Ejemplos proceso Poisson

Mini Examen 6, TIPO A(Para numero de lista impar)1

Procesos Estocasticos

Semestre 2011-I

1. Los clientes de una tienda entran al establecimiento de acuerdo a un proceso dePoisson de parametro = 3. Sea Nt el numero de clientes que han ingresadohasta el instante t. Calcule

(a) P (N4 = 2) (valor 1 punto)

Sol:

P (N4 = 2) = e3(4) [3(4)]2

2!

= e12 [12]2

2= 72e12

(b) P (N1 = 5, N2 = 8) (valor 1 punto)

Sol:

P (N1 = 5, N2 = 8) = P (N1 = 5, N2 N1 = 8 5)= P (N1 = 5)P (N2 N1 = 3)= P (N1 = 5)P (N1 = 3)

= e3(1) [3(1)]5

5!e3(1) [3(1)]

3

3!

= e3 [3]5

5!e3 [3]

3

3!= 9.11e6

(c) P (N2 = 6 | N1 = 4) (valor 1 punto)Sol:

P (N2 = 6 | N1 = 4) = P (N2 = 6, N1 = 4)/P (N1 = 4)= P (N2 N1 = 6 4, N1 = 4)/P (N1 = 4)= P (N2 N1 = 2)P (N1 = 4)/P (N1 = 4)= P (N1 = 2)P (N1 = 4)/P (N1 = 4)= P (N1 = 2)

= e3(1) [3(1)]2

2!= 9

2e3

(d) P (N4 = 7 | N5 = 8) (valor 1 punto)Sol:

P (N4 = 7 | N5 = 8) = P (N4 = 7, N5 = 8)/P (N5 = 8)= P (N4 = 7, N5 N4 = 8 7)/P (N5 = 8)= P (N4 = 7)P (N5 N4 = 1)/P (N5 = 8)= P (N4 = 7)P (N1 = 1)/P (N5 = 8)

=[e3(4) [3(4)]

7

7!e3(1) [3(1)]

1

1!

]/[e3(5) [3(5)]

8

8!

]=

[e12 [12]

7

7!e33

]/[e15 [15]

8

8!

]= 0.3355

1Profesor David Josafat Santana Cobian

1

(e) P (N1 = 1, N2 = 2 | N3 = 3, N5 = 5) (valor 1 punto)Sol: P (N1 = 1, N2 = 2 | N3 = 3, N5 = 5)

= P (N1=1,N2=2,N3=3,N5=5)P (N3=3,N5=5)

= P (N1=1,N2N1=21,N3N2=32,N5N3=53)P (N3=3,N5N3=53)

= P (N1=1)P (N2N1=21)P (N3N2=32)P (N5N3=53)P (N3=3)P (N5N3=53)

= P (N1=1)P (N1=21)P (N1=32)P (N3=3)

=e3(1) [3(1)]

1

1!e3(1) [3(1)]

21(21)! e

3(1) [3(1)]32(32)!

e3(3) [3(3)]3

3!

=e3 3

11!

e3 321

(21)! e3 332

(32)!e9 9

33!

=31+21+321!(21)!(32)!

933!

= 333!

931!(21)!(32)!= 1

333!

1!(21)!(32)!

2. Sea (St)t0 un PPO compuesto con = 1 y Yj Bernoulli(0.3). Sea (Nt | =)t0 un PPO mixto con gamma(2, 1). Finalmente sea (Nt)t0 un PPO nohomogeneo con funcion de intensidad

(t) = tet2, t 0.

(a) Suponer que los arribos de llamadas a un hogar es de acuerdo al proceso dePoisson no homogeneo definido. Cual es la probabilidad de que ocurran 6arribos entre t = 4 y t = 5? (valor 2 puntos)

Sol: Recordemos una propiedad muy util del Proceso de Poisson No Ho-mogeneo, si llamamos m(t) =

t0(s)ds, entonces:

Nt+s Ns Poisson(m(t+ s)m(s))Por tanto primero calculamos m(t):

m(t) = t

0(s)ds

= t

0ses

2ds

= 12(1 et2).

Entonces:N5 N4 Poisson(m(5)m(4)) = Poisson(12(1 e5

2) 1

2(1 e42))

= Poisson(12(e16 e25)) yP (N5 N4 = 6) = e 12 (e16e25) (

12

(e16e25))66! 0

2

(b) Suponer que los arribos de llamadas a un hogar es de acuerdo al proceso dePoisson mixto definido. Cual es P (N4 = 3)? (valor 2 puntos)

Sol: Obtenemos la funcion de probabilidad cuando (Nt | = )t0 es unProceso de Poisson con intensidad , para cualquier > 0 y m N y gamma(m,) (en la tarea no era necesario hacerlo en general, pero debiohacer algo similar con numeros en vez de literales), entonces:

P (Nt = n) =

0P (Nt = n | = )f()d

=

0et (t)

n

n!f()d

=

0et (t)

n

n!m

(m)m1ed

= tnm(n+m)

n!(m)(t+)n+m

0

(t+)n+m

(n+m)n+m1e(t+)d

= (m+n1)!n!(m1)! (

tt+

)n( t+

)m

Por lo tanto, Nt BinNeg(m, t+ ) Finalmente: P (N4 = 3) =

(2+31)!3!(21)! (

44+1

)3( 14+1

)2 = 0.08192. (c) Suponer que los arribos de llamadas a un hogar es de acuerdo al proceso de

Poisson con intensidad = 1 llamada por hora. De cada 10 llamadas, 3 sonde un cobrador que por equivocacion tiene nuestro telefono. Si conectamos eltelefono a las 9a.m., cual es la probabilidad de que a las 9p.m. haya habidomas de 5 llamadas molestas? Hint:Utilizar el proceso de Poisson compuestodefinido. (valor 2 puntos)

Sol: Usaremos la informacion de 3 llamadas del cobrador por cada 10 paramodelar como Bernoulli(0.3) el que una llamada recibida sea molesta. En-tonces el numero de llamadas molestas al tiempo t esta dado en (St)t0 unPPO compuesto con = 1 y Yj Bernoulli(0.3):

St =Ntj=1

Yj

As, el problema es calcular P (S12 > 5) = 1P (S12 5) = 15i=0

P (S12 = i).

3

P (S12 = 0) = P (N12j=1

Yj = 0)

=k=0

P (N12j=1

Yj = 0 | N12 = k)P (N12 = k)

= P (N12 = 0) +k=1

P (kj=1

Yj = 0)P (N12 = k)

= P (N12 = 0) +k=1

P (Bk = 0)P (N12 = k)

donde Bk Bin(k, 0.3)= e12 +

k=1

[(k0

)(0.3)0(0.7)k

] [e12 12

k

k!

]= e12 + e12

k=1

[12(0.7)]k

k!

= e12k=0

[12(0.7)]k

k!

= e12e12(0.7)k=0

e12(0.7) [12(0.7)]k

k!

= e12e12(0.7)(1)= e3.6

P (S12 = 1) = P (N12j=1

Yj = 1)

=k=0

P (N12j=1

Yj = 1 | N12 = k)P (N12 = k)

=k=1

P (kj=1

Yj = 1)P (N12 = k)

=k=1

P (Bk = 1)P (N12 = k)

donde Bk Bin(k, 0.3)=

k=1

[(k1

)(0.3)1(0.7)k1

] [e12 12

k

k!

]=

k=1

k(0.3)(0.7)k1e12 [12]k

k!

= (12)(0.3)e12k=1

[(0.7)12]k1(k1)!

= (12)(0.3)e12m=0

[(0.7)12]m

m!

= (12)(0.3)e12e12(0.7)m=0

e12(0.7) [12(0.7)]m

m!

= (12)(0.3)e12e12(0.7)(1)= 3.6e3.6

4

P (S12 = 2) = P (N12j=1

Yj = 2)

=k=0

P (N12j=1

Yj = 2 | N12 = k)P (N12 = k)

=k=2

P (kj=1

Yj = 2)P (N12 = k)

=k=2

P (Bk = 2)P (N12 = k)


k=2

[(k2

)(0.3)2(0.7)k2

] [e12 12

k

k!

]=

k=2

k!(k2)!2!(0.09)(0.7)

k2e12 [12]k

k!

= (12)2

2!(0.09)e12

k=2

[(0.7)12]k2(k2)!

= (12)2

2!(0.09)e12

m=0

[(0.7)12]m

m!

= (12)2

2!(0.09)e12e12(0.7)

= 6.48e3.6Y as podramos seguir. Por lo que mejor calculamos una expresion en general:

P (S12 = n) = P (N12j=1

Yj = n)

=k=0

P (N12j=1

Yj = n | N12 = k)P (N12 = k)

=k=n

P (kj=1

Yj = n)P (N12 = k)

=k=n

P (Bk = n)P (N12 = k)


k=n

[(kn

)(0.3)n(0.7)kn

] [e12 12

k

k!

]=

k=n

k!(kn)!n!(0.3)

n(0.7)kne12 [12]k

k!

= (12)n

n!(0.3)ne12

k=n

[(0.7)12]kn(kn)!

= (12)n

n!(0.3)ne12

m=0

[(0.7)12]m

m!

= (12(0.3))n

n!e12e12(0.7)

= (3.6)n

n!e3.6

INTERESANTE! S12 Poi(12(0.3))!!! Por lo tanto:

5

P (S12 > 5) = 1 P (S12 5)= 1

5i=0

P (S12 = i)

= 1 [(

(3.6)0

0!+ (3.6)

1

1!+ (3.6)

2

2!+ (3.6)

3

3!+ (3.6)

4

4!+ (3.6)

5

5!

)e3.6]

= 1 [(1 + 3.6 + 6.48 + 7.776 + 6.9984 + 5.038848) e3.6]= 1 [(30.89325) e3.6]= 1 0.8441185= 0.1558815

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6

Mini Examen 6, TIPO B(Para numero de lista par)2

Procesos Estocasticos

Semestre 2011-I

1. Los clientes de una tienda entran al establecimiento de acuerdo aun proceso de Poisson de parametro = 2. Sea Nt el numero declientes que han ingresado hasta el instante t. Calcule

(a) P (N2 = 4) (valor 1 punto)

Sol:

P (N2 = 4) = e2(2) [2(2)]4

4!

= e4 [4]4

24= 323 e

4(b) P (N1 = 3, N2 = 5) (valor 1 punto)

Sol:

P (N1 = 3, N2 = 5) = P (N1 = 3, N2 N1 = 5 3)= P (N1 = 3)P (N2 N1 = 2)= P (N1 = 3)P (N1 = 2)

= e2(1) [2(1)]3

3! e2(1) [2(1)]2

2!

= e2 [2]3

3! e2 [2]2

2!= 83e

4(c) P (N2 = 4 | N1 = 1) (valor 1 punto)

Sol:

P (N2 = 4 | N1 = 1) = P (N2 = 4, N1 = 1)/P (N1 = 1)= P (N2 N1 = 4 1, N1 = 1)/P (N1 = 1)= P (N2 N1 = 3)P (N1 = 1)/P (N1 = 1)= P (N1 = 3)P (N1 = 1)/P (N1 = 1)= P (N1 = 3)

= e2(1) [2(1)]3

3!= 43e

22Profesor David Josafat Santana Cobian

7

(d) P (N4 = 7 | N6 = 10) (valor 1 punto)Sol:

P (N4 = 7 | N6 = 10) = P (N4 = 7, N6 = 10)/P (N6 = 10)= P (N4 = 7, N6 N4 = 10 7)/P (N6 = 10)= P (N4 = 7)P (N6 N4 = 3)/P (N6 = 10)= P (N4 = 7)P (N2 = 3)/P (N6 = 10)

=[e2(4) [2(4)]

7

7! e2(2) [2(2)]3

3!

]/[e2(6) [2(6)]

10

10!

]=[e8 [8]

7

7! e4 32

3

]/[e12 [12]

10

10!

]= 0.2601229

(e) P (N2 = 2, N3 = 3 | N4 = 4, N6 = 6) (valor 1 punto)Sol: P (N2 = 2, N3 = 3 | N4 = 4, N6 = 6)

= P (N2=2,N3=3,N4=4,N6=6)P (N4=4,N6=6)

= P (N2=2,N3N2=32,N4N3=43,N6N4=64)P (N4=4,N6N4=64)

= P (N2=2)P (N3N2=32)P (N4N3=43)P (N6N4=64)P (N4=4)P (N6N4=64)

= P (N2=2)P (N1=32)P (N1=43)P (N4=4)

=e2(2) [2(2)]

2

2!e2(1) [2(1)]

32(32)! e

2(1) [2(1)]43(43)!

e2(4) [2(4)]4

4!

=e4 4

22!

e2 232

(32)!e2 243

(43)!e8 8

44!

=2222+32+432!(32)!(43)!

844!

= 224!

442!(32)!(43)!= 2

2

442!

2!(32)!(43)!

2. Sea (St)t0 un PPO compuesto con = 2 y Yj Bernoulli(0.6). Sea(Nt | = )t0 un PPO mixto con gamma(3, 2). Finalmentesea (Nt)t0 un PPO no homogeneo con funcion de intensidad

8

(t) = (t2 + 1)et, t 0.(a) Suponer que los arribos de llamadas a un hogar es de acuerdo al

proceso de Poisson no homogeneo definido. Cual es la proba-bilidad de que ocurran 8 arribos entre t = 3 y t = 6? (valor 2puntos)

Sol: Recordemos una propiedad muy util del Proceso de PoissonNo Homogeneo, si llamamos m(t) =

t0 (s)ds, entonces:

Nt+s Ns Poisson(m(t+ s)m(s))Por tanto primero calculamos m(t):

m(t) = t

0 (s)ds

= t

0 (s2 + 1)esds

= 3 3et 2tet t2et.Entonces:N6N3 Poisson(m(6)m(3)) = Poisson(3(6e3 17e6)) y

P (N6 N3 = 8) = e3(6e317e6) (3(6e317e6))8

8! 0

(b) Suponer que los arribos de llamadas a un hogar es de acuerdo alproceso de Poisson mixto definido. Cual es P (N3 = 4)? (valor2 puntos)

Sol: Obtenemos la funcion de probabilidad cuando (Nt | =)t0 es un Proceso de Poisson con intensidad , para cualquier > 0 y m N y gamma(m,) (en la tarea no era necesariohacerlo en general, pero debio hacer algo similar con numeros envez de literales), entonces:

9

P (Nt = n) =

0 P (Nt = n | = )f()d

=

0 et (t)n

n! f()d

=

0 et (t)n

n!m

(m)m1ed

= tnm(n+m)

n!(m)(t+)n+m

0(t+)n+m

(n+m) n+m1e(t+)d

= (m+n1)!n!(m1)! (t

t+ )n( t+ )

m

Por lo tanto, Nt BinNeg(m, t+ ) Finalmente: P (N3 = 4) =

(3+41)!4!(31)! (

33+2)

4( 23+2)3 = 0.124416.

(c) Suponer que los arribos de llamadas a nuestro hogar es de acuerdoal proceso de Poisson con intensidad = 2 llamadas por hora.De cada 10 llamadas, 6 son de nuestro(a) novio(a). Si conecta-mos el telefono a las 9a.m., cual es la probabilidad de que a las9p.m. haya habido mas de 5 llamadas de amor? Hint:Utilizarel proceso de Poisson compuesto definido. (valor 2 puntos)

Sol: Usaremos la informacion de 6 llamadas de amor por cada 10para modelar como Bernoulli(0.6) el que una llamada recibidasea del ser amado. Entonces el numero de llamadas de amor altiempo t esta dado en (St)t0 un PPO compuesto con = 2 yYj Bernoulli(0.6):

St =Ntj=1

Yj

As, el problema es calcular P (S12 > 5) = 1 P (S12 5) =1

5i=0

P (S12 = i). Usando lo hecho en el examen tipo A:

10

P (S12 = n) = P (N12j=1

Yj = n)

=k=0

P (N12j=1

Yj = n | N12 = k)P (N12 = k)

=k=n

P (kj=1

Yj = n)P (N12 = k)

=k=n

P (Bk = n)P (N12 = k)


k=n

[(kn

)(0.6)n(0.4)kn

] [e24 24

k

k!

]=

k=n

k!(kn)!n!(0.6)

n(0.4)kne24 [24]k

k!

= (24)n

n! (0.6)ne24

k=n

[(0.4)24]kn

(kn)!

= (24)n

n! (0.6)ne24

m=0

[(0.4)24]m

m!

= (24(0.6))n

n! e24e24(0.4)

= (14.4)n

n! e14.4

INTERESANTE! S12 Poi(24(0.6))!!! Por lo tanto:

P (S12 > 5) = 1 P (S12 5)= 1

5i=0

P (S12 = i)

= 1 [(

(14.4)0

0! +(14.4)1

1! +(14.4)2

2! +(14.4)3

3! +(14.4)4

4! +(14.4)5

5!

)e14.4]

= 1 0.00421839= 0.99578161

11

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