1

散らばりの代表値：分散と標準偏差

この章では、平均値を中心として、データがどの程度散らばっているかを測る量について勉強してゆこう。

平均は同じでも、散らばりが違えば、

2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

2.5

-7.5

7.5

-12

.5

12

.5-1

7.5

17

.5-2

2.5

22

.5-2

7.5

27

.5-3

2.5

32

.5-3

7.5

37

.5-4

2.5

42

.5-4

7.5

47

.5-5

2.5

52

.5-5

7.5

57

.5-6

2.5

62

.5-6

7.5

67

.5-7

2.5

72

.5-7

7.5

77

.5-8

2.5

82

.5-8

7.5

87

.5-9

2.5

92

.5-9

7.5

均質な分布

散らばりの大きな分布

散らばりが大きいと・・・・

日本は様々な面で、米欧の国々と較べて、均質であると言われている。

女子バレーボールW杯では、イタリアが、努力の結果、優勝した。

アメリカには、かなり貧しい層が存在する。教育水準も同様。

フランスには、アフリカ難民を養子にしたい人々が数多く存在する。

3

平均と散らばり

オリンピックマラソン代表選手候補が２名いる。一人だけを選ぶ。

AはBより平均タイムは上であり、タイムの散らばりは少ない。

平均タイムでは、両選手はメダルに届かない。

メダルを獲ることが目的なら、どちらの選手を選ぶか？

4

散らばり重視の場合

5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

平均55標準偏差5

平均50標準偏差10

6

様々な、散らばりの代表値

範囲：（最大値ー最小値）

四分位範囲：（上位２５％の値ー下位２５％の値）

分散：データと平均の距離の２乗を平均したもの．

平均絶対偏差：データと平均の距離を平均したもの．

7

１ 代表値——分散

一般にデータは，バラツキを持っている．

平均値からの距離を用いて，散らばりの尺度を作りたい．

x1

x2

x3

x4

x5

x

8

分散

12,15,18,11,23の（算術）平均値は，

)2311181512(5

18.15

5

)8.1523()8.1511()8.1518()8.1515()8.1512( 222222 s

そこで，分散は次のように計算される．

9

平均値と分散

データを

nxxxxx ,,,,, 4321 とするとき，平均値と分散は，

n

i

in xn

xxxxxn

x1

4321

1)(

1

n

i i

n

xxn

xxxxxxn

s

1

2

22

2

2

1

2

)(1

})()(){(1

10

標準偏差

データを

nxxxxx ,,,,, 4321 とするとき，標準偏差は，

n

i

in xn

xxxxxn

x1

4321

1)(

1

n

i i

n

xxn

xxxxxxn

s

1

2

22

2

2

1

)(1

})()(){(1

実際に、分散と標準偏差の計算をしよう。

表5-1 ある５人の２回の数学のテストの得点

i 1 2 3 4 5 平均１回目 70 70 70 70 85 73２回目 55 55 75 95 85 73

11

最高点 最低点

１回目 85 70

２回目 95 55

表5-2 分散の計算 (a)１回目

1 70

2 70

3 70

4 70

5 85

合計

平均

12

iix xxi

2)( xxi

365

73

37370

37370

37370

37370

127385

0365365

0

9)7370( 2

9)7370( 2

9)7370( 2

9)7370( 2

144)7385( 2

180

36

73x平均　 362 s分散　 636 s標準偏差　

表5-2 分散の計算 (b)２回目

1 55

2 55

3 75

4 95

5 85

合計

平均

13

iix xxi

2)( xxi

365

73

187355

187355

27375

227395

127385

0365365

0

324)7355( 2

324)7355( 2

4)7375( 2

484)7395( 2

144)7385( 2

1280

256

73x平均　 2562 s分散　 16256 s標準偏差　

表5-2 分散の計算 記号

1

2

n-1

n

合計

平均

14

iix xxi

2)( xxi

1x

2x

1nx

nx

n

i

ix1

n

i

ixn

x1

1

xx 1

xx 2

xxn 1

xxn

01

xnxn

i

i

0

2

1 )( xx 2

2 )( xx

2

1 )( xxn

2)( xxn

2

1

)( xxn

i

i

2

1

2 )(1

xxn

sn

i

i

15

分散と標準偏差の性質（１）

データに一定の数を加えても，分散・標準偏差は不変である．

nxxxxx ,,,,, 4321

cxcxcxcx n ,,,, 321

の分散（標準偏差）と

の分散（標準偏差）は等しい。

分散と標準偏差の性質（１）

1

2

n-1

n

合計

平均

16

i cxy ii yyi 2)( yyi

cxy 11

cnxyn

i

i

n

i

i 11

cxy

xxyy 11

xxyy 22

xxn 1

xxn

01

xnxn

i

i

0

2

1 )( xx 2

2 )( xx

2

1 )( xxn

2)( xxn

2

1

)( xxn

i

i

2

1

22 )(1

xxn

ssn

i

ixy

cxy 22

cxy nn 11

cxy nn

17

分散と標準偏差の性質（２）

データに一定の数 a を掛けると，分散は元の分散の a2 倍・標準偏差は |a| 倍になる．

nxxxxx ,,,,, 4321

naxaxaxax ,,,, 321 の分散を

の分散は

とすると， 222 )(1

xxn

ss ix

22

xsa 標準偏差は xsa ||

分散と標準偏差の性質（2）

1

2

n-1

n

合計

平均

18

iii xay yyi

2)( yyi

11 xay

n

i

i

n

i

i xay11

xay

)( 11 xxayy

)( 22 xxayy

)( 1 xxa n

)( xxa n

0)(1

xnxan

i

i

0

2

1

2 )( xxa 2

2

2 )( xxa

2

1

2 )( xxa n

22 )( xxa n

2

1

2 )( xxan

i

i

2

1

2222 )(1

xxn

asasn

i

ixy

22 xay

11 nn xay

nn xay

19

分性質(1)(2)より

であり、

caxcaxcaxcax n ,,,, 321

標準偏差は、

の分散は22

xsa

xsa || である。

20

分散と標準偏差の性質（３）

多くの実際のデータでは，平均から標準偏差の３倍以上離れたデータは，あまりない．

)(3)( 標準偏差平均値

xsx 3

男子学生の身長の場合

2186.19162.63172 14.15262.63172

女子学生の場合

2233.1755.5383.158 33.14250.5383.158

分布が釣鐘型をしていたら（正規分布と見てよいならば）

経験的に、以下の法則が成り立つ。

平均±標準偏差の範囲には、

全体の約70％のデータが含まれる。

平均±２×標準偏差の範囲には、

全体の約95％のデータが含まれる。

平均±３×標準偏差の範囲には、

全体の99.7％のデータが含まれる。

統計学 23

正規分布とは、

自然科学の分野では最も標準的な分布である。

平均50標準偏差10の正規分布に従うデータが数

限りなく得られたとしたら、そのヒストグラムは下のようになる。

24

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0-2

6-8

12-1

4

18-2

0

24-2

6

30-3

2

36-3

8

42-4

4

48-5

0

54-5

6

60-6

2

66-6

8

72-7

4

78-8

0

84-8

6

90-9

2

96-9

8級幅を小さく

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035

0.040

0.045

0-1

6-7

12-1

3

18-1

9

24-2

5

30-3

1

36-3

7

42-4

3

48-4

9

54-5

5

60-6

1

66-6

7

72-7

3

78-7

9

84-8

5

90-9

1

96-9

7

男子学生の身長が正規分布に従っているとしたら、

平均±

標準偏差平均±

2×標準偏差

平均±

3×標準偏差

男子学生の場合

165.4～178.6

158.8～185.2

152.1～191.9

男子学生の割合

正規分布から計算

25

%2.65 %0.97 %100

cm

cm

62.6

0.172

標準偏差

　平均

データから計算

同じ平均・標準偏差の正規分布 %68 %95 %7.99

cm

cm

50.5

8.158

標準偏差

　平均

データから計算

同じ平均・標準偏差の正規分布

女子学生の場合は、

平均±

標準偏差平均±

2×標準偏差

平均±

3×標準偏差

女子学生の場合

153.3～164.3

147.8～169.8

142.3～175.3

女子学生の割合

正規分布から計算

26

%2.65 %7.95 %100

%68 %95 %7.99

27

トヨタ株価収益率の場合

平均±

標準偏差平均±

2×標準偏差

平均±

3×標準偏差

収益率の場合

-2.8%～3.0％

-5.7％～5.9％

-8.6％~8.8％

収益率の割合

正規分布から計算

%0.75 %0.96 %0.98

t

tt

x

xx 1(

前時点の株価

前時点の株価）現時点の株価収益率

%68 %95 %7.99

28

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数

Ⅰ 4 2

Ⅱ 6 3

Ⅲ 8 4

Ⅳ 12 1

表にまとめられる前のデータは、

4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 12

であると考えて、平均と分散を計算すればよい。

これまでの計算方法

1 4

2 4

3 6

4 6

5 6

6 8

7 8

8 8

9 8

10 12

合計

平均 29

iix xxi

2)( xxi

70

71070

374

374

176

176

176

178

178

178

178

5712

0

0

9

9

1

11

1

1

1

1

25

50

51050 52 s分散は

7x

平均は

30

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数階級内収入合計

偏差 偏差2 偏差2×人数

Ⅰ 4 2

Ⅱ 6 3

Ⅲ 8 4

Ⅳ 12 1

合計

平均 分散

10

824

1836

3248

12112

70

71070

374

176

178

5712

9

1

1

25

1829

331

441

50

25125

51050

31

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数合計収入

偏差 偏差2 偏差2×人数

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

合計

平均 分散

n1

n2

n3

n4

in

x1

x2

x3

x4

n1 x1

n2 x2

n3 x3

n4 x4

*

ii xn

iii nxnx

32

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数階級内収入合計 偏差 偏差2 偏差2×人

数

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

合計

平均 分散

n1

n2

n3

n4

in

x1

x2

x3

x4

n1 x1

n2 x2

n3 x3

n4 x4

*

ii xn

iii nxnx

xx 1

xx 2

xx 3

xx 4

2

1 )( xx

2

2 )( xx

2

3 )( xx

2

4 )( xx

2

11 )( xxn

2

22 )( xxn

2

33 )( xxn

2

44 )( xxn

2)( xxn ii

iii nxxns 22 )(

33

リスクとリターン

株価や為替レートでは，時間変化率（収益率）を求め，それを分析対象とする．

時間変化率の平均をリターンと呼び，標準偏差をリスクを示すものと考える．

変動が大きければ大きいほど，資産価値が元本を割り込むリスクが増す．

実際に計算してみよう（表２−２）．

34

４． 時間変化率と寄与度

時系列データでは、数値の変化率を観察することが多い。

前時点に比べて何パーセントの増加／減少が見られるかを知りたい。

1

1

t

ttt

y

yyx

35

時間変化率(収益率)の計算

年月 1997/1 1997/2 1997/3 1997/4

株価 18330 18557 18003 19151

変化率

t

1

2

4

3

yt

y1

y2

y3

y4

xt

x2 y2 y1

y1 18330

1833018557

0124.0

株価収益率の分布を、リスク(標準偏差)とリターン(平均)で代表させる

36

他の会社についても同様

37

その他の会社も同様

38

39

40

自由度調整済分散（不偏分散）

n

i i

n

xxn

xxxxxxn

s

1

2

22

2

2

1

2

)(1

})()(){(1

n

i i

n

xxn

xxxxxxn

v

1

2

22

2

2

1

2

)(1

1

})()(){(1

1

記述統計の場合=VARP()

推測統計の場合=VAR()

41

３ 変動係数

変動係数とは，（標準偏差）÷（平均）を言う．

身長をメートルで表すときと、センチメートルで表すときでは標準偏差が異なる。

データ 身長(m) 身長(cm)

1 1.75

： ： ：

55 1.69

平均 1.725

標準偏差 0.062

5.172

175

169

2.6

5.172

2.6

725.1

062.0

変動係数

変動係数は、単位を変えても、一定である。

100

100

100

100

42

同様に、

価格の散らばりを見るとき、円で計算しても、ドルで計算しても、変動係数は変わらない。

データ ドル価格 円価格

1 120

： ： ：

55 220

平均 155

標準偏差 30

a155

a120

a220

a30

a

a

155

30

155

30

変動係数

変動係数は、単位を変えても、一定である。

a

a

a

a

変動係数を利用して、散らばりの程度を比較できるかもしれない

象の体重とネズミの体重

株価変動

家計の支出項目

43

表5-5項目別支出の平均・標準偏差・変動係数（2006年）

食料 光熱・水道 教育 教養娯楽

平均(円） 69403.1 21998.2 18713.3 31421.5

標準偏差（円） 13634.4 2794.2 9821.8 11599.7

変動係数 0.20 0.13 0.52 0.37

表2-5より算出

44

レンジ（範囲）と４分位範囲

レンジ（Range:範囲）

（データの最大値）ー（データの最小値）

四分位範囲

（上位２５％の値）ー（下位２５％の値）

＝第３四分位数ー第１四分位数

四分位偏差

四分位範囲÷２

45

平均偏差（あまり用いられない）

数学的に扱い難い×

標準偏差に比べ，離れた値があっても大きくならない○

平均値との相性が悪い×

}{1

1

21

1

xxxxxxn

xxn

n

n

i i

表5-2 分散の計算 (a)１回目

1 70

2 70

3 70

4 70

5 85

合計

平均

46

iix xxi

2)( xxi

表5-2 分散の計算 (b)２回目

1 55

2 55

3 75

4 95

5 85

合計

平均

47

iix xxi

2)( xxi

表5-2 分散の計算 記号

1

2

n-1

n

合計

平均

48

iix xxi

2)( xxi

1x

2x

1nx

nx

これまでの計算方法

1 4

2 4

3 6

4 6

5 6

6 8

7 8

8 8

9 8

10 12

合計

平均 49

iix xxi

2)( xxi

50

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数階級内収入合計

偏差 偏差2 偏差2×人数

Ⅰ 4 2

Ⅱ 6 3

Ⅲ 8 4

Ⅳ 12 1

合計

平均 分散

51

度数分布表から分散を計算する

階級平均収入

人数階級内収入合計 偏差 偏差2 偏差2×人数

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

Ⅳ

合計

平均 分散

n1

n2

n3

n4

x1

x2

x3

x4

52

時間変化率の計算

年月 1997/1 1997/2 1997/3 1997/4

株価 18330 18557 18003 19151

変化率

xt

他の会社についても同様

53

その他の会社も同様

54

55