EIXOS E ÁRVORES

Trabalho a ser apresentado à disciplina Elementos de

Máquinas I.

Curso: Eng. Mecânica

Período: 9º

Professor: Dra. Vânia Velloso

Aluna:

Ariana de Fátima Silva

São João del Rei, 03 de novembro de 2012.

1. INTRODUÇÃO

Eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte de outros componentes mecânicos e não transmitem potência. As árvores, além de suporte, transmitem potência. Geralmente, na prática, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes componentes.

Os materiais mais utilizados na fabricação de eixos e árvores são (DIN 1611 e DIN17210): Aços-carbono: ABNT 1025 (St42,11) – 1035 (St50,11) e ABNT 1045 (St60,11) – 1060 (St70,11) Aço-liga: ABNT 4120 (20 Mn Cr4) – 4130 (25 Mo Cr4) – 6150 (50 Cr V4)

Os esforços atuantes em eixos e árvores são: Momento fletor; Momento torçor; Força cortante e força axial (estáticos e/ou cíclicos).

O caso mais comum encontrado para aplicação em árvore é quando esta é utilizada para transmissão de potência em regime: Torque constante: Tensão cisalhante média (τm)

Flexão alternada: Tensão normal alternada (σa) com σm = 0.

O caso mais geral encontrado para aplicação de árvos é quando esta é utilizada para transmitir potência com esforços variáveis:Momento fletor: Tensão normal - σa e σm ≠ 0.

Momento torçor (T): Tensão cisalhante - τa e τm ≠ 0.

Força axial: Tensão normal - σa e σm ≠ 0.

Os critérios de dimensionamento dos eixos e árvores são: Resistência - Deflexão lateral e angular - velocidade crítica.

2.METODOLOGIA

2.1.Projeto de um eixo sujeito a esforço de flexão

De acordo com CARVALHO (1984), em geral o esforço principal em um eixo é o de flexão. Sendo M omomento fletor e Z o módulo de resistência à flexão, encontra-se a tensão de flexão:

σ=Mz

Para seção circular ou em coroa circular têm-se

Seção circular:Z=πD ³32

, onde D= diâmetro do eixo;

Seção em coroa circular: Z= π32

xD4−d ⁴

D, onde D=diâmetro externo e d=diâmetro interno.

Sendo assim, para fazer o dimensionamento de um eixo de seção constante basta:1º) Fazer a escolha do material;2º) Fixar a tensão admissivel do material;3º) Calcular M (através do esquema de carregamento);4º) Calcular Z5º) Conhecendo o Z, calcular D. Para o caso de seção em coroa circular, uma relação entre D e d deverá ser estabelecida;6º) Padronizar o diâmentro de acordo com tabelas.

O roteiro mostrado acima , apesar de simples, pode trazer alguma dificuldade ao fixar a tensão admissível. No entanto essa dificuldade pode ser resolvida seguindo outro roteiro de cálculo baseado nas indicações da ASME.

Pelo código ASME, a espressão básica é modificada por um fator combinado de choque e fadiga, tabelado pela própria ASME. Assim:

σadm= Km. MZ

Para essa fórmula, foram fixados os seguintes valores de acordo com as tabelas abaixo:

Tabela 1-Valores do Fator Km

Tipo de Carga Eixo Fixo Eixo GiratórioKm Km

Gradualmente aplicada, constante (estática) 1,0 1,5Subitamente aplicada, pequeno choque 1,5 a 2,0 1,5 a 2,0Subitamente aplicada, grande choque - 2,0 a 3,0

Tabela 2-Tensões Admissíveis para o cálculo de eixos (ASME)Material Tensão admissível σ (kgf/mm²) Observação

Aço não especificado 11 Havendo rasgo para chaveta, tomar 75% do valor indicado.Aço especificado 60% do σ e ou 36% do σ r (Tomar

o menor valor

Utilizando essas tabelas, o roteiro para o dimensionamento de eixos se resume em:

1º) Fazer a escolha do material;2º) Fixar a tensão admissivel do material de acordo com a tabela 2;3º) Calcular KmM (através do esquema de carregamento e da tabela 1);4º) Calcular Z e depois o D;5º) Padronizar o diâmentro ;

Um eixo é considerado curto quando a relação l/d ≤ 5, sendo l o comprimento do eixo e d o diâmetro. Com l/d ≥ 10, o eixo é considerado longo. Com 5 < l/d < 10 é a zonaa se transição.

2.2. Projeto de uma árvore

2.2.1. Árvore sujeita a esforço simples de torção

Vimos que :

τ= TZ '

Para eixo circular:

Z'= πD ³16

Para seção anular (coroa circular):

Z'= π16

xD4−d ⁴

D

Sendo assim, pode-se aplicar o roteiro mostrado anteriormente para eixos para fazer o dimensionamento. Pelo mesmo motivo justificado para o cálculo de eixos, a ASME indicou outro método exposto a seguir:

τ=Kt . TZ '

onde Kt é o fator combinado de choque e fadiga, relacionado com o momento de torção. A tensão admissível também foi fixada pela ASME. As tabelas a seguir fornecem os valores que devem ser utilizados.

Tabela 3-Valores de Kt

Tipo de Carga Árvore Fixa Árvore GiratóriaKt Kt

Gradualmente aplicada, constante (estática) 1,0 1,0Subitamente aplicada, pequeno choque 1,5 a 2,0 1,0 a 1,5Subitamente aplicada, grande choque - 1,5 a 3,0

Tabela 4- Tensões Admissíveis para o cálculo de árvores (ASME)Material Tensão admissível σ (kgf/mm²) ObservaçãoAço não especificado 5,6 Havendo rasgo para chaveta,

tomar 75% do valor indicado.

Aço especificado 30% do σ e ou 18% do σ r (Tomar o menor valor

2.2.2.Árvore sujeita a esforços combinados de torção e flexão

Este é um dos casos mais comuns utilizados na engenharia. O dimensionamento é realizado dentro dos Critérios de Resistência.Para o caso de materiais dúcteis ( aços, por exemplo) as teorias devem ser aplicadas dentro daqueles critérios de resistência, são a Teoria da energia de distorção e a teoria da maior tensão de cisalhamento.

Cada uma dessas teorias levam ao estabelecimento de um esforço ideal, equivalente, na peça aos esforços reais que sobre ela atuam.

Pela teoria da maior tensão de cisalhamento, o momento de torção, Ti , ideal, corresponde aos momentos de flexão M, e torção T, que atuam na peça:

Ti=√ M ²+T ²

Considerando as indicações da ASME, empregaremos os fatores Km e Kt , o que nos dá um momento de torção equivalente:

Te=√( Km. M )2+(Kt . T ) ²Agora,

τ=TeZ '

e segue-se o roteiro para o cálculo da árvore.Os valores de T e M deverão atuar na mesma seção.

2.2.3.Árvore sujeitas a esforços variáveis

O dimensionamento apresentado nos ítens anteriores não levaram em conta, explicitamente, variações dos momentos aplicados. Será apresentado a seguir, um formulário específico, para alguns casos.

2.2.3.1.Árvore sujeita a torção variável.

Conhecemos Tm e Tv, consequentemente, τm eτ v, calculados por τ= TZ '

D=2,073√( FS )( K f ' . Tv

σ n¿ +Tm

1,33 σe)¿

Onde Kf’ é o fator de concentração de tensões, prático, relacionado com a torção. Os demais símbolos já são conhecidos.

2.2.3.2.Árvore sujeita a esforços combinados de torção e flexão variáveis.

Conhecemos:

Torção: Tm, Tv, τ m e τ v sendo τ= TZ '

Flexão: Mn, Mv, σm e σ v sendo σ=MZ

,

D=2,173√( FS ) . 3√√¿¿¿¿

Onde σ∗¿σr ou σ∗¿1,7 σe (tomar o menos valor).

2.2.3.3.Árvore sujeita a torção constante e flexão alternada

Conhecemos: Torção: T (constante); Flexão: Mm=0 (condições de “alternada”) e Mv:

D=2,173√( FS ) . 3√√0,422 ( T

σe¿¿)²+( Kf . Mv

σn) ² ¿¿

Considerando o que foi estudado anteriormente, em qualquer um dos casos acima, devemos ter:

1,25 ≤(FS)≤2,5

As expressões acima permitem, calculando (FS), verificar o dimensionamento feito por qualquer outro processo.

3.EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

3.1) A árvore de acionamento de uma máquina é fabricada em aço SAE 3150 temperado e revenido a 550ºC. Sabendo-se que a deformação angular máxima que ela deverá sofrer ao transmitir a potência de 10CV a 2000RPM é de 0,25º/m, pede-se:a) Determinar o diâmetro partindo da deformação angular máxima;b) Determinar o valor da tensão ao atuar o momento de torção máximo;c) Comentaro resultado;

Solução:a) Partindo da fórmula pode-se determinar uma expressão para o diâmetro da árvore, considerando-se aço, θadm= 0,25º/m, potência em CV e rotação em RPM. A expressão a que se chega é:

D=124√ N

ncm

Então,

D=124√ 10

2000=3,2cm

Considerando a tabela de padronização, indica-se: D=36mm.

b) O momento de torção, em função da potência e da rotação dadas, é calculado pela expressão:

T=71620Nn

T=71620 x10

2000=358 kgf . cm

A tensão, atendendo à orientação da ASME para dimensionamento de árvores de transmissão, será determinada pela relação:

τ=Kt .TZ '

≈ Kt .T

0,2 D ³

O fator combinado de choque e fadiga K t , considerando-se condições médias de atuação da carga, será determinado pela Tab.3:

Kt=1,5

Então:

τ=Kt .TZ '

=1,5.358

0 , 2.3 ,6³=57,5kgf /cm ²

Observações:1º)Deve-se observar que, no dimensionamento, o material só influi através do módulo de elasticidade à torção, implícito na relação:

D=124√ N

ncm

2º)O valor da tensão atuante numa árvore dimensionada tendo em vista o ângulo de deformação é, em geral baixo, considerando-se a resitência do material. Entretanto, o cálculo deverá ser feito pela resitência para se comparar o diâmetro resultante com o obtido no cálculo pela deformação.

3.2) O eixo apresentação pela figura abaixo é rotativo, torneado em aço AISI V 1030, laminado a frio e a carga de 1000kgf é constante e sempre na vertical.

a) Calcular “X” de modo que a tensão mas seções “C” e “D” seja igual à tensão na seção de momento fletor máximo, aumentada de 50%.b) Calcular a segurança.

Solução:

a) O momento fletor máximo atua deaixo da carga, no meio do vão, uma vez que a peça é bi-apoiada e a carga se situa no meio do vão) e vale:

Mmáx.= 500x25=12500 kgf.cm

A tensão nas seções C e D deve ser igual à tensão máxima aumentada de 50%, então:

σ=MZ

=1,5 x1250012,27

=1530 kgf /cm²

Que é a tensão nas seções C e D.Por outro lado:

σc=σd=500 xZ 3,5

. Kf =1530

Z3,5=4,21 cm³

De acordo com a Fig. 1: Kt ≈ 1,5 (r/d=0,143 e D/d-1,43):

Figura 1- Árvores com diâmetros escalonados e raios de adoçamentos.

De acordo com a Fig. 2: q ≈ 1.

Figura 2- Indice de sensibilidade x raio do filete

Sendo assim, Kf = Kt =1,5.

Então: 500. x4,21

.1,5=1530

Daí: x ≈ 86mm

b) O fator de segurança pode ser calculado pela expressão:

1FS

=σmσe

+ Kf . σvσn

No presente caso, temos: σm=0 e Kfσv=1530 kgf /cm²

A Tab.IV do Apêndice dá para o aço AISI 1030, laminado a frio:

σ r = 53kgf/mm² = 5300 kgf/cm²;

σ e = 45 kgf/mm² = 4500 kgf/cm²;

Para determinar o valor de σ n, tem-se as correções:

¿n)corr.= 0,5 σ r x a x b

Onde: a= correção decorrente do tamanho da peça = 0,85;b= correção decorrente do acabamento= 0,88;

¿n)corr.= 0,5 x 5300 x 0,85 x 0,88 ≈ 1,3

3.3) Uma árvore de aço ( com σ r=56 kgf/mm² e σ e=36 kgf/mm²), de seção transversal circular cheia, deve

transmitir 50 CV a 600 RPM, sendo a carga constante e gradualmente aplicada.

a) Calcular o diâmetro, D, da árvore;b) Admitindo, agora, a aplicação de um momento fletor de 3500 kgf.cm, calcular a velocidade (RPM), em que a árvore deve trabalhar para transmitir a mesma potência do ítem anterior, com a mesma segurança.

Solução:a) Momento de torção que atua na árvore:

Da fórmula da potência, vem: P= Tn71620

com T = kgf.cm, n=RPM e P=CV.

Daí,

50=Tx 60071620

ou T=71620 x50600

kgf . cm→T ≈ 6000 kgf . cm

Tensão decorrente da torção:

τ=Kt . T

Z ';

τ adm=30 %de σ eou18% deσ r (tomar amenor );30% de 3600 kgf/cm² = 1080 kgf/cm²; 18% de 5600 = 1008 kgf/cm²;

Então:

τ adm =1008 kgf/cm² ≈ 1000 kgf /cm ²

Calculo do diâmetro D

Valor de Kt ( Tab.3): Kt=1,00;

Daí: 1000=1,0 x6000Z '

ou Z'=60001000

=6 cm². Então, D = 3,13 cm.

Sendo assim, a tabela de padronização indica: D=36 mm.

b) Calculo da nova rotação da árvore:

Neste ítem, a árvore está sujeita a esforços combinados de torção e flexão:

Te=[ ( Kt .T )2+ ( Km. M )2]12 eτ adm=

TeZ '

Para que a segurança seja a mesma do ítem anterior, a tensão neste caso deverá ser igual, isto é, devemos ter:

Te= τ adm x Z’ = [ ( Kt .T )2+ ( Km. M )2]12

Kt= 1 (visto na letra “a” e Km= 1,5;M=3500 kgf.cm (dado);

τ adm = 1000 kgf/cm² ;

Z’= 9,16 cm³;

Daí,

1000 x 9,16=[ (1. T )2+ (1,5 . 3500 )2]12

9160= [ (T )2+ (5250 )2 ]12ou T ≈7510 kgf .cm-> que é o momento torçor máximo que pode ser aplicado à

árvore, neste caso.

Como a condição é “transmitir a mesma potência do ítem anterior, com a mesma segurança” – e como a

segurança foi mantida por se ter feito τ adm =Te/Z’, para transmitir a mesma potência com T diferente,

devemos ter nova RPM. Assim a fórmula da potência fica:

50=7510. n71620

ou n=71620 x507510

=476 RPM

4.REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

CARVALHO, J.R., MORAIS, P. Órgãos de máquinas: dimensionamento. 3ºed. Rio de Janeiro: LTC- Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1984.