Einführung in die

KlimatologieProf. Dr. Otto Klemm

10. Statik und Thermodynamik

Navier - Stokes - Gleichung

wkvjuidt

d

zδ

pδk

yδ

pδj

xδ

pδi

1

=

kg

iv)φsinw(cosΩ2

kucosΩ2juφsinΩ2

Druckgradient- beschleunigung

Reibung

Erdbeschleunigung

Coriolis

zj

zi

1 xzxz

Sonderformen: statische Atmosphäre

XX

XX

X

es findet keine horizontale Bewegung statt

XXX

XX X

Navier - Stokes - Gleichung

gzδ

pδ10

Sonderformen: statische Atmosphäre

statische Grundgleichung

oder:

gzδ

pδ

die statische Grundgleichung beschreibt das Gleichgewicht der Druckgradientkraft, die eine Luftmasse nach oben drückt und der Schwerkraft, die es nach unten drückt.

ideale Gasgleichung

TRnVp

Dalton

weiterhin gilt es zu beachten, dass sich die Partialdrücke einzelner Gase in einem Gasgemisch zu dem gesamten Druck addieren. In anderen Worten: Der Partialdruck eines Gases ist unabhängig von der Präsenz anderer Gase

TRnV

1p i

i i

ii

pp

T = const.

epp d

beispielsweise lässt sich der Druck einer „feuchten“ Luftmasse p als die Summe des Partialdrucks trockener Luft pd und des Wasserdampfdrucks e darstellen:

ideale Gasgleichung

in der Meteorologie wird die ideale Gasgleichung in einer unterschiedlichen Form verwendet, nämlich massenspezifisch: Den Grund dafür werden wir gleich erkennen:

TRM

mVp

i

i

ii

i

aber Vorsicht: man kann dies nicht ohne weiteres tun. Man hat nun für verschiedene Gase unterschiedliche massenspezifische Gaskonstanten Ri.

ii M

RR

iii

RmTVp

dies führt zu einer neuen Form der allgemeinen Gasgleichung:

bzw. iii

RρTp

Nun haben Stickstoff und Sauerstoff sehr ähnliche

Molmassen und vor allem sind die Mischungsverhältnisse

in der Atmosphäre sind sehr stabil, dies berechtigt dazu,

für trockene Luft eine einheitliche

massenspezifische Gaskonstante Rd einzuführen:

Rd = 287.04 J kg-1 K-1

und die Gasgleichung für trockene Luft lautet:

ideale Gasgleichung

TRρp ddd

aber Vorsicht: die Anwesenheit von Wasserdampf (unterschiedliche Molmasse, varriierendes Mischungsverhältnis) kompliziert die Sache.

TRρp ddd gzδ

pδ

TR

pg

z

p

d

aus der statischen

Grundgleichung ..

.

... und der

Gasgleichung für

trockene Luft ...

... bilden wir eine

neue Form der

statischen

Grundgleichung ...

... aus der wir erkennen, warum hier massenspezifisch gearbeitet

wurde:

Wir arbeiten nur noch mit den Messgrößen p, z und T die alle

messbar sind

statische Grundgleichung

p / z 12 hPa / 100 m

in Bodennähe

wir teilen durch p und integrieren über die Höhe:

statische Grundgleichung

dzTR

gdz

zd

pd

p

1

d

z

z

z

z

2

1

2

1

eine generell gültige Lösung für diese Gleichung gibt es

nicht. Man nimmt R und g als konstant an.

Wenn zusätzlich T konstant ist, ergibt sich:

TR

)z(zgexppp

d

12zz 12

wenn in Bodennähe p bekannt ist und das Temperaturprofil

(annähernd) bekannt ist, kann man konsekutiv p als Funktion der

Höhe berechnen. Als Hilfsmittel verwendet man häufig „Standard-

Atmosphären“.

Es existieren verschiedene Ansätze unterschiedlichen

Vereinfachungsgrades

eine wichtige Form ist die hypsometrische Grundgleichung, mit der

wir die Beziehung zwischen Druck und Höhe in einer Atmosphäre

mit beliebigem Temperaturverlauf berechnen können:

statische Grundgleichung

ist die mittlere virtuelle Temperatur zwischen den Höhen z1 und z2

2

1v12 p

plnTz-

g

Rz d

wir werden diese Gleichung zum Aufbau des thermodynamischen

Diagrammpapiers verwenden

vT

statische Grundgleichung

Auszüge aus einer Standard - Atmosphäre:

ii dnκdWdQdU

• wir vernachlässigen chemische Energie

• mechanische Arbeit in der Atmosphäre ist Volumenarbeit: dW = p

· dV

• bei idealem Gas ist die innere Energie bei konstantem Volumen

nur von der Temperatur abhängig. Mit cv = spezifische Wärme bei

konstantem Volumen (cv = 718 J kg-1 K-1) folgt: dU = cV · dT sowie dVpdTcdQ V

I. Hauptsatz der Thermodynamik

I. Hauptsatz der Thermodynamik

wir betrachten die ideale Gasgleichung…

TRVp d

... in der differenziellen Form:

TdRdpVVdp d gemeinsam mit dem I. Hauptsatz ergibt sich:

TdcRdpVdQ Vd

nun führen wir die spezifische Wärme bei konstantem Druck cp ein:

TdcdpVdQ p

cp = cv + Rd = (718 + 287) J kg-1 K-1 = 1005 J kg-1 K-1 (trockene

Luft)

nun ersetzen wir noch V mit der idealen Gasgleichung:

dpVdTRdVp d

dVpdTcdQ V

Tp

RV d

I. Hauptsatz der Thermodynamik

adiabatische Prozesse sind solche, in denen einer

Luftmasse Wärmeenergie weder zu- noch abgeführt wird:

dQ = 0

somit folgt:

unter Zuhilfenahme der barometrischen Höhenformel:

dzgdTcp

Tdcdpp

TRdQ p

d

Tdcdpp

TRp

d

TR

pg

zd

pd

d

ergibt sich:

dies ist eine besonders wichtige Form der Energiegleichung (hier in der

massenspezifischen Form). Man sieht, dass sich bei adiabatischen

Prozessen die Summe der Wärmeenergie und der potenziellen Energie

ausgleichen. Daraus ergibt sich die Abnahme der Temperatur mit der

Höhe in der Troposphäre! Dabei wird die bei der Expansion mit aufsteigender Luft geleistete Volumenarbeit zum Teil aus der

Wärmeenergie ausgeglichen. Dies erklärt ca. 71 % der Temperaturabnahme. Durch die Änderung

der potenziellen Energie kommt es zu den restlichen 29 % des Temperaturabfalls.

trockenadiabatischer Temperaturgradient:

der trockenadiabatische

Temperaturgradient ist:

aber Vorsicht: wir haben dies hier für den Fall trockener Luft hergeleitet.

m100K1mK00981.0dz

dT 1

dieser kann mit einem gemessenen Temperaturgradienten =

dT / dz verglichen werden.

statische Stabilität

0

100

200

300

400

280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290

trockenadiabatischer Temperaturgeradient = - 0.981 K / 100 m

Temperatur / K

Höh

e üb

er G

rund

/ m

statische Stabilität

0

100

200

300

400

280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290

1. Fall: der Temperaturgradientder Atmosphäre ist steiler, < , labile Schichtung

trockenadiabatischer Temperaturgeradient = - 0.981 K / 100 m

Temperatur / K

Höh

e üb

er G

rund

/ m

statische Stabilität

0

100

200

300

400

280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290

2. Fall: der Temperaturgradientder Atmosphäre ist flacher, > , stabile Schichtung

1. Fall: der Temperaturgradientder Atmosphäre ist steiler, < , labile Schichtung

trockenadiabatischer Temperaturgeradient = - 0.981 K / 100 m

Temperatur / K

Höh

e üb

er

Gru

nd /

m

potenzielle Temperatur

Integration führt zur

Poisson--Gleichung:

nochmal: für adiabatische Prozesse gilt:

und zur Definition der potenziellen Temperatur in Einkeit K (p in hPa):

ist die Temperatur, die ein Luftpaket annimmt, wenn es in

einem adiabatischen Prozess auf einen Druck von 1000 hPa

gebracht wird.

ist ein sehr brauchbarer Parameter. In einer

trockenadiabatisch geschichteten Atmosphäre ist mit der

Höhe konstant.

Tdcdpp

TRp

d

pcR

00 p

pTT

pd cR

p

1000T

Einfluss der Feuchte

Wasser spielt in der Atmosphäre eine extrem wichtige Rolle,

weil:

• Wasser in allen 3 Phasen vorkommt und in Form von

Niederschlag eine vitale Voraussetzung für das terrestrische

Leben darstellt

• Wasserdampf ein bedeutendes natürliches Treibhausgas ist

• Phasenübergänge des H2O große Mengen an Energie

umsetzen

• Wasserdampf eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst

gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte hat als trockene

Luft

Wasserdampf

wir verwenden unterschiedliche wichtige Feuchtemaße und lernen damit

zusammenhängende Größen für die Atmosphäre kennen:

• relative Feuchte rF

• Wasserdampfdruck e

• Sättigungsdampfdruck des Wassers e*

• spezifische Feuchte q

• Taupunkt-Temperatur Td

• virtuelle Temperatur Tv

• Wasserdampf – Mischungsverhältnis r

Wasserdampf

ΔvT

L

dT

de*

2w

*

*

T

dT

R

L

e

de

oder:

Rw Gaskonstante des Wasserdampfs

mit der Annahme, dass L über den Temperaturbereich von Interesse konstant ist,

kann die Gleichung nach Clausius-Clapeyron annähernd gelöst werden:

Luft kann eine gewisse Menge an Wasserdampf aufnehmen. Wenn

das Angebot an gasförmigem H2O darüberhinaus anwächst, tritt

Kondensation (bzw. Sublimation) ein und die flüssige (oder feste)

Wasserphase bildet sich aus. Die Gleichung nach Clausius-Clapeyron

beschreibt die maximal in der Luft vorhandene Wasserdampfmenge:

Wasserdampf

eine Lösung bietet die Magnus-Formel:

tC

tCexp(t)e

3

21

* C

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350

10

20

30

40

50

60

Was

serd

ampd

ruck

/ hP

a

Temperatur / °C

im englischsprachigen Raum wird auch Tetens Formel angewandt:

2

10

*

T-T

T-Tbexpe(T)e

t: Temperatur in °C

Phase t (°C) C1 / hPa

C2 C3 / °C

Eis < 0 6.11 22.44 272.44

Wasser

< 0 6.11 17.84 245.43

Wasser

> 0 6.11 17.08 234.18

Wasserdampf

das Verhältnis des aktuellen Wasserdampfdrucks zum Sättigungsdampfdruck

(bei gegebener Temperatur) ist die relative Luftfeuchte rF:

*e

erF

rF ist also bei gegebenem

Wasserdampfdruck stark von der

Temperatur abhängig.

rF ist ein beliebtes Feuchtemaß,

weil sie direkt messbar ist.

rF ist dimensionslos und wird meist

in % angegeben.

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350

10

20

30

40

50

60

Was

serd

ampd

ruck

/ hP

a

Temperatur / °C

In einer Luftmasse, die in thermodynamischem Gleichgewicht mit einer angrenzenden Wasserphase steht, ist rF gleich der Aktivität des Wassers in der Wasserphase.

.

Einfluss der Feuchte

Wasserdampf hat eine geringere Molmasse und folglich (bei sonst

gleichen Bedingungen) eine geringere Dichte als trockene Luft.

Folglich ist auch die massenspezifische Gaskonstante unterschiedlich der

der trockenen Luft.

Nun kann man die Gasgleichung entweder durch Wasserdampf erweitern

oder auf den Zustand trockener Bedingungen „korrigieren“.

Man definiert für diesen Zweck die virtuelle Temperatur Tv:

Die virtuelle Temperatur ist diejenige Temperatur, die trockene Luft bei

konstantem Druck annehmen müsste, um dieselbe (geringere) Dichte zu

haben wie die feuchte Luftmasse mit Temperatur T.

Da Wasserdampf weniger dicht ist als trockene Luft, ist Tv T.

Auf die Herleitung von Tv wird hier verzichtet. Sie ist:

Tv = T · (1 + 0.608 · q)

mit: q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft

Einfluss der Feuchte

q = spezifische Feuchte = Masse Wasserdampf / Masse feuchter Luft

Wd

W

ρρ

ρq

W = Dichte des Wasserdampfs

d = Dichte der trockenen Luft

622.0R

R

w

d

die massenspezifischen Gaskonstanten des H2O, RW, und der trockenen

Luft, Rd, haben das Verhältnis:

pe

0.3781

1

p

e0.622q

mit der Gasgleichung führt dies zu:

e: Partialdruck des Wassers

Einfluss der Feuchte

und mit p » e:

p

e0.622q

Die virtuelle Temperatur Tv = T · (1 + 0.608 · q) kann nun in der

Gasgleichung für trockenen Luft eingesetzt werden, wenn diese auch für

feuchte Luft angewendet werden soll:

vddd TRρp

Allerdings ist der Einfluss der Feuchte auf den trockenadiabatischen

Temperaturgradienten* gering, so dass er hier meist vernachlässigt wird.

* „trockenadiabatischer Temperaturgradient feuchter Luft“ Vorsicht: ein feuchadiabatischer Temperaturgradient ist etwas anderes

Wasserdampf

die Taupunkt-Temperatur Td ist diejenige Temperatur, auf die eine gegebene

Luftmasse mit gegebener Feuchte abgekühlt werden muss, bis Kondensation

eintritt.

Es gilt:

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350

10

20

30

40

50

60

Was

serd

ampd

ruck

/ hP

a

Temperatur / °C

Td ist ein bedeutendes

Maß, weil sie

• direkt messbar ist

• die Höhe des

Kondensationsniveaus in

der Atmosphäre bestimmt

e(T))(Te d*

Wasserdampf

das Wasserdampf - Mischungsverhältnis r ist

die Masse des Wasserdampfes / Masse trockener Luft

rs ist das Sättigungs-Mischungsverhältnis des Wasserdampf, wenn in

o.g. Gleichung e* statt e eingesetzt wird.

ep

e

r

mit

622.0v

d

R

R

Rv = Gaskonstante des Wasserdampfs

Wasserdampf

wenn die Temperatur einer Luftmasse unter die Taupunkt-Temperatur

absinkt, kommt es zur Kondensation von Wasserdampf zu flüssigem

Wasser. Dabei wird die Verdampfungswärme L (2.6 ·106 J kg-1) des

Wassers frei. Diese kommt der expandierenden Luft als Wärmeenergie

zugute. Damit verringert sich die Temperaturabnahme mit der Höhe im

Vergleich zum trockenadiabatischen Fall. Der feuchtadiabatische

Temperaturgradient soll hier nicht hergeleitet werden sondern wird

eingeführt mit:

dT

*de

*e

sLc

TR

gsLg

dz

dT

p

gilt in dieser Form für die wässrige Phase, nicht für die Bildung der Eisphase

Wasserdampf

dTde

eqL

c

TRgqL

g

p

**

dz

dT

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350

10

20

30

40

50

60

Was

serd

ampd

ruck

/ hP

a

Temperatur / °C

die der Luft durch Kondensation zugeführte

Energie kann als Steigung der Sättigungskurve

des Wasserdampfs bei gegebener Temperatur

verstanden werden

der Unterschied zwischen feuchtadiabatischem und

trockenadiabatischenTemperaturgradient ist also eine Funktion der Temperatur.

Für die meisten Fälle gilt: –0.3 K / 100m – 0.7 K / 100 m

Föhn

aus: Blüthgen und Weischet, 1980S N

Aufsteigende Luftmassen können (bei Td) das Kondensationsniveau

erreichen. Am Beispiel des Föhns werden die Effekte gut

veranschaulicht:

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 401000

900

800

700

600

4000 m

3500 m

3000 m

2500 m

2000 m

1500 m

500 m

Dru

ck /

hP

a

Temperatur / °C

1000 m

Höhe / m

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

2

1v12 p

plnTz-

g

Rz d

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 401000

900

800

700

600

4000 m

3500 m

3000 m

2500 m

2000 m

1500 m

500 m

Dru

ck /

hP

a

Temperatur / °C

1000 m

Höhe / m0.2

0.40.3 0.5 0.6 31.5 210.8 25 3084 65 10 15 20 40 50

H2O-Sättigungs-Mischungsverhältnis (g / kg)

1

00 )(ln

1

re

pr

L

R

TT

v

vd

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 401000

900

800

700

600

4000 m

3500 m

3000 m

2500 m

2000 m

1500 m

500 m

Dru

ck /

hP

a

Temperatur / °C

1000 m

Höhe / m

Trockenadiabaten

0.2

0.40.3 0.5 0.6 31.5 210.8 25 3084 65 10 15 20 40 50

H2O-Sättigungs-Mischungsverhältnis (g / kg)

p

dc

R

T

T

2

1

1

2

p

p

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 401000

900

800

700

600

4000 m

3500 m

3000 m

2500 m

2000 m

1500 m

500 m

Dru

ck /

hP

a

Temperatur / °C

1000 m

Höhe / m

Trockenadiabaten

pseu

do

-Feu

chtad

iabaten

0.2

0.40.3 0.5 0.6 31.5 210.8 25 3084 65 10 15 20 40 50

H2O-Sättigungs-Mischungsverhältnis (g / kg)

1212 ppp

TTT

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 401000

900

800

700

600

4000 m

3500 m

3000 m

2500 m

2000 m

1500 m

500 m

Dru

ck /

hP

a

Temperatur / °C

1000 m

Höhe / m

Trockenadiabaten

pseu

do

-Feu

chtad

iabaten

0.2

0.40.3 0.5 0.6 31.5 210.8 25 3084 65 10 15 20 40 50

H2O-Sättigungs-Mischungsverhältnis (g / kg)

Föhn - Beispiel

Höhe ü. NN m

T

°C

rH

%

rs

g kg-1

r

g kg-1

p

hPa

Start 100 10 70 7.76 5.43 988

Anstieg parallel zur Trockenadiabaten bis das Sättigungs-Mischungsverhältnis erreicht ist

Kondensationsniveau

750 3.6 100 5.43 5.43 912

Anstieg entlang der Feuchtadiabaten bis über die Berge

Gipfelhöhe 3000 -12.1 100 2.25 2.25 676

Abstieg parallel zur Trockenadiabaten bis zum Boden hin

Endpunkt 500 13.9 21 10.7 2.25 942

Farbkodierung:rot fett: vorgegebenblau unterstrichen: aus Diagramm ermittelt braun kursiv: aus Angaben und Diagramm ermittelt / berechnet

thermodynamisches Diagrammpapier nach Stull 1995