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Efeito da temperatura em escoamentos de Fluidos não
Newtonianos
Profa. Mônica F. Naccache
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Resumo
• Efeito das temperaturas nas funções materiais
• Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos
• Problema típico de transferência de calor
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Influência da temperatura nas funções materiais
• As funções materiais dependem da constituição química do fluido, da temperatura e da pressão
• Exemplo: viscosidade
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Método das variáveis reduzidas: curva mestre
• Observa-se que o comportamento qualitativo da viscosidade independe da temperatura
• Plota-se:
€
ηr × ˙ γ r
aT =η0(T)T0ρ0η0(T0)Tρ
ηr =η ˙ γ ,T( )η0 T0( )η0 T( )
=η ˙ γ ,T( )T0aTT
˙ γ r = aT ˙ γ
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
€
τ r ˙ γ ,T0( ) = τ ˙ γ ,T( ) T0ρ0Tρ
ηr =τ r˙ γ r
N1,r ˙ γ ,T0( ) = N1 ˙ γ ,T( ) T0ρ0Tρ
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Outros exemplos:
Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura
• Mel:
€
µ = 2.95 ×10−16 exp 22108 /RT( )
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Exemplos variação de propriedades reológicas com temperatura (cont.)
• Suco de laranja concentrado:
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Solução das equações de conservação em escoamentos não isotérmicos
• As equações de conservação devem ser resolvidas de forma acoplada, a menos que as propriedades possam sem consideradas ctes
€
∇ • v = 0
ρDvDt
taxa var. QML
= −∇pForça pressãopor un. vol.
+ ∇ • η ˙ γ ( )Força viscosa porun. vol.
+ ρgForça gravitacional
ρcpDTDt
taxa var. en. internapor un. vol.
= ∇ • k∇T( )
fluxo energia por conduçãopor un. vol.
+12η ˙ γ : ˙ γ ( )
taxa conversão en.mecânica para térmica(diss. viscosa) por un. vol.
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
- Escoamento confinado- CL se desenvolve com restrição- Regiões de entrada e desenvolvida- Escoamento em dutos circulares:
- Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento- Escoamento desenvolvido: u=u(r)- Comprimento de entrada: Lent
Escoamentos Internos
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
€
τ(2πrdx) − {τ(2πrdx) +ddr
τ (2πrdx)[ ]dr} +
p(2πrdr) − {p(2πrdr) +ddx
p(2πrdr)[ ]dx} = 0
−1rd rτ( )dr
= r dpdx
€
τ = −µdudr
Fluido Newtoniano:
€
µrddr
r dudr
"
# $
%
& ' =
dpdx
u(r) =1µdpdx
r 2
4+ C1 ln r + C2
CC : u(r0) = 0 dudr r= 0
= 0
⇒ u(r) = −14µ
dpdxr0
2 1− rr0
"
# $ $
%
& ' '
2*
+
, ,
-
.
/ /
- Perfil de velocidades num tubo circular:- Hip.: Escoamento laminar, regime permanente, propriedades constantes, esc. desenvolvido
€
v = 0∂u∂x
= 0
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
CL térmica- T(r,x) no escoamento desenvolvido depende da CC- Desenvolvimento térmico no esc. laminar: Lent,t/D ≈0.05RePr- Pr > 1: Lent/D < Lent,t/D- Pr < 1: Lent/D > Lent,t/D- Pr >100: Lent/D << Lent,t/D
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Análise térmica
- Temperatura de mistura (ou de bulk):
€
Tb = Tm =1
˙ m cv
ρucvTdAA∫
- Lei de Newton de resfriamento: qs" = h (Ts-Tm)
- Desenvolvimento térmico do escoamento:
€
θ =Ts(x) − T (r, x)Ts(x) − Tm(x)
€
∂θ∂x
= 0 … Temperatura adimensional
para 2 CC, (Ts=cte ou qs=cte. Obs.: se qs=cte, Ts=Ts(x))
- Como θ independe de x, então:
€
∂θ∂r r=R
=−∂T /∂r
r=R
Ts −Tm≠ f (x)
qs"= −k∂T∂r r=R
= h(Ts − Tm) ⇒ hk≠ f (x) h independe de x, se
as propriedades são ctesProfa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
- Para o caso em que qs" = cte, na região desenvolvida:
€
dTsdx
=dTmdx
mas ∂T∂x
=dTsdx
−Ts −TTs −Tm
dTsdx
+Ts − TTs − Tm
dTmdx
⇒ ∂T∂x
=dTmdx
(independe de r)
- Para o caso em que Ts = cte, na região desenvolvida:
€
dTsdx
= 0
⇒ ∂T∂x
=Ts −TTs − Tm
dTmdx
= f (r)
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Balanço de Energia
€
dqconv + ˙ m (cvTm + pv) − ˙ m (cvTm + pv) + ˙ m d(cvTm + pv)dx
dx#
$ % &
' ( = 0
⇒ dqconv
taxa de troca decalor por convecção
= ˙ m d(cvTm + pv)fluxo de energia térmica devida ao fluxo massa + trabalho líquido realizado pelo fluido ao se movimentaratravés do VC
Para gases ideais: pv=RTm , cp=cv+R
€
⇒ dqconv = ˙ m c p dTm
Para líquidos incompressíveis, cv=cp e v é muito pequeno (d(pv)<<d(cvTm))
€
⇒ dqconv = ˙ m c p dTmProfa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Integrando a equação acima ao longo de todo o tubo:
€
qconvcalor total transferido ao tubo
= ˙ m cp (Tm,s −Tm,e )
Num elemento diferencial de fluido:
€
dqconv = q"s PdxP - perímetro da superfície (tubo circular : P = πD)
⇒dTm
dx=
q"s P˙ m c p
=P
˙ m c p
h(Ts − Tm)
• Se Ts>Tm, calor é transferido ao fluido e Tm cresce com x• Se Ts<Tm, calor é transferido pelo fluido e Tm cai com x
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Solução para fluxo de calor na superfície constante
€
qconv = ˙ m c p (Tm,s −Tm ,e) = q"s (PL)
Além disso:
€
dTm
dx=
q"s P˙ m c p
= cte
⇒ Tm(x) = Tm ,e +q"s P˙ m c p
x
• Na entrada Ts-Tm cresce com x, porque h=h(x) cai com x (qs" = h (Ts-Tm)=cte)• Na região desenvolvida, h=cte e Ts-Tm também
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Solução para temperatura na superfície constante
€
ΔT ≡ Ts − Tm
dTm
dx= −
d(ΔT)dx
=P˙ m c p
hΔT
d(ΔT )ΔTΔTe
ΔTsai∫ = −P˙ m c p
hdx0
L∫
⇒ ln ΔTsai
ΔTe
'
( ) )
*
+ , , = −
PL˙ m c p
1L
hdx0
L∫
⇒ ln ΔTsai
ΔTe
'
( ) )
*
+ , , = −
PL˙ m c p
h L ⇒ΔTsai
ΔTe
=Ts −Tm ,sai
Ts − Tm,e
= exp −PL˙ m c p
h L'
( ) )
*
+ , ,
ou Ts − Tm,x
Ts − Tm,e
= exp −Px˙ m c p
h x'
( ) )
*
+ , , • (Ts-Tm) cai exponencialmente
com x
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Fluxo de calor
€
qconv = ˙ m cp (Ts −Tm,e )=ΔTe
− (Ts −Tm,sai)=ΔTsai
$
%
& &
'
(
) )
⇒ qconv = h AsΔTlm
onde ΔTlmdiferença média logaritmicade temperatura no tubo
≡ΔTsai − ΔTe
ln(ΔTsai /ΔTe )
- Se ao invés de conhecermos Ts, conhecemos a temperatura do fluido externo em contato com a superfície (T∞) ou a temperatura da superfície externa (Tse), a expressão acima continua válida, substituindo h por U (coeficiente global de troca de calor) e Ts por T∞ ou Tse
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Escoamento laminar em tubos circularesFluido Newtoniano
- Equação da energia na camada limite hipóteses: reg. permanente, propriedades constantes, dissipação viscosa desprezível
€
u∂T∂x
+ v∂T∂r
=αr∂∂r
r∂T∂r
$
% &
'
( )
- escoamento totalmente desenvolvido: v=0, ∂u/∂x=0 e qs"=cte
€
1r∂∂r
r ∂T∂r
#
$ %
&
' ( =
2umα
dTmdx
#
$ %
&
' (
= cte
1− rR#
$ %
&
' (
2+
, -
.
/ 0
⇒ T(r,x) =2umα
dTmdx
#
$ %
&
' ( r2
4−
r4
16R2
+
, -
.
/ 0 + C1 lnr + C2
CC : r = 0, T é finito ⇒ C1 = 0
r = R, T(R) = Ts(x) ⇒ C2 = Ts(x) − 2umα
dTmdx
#
$ %
&
' (
3R2
16
⇒ T(r,x) = Ts(x) − 2umR2
αdTmdx
#
$ %
&
' (
316
+1
16rR#
$ %
&
' (
4
−14
rR#
$ %
&
' (
2+
, -
.
/ 0
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
- Utilizando este resultado podemos determinar:
€
Tm(x) = Ts(x) − 1148
umR2
α
$
% & &
'
( ) ) dTmdx
Tm(x) − Ts(x) = −1148
q"s Dk
h =4811
kD⇒ NuD ≡
hDk
= 4.36 (q"s = cte)
Nusselt = constante !
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- Com a CCT de temperatura da superfície constante (Ts=cte), a equação de energia fica:
€
1r∂∂r
r∂T∂r
#
$ %
&
' ( =2umα
dTmdx
#
$ %
&
' ( 1− r
R#
$ %
&
' ( 2+
, - -
.
/ 0 0 Ts −TTs −Tm
Da solução da equação acima (por método iterativo):
NuD=3.66
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Região de entrada
• Nu →∞ em x=0• Nu x Gz independe de Pr no problema de desenvolvimento térmico• Nu depende de Pr no problema de desenvolvimento simultâneo (Nu cai com Pr e tende ao resultado do problema de desenvolvimento térmico quando Pr →∞)
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- Solução do problema térmico na região de entrada, considerando perfil de velocidade desenvolvido (p.ex., altos Pr como é o caso óleos- Problema combinado: desenvolvimento hidrodinâmico e térmico simultâneo
Escoamento de fluido Power-Law no interior de tubos com temperatura da parede constante – região entrada
T0
T1
Rr
x
€
x = 0 :
T = T0
vx = vmax 1−rR#
$ %
&
' ( 1/ n+1)
* +
,
- .
/
0 1
2 1
r = R, x > 0 :T = T1
vmax =τRk
#
$ %
&
' ( 1/ n R1/ n +1
Obter a distribuição de temperatura para baixos x (troca de calor restrita a regiões perto da parede)Hipóteses: Escoamento hidrodinamicamente desenvolvido Regime permanente Propriedades independentes da temperatura Fluido Power-law
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Eq. energia para baixas velocidades (desprezando o termo de dissipação)
€
ρcpvmax 1− rR$
% &
'
( )
1/ n+1*
+ ,
-
. / ∂T∂x
convecção
= k 1r∂∂r
r ∂T∂r
$
% &
'
( ) +
∂ 2T∂x 2
*
+ ,
-
. /
condução
CC : r = 0 T é finito r = R T = T1
x→−∞ T→ T0
x→ +∞ T→ T1
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• Adimensionalizando e usando o método de combinação de variáveis:
€
φ ξ( ) dθdς
=1ξ∂∂ξ
ξ∂θ∂ξ
'
( )
*
+ , +
1Pe2
d2θdς 2
desprezível qdo κ baixo(polimeros)
θ ς = 0( ) =1 θ ξ =1( ) = 0 θ ξ = 0( )→ finito
θ =T −T1
T0 −T1
ξ =rR
ς =κ / ρc p( )x
v xR2 Pe =
ρc pv xRκ
=RePr
φ =vx
v x=
1/ n + 31/ n +1'
( )
*
+ , 1−ξ1/ n +1( )
d2θdχ 2 + 3χ 2 dθ
dχ= 0
χ =1−ξ
9ς / 1/ n + 3( )3θ χ = 0( ) = 0 θ χ →∞( ) =1
⇒θ =1
Γ 4 / 3( )e−χ 3 dχ
0
χ
∫Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Fluxo de calor e número de Nusselt
€
qw = h Tb −T1( )
Tb =T(r,x)vxdA∫
vxdA∫
Nu =2hRκ
=2
Γ 4 / 3( )1/ n + 3( )v xR
2
9 κ / ρcp( )x3
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Observações
• O desenvolvimento anterior pode ser utilizado para outras situações (outras CC, outras geometrias, outras aproximações)
• Exemplo: solução considerando o efeito do aquecimento por dissipação viscosa:
€
ρcpvmax 1− rR$
% &
'
( )
1/ n+1*
+ ,
-
. / ∂T∂x
convecção
= k 1r∂∂r
r ∂T∂r
$
% &
'
( ) +
∂ 2T∂x 2
*
+ ,
-
. /
condução
+ ηdudr$
% &
'
( )
2
geração energiapor dissipação viscosa
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Escoamento de Couette - entre 2 placas paralelas infinitas
• Hipóteses:Propriedades ctesEscoamento desenvolvidoEsc. no plano xy: w=0,Regime permanenteFluido Newtoniano , T=T(y)
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€
∂ /∂x = 0( )
€
∂ /∂z = 0
€
∂T /∂x = 0
Eq. conservação de massa:
€
∂u∂x
+∂v∂y
= 0⇒ ∂v∂y
= 0 v = cte = 0
€
ρ u∂u∂x
+ v∂u∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂x
+ µ∂ 2u∂x 2
+∂ 2u∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgx
ρ u∂v∂x
+ v∂v∂y
$
% &
'
( ) = −
∂p∂y
+ µ∂ 2v∂x 2
+∂ 2v∂y 2
$
% &
'
( ) + ρgy
⇒ −∂p∂y
− ρg = 0 p = f (x) − ρgy
P = p + ρgy⇒∂P∂y
=∂p∂y
+ ρg = 0 ∂P∂x
=∂p∂x
=dPdx
dPdxg( x )
= µ∂ 2u∂y 2$
% &
'
( )
h( y )
= cte(= A)⇒ u =Aµy 2
2+C1y +C2
Eq. conservação de QML: €
v = u ˆ e x+ v ˆ e y+ w ˆ e z = u(y) ˆ e x
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€
CC : y = −a u = 0y = a u =U
⇒ u = −dPdx
a2
2µ1− y
2
a2$
% &
'
( ) +
U21+
ya
$
% &
'
( )
um = −13dPdx
a2
µ+3U4
τ = µdudy
=dPdx
y + µU2a
Casos particulares: U=0 dP/dx=0
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€
f =−(dp/dx)D1/2ρum
2
€
Cf =τ
1/2ρum2
fator deatrito:
Coeficientede atrito:
Equação da Energia
€
ρcp u∂T∂x
+ v∂T∂y
$
% &
'
( ) = k
∂ 2T∂x 2 +
∂ 2T∂y 2
$
% &
'
( ) + µφ + ˙ q
µφ = µ∂u∂y
+∂v∂x
$
% &
'
( )
2
+ 2 ∂u∂x$
% &
'
( )
2
+∂v∂y$
% &
'
( )
2+
, - -
.
/ 0 0
1 2 3
4 3
5 6 3
7 3
⇒ 0 = kd2Tdy 2
$
% &
'
( ) + µ
dudy$
% &
'
( )
2
T = −µk
1µ
dpdx
$
% &
'
( )
2y 4
12+
dpdx
Uy 3
6aµ+
U2a$
% &
'
( )
2 y 2
2
+
, - -
.
/ 0 0
+ C1y + C2
CC : y = −a T = T0 (placa inferior)y = a T = T1 (placa superior)
θ =T − To
T1 − To
=12
1+ya
+
, - .
/ 0 +
µ cp
kU 2
cp T1 − To( )18
1 − y 2
a2
$
% &
'
( ) +
13
µ cp
kU [dp / dx a2 /(2 µ)]
cp T1 − To( )ya−
y 3
a3
$
% &
'
( ) +
13
µ cp
kdp / dx a2 /(2 µ)( )2
cp T1 − To( )1 − y 4
a4
$
% &
'
( )
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Número de Prandtl: razão entre difusividades de momentum e térmica
Número de Eckert: caracteriza a energia gerada por dissipação
€
€
T − ToT1 − To
=121+
ya
#
$ % &
' ( + Pr E 1
81 − y 2
a2)
* +
,
- . +
13Pr U [dp / dx a
2 /(2 µ)]cp T1 − To( )
ya−y 3
a3)
* +
,
- . +13Pr
dp / dx a2 /(2 µ)( )2
cp T1 − To( )1 − y 4
a4)
* +
,
- .
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Problema típico de transferência de calor
Suponha que no processo de transporte de um fluido de perfuração, o mesmo tem que ser resfriado de 80 a 250C. A vazão mássica é igual a 50 g/s. A reologia do fluido é bem representada por uma função viscosidade do modelo de Bingham, com tensão limite de escoamento igual a 5 Pa e viscosidade plástica igual a 0,05 Pa.s. As outras propriedades do fluido são: massa específica de 1052 kg/m3, calor específico de 3150 J/kgK, e condutividade térmica de 0,25 W/mK. Pretende-se resfriar o fluido passando-o por uma serpentina imersa em um banho d’água agitada a 150C. Calcule o comprimento de serpentina necessário, considerando 2 diâmetros: 35 mm e 4 mm. Calcule a potência de bombeamento para as duas situações.
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Solução• Calor necessário para resfriar o fluido:
• Diferença média logaritmica de temperatura:
• Velocidades médias para os 2 diâmetros:
€
Q = ˙ m c Tbi −Tbo( ) = 50 ×10−3 × 3150 × 80 − 25( )= 8662,5W
€
ΔTc =Tbi −Tw( ) − Tbo −Tw( )
lnTbi −Tw( )Tbo −Tw( )
=80 −15( ) − 25 −15( )
ln 65 /10( )= 29,4C
€
v1 =˙ m
ρ πD12 / 4( )
=0,05
1052 ×π 0,0352 / 4( )= 0,44m / s
v2 =˙ m
ρ πD22 / 4( )
=0,05
1052 ×π 0,0042 / 4( )= 34,04m / s
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Estimativa do número de Reynolds (para definição do regime de esc. e cálculo de Nu)
• Para o cálculo de Re, deve-se determinar uma taxa de deformação característica do escoamento e então calcular a viscosidade avaliada neste valor
• Da literatura, obtêm-se a tensão cisalhante na parede para o esc. de um fluido de HB (com n=1, Bingham) num duto circular:
€
τR − τ 0µP
=2vD
= ˙ γ c( ) 1121− τR
τ 0
%
& '
(
) * −13τRτ 01− τR
τ 0
%
& '
(
) *
2
−141− τR
τ 0
%
& '
(
) *
3
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Resolvendo para as 2 situações:
€
τR1 =11,61Pa > τ 0( )→ ˙ γ c1 =132,30 s−1
τR 2 = 3410,65 Pa > τ 0( )→ ˙ γ c2 = 68112,92 s−1
ηc1 =τ 0˙ γ c1
+ µP =5
132,3+ 0,05 = 0,09 Pa.s
ηc2 =τ 0˙ γ c2
+ µP =5
68112,92+ 0,05 = 0,05 Pa.s
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
€
Re1 =ρv1D1ηc1
=1052 × 0,44 × 0,035
0,09=186,46 laminar
Re2 =ρv2D2
ηc2
=1052 × 34,04 × 0,004
0,05= 2860 turbulento
No regime laminar, Nu é função da reologia. No regime turbulento, o efeito NN é reduzido, e Nu é função de Re e Pr. O número de Pr=μc/κ, relaciona as difusividades de momentum e térmica, e é adimensional.
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Esc. laminar de fluido de Bingham no tubo, CC Tw constante, Nu pode ser estimado através de:
• Assim, Nu1=4,24€
Nu = 3,66 +1,132 τ 0τR
−1,054 τ 0τR
$
% &
'
( )
2
+ 3,558 τ 0τR
$
% &
'
( )
3
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• No escoamento turbulento em dutos:
€
Nu = 0,0152Pr1/ 3Re(1−0,155)
Pr2 =ηc2cκ
=0,05 × 3150
0,25= 630,92
⇒ Nu2 =108,61Assim os coeficientes de troca de calor são dados por :
h1 = Nu1κD1
= 30,26 W /m2K
h2 = Nu2κD2
= 6788,20 W /m2K
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Área de troca de calor e comprimento da serpentina:
€
A1 =Q
h1ΔTc=
8662,530,26 × 29,4
= 9,74m2
A2 =Q
h2ΔTc=
8662,56788,20 × 29,4
= 0,043m2
A = πDL
⇒ L1 =A1πD1
= 88,58 m
L2 =A2πD2
= 0,34 m
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
• Perda de carga e potência de bombeamento
€
Δp1 =4L1τR1
D1
=4 × 88,58 ×11,61
0,035=1,175 ×105 Pa
Δp2 =4L2τR 2
D2
=4 × 0,34 × 3410,65
0,004=1,160 ×105 Pa
Ρ1 =˙ m ρΔp1 =
0,051052
×1,175 ×105 = 5,58W = 0,0075HP
Ρ2 =˙ m ρΔp2 =
0,051052
×1,160 ×105 = 55,11W = 0,074HP
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio
Conclusões
• Com o duto 1, o comprimento (maior custo de material) e volume ocupado são bem maiores (V1= 0,085m3; V2=0,043x10-4m3) , mas a potência de bombeamento é bem menor.
• Se a estimativa fosse feita considerando fluido Newtoniano, os erros (principalmente em esc. laminar) seriam grandes.
Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio