηcos

ξ

( 2)

84 宇航学报 第 35 卷

保持架在 c 系的角位移为 θ，角速度 wc，则:

wc = φ θ·

，φ =cosξcosλ sinλ 0－ cosξsinλ cosλ 0

sinξ

0 1

( 3)

图 2 球心在兜孔坐标系位置矢量

Fig． 2 Locating the ball center in reference frame P

1． 2 保持架与球接触力及力矩

如图 2，rpb，rob 分别为球心 Ob 相对于保持架兜

孔中心Op、惯系原点OI 的位置矢量，Ｒ为Oc相对于

OI 位置矢量，因同一矢量在不同坐标系其值不同，

故文中用上标代表矢量所在坐标系，如 Ｒc 表示在 c

系的位置矢量，rpcp =

0dp

20

，dp 为保持架节圆中心径，

则球心 Ob 在 p 系的位置矢量:

rppb = Bi ( AIcrIob － Ｒc ) － rpcp ( 4)

其中 rppb =ΔxΔyΔ

z

，Δy 为 p 系中沿兜孔轴向分量，Δx、

Δz 为径向分量。若 Dw 为球径，Dp 为保持架兜孔孔

径，则接触变形

Δδ = ( Δx) 2 + ( Δz)槡 2 － Dp

2 －Dw( )2

球与保持架接触区域远小于两者的几何尺寸，符合

赫兹接触前提假设，球与保持架的接触力与变形系

数 K 模拟文献［12］中球与内外圈接触力与变形系

数的求解过程，其接触力与接触区内最大变形位移

成非线性关系。只有当 Δδ ≥ 0，球与保持架发生接

触，p 系中第 i 球与保持架接触法向力 FpiN 的大小为:

F piN = KΔδ3 /2 ( 5)

切向力 FpiT 的大小为Fp

iT = μFpiN，μ为摩擦系数，

通过上海大学陶德华教授四球机试验模拟测得值为

0． 08 ( 试验中采用同一润滑剂) 。法向力 FpiN 的方向

矢量为Np =cos0

sin

， = arctan ΔxΔ( )z 。第 i球与保持

架接触切向力 FpiT 的方向矢量与保持架和球上接触

点的线速度 vpc、vpb 有关，p 系中二者相对线速度:

Δvp = vpc － vpb ( 6)

则 p 系中，切向力 FpiT 为:

F piT = － F p

iTΔvp － ( Δvp·Np ) Np

Δvp － ( Δvp·Np ) Np ( 7)

因保持架设计为球引导，故运动中保持架与内

外圈接触力为零。c系中所有球( z 个) 与保持架作用

产生的合力及合力矩为:

F c = ∑z

i = 1B －1

i ( F piN + F p

iT )

Mcp = ∑

z

i = 1B －1

i ［rpcq × ( F piN + F p

iT

{) ］

( 8)

据矩阵形式的哥氏定理得:

Fc

m = dvcdt + Ωcvc

Mcp = dHc

dt + ΩcH{ c

( 9)

其中，m 为保持架的质量，Ωc 为 wc 的反对称矩阵，

Hc = Icwc，Ic 为保持架在 c 系的惯量矩阵，vc = Ｒ

· c。保持架摩擦力矩 M 统一到惯系中的变换关系为 M= A －1

k Mcp，其实际计算值为:

M = A －1k Mc

p

= A －1k ∑

z

i = 1B －1

i ［rpcq × ( FpiN + Fp

iT ) ］ ( 10)

2 求解模型

极低速下保持架视为刚体，忽略保持架周向变

形，仅球与保持架接触时发生局部弹性接触变形。通过四阶 Ｒunge-Kutta 数值算法［5］对公式( 9 ) 求解。极低速下球与保持架的接触变形非常小，如文中算

例球与内圈接触变形约 0． 00027mm，而球与保持架

接触变形相比该值还要小，若程序设定时间步长单

一，势必导致运行量巨大，文中取球与内圈接触变形

的万分之一除以保持架节圆周向线速度为最小时间

94第 1 期 姜绍娜等: 航天仪表轴承极低速下保持架摩擦力矩分析

步长，约 1． 41x10 －8秒，若以等步长循环运行 100 万

次，程序仅运行约 0． 014 秒，无法满足要求。为此改

变时间步长来缩小运行量，即在接触过程步长最小

而非接触过程持续加速步长，由上一刻作用在保持

架的力和力矩求得下一刻轴承各部件的位置速度关

系，进而求得该时刻的力和力矩，循环积分最终求

得 Ｒ，θ，v ，w，如图 3 程序框架。

图 3 程序流程图

Fig． 3 The program frame

轴承摩擦力矩的产生是多种因素综合作用的结

果，主要来自以下方面［12］: ① 材料弹性滞后所引起

的纯滚动摩擦。② 滚动接触面上的差动滑动所引

起的摩擦。③ 滚动体自旋滑动引起的摩擦。④ 润

滑剂的粘性摩擦。⑤ 保持架引起的滑动摩擦。①②③影 响 因 素 的 摩 擦 力 矩 计 算 公 式 可 参 考 文 献

［13］，因素④则由于润滑方式采用一次性加微量稀

油，难以形成完全的润滑油膜，润滑剂粘度低、剪切

力小，忽略其摩擦力矩。因素 ⑤ 通过文中模型计算

得到，故分析中轴承总摩擦力矩值 Mt 为 ①②③⑤影响因素引起的摩擦力矩之和。

3 程序结果

以某型号深沟球轴承为例，结构参数如表 1，保

持架 为 球 引 导 冠 形 保 持 架，轴 承 受 轴 向 载 荷 为

0． 89N，转速为 9r /min，润滑剂为特 4 ﹟油。表 1 结构参数

Table 1 The structure parameters

结构参数 /单位 值

轴承内圈内径 /mm 4． 00

轴承外圈外径 /mm 9． 00

球径 /mm 1． 30

钢球个数 8． 00

内外圈沟曲率系数 0． 55

保持架外径 /mm 6． 80

保持架内径 /mm 5． 56

保持架兜孔直径 /mm 1． 40

图 4( a) － ( f) 为程序运行结果，以下标 x，y，z表示对应矢量在 x，y，z 轴方向分量，图( a) 显示保持

架关于轴承转轴 ( xI 轴) 的总运行角位移 θx ( 运行约

6． 37 周) ，保持架运动过程中，时而推动球，时而被

球推动，其角速度 wx 较理论估算值 0． 565rad /s 有微

小波动，并随时间趋于平稳。低速下，保持架的质心

轨迹不会出现涡动现象，图( b) 显示保持架质心的

空间三维变化范围 Ｒ，为 ± 0． 05mm 内，其周向运动

轨迹( Ｒy，Ｒz ) 随时间稳定在质心周围，这是保持架

处于低速工况的必然趋势。图( c) 显示保持架节圆

对称 1，2 两点因摆动产生的轴向位移及沿轴向( xI

轴) 线 位 移 和 的 变 化 Ｒ1x，Ｒ2x，两 端 位 移 均 在

± 0． 05mm范围内。图( d) 为保持架与球关于三坐

标轴的摩擦力矩 Mx，My，Mz，三者均随时间趋于稳

定，且关于 xI 轴的摩擦力矩值 Mx 大于 My，Mz，正 /负值分别表示摩擦力矩推动 / 阻碍保持架运动，零

表示球和保持架未接触。从图中可见启动过程中保

持架与球摩擦力矩值明显大于动态摩擦力矩值，保

持架运动在较短时间内( 5 ～ 10 秒) 趋于稳定。图

( e) 为轴承关于 xI 轴的总摩擦力矩值 Mt，取 Mx /Mt，

求得保持架摩擦力矩占轴承总摩擦力矩的比重，如

图( f) 保持架与球滑动启动摩擦力矩比重明显大于

动态摩擦力矩比重，启动摩擦力矩最大值占轴承总

摩擦力矩值约 57%，但该值对应的时间步长也非常

微小( 约 1． 41x10 －8秒) ，实际中会瞬时衰减，从变化

趋势密集度看，该比重至少占 20%，动态稳定过程

05 宇航学报 第 35 卷

中，比重较小，小于 5%。

图 4 程序运行结果

Fig． 4 Computed results

4 试 验

试验装置如图 5，主要由企业用 YZC-II 摩擦力

矩测试仪和日本基恩士 LJ-G015K 非接触式激光线

位移传感器组成。将两组同一结构尺寸如表 1 的被

测轴 承 安 装 在 主 体 装 置 内，控 制 箱 控 制 其 转 速，

YZC-II 测试仪可以测得轴承的正反转启动摩擦力

矩值和动态摩擦力矩值。经多次正反转测得两组轴承平均启动摩擦力

矩值 5． 8 N·μm，动态摩擦力矩在 2 ～ 4N·μm 间浮

动。与图 4 ( e) 相比，所测结果与计算值在同一量

级，二者变化趋势一致，程序结果相对小一些，这主

要由于理论模型较理想化，与实际有一定误差。激

光位移传感器可测得不同时刻冠形保持架在同一直

径上的对称两端沿轴承轴向的线位移 Ｒ1x，Ｒ2x，其测

图 5 试验装置

Fig． 5 Experimental device

量范围为 ± 2． 3mm，精度为 0． 02%，重复精度高达

0． 01μm。由于被测轴承直径小于 10mm，只能放置

一个激光位移传感器。图 6 ( a) ( b) 显示两组该型

15第 1 期 姜绍娜等: 航天仪表轴承极低速下保持架摩擦力矩分析

号 1、2 号轴承的测试结果，因每次测量传感器测试

基准不同，测试数据结果也不可能对称。1、2 号轴

承两 端 轴 向 位 移 分 别 在 0． 08mm ( ± 0． 04mm ) 、0． 04mm( ± 0． 02mm) 范围内移动，两组轴承测试幅

值上的差异与保持架的尺寸及测试误差有关，测试

结果显示保持架运动过程中与球的接触力使其在轴

向存在微小波动，与图 4( c) 中保持架轴向位移的变

化趋势和大小( ± 0． 05mm) 较为吻合，验证程序可

靠性。

图 6 LJ-G015K 测试保持架上对称两端沿轴承轴向

位移

Fig． 6 Measuring the axial displacements of two symmetric

points on the cage by LJ-G015K

5 结 论

( 1) 通过在接触过程中设定时间步长很小而非

接触过程中持续加快步长的变步长方法求解冠形保

持架六自由度分析模型，可很好提高程序运行速度。

借助非接触高精度激光线位移传感器测试保持架轴

向位移，与程序计算保持架节圆点因摆动产生的轴

向位移及沿轴向的线位移结果吻合较好，验证程序

的可行性，间接反映球与保持架滑动摩擦力矩值对

轴承总摩擦力矩的影响比重，并为解决精密微小轴

承因尺寸小、精度高、难测量等困难提供一种测试方

法。程序计算轴承的总摩擦力矩值与摩擦力矩测试

仪测试结果较好吻合，验证程序的可信性，为后续轴

承优化工作奠定基础。( 2) 通过某微型轴承球引导冠形保持架对轴承

总摩擦力矩的影响分析表明，对于工作在极低速低

载工况下的高精航天仪表轴承，保持架与球滑动启

动摩擦力矩比重明显大于动态摩擦力矩，启动摩擦

力矩比重至少占 20%，动态摩擦力矩比重小于 5%。故对启动摩擦力矩要求苛刻的环境下，保持架与球

滑动引起的摩擦力矩不可忽视。

参 考 文 献

［1］ 刘春浩，顾家铭，陈晓阳，等． 小卫星姿控动量轮陶瓷球混合

轴承性能分析与试验［J］． 宇航学报，2007，3: 427 － 431．

［Liu Chun-hao， Gu Jia-ming， Chen Xiao-yang， et al．

Performance analysis and experiments of hybrid bearing for micro-

satellite attitude control momentum wheel ［J］． Journal of

Astronautics，2007，3: 427 － 431．］

［2］ 朱江红． 低速球轴承摩擦力矩的分析研究［J］． 导弹与航天

运载技术，2000，6: 20 － 25．［Zhu Jiang-hong． The research of

the friction moment of low speed ball bearing［J］． Missiles and

Space Vehicles，2000，6: 20 － 25．］

［3］ Walters C T． The dynamics of ball bearings［J］． Journal of

Lubricant Technology，ASME Trans，1971，93: 1 － 10．］

［4］ Gupta P K． 著，臧新群译． 滚动轴承动力学分析［M］． 湖北学

技术出版社，1990: 9 － 15．

［5］ Meeks C Ｒ，Ng K O． The dynamics of ball separators in ball

bearings-Part 1: analysis［J］． ASLE Trans，1985，28 ( 3 ) : 277

－ 287．

［6］ Meeks C Ｒ． The dynamics of ball separators in ball bearings-Part

2: results of optimization study［J］． ASLE Trans，1985，28( 3) :

288 － 295．

［7］ Houpert L． CAGEDYN: A contribution to roller bearing dynamic

calculations Part I: basic tribology concepts［J］． Tribology

Transactions，2010，53( 1) : 1 － 9．

［8］ Houpert L． CAGEDYN: A contribution to roller bearing dynamic

calculations Part II: description of the numerical tool and its

outputs［J］． Tribology Transactions，2010，53( 1) : 10 － 21．

［9］ Houpert L． CAGEDYN: A contribution to roller bearing dynamic

calculations Part III: experimental validation［J］． Tribology

Transactions，2010，53( 6) : 848 － 859．

［10］ 赖拥军，陆震． 高速球轴承保持架的振动［J］． 北京航空航天

大学学 报，2001，27: 619 － 622． ［Lai Yong-jun，Lu Zhen．

Vibration of separators in high-speed ball bearing［J］． Chinese

Journal of Aeronautics，2001，27: 619 － 622．］

［11］ 邓四二，郝建军，滕弘飞，等． 角接触球轴承保持架动力学分

析［J］． 轴 承，2007，10: 1 － 5． ［Deng Si-er，Hao Jian-jun，

Teng Hong-fei，et al． Dynamics analysis on cage of angular

contact ball bearings［J］． Bearing，2007，10: 1 － 5．］

［12］ Harris T A． Ｒolling bearing analysis［M］． Printed in the United

25 宇航学报 第 35 卷

States of America，1991: 191 － 198，447 － 467．

［13］ 姜绍娜，陈晓阳，顾家铭，等． 低速灵敏球轴承摩擦力矩分析

［J］． 中国机械工程，2010，05: 510 － 514．［Jiang Shao-na，

Chen Xiao-yang，Gu Jia-ming，et al． Analysis of friction torque

of sensitive ball bearing under low speed［J］． China Mechanical

Engineering，2010，05: 510 － 514．］

作者简介:

姜绍娜( 1981 － ) ，女，博士生，研究方向为摩擦学，滚动轴承

摩擦机理分析，滚动轴承动力学分析。

通信地址: 上海延长路 149 号上海大学轴承研究室( 200072)

电话: ( 021) 56331386

E-mail: snjiang@ shu． edu． cn

( 编辑: 张宇平)

35第 1 期 姜绍娜等: 航天仪表轴承极低速下保持架摩擦力矩分析