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제51회 서울특별시과학전람회
□ 예선대회 작품설명서 ■ 본선대회 작품설명서
작품번호
자유 낙하하는 타원형 실린더 회전체의 운동S-101
출품 분야 학생부 출품 부문 물리
2010. 5. 19.
학 교 명 직 위 (학 년) 성 명
출 품 자 서울과학고등학교서울과학고등학교
2학년2학년
이상준구본한
지 도 교 원 서울과학고등학교 교사 김성준
자유 낙하하는 타원형 실린더 회전체의 운동
초 록1997년 프랑스와 브라질 간의 친선경기를 본 사람이라면, 경기의 명장면을 뽑으
라 할 때 단연 카를로스의 UFO 슛을 다섯 손가락 안에 꼽을 것이다. 절묘한 프
리킥 상황에서 난데없이 골대가 아닌 이상한 방향으로 슛을 날리더니, 갑자기 공
이 휘어지면서 골키퍼가 손을 쓸 새도 없이 골망으로 공이 들어간다.
<그림 0-1> 카를로스의 UFO 슛
이러한 공의 휘어짐은 1851년 하인리히 마그누스에 의해 밝혀진 마그누스 효과
에 의한 것이다. 당시 카를로스가 찬 공은 초당 10회전의 회전속도로 빠른 속도로
날아가면서 공의 상단과 하단의 유속의 차이가 나타나게 되면서 휘어지게 된다.
이처럼, 마그누스 효과는 우리가 모르는 사이에 일상 어디에서나 나타나는 흥미로
운 현상이다.
본 연구조가 주제를 마그누스 효과와 관련된 것으로 정한 것도 이 때문이다. 공
기 중에서의 회전하는 물체의 운동은 대중적인 스포츠 분야에서부터 탄도학과 같
은 전문적인 분야에 이르기까지 다양한 곳에서 사용될 수 있다. 우리는 우선 원형
실린더가 자유낙하하는 경우의 운동을 살펴보고, 이를 이용하여 타원형 실린더 회
전체의 운동 궤적을 정성적으로 설명해보기로 하였다.
Ⅰ. 서론 스포츠에서, 공을 회전시키는 채로 차게 되면 공이 회전하는 방향으로 휘게 된다는 사실, 마그누스 효과는 트릭샷 혹은 터닝슛 등 여러 가지 운동 테크닉을 만들어낸다. 축구에서는 UFO슛이, 골프에서는 슬라이스가, 탁구에서는 드라이브가 이러한 마그누스 효과를 이용한 대표적인 예라 할 수 있을 것이다.
<그림 1-1> 골프의 슬라이스 형태
사실 마그누스 효과는 우리에게서 동떨어져 있는 현상이 아니다. 물론 멀리 있는 시선으로 본다면 항공역학 분야 등에서 쓰이는 복잡한 현상이라 하겠지만, 가까이서 본다면 위의 예와 같이 스포츠 분야 등에서 흔히 보고, 쉽게 응용하는 기술이다. 이처럼, 마그누스 효과의 응용 분야는 밝혀진 지 150년이 지난 현재까지도 더욱 발을 넓혀가고 있다.
우리가 마그누스 효과에 대해 흥미를 가지게 된 원인을 제공해준 논문인 ‘Physics of
Fluids(피직스 오브 플루이드즈)’ 2003년 3월호의 ‘Force on a spinning sphere moving in a
rarefied gas(P.736~741), Karl I. Borg, Lars H. Soderholm, and Hanno Essen’에서는 다음과 같은 흥미로운 결과를 전해주고 있다. ‘일반적 대기압보다 낮은 저기압 하에서 구를 회전시켰을 때, 마그누스 힘은 서서히 사라지게 되는데 또 동시에 이와는 다른 일종의 역 마그누스 힘이 작용하여 공이 우리가 예상하는 운동 궤적과는 반대로 된 궤적으로 운동하게 된다.’ 공기 밀도의 변화가 운동 궤적을 바꾼다니, 흥미롭지 않을 수가 없었다.
실험 환경 상 우리가 직접 위의 실험을 재현해볼 수는 없었다. 그 대신, 본 연구조는 일반적 대기압 하에서 회전하는 물체의 모양을 구체가 아닌 다른 모양으로 두었을 때 운동 궤적이 어떻게 변화하는지를 살펴보기로 하였다. 1학기 연구에서는 3차원의 구체가 아닌 2차원의 원통의 상대풍속, 반경, 각속도와 마그누스 힘 간의 상관관계를 조사하여 그 관계를 알아내었다. 여름방학 및 2학기 연구에서는 원형이 아닌 타원형 실린더의 경우에는 운동 궤적이 어떻게 변화하는가에 대해 연구를 실시하였다. 타원 실린더의 경우,
원과는 달리 일정 이심률을 넘으면 더 이상 마그누스 효과로만으로는 설명 불가능한 운동 궤적을 보이는데, 본 연구에서는 이러한 ‘마그누스 상쇄 효과’가 타원체의 모양에 따라 어떻게 달라지는지 조사해보았다.
Ⅱ. 배경 이론2.1.베르누이(Bernoulli)방정식
베르누이 방정식은 유체 운동학의 가장 기본이 되는 방정식으로, 유체의 압력 , 유동속력 , 높이 사이의 관계에 대해 나타낸 식이다. 베르누이 방정식은 ‘마찰이 없는 비압축성, 비점성 유체’라는 제한이 있기는 하지만, 우리가 일반적으로 만나는 유체는 물이나 공기의 경우 이러한 제한 조건에 잘 부합하기 때문에 베르누이 방정식은 상당히 유용하게 사용된다.
Bernoulli 방정식은 역학적 에너지 평형 관계식이며, 다음과 같이 서술할 수 있다.
정상 유동 내에서, 유선을 따라 유체입자의 역학적 에너지는 보존된다.
즉, Bernoulli 방정식은 유체동역학에서의 ‘역학적 에너지 보존의 법칙’이라고도 할 수 있다.
2.2. 양력(Lift force)과 마그누스 효과(Magnus Effect)
정지해 있는 유체 속에 잠기어 있는 물체의 표면에는 표면에 수직방향인 압력힘만이 작용한다. 하지만 유체가 운동하는 경우 물체 표면에는 접선 방향으로 전단력이 추가로 작용하게 된다. 이 때, 이러한 압력힘과 전단력이 합쳐진 힘의 수직 성분을 양력(Lift)이라 부르며, 유동 성분을 항력이라 부른다. 양력은 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.
은 ‘양력계수’로, 유체의 밀도 , 상류속도 , 물체의 크기, 형상 및 방향 등에 따라 달라지는 무차원수이다. 일반적으로, 물체의 양력을 비교할 때 이 양력계수 을 주로 비교한다. 는 물체의 정면도면적(frontal area)를 나타낸다.
이제 회전하는 물체에서 회전에 의한 양력 발생을 살펴보자. 원형 실린더가 회전하게 되면, 실린더가 점착 조건에 의하여 그 주위의 유체를 벽면으로 끌어당기게 된다. 이 때 끌어온 유체가 있는 상단은 비교적 유속이 빠르고, 없는 하단은 비교적 유속이 느리게 된다. 이러한 유속의 차이에 의해 실린더의 상단부와 하단부 사이에는 정압차가 생기게 되고(Bernoulli 방정식 이용), 결국 이 정압차에 의해 물체는 위 방향으로 양력을 받게 된다.
<그림 2-5> 마그누스 효과
이 현상을 발견한 독일 과학자 Heinrich Magnus(1802-1870)의 이름을 따 붙여진 이 효과를 ‘마그누스 효과(Magnus effect)'라 한다. 마그누스 효과에서의 양력 계수는 회전률에 의해 결정된다.
1회 2회 3회 4회 5회
초기 질량(g) 123.7 123.8 123.7 123.7 123.7
바람 1(g) *123.6 (-0.1) 123.8 (-0.0) 123.7 (-0.0) 123.7 (-0.0) 123.7 (-0.0)
바람 2(g) *122.7 (-1.0) 123.2 (-0.6) 123.3 (-0.4) 123.3 (-0.4) 123.2 (-0.5)
바람 3(g) *121.9 (-1.8) 122.5 (-1.3) 122.4 (-1.4) 122.3 (-1.4) 122.3 (-1.4)
바람 4(g) *120.4 (-2.7) 121.3 (-2.5) 121.6 (-2.1) 121.7 (-2.0) 121.9 (-1.8)
바람 5(g) *119.3 (-4.4) 120.8 (-3.0) 120.7 (-3.0) 120.9 (-2.8) 120.9 (-2.8)
<표 3-1>
Ⅲ. 연구 과정3.1. 원통형 실린더에서의 마그누스 효과3.1.1. 풍속에 따른 Magnus Force의 변화 풍속을 독립 변인으로 두고, 마그누스 효과가 풍속이 변화함에 따라 어떠한 관계를 가지는지 알아보았다. 아래와 같이 실험을 설계하여 연구를 진행하였다.
3.1.1.1. 실험 ~ 풍속에 따른 마그누스 힘의 변화1. 실험 개요 및 목적 저울에 회전체를 올려놓고, 바람을 불어넣었을 때 그 질량 변화를 확인하는, 간단한 실험을 통해 풍속에 따른 마그누스 힘의 변화를 살펴본다. 풍속 이외의 모든 물리량(질량,
각속도, 반지름 등)은 통제 변인으로 두어 실험 결과에 영향을 미치지 못 하도록 한다.
저울에 나타나는 눈금은 Gravity와 Magnus Force의 알짜 합력이다. Gravity가 Continual
한 경우, 저울의 질량 변화는 오직 Magnus Force에 의해서만 나타나므로 저울의 눈금 변화는 곧 마그누스 힘이 풍속에 따라 어떻게 변화하는지를 알려준다.
2. 실험 준비물 Air Supplier, 풍속계, 디지털 저울, 회로 상자, 전동기, 고무판, 스티로폼 실린더
3. 실험 방법 - 가벼운 아크릴 판을 이용하여 회로 상자를 제작하여, 그 위에 전동기를 장착한다.
- 소형 모터 축에 16.5mm 직경의 스티로폼 실린더를 꽂고, 저울로 초기 질량을 측정 한다. 꽂을 때, 시료가 흔들림 없이 회전할 수 있도록 정확히 중심에 꽂는다.
- Air Supplier를 가동시켜, 각 단계마다의 풍속을 풍속계로 측정한다.
- 단계마다 저울의 질량 변화를 확인하고, 타 직경의 공에 대해서도 실험한다.
4. 실험 결과※ 바람1 :0.2m/s, 바람2 :7.3m/s, 바람3 :11.4m/s, 바람4 :15.5m/s 바람5 :16.8m/s
시료 1 - 직경 16.5mm, 질량 0.1g
1회 2회 3회 4회 5회
초기 질량(g) 124.0 124.0 124.0 124.0 124.0
바람 1(g) 124.0 (-0.0) 123.9 (-0.1) 124.0 (-0.0) 124.0 (-0.0) 123.9 (-0.1)
바람 2(g) 123.2 (-0.8) 123.3 (-0.7) 123.3 (-0.7) 123.1 (-0.9) 123.2 (-0.8)
바람 3(g) 122.3 (-1.7) 122.2 (-1.8) 122.1 (-1.9) 121.9 (-2.1) 122.3 (-1.7)
바람 4(g) 120.9 (-3.1) 121.2 (-2.8) 121.1 (-2.9) 120.9 (-3.1) 121.0 (-3.0)
바람 5(g) 119.3 (-4.7) 119.6 (-4.4) 119.4 (-4.6) 119.3 (-4.7) 119.4 (-4.6)
<표 3-2>
1회 2회 3회 4회 5회
초기 질량(g) 124.9 124.9 124.9 124.9 124.9
바람 1(g) 124.9 (-0.0) 124.9 (-0.0) 124.9 (-0.0) 124.9 (-0.0) 124.9 (-0.0)
바람 2(g) 123.1 (-1.8) 123.2 (-1.7) 123.1 (-1.8) 123.3 (-1.6) 123.1 (-1.8)
바람 3(g) 121.2 (-3.7) 120.9 (-4.0) 121.3 (-3.6) 121.2 (-3.7) 121.2 (-3.7)
바람 4(g) 119.7 (-5.2) 119.7 (-5.2) 119.8 (-5.1) 120.0 (-4.9) 119.7 (-5.2)
바람 5(g) 118.9 (-6.0) 118.8 (-6.1) 119.2 (-5.7) 119.1 (-5.8) 118.9 (-6.0)
<표 3-3>
* 실험 1회차의 경우, 데이터 값이 다른 값과 매우 달라 추후 계산에서 제외함.
시료 2 - 직경 27.0mm, 질량 0.3g
시료 3 - 직경 37.0mm, 질량 1.2g
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Vafiation of Mass (g)
Wind Velocity (m/s)
R=16.5mm (Uniform Angular velocity)
<그래프 3-1> 푸른 점은 평균값. 추세선은 일차곡선 형
태이다.
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20
V ariation of Mass (g)
Wind Velocity (m/s)
R=27.0mm (Uniform Angular Velocity)
<그래프 3-2> 주황 점은 평균값. 추세선은 일차곡선 형
태이다.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 5 10 15 20
Variation of Mass (g)
Wind Velocity (m/s)
R=37.0mm (Uniform Angular Velocity)
<그래프 3-3> 주황 점은 평균값. 추세선은 일차곡선 형
태이다.
5. 결과 해석 및 소결론 Magnus Effect에 의한 Magnus Force를 나타내주는 지표인 저울 눈금의 질량 변화는 대체로 직경이 클수록, 풍속이 빠를수록 증가하는 경향을 나타냈다. 특히, 실험에서 초점을 맞췄던 풍속에 따른 마그누스 힘의 변화는 풍속-질량변화 그래프의 추세선에서 볼 수 있듯이 비례한다는 것을 알 수 있었다. 이 실험에서는 다음과 같은 결론을 이끌어낼 수 있다.
∝
( : Wind Velocity)
3.1.2. 각속도, 반경에 따른 Magnus Force의 변화 각속도, 반경을 독립 변인으로 두고, 마그누스 효과가 각각의 변인이 변화함에 따라 어떠한 관계를 가지는지 알아보았다. 아래와 같이 실험을 설계하여 연구를 진행하였다.
3.1.2.1.실험 2 ~ 각속도, 반경에 따른 마그누스 힘의 변화1. 실험 개요 실험 1의 경우, 각속도나 반지름이 일정 크기 이상이 되면 더 이상 실험이 불가능하였다. 이러한 실험 자체의 한계에 따라, 스탠드를 놓고 스티로폼 시료를 드릴을 이용해 회전시켜 자유 낙하시키는 실험을 구상했다. 각속도를 일정하게 두고 반경을 변화시킬 때,
반경은 일정하게 두고 각속도를 랜덤하게 하여 변화시킬 때 두 가지 경우에 대해 실험을 진행하였다.
이 실험에는 다음과 같은 ‘세 가지 가정’이 들어간다. 우선, 이 가정은 우리가 실험했던 실험 환경(높이 1.8m, 초기 각속도 60rad/s, 공기 유동이 없음)외의 경우에는 성립하지 않을 수도 있다.
(1) Magnus Force를 계산할 때, 수평 운동 벡터를 무시하고 계산한다.
수평 운동 벡터를 무시할 수 있는 근거는 다음과 같다.
- Magnus Force에 의해 나타나는 수평 방향 가속도 벡터의 크기가 중력 가속도보다 많이 작다.
- 초기 운동 방향과 최종 운동 방향의 변화량이 가장 가벼운 시료의 경우에도 내외로 작은 편이다.
(2) Magnus Force은 모든 순간에 중력 방향에 수직하게 작용한다.
이 가정은 가정 (1)에 의해 의한 따름 가정이다. 수평 운동 벡터를 무시 가능하다면 Magnus Force는 항상 중력과 수직한 방향으로 작용한다고 볼 수 있다.
(3) Magnus Force 을 나타내는 척도는 (질량)×(수평 운동 변위)이다.
이를 가정할 수 있는 것은 실린더의 낙하 시간이 실린더의 반지름과 질량에 관계없이 본 실험 환경에서 ± 이내로 거의 일정하였기 때문이다. 낙하 시간이 일정하다는 것은 우리가 공기저항에 의한 저항력의 효과를 무시할 수 있다는 뜻이므로, 실험에 이용된 모든 실린더의 수평 운동이 거의 똑같다고 볼 수 있다. 그렇다면, 이제 우리는 Magnus
Force에서 과 와 변위 간의 비례 관계를 다음과 같이 알아낼 수 있다.
(실험 1의 결론에 따름)라 하자. 는 과 에 관계하는 상수이다. 이 때,
이므로 .
→
t
. 중력가속도 g와 운동 시간 t가 일정하므로, ∝
∝
와 는 이제 실험으로 알아내야 될 상수이다. 따라서 ∝ .
2. 실험 준비물 회전축이 장치된 스탠드, 드릴, 먹지, 고무판, 테이프, 자, 전지, 순간접착제, 모션 센서,
스티로폼 원통(반경 2cm, 3cm, 4cm 각 3개)
3. 실험 과정 - 상단에 회전축이 장착되어 있는 스탠드를 제작한다.
<그림 3-3> 스탠드
<그림 3-4> 회전축 측면부
추가 설명 : 회전축 한 쪽 끝에는 10cm × 10cm 정도의 넓은 고무판을 순간접착제를 이용해 붙이고, 다른 쪽 끝에는 각속도 측정을 위해 각속도 측정 센서를 부착한다.
- 드릴 또한 회전축과 같이 끝부분에 10cm × 10cm 정도의 넓은 고무판을 붙이 고, 헛돌지 않도록 끝까지 돌려서 고정시킨다.
- 스티로폼 공을 붙인 쪽에 모션 센서를 달고, 각속도를 측정한다.
- 원통형 시료의 측면에 먹지를 이용해 검은 잉크를 묻히고, 드릴을 손으로 누르 면서 원통을 회전시킨 뒤 재빠르게 떼어내어 변화량을 확인한다. 나머지 8개 원통에 대해서도 똑같이 실행한다.
1회* 2회 3회 4회 5회변위 36.63 39.85 39.61 34.67 41.83주기 0.098 0.099 0.103 0.103 0.105
각속도 64 62 61 61 60 <표 3-6>
1회 2회 3회 4회 5회변위 38.82 36.72 34.38 37.71 41.81주기 0.102 0.105 0.100 0.103 0.102
각속도 62 60 63 61 62 <표 3-7>
1회 2회 3회 4회* 5회변위 22.18 23.41 25.09 23.27 23.97주기 0.102 0.105 0.105 0.137 0.104
각속도 62 60 60 46 60 <표 3-8>
1회* 2회 3회 4회 5회변위 18.31 24.73 20.27 26.2 23.4주기 0.109 0.108 0.106 0.105 0.104
각속도 57 59 60 60 61 <표 3-9>
1회 2회* 3회 4회 5회변위 24.15 22.18 25.9 26.2 23.2주기 0.1078 0.11956 0.1067 0.1078 0.1066
각속도 58.28558 52.55257 58.88646 58.28558 58.9417 <표 3-10>
- 이번에는 시료를 하나만 사용하고, 각속도를 무작위하게 바꾸면서 실험을 진행 한다.
4. 실험 결과시료 1A - 직경 4cm, 질량 1.3g
1회* 2회* 3회 4회 5회변위(cm) 33.83 38.92 34.67 40.35 37.62주기(t) 0.094733 0.1092 0.09702 0.098 0.098
각속도(rad/s) 66 58 65 64 64 <표 3-5>
시료 1B - 직경 4cm, 질량 1.2g
시료 1C - 직경 4cm, 질량 1.3g
----------------------------------------------
시료 2A - 직경 6cm, 질량 2.8g
시료 2B - 직경 6cm, 질량 3.1g
시료 2C - 직경 6cm, 질량 2.9g
----------------------------------------------
1회 2회 3회변위 16.4 18.9 16.8주기 0.099 0.099 0.099
각속도 64 64 64 <표 3-11>
1회 2회 3회변위 21.4 17.15 13.5주기 0.108 0.105 0.106
각속도 59 60 60 <표 3-12>
1회 2회 3회변위 15.65 19 20.7주기 0.105 0.106 0.107
각속도 60 60 59 <표 3-13>
1회 2회 3회 4회 5회 6회 7회 8회주기 0.187 0.150 0.126 0.103 0.248 0.105 0.186 0.167
각속도 33.5 41.8 49.9 61.0 25.3 59.7 33.7 37.7변위 19.02 18.72 21.63 27.83 14.55 27.00 15.89 16.50
<표 3-13>
시료 3A - 직경 8cm, 질량 4.9g
시료 3B - 직경 8cm, 질량 5.3g
시료 3C - 직경 8cm, 질량 4.7g
----------------------------------------------
Random Angular Velocity - 시료 2C(직경 6cm, 질량 2.9g) 사용
----------------------------------------------
※ 이후 모든 그래프에서 힘의 크기를 측정하는데 가속도가 아닌, 변위로 그 크기를 재는 것은 위에서 말했던 가정에 따름이다. 각속도가 일정한 경우, ∝ 이고, 직경이 일정한 경우 ∝ 이다.
<그림 3-7> 전지에 표시된 실험 데이터. 이
튿날까지 총 150여 번의 실험이 시행되었고,
이 중 50여 개의 유효한 데이터를 얻었다.
<그림 3-8> 실험에 사용된 스티로폼 원통.
16cm는 제작되었으나 실제로 사용되진
않았다.
020406080
100
0 20 40 60 80
변위X질량(cmXg)
각속도(rad/s)
Random Angular Velocity
<그래프 3-4> 무작위한 각속도에 대해 실험한 결과. 추세선이 선형을 나타낸다.
위의 그래프는 실린더의 반경 및 질량이 일정할 때, 각속도를 변화시키면서 나타나는 결과를 알아본 것이다. 변위×질량 - 각속도 그래프(실제로는 질량이 일정하므로 변위 -
각속도 그래프를 그려도 되나, 일관성을 유지하기 위해 다음과 같이 그렸다.)를 그려본 결과, 선형으로 그래프가 증가하는 것을 볼 수 있었다.
가정에서 ∝ 인데, 그래프의 추세선이 선형으로 증가하므로 이다. 따라서, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
∝
( : Angular Velocity)
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
변위×질량
(cm×g)
직경(cm)
직경 - 변위×질량
<그래프 3-5> 변위×질량은 곧 마그누스 힘의 지표가 된다. 보라색 점
은 각각의 직경에 대한 데이터의 평균값이다. 추세선은 선형이다.
<그래프 3-5>는 각속도를 60rad/s로 고정시키고, 반지름을 2cm, 3cm, 4cm에 대해 실험한 결과이다. 변인의 종류가 3가지밖에 없지만, 하나의 변인당 최소 9회에서 최대 15회에
이르는 유효 데이터 값을 구해서 얻어낸 평균값이기 때문에 데이터의 정확성은 상당히 신뢰할 만하다. 그래프의 추세선을 볼 수 있듯이 선형으로 값이 증가한다.
가정에서 ∝ 인데, 그래프의 추세선이 선형으로 증가하므로 이다. 따라서, 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
∝
(R : Radius of Cylinder)
따라서 위 실험을 종합하였을 때 원통형 실린더에 작용하는 Magnus Force는 상대풍속,
각속도, 직경에 대해 다음과 같은 상관관계를 지닌다.
∝
(R : Radius of Cylinder, : Angular Velocity, V : Wind Velocity)
3.2. 타원형 실린더에서의 운동 궤적 조사 타원형 실린더의 경우에는 원형 실린더와 달리 운동할 때 공기가 매끄럽게 지나가지 못 하여 공기 분자의 충돌에 의한 저항력이 생성되어 마그누스 힘의 크기를 줄이는 일종의 ‘마그누스 상쇄 효과’가 나타날 것이라고 예상된다.
3.2.1. 예상(1) 장축과 단축 간의 거리 차이가 크지 않은 경우 - 타원형 실린더는 원통과 모양 차이가 크지 않으므로, 운동 궤적은 원형 실린더와 비슷할 것이다.
- 이심률이 낮은 초기에는 Magnus Force는 원형 실린더에서 나타나는 과 비슷한 양상을 보일 것이다.
(2) 장축과 단축 간의 거리 차이가 무시할 수 없을 만큼 커지는 경우 - ‘마그누스 상쇄 효과’에 의해 마그누스 효과에 의한 수평 변위의 변화량이 줄어들 것이다.
- 마그누스 상쇄 효과는 타원체가 원형보다 납작하기 때문에 나타나는 현상이며, 회전 순간마다 바람을 맞는 정사영면적이 달라지면서 기존 각속도 방향에 반하는 역토크가 발생한다.
(3) 단축의 거리가 너무 짧아져 익형에 가까워지는 경우 - 이 경우, 더 이상 회전에 의한 정압차가 생기지 않으면서 마그누스 효과는 거의 일어나지 않고 회전에 의해 실속 현상이 나타날 것으로 예상된다.
- 일정 영각(Angle of Attack)을 넘는 순간, 와류가 발생하면서 각속도는 급격히 감소하고, 비행기가 추락하듯이 타원형 실린더는 무작위한 궤도의 운동을 하게 된다.
<그림 3-9> =0.1인 타원. 예상 (1)
에 의하면 원형 실린더와 비슷한 운동
을 한다.
<그림 3-10> =0.6인 타원. 예상 (2)
마그누스 상쇄 효과가 마그누스 효과
에 의한 힘을 줄인다.
<그림 3-11> =0.9인 타원. 예상 (3)
에 의하면 마그누스 효과는 거의 나타
나지 않으며, 단순히 익형으로 보아도
무방하다.
3.2.2. 타원체의 ‘마그누스 상쇄 효과’
예상을 바탕으로 하여, 아래와 같은 실험을 설계해 마그누스 상쇄 효과가 이심률에 따라 어떻게 달라지는지 알아본다.
3.2.2.1. 실험 3 ~ 자유 낙하하는 타원형 실린더 회전체의 운동1. 실험 개요 원통이 아닌, 장축과 단축의 길이가 다른 타원형 실린더에 대해서 실험 2를 반복 수행하고, 기존의 원통으로 수행했을 때와의 차이점은 무엇이 있는지 확인한다. 이심률(혹은 단축의 길이)에 따른 ‘마그누스 상쇄 효과’와 ‘마그누스 힘’의 상관관계를 확인한다.
원형 실린더에서 얻어낸 결과를 타원형 실린더에도 이용하기 위해, 타원의 ‘반지름’이라는 것을 임의로 가정한다. 빛의 세기가 사인함수의 형태로 매번 바뀌기 때문에 그 평균값 로 빛의 세기를 정의하는 것과 같이, 원통의 매 순간마다의 작용하는 토크를 계산하기 어렵기 때문이다. 장축의 길이를 a, 단축의 길이를 b라고 했을 때 ‘타원의 반지름’
은 다음과 같이 정의한다.
다시 말해 타원의 반지름은 장축과 단축 길이의 기하평균값이다.
2. 실험 준비물 회전축이 장치된 스탠드, 드릴, 먹지, 고무판, 테이프, 자, 전지, 순간접착제, 각모션 센서, 스티로폼 타원형 실린더(장축 10cm 고정, 이심률 0.1 ~ 0.9 각 1개 씩 총 9개)
3. 실험 과정 - 시료를 장착하기 전까지는 실험 2와 같이 세팅한다.
- 타원형 시료의 측면에 먹지를 이용하여 잉크를 묻히고, 드릴로 각속도를 주어 자유 낙하시킨다. 수평 변위 변화를 확인한다.
- 실험 2의 결과를 이용해, 원형 실린더의 결과와 비교하여 마그누스 상쇄 효과가 이심률에 따라 어떻게 변화하는지 살펴본다.
4. 실험 결과 각 시료에 대해 10여 번의 실험을 한 다음, 자유 낙하에 가까웠던 유효 데이터 3개만을 취해 그 평균값을 구하여 변위를 구했다. 장축 길이는 10cm로 일정하다.
시료 1 - 이심률 0.1 (단축 99.50mm)
질량 7.45g
측정1 측정2 측정3 평균변위 10.50 10.24 10.01 10.583
각속도(rad/s) 53.5 53 54 53.5 <표 3-14>
시료 2 - 이심률 0.2 (단축 97.98mm)
질량 7.52g
측정1 측정2 측정3 평균변위 9.12 10.24 11.75 10.37
각속도(rad/s) 55 55 52 54 <표 3-15>
시료 3 - 이심률 0.3 (단축 95.40mm)
질량 6.89g
측정1 측정2 측정3 평균변위 10.33 8.94 12.22 10.497
각속도(rad/s) 54 54.5 55 54.5 <표 3-16>
시료 4 - 이심률 0.4 (단축 91.65mm)
질량 7.04g
측정1 측정2 측정3 평균변위 11.12 9.24 11.30 10.533
각속도(rad/s) 54 54 54 54 <표 3-17>
시료 5 - 이심률 0.5 (단축 86.60mm)
질량 6.42g
측정1 측정2 측정3 평균변위 8.37 11.88 9.77 10.007
각속도(rad/s) 53.5 53.5 55.5 54.17 <표 3-18>
시료 6 - 이심률 0.6 (단축 80.00mm)
질량 6.38g
측정1 측정2 측정3 평균변위 11.42 7.35 8.23 9.000
각속도(rad/s) 56 54 55 55 <표 3-19>
시료 7 - 이심률 0.7 (단축 71.41mm)
질량 5.47g
측정1 측정2 측정3 평균변위 8.11 7.49 7.62 7.740
각속도(rad/s) 54 52 53 53 <표 3-20>
시료 8 - 이심률 0.8 (단축 60.00mm)
질량 4.65g
측정1 측정2 측정3 평균변위 9.33 14.47 12.61 12.137
각속도(rad/s) 52 53 55 53.33 <표 3-21>
시료 9 - 이심률 0.9 (단축 43.59mm)
질량 4.20g
측정1 측정2 측정3 평균변위 18.72 19.22 13.48 17.14
각속도(rad/s) 55 53 52 53.33 <표 3-22>
0.2
0.30.4
0.50.6
0.7
0.8
0.9
정의된 타원의 길이( )
(m‘’
<그래프 3-6> 타원 이심률에 따른 변위×질량 변화 그래프. 초기에는 선형을 잘 따르는가
싶더니, 이심률 0.5 이후에서부터는 서서히 선형을 벗어나더니 0.8 이상의 이심률에서는 완
전히 불규칙적인 그래프가 나타난다. 주황색 선은 기존의 원통에서 R에 대한 추세선. 붉은
색 선은 이심률 0.5~0.7에서의 선형에서 벗어나는 추세선의 모습.
타원형 실린더의 경우, 그래프를 보지 않더라도 실제로 이심률 0.4 이하에서는 반경 9
에서 10cm의 원통형 실린더와 비슷한 운동 궤적을 그리면서 낙하했다. 하지만 이심률이 그 이상으로 증가할수록 ‘마그누스 상쇄 효과’를 받게 되어 각속도가 감소, 마그누스 힘이 줄어드는 것을 관찰할 수 있었다. 각속도가 줄어든다는 점에서 아마 ‘마그누스 상쇄 효과’의 실체는 예상했던 바와 같이 각속도 운동 방향에 반하는 ‘저항 토크’일 것이라 생각된다. 또한, 일정 이심률 이상(대략 0.75 이상의 부분)에서는 마그누스 힘이나 공기 저항에 의한 토크에 의한 것이라고 생각하기는 힘든 불규칙적이고 이상한 형태의 운동 궤
적를 관측할 수 있었다. 이는, 이심률이 커짐에 따라 물체의 모양이 비교적 옆으로 길고 뾰족해지는 익형에 가까워지면서, 영각(Angle of Attack) 초과 시에 실속 현상이 일어나면서 각속도와 운동 방향 모두 불규칙적으로 변하기 때문으로 보인다.
이제 <그래프 3-6>을 보자. 이심률 0.8 이상의 결과는 배제하여놓고 보았을 때, 이심률 0.4 이하의 부분에서는 원통형으로 반지름을 보정(타원의 장축을 a, 단축을 b라 할 때 R
을 로 하여 보정) 그래프를 그렸을 때, 실험 2와 같이 비슷한 선형 형태의 그래프를 얻을 수 있었다. 이후 이심률 0.5 ~ 0.7에서는 ‘마그누스 상쇄 효과’로 인한 각속도 손실이 생기면서, 선형 양상에서 서서히 벗어나는 추세선을 나타내었다.
이심률 0.5 ~ 0.7 부분의 그래프를 보았을 때, 선형 그래프와 차이를 살펴보면, 이심률이 증가하면서 대략 이차곡선 형태의 추세선이 나타나는 것을 확인할 수 있다. 하지만,
이론적 계산의 한계로 인한 예측의 미비로 인해, ‘마그누스 상쇄 효과’가 나타나는 원인 혹은 원인들이 무엇인지는 알아낼 수 없었다. 단순히 운동 도중 각속도가 줄어든다는 점에서 ‘마그누스 상쇄 효과’가 각속도를 줄이는 토크의 형태라고 예상 가능할 뿐이다.
정리하자면 타원형 실린더의 경우, 그 모양적 특성으로 인해 ‘마그누스 상쇄 효과’가 발생함으로써, 마그누스 힘의 영향이 줄어들게 된다. 대략 이심률 0.5(단축의 길이 86.6mm)에서부터 ‘마그누스 상쇄 효과’가 관찰 가능하며, 정확한 원인은 알 수 없지만 ‘마그누스 상쇄 효과’는 이심률이 증가하면서 이차 곡선 형태의 추세선을 그려낸다. 또한,
이심률 0.7 이상부터는 그 모양이 익형에 가까워지면서 실속 현상이 발생, 무작위한 형태의 운동 궤적이 그려진다.
Ⅳ. 결론 및 고찰5.1. 최종 결론5.1.1 원통형 실린더에서의 Magnus Force
➀ Magnus Force는 풍속에 비례하여 나타난다.
➁ Magnus Force는 회전하는 물체의 각속도에 비례하여 나타난다.
➂ Magnus Force는 물체의 직경에 비례하여 나타난다.
∝
5.1.2 타원형 실린더의 경우① 타원형 실린더의 경우, 원형과는 다르게 마그누스 힘을 상쇄시키는 어떠한 효과가
관찰된다. 이것을 ‘마그누스 상쇄 효과’라 칭한다.
② 이심률 0.5 이상에서는 마그누스 상쇄 효과가 뚜렷이 관찰되기 시작하면서, 직경에 대해 일반적인 선형 그래프를 나타내지 않는다.
③ 이심률 0.7 이상에서는 타원이 익형에 가까워지면서 회전하는 순간에 영각을 초과하면 실속 현상이 일어나 불규칙적 운동 궤적을 그린다.
5.2. 고찰 타원체 실린더 실험의 경우, 원형 실린더의 경우와 데이터를 비교해보았다. 하지만 단순히 대입하기에는 다음과 같은 문제점이 있었다.
(1) 근거가 부족한 (정의된 타원의 반지름)
타원의 반지름을 로 정한 것은 순전히 그래프로 나타내었을 때 해석이 용이하고,
이것이 기존의 예상과 맞아떨어졌기 때문이다. 우리가 처음 했던 예상은 사실 상식적으로 생각해보았을 때는 당연한 것이지만, 그것을 증명할 만한 확실한 근거는 없다. 이러한 예상을 결과로 두고 정의해버린 은 실제로는 어떠한 의미도 없는 값일 수도 없다. 이후 본 연구에서 정의한 이 물리학적으로 어떠한 의미를 지니는지에 대해 알아볼 필요가 있다.
(2) 익형의 타원형 실린더 타원의 이심률이 0.8을 넘어가면서, 사실 거의 익형에 가까워진 경우에는 조작이 상당히 어려웠다. 회전축을 이용해 각속도를 주기도 어려웠고, 설사 각속도를 주었어도 전동기를 떼어낼 때 이상한 방향으로 튀어나가는 둥의 문제가 발생했다. 높은 이심률의 타원에 대해서는 실린더 하나에만 대략 30회 정도의 실험을 하였지만, 정작 얻을 수 있던 데이터는 그들 중 위에 적혀 있는 3개만이 유효하다 볼 수 있었다. 이러한 큰 오차로 인해,
이심률 0.75 이상의 익형 타원 실린더의 경우에는 더 심도 깊은 실험과 해석 방법이 필요할 것이다.
이외에도 실험 데이터 오차 범위가 컸거나, 실험 횟수에 비해 사용할 수 있었던 유효 데이터 값이 너무 적었다는 아쉬움도 있었다. 추후에는 타원체의 운동 중 작용하는 힘에 대해 정량적인 계산을 해 보는 방향으로 연구를 진행해보고자 한다.
Ⅴ. 참고 문헌Karl I. Borg, Lars H. Soderholm, and Hanno Essen
Force on a spinning sphere moving in a rarefied gas, 2003 (Physics of Fluids, 2003 March,
P.736~741)
Yunus A. Cengel, John M. Cimbala
유체역학(Fluid Mechanics), 2005 (McGraw-hill Korea, 김태현 공역)
동아사이언스기상천외한 우주 월드컵, 2006 (과학동아, 2006 June, P. 84~87)
