Ejemplo

Habiéndose medido los ángulos de la triangulación de la Fig. Nº 40, si los ángulos compensados por ecuaciones de vértice son los que se indican, ejecutar la compensación de los ángulos por el método de las aproximaciones. Determinar las coordenadas de las estaciones, azimut AB = 103º 20`14”; AB = 356.503 m.

Ángulos del cuadrilátero A B C DH

3(1) = 45º12`10”(2) = 37º 51`08”(3) = 51º 04`06”(4) = 45º 52`50”

2 1(5) = 36º 19`21” (6) = 46º 44`05” (7) = 45º 50`20” (8) = 49º 06`24”

Ángulos del polígono C D E F ( G )

(1) = 33º 43`58”(2) = 36º 40`10”

E 4

5 6 7

F

4342 44

G41

3C

21

8

4 5 D

(3) = 49º 23`08” (4) = 41º 28`04” (5) = 55º 17`38” (6) = 56º 00`03” (7) = 42º 11`57” (8) = 45º 15`26” (41)= 109º 35`57” (42) = 89º 08`50” (43) = 68º 42`06 A

3 2

6 7

1 8 B

(44) = 92º 32`51” FIG Nº 40

Ángulos del triángulo E F H (1) = 62º 27`15”(2) = 57º 31`42”(3) = 60º 00`48”

SoluciónEl procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es

Compensación de cuadrilátero A B C DEl procedimiento de compensación de un cuadrilátero por el método de las aproximaciones es.

Compensación por ecuaciones de ángulo: son tres:

1º- Se compensan los ángulos del cuadrilátero de modo que su suma de todos ellos de el valor 360º. La compensación total se reparte por igual entre los 8 ángulos de la figura, en caso de que la división no fuera exacta, se toma valores lo más aproximadamente posible.

2º- Con los valores compensados con el paso anterior, se encuentra la diferencia entre la suma de los ángulos: (1) + (2) y (5) + (6), dividiéndola luego entre 4, que será la corrección para cada uno de estos ángulos, siendo positiva para aquellos cuya suma fue de menor valor numérico y negativa para los ángulos cuya suma f ue mayor.

3º- Con los valores de los ángulos: (3) , (4) y (7) , (8) , se procede de manera similar al paso anterior.

4º- Se calcula los valores de los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.

Cuadro de cálculo para el ejemplo

ANGULO VALORCOMPENSACION POR ECUACION DE ANGULO

C IAngulo

corregido C II C IIIAngulo

compensado1 45º 12`10” - 3” 45º 12`07” + 2” 45º 12`09”2 37º 51`08” - 3” 37º 51`05” +2” 37º 51`07”3 51º 04`06” - 3” 51º 04`03” - 3” 51º 04`00”4 45º 52`50” - 3” 45º 52`47” - 3” 45º 52`44”5 36º 19`21” - 3” 36º 19`18” - 2” 36º 19`16”6 46º 44`05” - 3” 46º 44`02” - 2” 46º 44`00”7 47º 50`20” - 3” 47º 50`17” + 3” 47º 50`20”8 49º 06`24” - 3” 49º 06`21” + 3” 49º 06`24”

Sumas 360º 00`24” - 24” 360º 00´00” 00” 00” 360º 00`00”

(1) = 45º 12`07” (5) = 36º 19`18” Diferencia = 20 – 12 = 8”(2) = 3 7 º 51`0 5 ”

83º 03`12”(6) = 46º 44`02”

83º 03`20” C II = 8”/4 = 2”

(3) = 51º 04`03” (7) = 47º 50`17” Diferencia = 50 – 38 = 12”(4) = 4 5 º 52`4 7 ”

96º 56`50”(8) = 49 º 0 6` 21 ”

96º 56`38” C III = 12”/4 = 3”

Compensación por ecuación de lado: Solo una ecuación

1°.- Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulo se calcula los valores de losLogaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego de suma de ellos, de acuerdo a la condición de lado.

2°.- Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada.

3º.- Recalcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno 1” para los valores de los ángulos.

4º.- La corrección se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas de longitud seno, entre el valor de la diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno fue menor y siendo negativa para los ángulos cuya suma de logaritmo fue mayor.

Cuadro de cálculo para el ejemplo:

ANGULOS VALORLOGARITMOS SENOS

D 1” C IVANGULOS

COMENSADOS+ -( 1 ) 45º 12`09” - 1.851014 2.08 + 13” 45º 12`22”( 2 ) 37º 51`07” - 1.787902 2.70 - 13” 37º 50`54”( 3 ) 51º 04`00” -1.890911 1.70 + 13” 51º 04`13”( 4 ) 45º 52`44” - 1.856046 2.03 - 13” 45º 52`31”( 5 ) 36º 19`16” - 1.772549 2.87 + 13” 36º 19`29”( 6 ) 46º 44`00” - 1.862234 1.98 - 13” 46º 43`47”( 7 ) 47º 50`20” - 1.869971 1.90 + 13” 47º 50`33”( 8 ) 49º 06`24” - 1.878481 1.82 - 13 49º 06`11”

SUMAS 360º 00`00” -1.384445 - 1.384663 17.08 0” 360º 00`00”

Diferencia en sumas Log Sen = 663 – 445 = 218 (unidades del 6º orden decimal)

C IV = 218 / 17.08 = 12.8” , adoptaremos 13”, los que deben ser positivos en los ángulos: (1), (3) , (5) , (7) y negativos en los ángulos: (2) , (4) , (6) , (8).

Compensación del polígono C D E F (G): Cinco Ecuaciones.El procedimiento de compensación de un polígono con punto Central es el siguiente:

1º.- Se chequea si los ángulos en el punto central cumplen la ecuación de condición de vértice, de no ser ello,se compensa los ángulos repartiendo la corrección total entre el número de ángulos en el punto central, valor que será la corrección por ecuación de vértice.

2º.- Con los valores corregidos por el paso anterior y los valores los restantes ángulos de cada uno de los triángulos que conforman el polígono, se determina el valor de la corrección total que corresponde aplicar en cada triangulo.

3º.- Se procede a calcular la corrección para los ángulos en el punto central en su primer tanteo. Para ello se divide la corrección total de cada triangulo entre 3, obteniéndose luego la sumatoria algebraica de estas correcciones. Si la sumatoria algebraicas de las correcciones centrales en su primer tanteo no da un valor cero (0), se procede a corregir estos valores.

4º.- Para efectuar la corrección al primer tanteo, el valor de la suma anteriormente hallada se divide entre el número de ángulos en el punto central luego de haberse ejecutado el cambio de signo.

5º.- Se obtiene la suma algebraica de las correcciones obtenidas por los dos últimos pasos, valor que será la corrección para los ángulos en el punto central y por condición de ángulos.

6º.- Se calcula las correcciones para los restantes ángulos de cada triángulo, dividiendo la corrección que falta completar entre dos (2).

7º.- Se obtiene los ángulos compensados por ecuaciones de ángulo.

Cálculos para el ejemplo en desarrollo.

(41) = 109º 35`57” + 4” = 109º 36`01” (42) = 89º 08`50” + 4” = 89º 08`54” (43) = 68º 42`06” + 4” = 68º 48`10” (44 ) = 92 º 3 2 `5 1” + 4 ” = 92 º 32`55”

359º 59`44” +16” = 360º 00`00”

Corrección total = - 9”

(1) = 33º 43`58” - 4” = 33º 43`54” (2) = 36º 40`10” - 4” = 36º 40`06” (41 ) = 109 º 59`44” - 1 ” = 109 º 36`00”

180º 00`09” 180º 00`00”

Corrección total = - 6”

(3) = 49º 23`08” - 3” = 49º 23`05” (4) = 41º 28`04” - 3” = 41º 28`01” (42 ) = 89 º 08`54” 0 = 89 º 08`542

180º 00`06” 180º 00`00”

Corrección total = + 9”

(5) = 55º 17`38” + 2” = 55º 17`40” (6) = 56º 00`03” + 2” = 56º 00`05” (43) = 68º 42`10” + 5” = 68º 42`15”

179º 59`09” 180º 00`00”

Corrección total = - 18”(7) = 42º 11`57” - 7” = 42º 11`50” (8) = 45º 15`26” - 7” = 45º 15` 19” (44) = 9 2 º 32` 5 5 ” - 4” = 92 º 3 2 ̀ 51 ”

180º 00`18” 180º 00`00”

Correccióntotal en

triángulo

Correccióncentral 1º

tanteo

Compensación al 1º tanteo

CORRECCION FINAL POR ECUACIONES DE ANGULO

TI- 9”

41:- 3”

41:+ 2”

41:- 1”

1:- 4”

2:- 4”

TII- 6”

42:- 2”

42:+ 2”

42:0 “

3:- 3”

4:- 3”

TIII+ 9”

43:+ 3”

43:+ 2”

43:+ 5”

5:+ 2”

6:+ 2”

TIV- 18”

44:- 6”

44:+ 2”

44:- 4”

7:- 7”

8:- 7”

Sumas - 8” + 8” 0”

Estas correcciones finales se suman algebraicamente a los valores de los ángulos con lo que se tendrá los ángulos compensados por ecuaciones de condición de ángulo.

Compensación por ecuación de lado: Una ecuación.

Esta compensación se ejecuta por el mismo procedimiento empleado para el caso de la compensación por ecuación de lado para un cuadrilátero.

Cálculos para el ejemplo.

ANGULOS VALORLOGARITMOS SENOS

D 1” CORRECCIONANGULOS

COMPENSADOS+ -(1) 33º 43`54” - 1.744531 3.15 + 9” 33º 44`03”(2) 36º 40`06” - 1.776107 2.82 - 9” 36º 39`57”

(41) 109º 36`00” 109º 36`00”(3) 49º 23`05” - 1.880298 1.80 + 9” 49º 23`14”(4) 41º 28`01” - 1.820981 2.38 - 9” 41º 27`52”

(42) 89º 08`54” 89º 08`54”(5) 55º 17`40” - 1.914919 1.47 + 9” 55º 17`49”(6) 56º 00`05” - 1.918581 1.42 - 9” 55º 59`56”

(43) 68º 42`15” 68º 42`15”(7) 42º 11`50” - 1.827166 2.33 + 9” 42º 11`59”(8) 45º 15`19” - 1.851411 2.08 - 9” 45º 15`10”

Sumas - 1.366914 - 1.367080 0”

Diferencia de Log Sen: 1.366914 – 1.367080 = 166 Corrección 166/18.05 = 9.19 = 9 (+) (1), (3), (5), (7)(-) (2), (4), (6), (8)

Ecuación de ángulo = uno (1) lado = 0

Compensación del triángulo E F H :La compensación de u triángulo independiente, se realiza repartiendo por igual la corrección total

por aplicarse entre los tres (3) ángulos que forman el triangulo.

Entonces, para el ejemplo.

(1) = 62º 27`15” + 5” = 62º 27`20” (2) = 57º 31`42” + 5” = 57º 31`47” (3) = 6 0 º 00` 4 8 ” + 5” = 6 0 º 00` 5 3 ”

179º 59`45” 180º 00`00”

2 2

RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS:

El parámetro que valora la bondad de precisión de las figuras de una triangulación es el coeficiente denominado Resistencia de Figura, cuanto menor sea el valor de la resistencia, la figura es de mejor precisión.

La fórmula para calcular la resistencia de figura es:

D C ( 2 2 )R

D d A d A d B d B ( 19 )

En donde:

R: Resistencia de figuraD: Número de nuevas direcciones observadas en la figura o red.C. Número total de ecuaciones de condición ( C = CA + C1)dA: Diferencia tabular de logaritmo seno 1” del ángulo opuesto al lado conocido, expresada en unidades

de 6º orden decimal.dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1º del ángulo opuesto al lado por calcular, expresada

en unidade4s de 6º orden decimal.

El factor: ( d A d A d B d B ) , Sirve además para realizar la selección del mejor camino de

calculo de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es el menor.

VALORES MAXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE FIGURASDESCRIPCION 1º ORDEN 2º ORDEN 3º ORDEN

Figura simple independienteDeseable 15 25 25Máximo 25 40 50Red entre basesDeseable 80 100 125Máximo 110 130 175

Ejemplo:Para la triangulación Fig Nº 40, llevar a cabo la evaluación de resistencia de figuras, así como indicar cual

debe ser el camino de cálculo de lados y proyecciones.

Solución:

Cálculo de los factores:D C

D

Cuadrilátero:

D = 5 x 2 = 10 :

C = 3 + 1 = 4

D C 0.60

D

Polígono:

D = 7 x 2 = 14 :

C = 5 + 1 = 6

D C 0.57

D

Triángulo:

D = 2 x 2 = 4 :

C = 1 = 1

D C 0.75

D

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

A

Triangulación total:

D = 14 x 2 = 28 :

C = 4 + 6 + 1 = 11

D C 0.61

D

Cálculo de los factores:

d A d A d B

d B( 2 2 )

Cuadrilátero:En todo cuadrilátero con dos diagonales, existe la posibilidad de ejecutar el cálculo de los lados

mediante cuatro (4) caminos de cálculo, siendo:

Camino I

245º53` d 45º53` d88º55`

285º55`07" C

4 6 + 7 D

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 0.03 ) + ( 0.03)2 = 4.18

294º34`20" d94º34` d 49º 06`

249º 06`11" 8

3 + 2( - 0.17 )2 – ( 0.17 x 1.82 ) + ( 1.82 )2 = 3.03

7.21

Camino II

A BA

C 4+5

D247º51` d 47º51 d94º19`

294º19` 7

( 1.90 )2 – ( 1.90 x 0.15 ) + ( 0.15)2 = 3.35

d 2 d d d 2 3

1+882º12` 82º12` 51º 04` 51º 04` A B

( 0.28)2 + ( 0.28 x 1.70 ) + ( 1.70 )2 = 3 . 4 4 6.79

Camino IIIC 6 D

245º53` d 45º53` d 45º12`

245º12`

4

( 2.03 )2 + ( 2.03 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 12.65

246º 44`̀ d 46º 44` d51º 04`

251º 04`

3

A1

B( 1.98 )2 + ( 1.98 x 1.70 ) + ( 1.70)2 = 10 . 1 8

22.83

Camino IV C 5D

247º51`̀ d 47º51` d37º51`

237º51` 7

( 1.90 )2 + ( 1.90 x 2.70 ) + ( 2.70)2 = 16.03

2 8 B236º19` d36º19` d 49º 06`

249º 06`

( 2.87 )2 – ( 2.87 x 1.82 ) + ( 1.82)2 = 16 . 7 7 32.80

En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero A B C D, será el camino II. AB – AD -

CD El camino IV, es el camino mas desfavorable para el cálculo de los lados.

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

Polígono:

En todo polígono con punto central existe la posibilidad de cálculo por dos caminos, en uno y otro sentido respecto del vértice central, para el caso que nos ocupa se tiene:

Camino I:

2109º36` d109º36` d33º 44`

233º 44`

E 6F

4( - 0.75 )2 – ( 0.75 x 3.15 ) + ( 3.15)2 = 8.12

249º 23` d 49º 23` d 41º

28`

2 4341º 21`

G( 1.80 )2 + ( 1.80 x 2.38 ) + ( 2.38)2 = 13.19

41268º 42` d68º 42` d56º 00`

256º 00`

3( 0.82 )2 + ( 0.82 x 1.42 ) + ( 1.42)2 = 3 . 8 5

25.16

Camino II:

C 1 D

E F2

109º36` d106º36` d36º 40`2 536º 40`

7( - 0.75 )2 – ( 0.75 x 2.82 ) + ( 2.82)2 = 6.40

43242º12` d 42º12` d 45º15`

245º15`

G( 2.33 )2 + ( 2.33 x 2.08 ) + ( 2.08)2 = 14.60

41255º18` d55º18` d68º 42`

268º 42`

8( 1.47)2 + ( 1.47 x 0.82 ) + ( 0.82)2 = 4.04

25.04 C2

D

En conclusión el camino II, es el mejor camino de cálculo, aunque el camino I podría ser como camino de cálculo ya que los valores no difieren sustancialmente en nada.

Triángulo:H

Camino I: 3262º 27` d62º 27` d60º 01`

260º 01`

1E

(1.10)2 + (1.10 x 1.22) + (1.22)2 = 4.04

d d

A B

A B

A B

A B

Camino II260º 01` d60º 01` d57º32`

2 H57º 32`

3(1.22)2 + (1.22 x 1.33) + (1.33)2 = 4.88

El mejor camino es el I.

Triangulación total:

E2

F

(d 2 d d d 2 )mínimo 6.79 25.04 4.04 35.87

(d 2 d d d 2 )máximo 32.80 25.16 4.88 62.84

En conclusión los valores mínimos y máximos de la resistencia de figuras, es:

Cuadrilátero A B C D:

Rmínimo 0.60 6.79 4.10

Rmáximo 0.60 32.80 19.70

Polígono C D E F (G):

Rmínimo 0.57 25.04 14.30

Rmáximo 0.57 25.16 14.30

Triángulo E F H:

Rmínimo 0.75 4.04 3.00

Rmáximo 0.75 4.88 3.70

Triangulación total:

Rmínimo 0.61 35.87 21.50

Rmáximo 0.61 62.84 38.30

El mejor camino de cálculo es:

AB , AD , DC , DG , GF , FE , EH.

CALCULO DE AZINUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA TRIÁNGULACIÓN.

Con los valore de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.

Ejemplo:Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de cálculo para la triangulación de la figura Nº 40, si el

azimut del lado AB = 103º 20` 14”.

Solución

Z AB = 103º 20` 14” + R AB = S 76º 39` 46” E.

Con el valor de Z AB y los ángulos compensados se tendrá que ejecutar el cálculo según el mejor camino de cálculo.

Z A B = 103º 20’ 14” - R A B = S 76º 39’ 46” E(2) = 37 º 50 ’ 5 4 ”

Z A D = 65º 29’ 20” + R A D = N 65º 29’ 20” E180 º

Z D A = 245º 29’ 20” +(6) = 46 º 43 ’ 4 7 ”

Z D C = 292º 13’ 07” + R D C = N 67º 46’ 53” O(1) = 33 º 44 ’ 0 3 ”

Z D G = 325º 57’ 10” - R D G = N 34º 02’ 50” O180 º 145º 57’ 10” -

(44) = 92 º 32 ’ 5 1 ” Z G F = 53º 24’ 19” + R G F = N 53º 24’ 19” E

180 º 233º 24’ 19” +

(6) = 55 º 59 ’ 5 6 ” Z F E = 289º 24’ 15” - R F E = N 70º 35’ 45” O

180 º 109º 24’ 15” -

(2) = 57 º 31 ’ 4 7 ” Z E H = 51º 52’ 28” R E H = N 51º 52’ 28” E

CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO.

El cálculo las longitudes se realiza aplicando la formuela de la ley de

senos para un triángulo. Ejemplo:

Calcular los lados del mejor camino de cálculo en la triangulación en estudio.

A B = 356.503 m.A D = 356.503 (Sen 94º 18`33” / Sen 47º 50` 33”) = 479.555 m.D C = 479.555 (Sen 51º 04`13” / Sen 82º 12` 00”) = 376.538 m.D G = 376.538 (Sen 36º 39`57” / Sen 109º 36`00”) = 238.678 m.G F = 238.678 (Sen 45º 15´10” / Sen 42º 11`59”) = 252.359 m.F E = 252.359 (Sen 68º 42`06” / Sen 55º 17`49”) = 285.998 m.E H = 285.998 (Sen 62º 27`20” / Sen 60º 00`53” ) = 292.766 m.

CALCULOS DE LAS PROYECCIONES DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION.

Conocidos los valores de las longitudes de los lados, así como los valores de los rumbos de cada uno de ellos se procede al cálculo de proyecciones empleándose la formula conocida:

Proyección en eje X = Lado x Seno Rumbo. Proyección

en eje Y = Ladox CoserumboRumbo.