EF - Experimento fatorial

1

� EXPERIMENTOS FATORIAIS

Universidade Federal do Piauí

Campus Universitário Profa Cinobelina Elvas

Profa. Gisele Rodrigues MoreiraEnga. Agrônoma

Dra. Genética e Melhoramento

E-mail: [email protected]

1. INTRODUÇÃO

São aqueles em que são estudados dois ou mais fatores simultaneamente, cada um deles com dois ou mais níveis.

Exemplo:� Fator → variedade� Níveis → V1, V2, V3, etc.

� Fator → formulação (doses)� Níveis → F1, F2, F3, etc.

2

- QUALITATIVOS- QUANTITATIVOS

Ex: Fator qualitativo� Fator → variedade� Níveis → V1, V2, V3, etc.

Ex: Fator quantitativo� Fator → formulação� Níveis → F1, F2, F3, etc.

Classificação dos fatores:

Quando se quando se deseja estudar a

influência de dois ou mais fatores sobre a

variável resposta e o relacionamento entre

eles.

Aplicação do esquema fatorial

3

Simbologia:Indicada pelo produto dos níveis dos fatores em teste.

Exemplo:� Fator → variedade; Níveis → V1, V2, V3

� Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3, F4

Fatorial 3 x 4

OBS: Quando o número de níveis é igual para todos os fatores: nF

Em que, F é o número de fatoresn é o número de níveis de cada fator


� Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3

Fatorial 32

4

Obtenção dos Tratamentos:A partir da combinação dos níveis dos fatores.


� Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3

V1F1, V1F2, V1F3, V2F1, V2F2, V2F3, V3F1, V3F2, V3F3

Importante:

O fatorial NÃO é um delineamento!!!!

É um tipo de esquema, ou seja, uma das

maneiras de organizar os tratamentos, e

depois distribuídos às unidades experimentais

segundo um tipo de delineamento.

5

2. EFEITOS ESTUDADOS NO FATORIAL

�� EFEITO PRINCIPAL

É o efeito de cada fator, independentemente do efeito dos outros.

�� EFEITO DE INTERAÇÃO

É o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis de outros.

Demonstração de quando não há e quando háINTERAÇÃO

Suponha um experimento fatorial 2 x 3, em DIC, com os seguintes resultados médios para a variável altura de plantas (cm).

1086E2

12108E1

V3V2V1

VariedadeEspaçamento

1a situação ⇒ Não há interação

6

Quando não há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um fator são estatisticamente

iguais para todos os níveis do outro fator.

1086E2

12108E1

V3V2V1


V1 V3V2

12

10

8

6

4

2

0

E1E2

Altura de plantas em cm

Demonstração de quando não há e quando háINTERAÇÃO

2105E2

642E1

V3V2V1


2a situação ⇒ Há interação

7

Quando há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um fator dependem dos níveis do outro fator.

V1 V3V2

109876543210

E1E2

Altura de plantas em cm

2105E2

642E1

V3V2V1


3. QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS

Depende do tipo de delineamento!- DIC- DBC- DQL

8

3.1 QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS (DIC)

...………...

Yij.Yiik…Yij2Yij1Bj

..................

Yi2.Yi2k…Yi22Yi21B2

B1

Bj

...

B2

B1

Yi1.Yi1k...Yi12Yi11AI

Y1j1

...

Y121

Y111

1

REPETIÇÕES

Y1j.Y1jk…Y1j2

............

Y12.Y12k…Y122

Y11.Y11k...Y112A1

Totaisk...2Fatores

3.2 QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS (DBC)

GYi.k...Yi.2Yi.1Totais

...………...

Yij.Yiik…Yij2Yij1Bj

..................

Yi2.Yi2k…Yi22Yi21B2

B1

Bj

...

B2

B1

Yi1.Yi1k...Yi12Yi11AI

Y1j1

...

Y121

Y111

1

BLOCOS

Y1j.Y1jk…Y1j2

............

Y12.Y12k…Y122

Y11.Y11k...Y112A1

Totaisk...2Fatores

9

4. MODELO ESTATÍSTICO (DIC)

Yijk = m + ααααi + ββββj + (αβαβαβαβ)ij+ eijk

EM QUE:Yij é o valor observado para a variável resposta referente a k-ésimarepetição da combinação do i-ésmio nível do fator A com o j-ésimonível do fator B;m é a média de todos os valores possíveis da variável resposta;

ααααi é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk;ββββj é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk;(αβ)ij é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo nível do fator B;eij é o erro experimental associado ao valor observado Yijk.

4. MODELO ESTATÍSTICO (DBC)

Yijk = m + ααααi + ββββj + (αβαβαβαβ)ij+ bk + eijk

EM QUE:Yij é o valor observado para a variável resposta referente a k-ésimarepetição da combinação do i-ésmio nível do fator A com o j-ésimonível do fator B;m é a média de todos os valores possíveis da variável resposta;

ααααi é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk;ββββj é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk;(αβ)ij é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o j-ésimo nível do fator B;bk é o efeito do bloco k no valor observado Yijk;eij é o erro experimental associado ao valor observado Yijk.

10

5. ANÁLISE DE VARIÂNCIA

É uma análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja a variação existente, na variação devido à diferença entre efeitos dos tratamentos (efeitos principais e interação), ao bloco (quando o experimento for em DBC) e na variação devido ao acaso (erro experimental ou resíduo).

Pressuposições:

� os efeitos do modelo devem ser aditivos;� os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos [eij ~ N (0, 1) e independentes.

--SQTrat(IJ – 1)(Tratamento)

-SQA/GLSQBJ - 1Fator B

QMAxB/QMRSQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1)A x B

-SQA/GLSQAI – 1Fator A

-

-

F

-SQTIJK - 1TOTAL

SQR/GLSQRIJ(K– 1)Resíduo

QMSQGLFonte de variação

Quadro da ANOVA (DIC)

11

--SQB(K – 1)Bloco

--SQTrat(IJ – 1)(Trat.)

-SQA/GLSQBJ - 1Fator B

QMAxB/QMRSQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1)A x B


-

-

F

-SQTIJK - 1TOTAL

SQR/GLSQR(IJ – 1)(K – 1)Resíduo


Quadro da ANOVA (DBC)

Importante:

Na análise de dados de um experimento

fatorial, para qualquer delineamento utilizado,

deve-se sempre proceder inicialmente o

teste F para a interação entre os fatores.

�� Interação não-significativa �� Interação significativa

12

Se, interação não-significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma independente e deve-

se proceder o teste F para cada fator.

Se, interação significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, não se faz o teste F para cada fator, e sim deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do

efeito da interação (A/B e B/A).

� Hipótese de nulidade (Ho): Os fatores A e B atuam independente sobre a

variável resposta em estudo.

Hipóteses testadas na ANOVA (interação)

� Hipótese alternativa (Ha): Os fatores A e B não atuam independente

sobre a variável resposta.

13

--SQTrat(IJ – 1)(Tratamento)

SQB/GLSQBJ - 1Fator BNão significativoSQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1)A x B

SQA/GLSQAI – 1Fator A

-

-

F

-SQTIJK - 1TOTAL



5.1. Interação não significativa

QMA/QMR

QMB/QMR

Obs: quadro para um experimento em DIC

IJK

Y

K

Y

SQTrat

KJI

kji

ijk

JI

ji

ij ∑∑===

−=

;;

1;;1

2;

1;

2

. )(

IJK

Y

YSQT

KJI

kji

ijkKJI

kji

ijk

2;;

1;;1;;

1;;1

2

)( ∑∑

==

==

−=

IJK

Y

JK

A

SQA

KJI

kji

ijk

I

i

i ∑∑=== −=

;;

1;;1

2

1

2 )(

IJK

Y

IK

B

SQB

KJI

kji

ijk

J

j

j ∑∑===

−=

;;

1;;1

2

1

2 )(

SQBSQASQTratSQAxB −−=

SQTratSQTSQR −=

14

Se os fatores A e B forem qualitativos (Ex.:

variedade, raça) e o teste F para A e/ou B for

não significativo, a aplicação do teste de

médias é desnecessária. Porém se for

significativo para A e/ou B, deve-se aplicar um

teste de médias para comparar os níveis do

fator em questão.

Em que as estimativas das médias dos níveis

dos fatores são obtidas por:

IK

Bm

JK

Am

j

B

iA

j

i

=

=

ˆ

ˆ

:B Fator

: AFator

15

Fórmulas para os testes de médias dos fatores A e/ou B

),%;(

),%;(

2

2

nJ

nI

qIK

QMRq

qJK

QMRq

α

α

:B Fator

: AFator

=∆

=∆

Teste de Tukey

),%;(

),%;(

2

2

nni

nni

B

A

ZIK

QMRZD

ZJK

QMRZD

α

α

:B Fator

: AFator

=

=

Teste de Duncan


16

)%;(

1

2

)%;(

1

2

2

2

ˆ

ˆ

nI

i

i

BB

nI

i

i

AA

t

aIK

QMR

YYt

t

aJK

QMR

YYt

α

α

:B Fator

: AFator

∑

∑

=

=

−=

−=

Teste t


)];1%[(

1

2

)];1%[(

1

2

2

2

.).1(

.).1(

nJ

I

i

itab

nI

I

i

itab

FaIK

QMRFJS

FaJK

QMRFIS

−

=

−

=

∑

∑

−=

−=

α

α

:B Fator

: AFator

Teste de Sheffé


17

Exemplo:

Experimento em DIC, no esquema fatorial 22

(A1: ração com cálcio e A2: ração sem cálcio; B1: ambiente à noite com luz artificial e B2: ambiente à noite sem luz artificial), com 6 repetições ⇒ variável resposta: No de ovos/poedeira

43

45

45

241

264

290

50 306

6 Totais

4139384040B2

B1

B2

B1

4443464442A2

49

50

1

REPETIÇÕES

46485052

52544852A1

5432Fatores

Pode-se afirmar que o tipo de ração e o tipo de ambiente atuam

independentemente na produção de ovos?

Proceder a ANOVA

18

I. Hipóteses





--SQTrat(IJ – 1) =3(Trat.)

-SQB/GLSQBJ – 1 =1Fator B

SQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1) =1A x B

-SQA/GLSQAI – 1 =1Fator A

-

-

F

-SQTIJK – 1 =23TOTAL

SQR/GLSQRIJ(K– 1) =20Resíduo


II. ANOVA

Fator A ⇒ 2 níveis, logo I = 2Fator B ⇒ 2 níveis, logo J = 2

Repetições 6, logo k = 6

QMAxB/QMR

19

IJK

Y

K

Y

SQTrat

KJI

kji

ijk

JI

ji

ij ∑∑===

−=

;;

1;;1

2;

1;

2

. )(

IJK

Y

YSQT

KJI

kji

ijkKJI

kji

ijk

2;;

1;;1;;

1;;1

2

)( ∑∑

==

==

−=

IJK

Y

JK

A

SQA

KJI

kji

ijk

I

i

i ∑∑=== −=

;;

1;;1

2

1

2 )(

IJK

Y

IK

B

SQB

KJI

kji

ijk

J

j

j ∑∑===

−=

;;

1;;1

2

1

2 )(


SQTratSQTSQR −=

IJK

Y

JK

A

SQA

KJI

kji

ijk

I

i

i ∑∑=== −=

;;

1;;1

2

1

2 )(

SOMA DE QUADRADOS DO FATOR A

20

SOMA DE QUADRADOS DO FATOR B

IJK

Y

IK

B

SQB

KJI

kji

ijk

J

j

j ∑∑===

−=

;;

1;;1

2

1

2 )(

IJK

Y

K

Y

SQTrat

KJI

kji

ijk

JI

ji

ij ∑∑===

−=

;;

1;;1

2;

1;

2

. )(

SOMA DE QUADRADOS DE SQTrat

21


SOMA DE QUADRADOS DA INTERAÇÃO A x B

IJK

Y

YSQT

KJI

kji

ijkKJI

kji

ijk

2;;

1;;1;;

1;;1

2

)( ∑∑

==

==

−=

SOMA DE QUADRADOS TOTAL

22

SQTratSQTSQR −=

SOMA DE QUADRADOS DO RESÍDUO

--410,463(Trat.)

-63,0063,001Fator B

0,612,412,411A x B

-345,05345,051Fator A

-

-

F

-490,6323TOTAL

4,0180,1720Resíduo


II. ANOVA

α = 5% F(1;20) = 4,35

23

--410,463(Trat.)

-63,0063,001Fator B

0,612,412,411A x B

-345,05345,051Fator A

-

-

F

-490,6323TOTAL

4,0180,1720Resíduo


III. Nível de significância

Como 0,61 < 4,35, teste F não significativo, então não se rejeita Ho ao nível de 5% de probabilidade. Ou seja, os fatores A e B atuam independentemente sobre a variável resposta.

--410,463(Trat.)

-63,0063,001Fator B

0,612,412,411A x B

-345,05345,051Fator A

-

-

F

-490,6323TOTAL

4,0180,1720Resíduo

QMSQGLFV

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

%36,4100.88,45

01,4%

100.ˆ

%

==

=

CV

m

QMRCV

24

Como o teste F para a interação foi não-significativo, ou seja, os fatores A e B atuam

independentemente sobre a variável resposta,deve-se proceder o teste F para cada fator.

Hipóteses para o fator A:

Hipóteses para o fator B:

Ho: mB1 = mB2

Ha: mB1 ≠ mB2

Ho: mA1 = mA2

Ha: mA1 ≠ mA2

25

--410,463(Trat.)

15,70*63,0063,001Fator B

0,612,412,411A x B

86,05*345,05345,051Fator A

-

-

F

-490,6323TOTAL

4,0180,1720Resíduo

QMSQGLFV

ANOVA

α = 5% F(1;20) = 4,35

Conclusão para o fator A:

Conclusão para o fator B:

Como 15,70 > 4,35, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade. Ou seja, existe diferença entre as médias dos níveis B.

Como 86,05 > 4,35, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% e probabilidade. Ou seja, existe diferença entre as médias dos níveis A.

26

Como o teste F para a interação os dois fatores A e B foram significativos deve-se proceder o teste de comparação de médias para cada

fator.

Teste de TUKEY

27

--SQT(IJ – 1)(Tratamento)

-SQA/GLSQBJ - 1Fator BSignificativoSQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1)A x B


-

F


QMSQGLFV

5.2. Interação significativa


Se, interação significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, não se faz o teste F para cada fator, e sim deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do

efeito da interação (A/B e B/A).

28

-SQR/GLSQRIJ(K– 1)Resíduo

(QMA/Bj)/QMR(SQA/Bj/GL)SQA/BjI - 1A/Bj

(QMA/B2)/QMR(SQA/B2)/GLSQA/B2I - 1A/B2

...............

(QMA/B1)/QMR(SQA/B1)/GLSQA/B1I – 1A/B1

FQMSQGLFV

Desdobramento da interação:Níveis de A dentro de cada nível de B (A/B)


� Hipótese de nulidade (Ho): mA1/Bj = mA2/Bj = ... = mAi/Bj

Hipóteses testadas na ANOVA

� Hipótese alternativa (Ha): não Ho

29


(QMB/Ai)/QMR(SQB/Ai/GL)SQB/AiJ - 1B/Ai

(QMB/A2)/QMR(SQB/A2)/GLSQB/A2J - 1B/A2

...............

(QMB/A1)/QMR(SQB/A1)/GLSQB/A1J – 1B/A1

-

F

-SQTIJK - 1Total

QMSQGLFV


Desdobramento da interação:Níveis de B dentro de cada nível de A (B/A)

� Hipótese de nulidade (Ho): mB1/Ai = mB1/Ai = ... = mBj/Ai

Hipóteses testadas na ANOVA

� Hipótese alternativa (Ha): não Ho

30

Fórmula geral para obter SQA/Bj e SQB/Ai

JK

X

K

X

ASQB

J

j

j

J

j

j

i

∑∑==

−=1

2

1

2 )(

/

IK

X

K

X

BSQA

I

i

i

I

i

i

j

∑∑== −= 1

2

1

2 )(

/

Se os fatores A e B forem qualitativos (Ex.:

variedade, raça) procede-se ao teste F para

cada fonte de variação do desdobramento. Nas

fontes de variação em que o teste F foi

significativo e o fator tem mais de dois níveis,

aplica-se um teste de médias.

31

Em que as estimativas das médias dos níveis

dos fatores são obtidas por:

K

Bm

K

Am

j

B

iA

j

i

=

=

ˆ

ˆ

:B Fator

: AFator

Fórmulas para os testes de médias para o fator A (A/B) e o fator B (B/A)

),%;(

),%;(

2

2

nJ

nI

qK

QMRq

qK

QMRq

α

α

:B Fator

: AFator

=∆

=∆

Teste de Tukey

32

),%;(

),%;(

2

2

nni

nni

B

A

ZK

QMRZD

ZK

QMRZD

α

α

:B Fator

: AFator

=

=

Teste de Duncan


)%;(

1

2

)%;(

1

2

2

2

ˆ

ˆ

nI

i

i

BB

nI

i

i

AA

t

aK

QMR

YYt

t

aK

QMR

YYt

α

α

:B Fator

: AFator

∑

∑

=

=

−=

−=

Teste t


33

)];1%[(

1

2

)];1%[(

1

2

2

2

.).1(

.).1(

nJ

I

i

itab

nI

I

i

itab

FaK

QMRFJS

FaK

QMRFIS

−

=

−

=

∑

∑

−=

−=

α

α

:B Fator

: AFator

Teste de Sheffé


Exemplo:Experimento em DIC, no esquema fatorial 3 x 2 (A1: saco plástico pequeno e A2: saco plástico grande; A3: laminado e B1: Eucalyptus citriodora e B2: Eucalyptus grandis), com 4

repetições ⇒ variável resposta: altura média das mudas (cm) aos 80 dias de idade.

85,321,322,821,419,8B2

80,219,218,822,822,8B1A3

78,3

103,5

101,3

102,6

Totais

18,619,019,619,6B2

B1

B2

B1

26,425,126,325,7A2

24,8

26,2

1

REPETIÇÕES

25,226,724,6

25,525,026,0A1

432Fatores

34

Pode-se afirmar que o recipiente e o tipo de espécie de Eucalytus atuam

independentemente sobre a altura média das mudas aos 80 dias de idade?

Proceder a ANOVA

I. Hipóteses





35

--SQT(IJ – 1) =5(Trat.)

-SQB/GLSQBJ – 1 =1Fator B

SQAxB/GLSQAxB(I – 1)(J-1) =2A x B

-SQA/GLSQAI – 1 =2Fator A

-

-

F

-SQTIJK – 1 = 23TOTAL

SQR/GLSQRIJ(K– 1) =18Resíduo

QMSQGLFV

II. ANOVA

Fator A (recipientes) ⇒ 3 níveis, logo I = 3Fator B (espécies) ⇒ 2 níveis, logo J = 2

Repetições 4, logo K = 4

QMAxB/QMR

IJK

Y

K

Y

SQTrat

KJI

kji

ijk

JI

ji

ij ∑∑===

−=

;;

1;;1

2;

1;

2

. )(

IJK

Y

YSQT

KJI

kji

ijkKJI

kji

ijk

2;;

1;;1;;

1;;1

2

)( ∑∑

==

==

−=

IJK

Y

JK

A

SQA

KJI

kji

ijk

I

i

i ∑∑=== −=

;;

1;;1

2

1

2 )(

IJK

Y

IK

B

SQB

KJI

kji

ijk

J

j

j ∑∑===

−=

;;

1;;1

2

1

2 )(


SQTratSQTSQR −=

36

--(175,70)(5)(Trat.)

-19,0819,081Fator B

24,9131,8863,762A x B

-46,4392,862Fator A

-

-

F

-198,7923TOTAL

31,8823,0918Resíduo

QMSQGLFV

II. ANOVA

--(175,70)(5)(Trat.)

-19,0819,081Fator B

24,9131,8863,762A x B

-46,4392,862Fator A

-

-

F

-198,7923TOTAL

31,8823,0918Resíduo

QMSQGLFV

III. Nível de significância

α = 5% F(2;18) = 3,55

37

--(175,70)(5)(Trat.)

-19,0819,081Fator B

24,91*31,8863,762A x B

-46,4392,862Fator A

-

-

F

-198,7923TOTAL

31,8823,0918Resíduo

QMSQGLFV

IV. Conclusão

Como 24,91 > 3,55, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% e probabilidade. Ou seja, os fatores A e B não atuam independentemente sobre a variável resposta.

--(175,70)(5)(Trat.)

-19,0819,081Fator B

24,91*31,8863,762A x B

-46,4392,862Fator A

-

-

F

-198,7923TOTAL

31,8823,0918Resíduo

QMSQGLFV

%58,24100.97,22

88,31%

100.ˆ

%

==

=

CV

m

QMRCV

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

38

Como o teste F para a interação foi significativo, ou seja, os efeitos de recipientes (A) dependem

da espécie (B) utilizada e os efeitos das espécies dependem do recipiente,

deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do efeito da interação

(A/B e B/A).


(QMA/B2)/QMR(SQA/B2)/GLSQA/B2I - 1A/B2

(QMA/B1)/QMR(SQA/B1)/GLSQA/B1I – 1A/B1

FQMSQGLFonte de variação

Desdobramento da interação para estudar o comportamento dos recipientes (A) dentro de cada espécie (B)

(A/B)

39

50,6912

)9,264()3,853,783,101(

4

1./.Re

12,8712

)3,286()2,805,1036,102(

4

1./.Re

2222

2

2222

1

=−++=

=−++=

EspcSQ

EspcSQ

85,321,322,821,419,8B2

80,219,218,822,822,8B1A3

78,3

103,5

101,3

102,6

Totais

18,619,019,619,6B2

B1

B2

B1

26,425,126,325,7A2

24,8

26,2

1

REPETIÇÕES

25,226,724,6

25,525,026,0A1

432Fatores

27,15*

34,03*

F

1,2823,0918Resíduo

34,7569,502Recipientes/Esp.2

43,5687,122Recipiente/Esp.1

QMSQGLFV

α = 5% F(2;18) = 3,55

Desdobramento da interação para estudar o comportamento dos recipientes (A) dentro de cada espécie (B)

(A/B)

40

27,15*

34,03*

F

1,2823,0918Resíduo

34,7569,502Recipientes/Esp.2

43,5687,122Recipiente/Esp.1

QMSQGLFV

1) Os três recipientes têm efeitos diferentes (α = 5%) sobre o desenvolvimento de mudas de Eucalyptus citriodora

(E1);

2) Os recipientes têm efeitos diferentes (α = 5%) sobre o desenvolvimento de mudas de Eucalyptus grandis (E2).

Como nas fontes de variação do desdobramento Recipientes/Esp.1 e Recipientes/Esp.2 o teste F

foi significativo e o fator “recipiente” tem três níveis, aplica-se um teste de médias para

comparar as médias dos recipientes dentro de E. citriodora (E1) e dentro de E. grandis (E2).

41

Teste de TUKEY(Recipientes/Esp.1)

Recipientes dentro de E. citriodora (E1)

cmER

cmER

cmER

05,204/4,80

88,254/5,103

65,254/6,102

13

12

11

==

==

==

Obtenção das estimativas das médias:

42

I. Definição das hipóteses de nulidade (Ho) e alternativa (Ha)

Ho: mR1/E1 = mR2/E1 = mR3/E1

Ha: mR1/E1 ≠ mR2/E1 ≠ mR3/E1

Estimativas dos contrastes

05,20ˆ;65,25ˆ;88,25ˆ131112

=== ERERER mmm

60,5ˆˆˆ

83,5ˆˆˆ

23,0ˆˆˆ

1311

1312

1112

=−=

=−=

=−=

ERER

ERER

ERER

mmY

mmY

mmY

43

III. Fixação do nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

� α = 5%

� Tabela de Tukey ⇒ valor tabelado q: I = número de níveis do fator A (recipientes)n2 = número de graus de liberdade do resíduo

α = 5% ⇒ I = 3n2 = 18

q = 3,61

III. Fixar o nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

q = 3,61

06,2

4

28,161,3

=∆

=∆

: AFatorK

QMRq=∆

44

� Se > ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade.

� Se < ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste NÃO diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade

IV. Comparar o valor de ∆ com as estimativas dos contrastes e concluir quanto à rejeição ou não de Ho.

Y

60,5ˆˆˆ

83,5ˆˆˆ

23,0ˆˆˆ

1311

1312

1112

=−=

=−=

=−=

ERER

ERER

ERER

mmY

mmY

mmY

06,2=∆

Y

a

a

b05,20ˆ

65,25ˆ

88,25ˆ

13

11

12

=

=

=

ER

ER

ER

m

m

m

CONCLUSÃO para o teste de Tukey recipientes dentro de E. citriodora (E1)

Para o E. citriodora (E1), os melhores recipientes foram: o saco plástico pequeno (R1) e o saco

plástico grande (R2), que determinaram desenvolvimento de mudas significativamente

maior que o laminado (R3).

As médias seguidas pela mesma letra não diferem

entre si, pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

a

a

b05,20ˆ

65,25ˆ

88,25ˆ

13

11

12

=

=

=

ER

ER

ER

m

m

m

45

Teste de TUKEY(Recipientes/Esp.2)

Recipientes dentro de E. grandis (E2)

cmER

cmER

cmER

33,214/3,85

58,194/3,78

33,254/3,101

23

22

21

==

==

==

Obtenção das estimativas das médias:

46

I. Definição das hipóteses de nulidade (Ho) e alternativa (Ha)

Ho: mR1/E2 = mR2/E2 = mR3/E2

Ha: mR1/E2 ≠ mR2/E2 ≠ mR3/E2

Estimativas dos contrastes

58,19ˆ;33,21ˆ;33,25ˆ222321

=== ERERER mmm

75,1ˆˆˆ

75,5ˆˆˆ

00,4ˆˆˆ

2223

2221

2321

=−=

=−=

=−=

ERER

ERER

ERER

mmY

mmY

mmY

47

III. Fixação do nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

� α = 5%

� Tabela de Tukey ⇒ valor tabelado q: I = número de níveis do fator A (recipientes)n2 = número de graus de liberdade do resíduo

α = 5% ⇒ I = 3n2 = 18

q = 3,61

III. Fixar o nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

q = 3,61

06,2

4

28,161,3

=∆

=∆

: AFatorK

QMRq=∆

48

� Se > ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade.

� Se < ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste NÃO diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade

IV. Comparar o valor de ∆ com as estimativas dos contrastes e concluir quanto à rejeição ou não de Ho.

Y

06,2=∆

Y

a

b

b58,19ˆ

33,21ˆ

33,25ˆ

22

23

21

=

=

=

ER

ER

ER

m

m

m

75,1ˆˆˆ

75,5ˆˆˆ

00,4ˆˆˆ

2223

2221

2321

=−=

=−=

=−=

ERER

ERER

ERER

mmY

mmY

mmY

CONCLUSÃO para o teste de Tukey recipientes dentro de E. grandis (E2)

Para o E. grandis (E2), os melhores recipientes foram: o saco plástico pequeno (R1), que determinou desenvolvimento de mudas

significativamente maior que o saco plástico grande (R2) e o laminado (R3).

As médias seguidas pela mesma letra não diferem

entre si, pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

a

b

b58,19ˆ

33,21ˆ

33,25ˆ

22

23

21

=

=

=

ER

ER

ER

m

m

m

49




(QMB/A1)/QMR(SQB/A1)/GLSQB/A1J – 1B/A1

FQMSQGLFonte de variação

Desdobramento da interação para estudar o comportamento das espécies (B) dentro de cada recipiente (A)

(B/A)

25,38

)5,165()3,852,80(

4

1.Re/

38,798

)8,181()3,785,103(

4

1.Re/

21,08

)9,203()3,1016,102(

4

1.Re/

222

3

222

2

222

1

=−+=

=−+=

=−+=

cSQEsp

cSQEsp

cSQEsp

85,321,322,821,419,8B2

80,219,218,822,822,8B1A3

78,3

103,5

101,3

102,6

Totais

18,619,019,619,6B2

B1

B2

B1

26,425,126,325,7A2

24,8

26,2

1

REPETIÇÕES

25,226,724,6

25,525,026,0A1

432Fatores

50

-

2,54

62,02*

0,16

F

3,253,251Espécies/Rec.31,2823,0918Resíduo

79,3879,381Espécies/Rec.2


QMSQGLFV

α = 5% F(1;18) = 4,41

Desdobramento da interação para estudar o comportamento das espécies (B) dentro de cada recipiente (A)

(B/A)

-

2,54

62,02*

0,16

F

3,253,251Espécies/Rec.31,2823,0918Resíduo



QMSQGLFV

1) Quando se utiliza os recipientes saco plástico pequeno (R1) e laminado (R3), não há diferença significativa (α = 5%) para o desenvolvimento das mudas das duas espécies;

2) Quando se utiliza o recipiente saco plástico grande (R2), há diferença significativa (α = 5%) para o desenvolvimento das mudas das duas espécies.

51

Na fonte de variação do desdobramento Espécies/Rec.2 o teste F foi significativo, porém o fator “espécie” tem apenas dois níveis, então não é necessário aplicar um teste de médias. Logo, o recipiente saco plástico grande (R2)

proporciona melhor para Eucalyptus citriodora

(E1).

19,58 bE. grandis

25,88 aE. citriodora

Recipiente R2Espécies

CONCLUSÃO FINAL DO TESTE DE TUKEY

Recipientes

19,58 bB 21,33 bA

25,88 aA 20,05 bA

R2 R3

25,33 aAE2

25,65 aAE1

R1

Espécies

E1 = Eucalytus citriodora; E2 = E. grandis; R1 = recipiente saco plástico pequeno; R2 = recipiente saco plástico grande; R3 = recipiente laminado. As médias seguidas pela mesma letra MINÚSCULA, na linha, e mesma letra MAIÚSCULA, na coluna, não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

52

6. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO EF

Vantagens:

� Permite o estudo dos efeitos principais e o efeito da interação entre fatores;

� O número de graus de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado com os experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir a variância residual, aumentando a precisão do experimento.

6. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO EF

Desvantagem:

� Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentos simples.

Documents

EF - Experimento fatorial