1

Einstein a zotrvačnosť

Pri príležitosti storočnice Einsteinovej teórie gravitáciehttp://www.cernyv.com

2

Prezradíme rozuzlenie príbehu dopredu:

Einstein zrušil Newtonovi gravitačnú silu. Nahradil ju zovšeobecnenou

zotrvačnosťou v krivom priestoro-čase

3

Einstein a zotrvačnosť

Vlado Balek ma upozornil, že táto „fotografia“ je ilustračná časopisecká koláž

Aj toto je len moja koláž, Aristoteles sa naozaj neviezol na tom voze.

4

5

Zotrvačnosť

Aristoteles: vystrelený šíp pokračuje v lete, lebo rozráža (vytesňuje) vzduch zo svojej dráhy, tak by vzniklo za ním vákuum, ale príroda „má strach z vákua“, okolitý vzduch sa na uprázdnené miesto za šípom búrlivo natlačí a tým postrkáva šíp dopredu. Takže počas letu na šíp pôsobí stále sila a udržiava ho v pohybe. Aristoteles nepozná pojem zotrvačný pohyb.

Newton: teleso zotrváva v priamočiarom rovnomernom pohybe (voči inerciálnej sústave) kým nie je nútené vonkajšou silou svoj pohybový stav zmeniť. Newton pozná pojem zotrvačný pohyb ako prirodzenú vlastnosť telies, nevysvetľuje príčinu zotrvávania v pohybe, nevieme „prečo je pre telesá prirodzené zotrvávať v pohybe“.

6

Poučka (1.Newtonov zákon) :Každý hmotný bod v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútený vonkajšími silami tento svoj stav zmeniť.

Vieme, čo tie reči naozaj znamenajú?

Napríklad čo je to „priamočiaro“?Čo je priamka, nepovedal ani Euklides, nieto učiteľ na škole.

Intelektuálna zábava na chvíle oddychu:

Ako sa vyrába (rovné!) pravítko? To je ľahké: kopírovacou frézkou podľa rovnej tyče (tak, ako sa v kľúčovej službe kopírujú kľúče).

Ale: ako sa vyrobila prvá „rovná vec“, keď ešte nebolo čo kopírovať?

7

Teraz sa budeme chvíľu trápiť s tým, čo je to rovná čiara.

Oficiálne sa na to používa pomerne rafinovaná matematická technika, diferenciálna geometria.

Ale dá sa o tom rozmýšľať aj názorne, pomocou predstáv o rôznych fyzikálnych „fungovátkach“. Nejaké jemnosti pritom zametieme pod koberec. Dajú sa uspokojivo vyriešiť, presnejšia diskusia by trvala pridlho. Ale podstatu, trúfam si dúfať, vystihneme korektne.

Všeobecná rada: všímajte si ako veci okolo vás fungujú.

Pochopíte tak všeličo z fyziky aj matematiky.

8

Rovinu vykachličkujem, škáry medzi kachličkami definujú, čo sa nazve rovná čiara

Jeden nápad, ako definovať, čo je to rovná čiara nakreslená v rovine.

Rovné čiary sa vytvoria, ak sú všetky kachličky rovnaké a kladené natesno.

9

„Krivina“ sa nedá (pekne) vykachličkovať

Dvojrozmerná blcha, žijúca na nejakej ploche, nemá poňatie o treťom rozmere. Nevie sa „pozrieť hore“.

Aj taká blcha vie rozlíšiť, či plocha, na ktorej žije, je rovná alebo krivá.

Skúsi kachličkovať. Ak sa to dá, plocha je rovná. Inak je krivá, hoci tá blcha nemá celkom jasnú predstavu, čo ten pojem „krivá“ znamená.

My môžeme vnoriť dvojrozmernú plochu do trojrozmerného sveta a už intuitívne rozumieme, čím sa líšia rovinná plocha a nerovinná plocha. Ale to iba vtedy, keď ten trojrozmerný priestor je inherentne rovný.

10

My sme trojrozmerné blchy.

Žijeme v trojrozmernom svete. Je ten náš priestor inherentne (vnútorne, sám v sebe) rovný?

Testovať sa to dá tak, že ho skúsime „vyLEGOvať“, vyplniť kockami

Priestor vnútri gule je inherentne rovný, lebo sa dá zaplniť LEGO-kockami. Hrany tých LEGO-kociek definujú, čo je to „rovná čiara“ v rovnom trojrozmernom priestore.Ale čo by to znamenalo, keby to nešlo vyLEGOvať? Nevieme to vnoriť to viacrozmerného priestoru a „pozrieť sa“. Bol by to v abstraktom zmysle inherentne krivý 3-dimenzionálny priestor.

11

Dá sa na krivej ploche nakresliť rovná čiara?

Vozík sa musí tlačiť „rovno“, nesmie „zabáčať“.

Dá sa na zakrivenom, guľovom, zemskom povrchu, tlačiť vozík rovno, nezabáčať?

Čo presne to znamená?

Definujem rovnosť čiary tak, že s konštruujem vozík, ktorý „očividne“ kreslí rovnú čiaru. A nazvem teda takú čiaru rovnou.

12

Konštrukcia vozíka, ktorý nevie zabáčať.

Predné aj zadné kolesá sú napevno narazené na spoločné osi otáčania a navyše predná aj zadná os sú spriahnuté bicyklovou reťazou.

Výsledok: všetky štyri kolesá sa otáčajú synchronizovane. Ak je trenie medzi kolesami a zemou veľmi veľké, takže kolesá nemôžu preklzávať, potom vozík nemôže zabáčať.Vozík sa totiž môže hýbať iba tak, že pravé aj ľavé kolesá opíšu rovnaké dĺžky dráhy. Ale v zákrute by museli vonkajšie kolesá opísať dlhšiu dráhu ako vnútorné.

Skutočné autá majú na poháňanej osi diferenciál. Diferenciál je geniálne inžinierske zariadenie, ktoré zabezpečuje, že ak motor otáča „akoby spoločnou osou“ dvoch kolies, tak tie kolesá môžu mať rozličnú rýchlosť rotácie tak, „ako to zákruta rozkáže“. Inak by kolesá v zákrute prešmykovali.

13

Ako vyzerá rovná čiara na krivom sférickom povrchu zemeguleAk postavím nezabáčací vozík na ľubovoľnom mieste, nadvihnutím ho natočím do ľubovoľného smeru a potom budem tlačiť, nakreslí to nejakú čiaru.Mám tušenie, čo to bude za čiara?Ľahko to uhádnem, keď postavím vozík na severný pól. Nakreslí to zjavne poludník. Pre kreslenie čiar vozíkom ale nie je dôležité, ako Zem rotuje. Môžem si predstaviť, že severný pól je v práve zvolenom štartovacom bode.

Vozík nakreslí čiaru, ktorá vyzerá „ako poludník“, začiatočný bod je akoby severný pól. Poludník je kružnica, ktorá má stred v strede sféry, tzv. hlavná kružnica.

14

„Rovné čiary“ na sfére sú hlavné kružnice, teda kružnice so stredom v strede sféry.

Táto rovnobežka nie je „rovná“

Túto čiaru nakreslí nezabáčací vozík, ktorý sa vydá na cestu na začiatku v smere zelenej rovnobežky

15

Dá sa (hladko) nalepiť páska na 48. rovnobežku?

16

Dá sa (hladko) nalepiť páska na 48. rovnobežku?

Nedá !

17

Mám dva blízke body v rovine: (𝑥, 𝑦) a (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑦 + 𝑑𝑦)

Kvadrát vzdialenosti tých dvoch bodov v rovine sa vypočíta podľa Pytagorovej vety

Ako sa meria dĺžka čiary v rovine: rozkúskujem a Pytagorova veta

Kvadrát vzdialenosti tých dvoch bodov na sfére sa vypočíta podľa modifikovanej Pytagorovej vety

18

Mám dva blízke body na sfére: (𝜗, 𝜑) a (𝜗 + 𝑑𝜗, 𝜑 + 𝑑𝜑)

Ako sa počíta dĺžka krátkej čiarky na sfére?

GPS

Kvadrát vzdialenosti tých dvoch bodov na sfére sa vypočíta podľa modifikovanej Pytagorovej vety:porovnaj s obyčajnou Pytagorovou v.: 19

Mám dva blízke body na sfére: (𝜗, 𝜑) a (𝜗 + 𝑑𝜗, 𝜑 + 𝑑𝜑)

Ako sa počíta dĺžka krátkej čiarky na sfére?

GPS

20

Ako kreslia dvojrozmerné blchy trojuholník na sfére

Zoberú nezabáčací vozík, položia ho do bodu w a skusmo nájdu smer, v ktorom ho treba začať tlačiť, aby presne trafil do bodu v. Stred vozíka nakreslí časť hlavnej kružnice, teda „rovnú čiaru“ idúcu z bodu w do bodu v.

21

Čiara, nakreslená nezabáčacím vozíkom (teda rovná) je kratšia ako ľubovoľná iná čiara spájajúca body v a w.

Takže mám novú, inú, definíciu rovnej čiary v krivom priestore: ak viem merať dĺžku čiar, potom za rovnú čiaru, ktorá spája nejaké dva body považujem najkratšiu čiaru, ktorá ich spája (presnejšie: čiaru extremálnej dĺžky).

22

Prečo má čiara nakreslená nezabáčacím vozíkom extremálnu dĺžku?

Lebo ak má nejaká vlastnosť extrémnu veľkosť, potom v blízkych situáciách má veľkosti prakticky rovnaké ako v extremálnom prípade.Ak kopec nemá na vrchole špicu, ale je zaoblený, potom vrchol tej zaobleniny je akoby kúsok plochy konštantnej výšky.

Ukážeme si to na príklade určovania vrcholu dráhy slnka na oblohe.

23

Pre určenie polohy lode musí kapitán zmerať sextantom výšku slnka nad obzorom presne na poludnie miestneho času. A pozrieť sa v okamihu poludnia aj na lodný chronometer, (ktorý ukazuje Londýnsky čas) koľko hodín je v Londýne, keď je lokálne poludnie.

Poludnie sa pozná podľa toho, že slnko je najvyššie, teda v extremálnom bode dráhy.

Kapitán meria výšku slnka vo viacerých časových momentoch okolo poludnia. Slnko pred poludním stúpa a po poludní klesá. Ale tesne okolo poludnia v blízkosti vrcholu stúpa a klesá veľmi pomaly. Výška slnka tesne pred presným poludním a tesne po ňom je prakticky rovnaká ako výška presne na poludnie. Ak uvidím dva časové okamihy, v ktorých má slnko rovnakú výšku nad obzorom, potom okamih poludnia je niekde medzi tými dvoma časovými okamihmi. Ak sú tie časové okamihy blízke, určil som poludňajšiu výšku pomerne presne.

24

Ak uvidím dva časové okamihy, v ktorých má slnko rovnakú výšku nad obzorom, potom okamih poludnia je niekde medzi tými dvoma časovými okamihmi.

Kolieska nezabáčacieho vozíka, ktorý nakreslil „rovnú čiaru“, virtuálne vykreslili aj dve ďalšie čiary, trajektórie ľavých a pravých koliesok. Tie sú rovnako dlhé. Extremálna čiara sa (v analógii s extrémnou polohou slnka) musí nachádzať niekde medzi dráhami ľavých a pravých koliesok. Rovná čiara má preto extremálnu dĺžku.

25

Čo majú v učebniciach napísané dvojrozmerné blchy, ktoré žijú na sfére

Geometria: súčet uhlov trojuholníka nie je 180 stupňov, ako sa to tvrdí v nejakých učebniciach z dávnoveku, ale platí

kde 𝑆 je plocha toho trojuholníka a 𝑅 je mystická prírodná konštanta, o ktorej niektoré učené blchy tvrdia, že to je inherentný polomer krivosti našej dvojrozmernej domoviny.

Zákon zotrvačnosti: teleso, na ktoré nepôsobia žiadne sily sa pohybuje rovnomerne po trajektórii, ktorá má takú vlastnosť, že časť trajektórie medzi jej ľubovoľnými dvoma bodmi má extremálnu dĺžku (spomedzi ľubovoľných čiar spájajúcich tie dva body). Trajektória zotrvačného pohybu je teda rovná.

26

Hokej na krivej ploche

Ak strelí puk v smere presne na východ, netrafí bránku

27

Hokej na krivej ploche

Ak strelí puk v smere presne na východ, trafí túto bránku

28

Telesá, ktoré konajú zotrvačný pohyb sa hýbu rovnako

Ak sa dve telesá, na ktoré nepôsobia sily, nachádzajú v tom istom bode a majú v tom bode rovnakú rýchlosť (čo do veľkosti aj smeru), potom sa budú hýbať po tej istej trajektórii (i keď majú rozličnú hmotnosť).

Platí to aj v inherentne krivom priestore.

Prerozprávame teraz zákon zotrvačnosti trochu inými slovami, než sme sa naučili naspamäť v škole, a zdôraznime najmä nasledujúci aspekt

29

V doterajších úvahách sme zabudli na ďalšiu podstatnú vlastnosť zotrvačného pohybu:

telesá sa pohybujú po rovných dráhach rovnomerne. To znamená, že za rovnaký čas prejdú rovnaké úseky dráhy.

Ale to znamená, že grafom závislosti vzdialenosti na čase je priamka.

Stopa, ktorú po sebe zanechá zotrvačná častica je „rovná“ nielen v priestore ale aj v priestoro-čase.

Poučka (1.Newtonov zákon) :Každý hmotný bod v inerciálnej sústave zotrváva v pokoji alebo v rovnomernom priamočiarom pohybe, kým nie je nútený vonkajšími silami tento svoj stav zmeniť.

30

Galileo a Newton nás naučili, že všetky telesá sa v gravitačnom poli hýbu rovnako

Ak sa dve telesá, v gravitačnom poli, nachádzajú v tom istom bode a majú v tom bode rovnakú rýchlosť (čo do veľkosti aj smeru), potom sa budú hýbať po tej istej trajektórii (i keď majú rozličnú hmotnosť).

Porovnajme to s vlastnosťami zotrvačného pohybuAk sa dve telesá, na ktoré nepôsobia sily, nachádzajú v tom istom bode a majú v tom bode rovnakú rýchlosť (čo do veľkosti aj smeru), potom sa budú hýbať po tej istej trajektórii (i keď majú rozličnú hmotnosť).

Možno to znamená, že pohyb v gravitačnom poli je len zvláštny druh zotrvačného pohybu ?!

31

Možno to znamená, že pohyb v gravitačnom poli je len zvláštny druh zotrvačného pohybu ?!

To nemôže byť pravda !!! Zotrvačný pohyb je rovný (aj v priestore aj v priestoro-čase) . Gravitačný pohyb je krivý v priestore (dráha letiaceho kameňa je parabola) a krivý aj v priestoročase (rýchlosť pádu gravitačnom poli narastá, závislosť polohy na čase nie je priamka ale tiež parabola)

Záleží na uhle pohľadu, gentlemani. Vy sa na to pozeráte tak, že gravitačný pohyb je krivý pohyb v rovnom priestoročase.

Ale dá sa na to pozerať tak, že je to rovný pohyb

v inherentne krivom priestoročase!

32

Dá sa pokriviť priestoročas tak,

aby sme známe dobré výsledky, napríklad o páde jablka zo stromu v dôsledku príťažlivej sily Zeme, získali ako výsledky pre zotrvačný pohyb jablka, na ktoré nepôsobí žiadna sila, ale v krivom priestoročase?

Dá !!!

Einstein teda tvrdí: Zem ovplyvní priestoročas vo svojom okolí tak, že vzorec pre pseudo-Pytagorovu vetu znie

a potom sa dá pozerať na telesá ako voľné, konajúce zotrvačný pohyb

(Poznámka pre expertov: nenapísali sme tu, že aj pred členom 𝑑𝑧2 je nejaký modifikujúci faktor, ale ten nemá pozorovateľné účinky na bežné pohyby telies.)

Einstein: rovnaké výsledky dostaneme ak v okolí Zeme je priestoročas deformovaný tak že „pseudo-Pytagorova veta“ pre výpočet pseudodĺžky kúska trajektórie v priestoročase znie

𝑔00 treba voliť v tvare

kde 𝜑 je ten istý výraz aký má Newton pre gravitačný potenciál Zeme

33

Newton: v okolí povrchu Zeme je gravitačné pole s potenciálom

34

Voľný pád v homogénnom gravitačnom poli Pytagoras:

Pseudo-Pytagoras:

Hľadám aká funkcia bude popisovať voľný pád, teda 𝑧(𝑡). Budem riešiť trochu zjednodušenú úlohu, že hodím kameň do 5-metrovej studne a odmeriam, že padá 1s. Takže už budem hľadať len funkciu 𝑧 𝑡 , ktorá vyhovuje zadaniu 𝑧 0 = 0, 𝑧 1 = −5 (to sú tie dva červené body). Pôjde o to nájsť tvar tej funkcie tak, aby „celková pseudodĺžka cez priestoročas“ bola maximálna. Každú krivku spájajúcu dva červené body môžem rozsekať na malé modré kúsky, zodpovedajúce deleniu času na rovnaké intervalíky dĺžky 𝑑𝑡. Keď poznám tú krivku, môžem ku každému 𝑑𝑡 vypočítať príslušné 𝑑𝑧 a potom aj 𝑑𝑠. Sčítam tie kúsky 𝑑𝑠 a dostanem celkovú pseudodĺžku krivky medzi dvoma červenými bodmi.

35

Tu sú 3 rôzne krivky, ktorá predstavuje skutočný „zotrvačný pohyb“ v krivom priestoročase?Mohol by som skúšať aj všelijako zvlnené a iným spôsobom bláznivé krivky.Ja to vyskúšam iba pre malú rodinu kriviek, daných vzorcom

Parameter 𝛼 je neurčený, jeho rozličné hodnoty definujú rozličných členov uvažovanej rodiny kriviek. Na obrázku sú nakreslené tri krivky z tej rodiny, pre hodnoty 𝛼 = 3, 𝛼 = 5, 𝛼 = 7. Pre každú krivku (teda pre každú hodnotu 𝛼) môžem vypočítať pseudodĺžku tej krivky.

(Zanedbal som člen s 𝑑𝑡2 ≪ 𝑑𝑡)

36

Tú sumu môžem vypočítať numericky na počítači. Rozsekám časový interval (0,1) na 1000 kúskov dĺžky 𝑑𝑡, pre každý kúsok vypočítam 𝑑𝑠 a sčítam. Ibaže asi narazím na konečnú presnosť počítania počítača pri takomto drevorubačskom rátaní. To, čo vadí, je veľmi veľké číslo, ktoré sa dostane z červeno zakrúžkovanej jednotky vynásobením kvadrátom rýchlosti svetla. Musím počítaču trochu pomôcť.

použijem približný vzorec, platný pre malé 𝑥 ≪ 1:

Zaujíma ma, pre akú hodnotu 𝛼 bude 𝑠 najväčšie. Prvá suma ale nezávisí na 𝛼, stačí teda vyšetrovať závislosť na 𝛼 len tej druhej sumy.

37

Úloha nájsť pre ktoré 𝛼 má krivka

najväčšiu pseudodĺžku, sa teda zviedla na úlohu nájsť, pre akú hodnotu 𝜶 je výraz

čo najmenší (zahodil som výsledok neovplyvňujúcu konštantu 𝑐 v menovateľoch). Tu je krátky program v Pythone, počítajúci tú sumu pre hodnotu 𝛼 = 4.2.

Aj keď neviete programovať, pravdepodobne pochopíte ako ten program funguje

38

Zbehol som ten program pre 10 rozličných hodnôt 𝛼 a dostal som takéto výsledky

𝛼 Δ

4.0 63780033.455

4.2 63780033.394

4.4 63780033.3463

4.6 63780033.312

4.8 63780033.291

5.0 63780033.2833

5.2 63780033.289

5.4 63780033.308

5.6 63780033.3404

5.8 63780033.386

Môžem to urobiť aj pre oveľa viac hodnôt 𝛼 s jemnejším krokom a uvidím, že naozaj optimálna hodnota je 𝛼 = 5, teda závislosť súradnice na čase pre pád bude

To je presne vzorec pre voľný pád podľa Galilea či Newtona. Ľahko sa môžete presvedčiť, že keby Zem negravitovala, a teda bolo by 𝑔 = 0, priestoročas by bol rovný a dostalo by sa minimum pre 𝛼 = 0, teda pohyb 𝑧 𝑡 = −5𝑡, teda pohyb stálou rýchlosťou.

39

Einstein v skutočnosti nepotrebuje Newtona, aby vedel vypočítať, ako sa deformuje priestoročas pod vplyvom gravitujúcej hmoty. Na to vymyslel Einsteinovu rovnicu

Na ľavej strane je matematický symbol, ktorý v sebe skrýva ako je zakrivený priestoročas, na pravej strane je symbol, ktorý v sebe skrýva (trochu symbolicky povedané) ako je v priestoročase rozložená energia.

Jednoducho a názorne vysvetliť, ako tá rovnica funguje, to teda neviem.

40

Rozuzlenie príbehu:

Einstein zrušil Newtonovi gravitačnú silu. Nahradil ju zovšeobecnenou

zotrvačnosťou v krivom priestoro-čase

41

42

43

Spare slides

44

45

46

SI definícia metra:

vzdialenosť, ktorú urazí svetlo vo vákuu za sekundy ≈ 3𝑛𝑠.

Dĺžku aj čas môžeme merať v rovnakých jednotkách, napríklad v nanosekundách alebo stopách.

47

48