Upload
josue-hernandez
View
305
Download
3
Embed Size (px)
Citation preview
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
1/19
INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL.
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECNICA Y
ELCTRICA.
UNIDAD CULHUACN.
Series y transformada de Fourier
Ing. Jonathan Alejandro Cortes
Montes De Oca
Series de Fourier
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
2/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 1
Series de Fourier.
Es importante recordar que las series de Fourier permiten generar funcin de series
trigonomtricas que permiten el anlisis de funciones que pueden representar, pulsos, vibracin,
seales, etc.
La forma de la serie Fourier para una funcinfdentro de un intervalo (-p,p) es:
2 + ( ) + ( )
= 2
Podemos simplificar la forma de esto aplicando:
2
2 + + =
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
3/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 2
Donde:
1
1 1
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
4/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 3
Ejemplo 1.
Determine la serie de Fourier de la funcin.
En la figura se muestra la grfica de la funcin de escaln por medio de la serie de Fourier
obtendremos una funcin que permita la trazar la grfica de esta, de a .
En este caso la funcin va desde por lo cual se considera que , como la funcinse parte en dos segmentos se partirn las integrales de Fourier segn sea los rangos.
1
0 < 0
0 <
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
5/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 4
1 0
+1
1
2
1
2 0 0
2 1
2
2
1 0
+1
1
es una integral directa, mientras es una integral porpartes.
[ ]
0Sustituyendo a
0 0
Se considera igual a cero debido a que n siempre ser un valor entero y el seno decualquier valor entero de pi es cero.
c o s 1 [
] 1
[
+
1
cos]
{[ +
1 cos] [0 0 +
1 cos0]}
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
6/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 5
1 cos 1 1 1 c o s
1 c o s Solo funciona con valores impares para n dando como resultado constante 2mientras con las valores pares para n dar 0. Por lo cual puedes ser sustituido por la expresin
1 1entonces.
1 1
1 1 1
1 1
1 0
+1
1 es una integral directa, mientras es una integral porpartes.
[
cos]
+0
1 c o s
cos
s e n 1
[
]
1
[ +
1 sen]
- + sen 0 + sen0
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
7/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 6
cos
1 cos + cos 1Entonces la serie de Fourier queda integrada da la forma
22 + 1 1
cos + 1
=
4 + 1 1
cos + 1
=
El nmero de interacciones que se desarrollen en la serie de Fourier darn la aproximacin de la
grafica ahora como se ve la parte de seno siempre ser cero y se puede discriminar en el
desarrollo de la serie.
Por ejemplo desarrollaremos la serie de n=1 hasta 5
4 + 1 1
1 cos + 1 1
2 cos2 + 1 1
3 cos3+ 1 14 cos4 + 1 1
5 cos5
4 + {
2 cos +
04 cos2 +
29 cos3 +
016 cos4 +
225 cos5}
4 + {2 cos + 29 cos3 + 225 cos5}
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
8/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 7
En la figuras se muestra la aproximacin que existe en las graficas segn las interacciones
Con n=1 a 1 de a Con n=1 a 10 de - a
Con n=1 a 10 de 5 a 5 Con n=1 a 50 de a
Con n=1 a 100 de a Con n=1 a 100 de5 a 5
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
9/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 8
Ejemplo 2. (Seal de onda Cuadrada)
En este caso ahora considerremos a 2 y . 12 1
+
12 1
12
+
12 + 12 0 2 + 2 0 12 2 + 2 0Cuando 0, quiere decir que la funcin tiene simetra.
12 cos
+12
12 [ 1 ] + [ 1 sen]
Sustituyendo a
12 [
2 (
2 )]
+ [2
sen(
2 )]
1 { [(02 ) (22 )] + [(22 ) (02 )]} 1 0 + 0 0
1 2 < 0
1 0 < 2
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
10/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 9
12
+12
1
2 [ 1
]
+ [ 1
]
12 [ 2 (2 )] + [ 2 (2 )]
(12) ( 2) 02 (22 )+ 22 +(02 ) 1 1 c o s cos + 1
Como cos cosel resultado se puede reducir como 1 22cos 2 1cos
Ahora bien se puede hacer el siguiente anlisis sobre 1cosque con valores impares para nsiempre dar 2 y con pares 0
Entonces se puede escribir la expresin como
421Donde 2 1, siempre dar un valor impar.Entonces la serie de Fourier quedara
02 + {0 [212 ] + 421 [212 ]}
=
Como el valor, es constante se puede factorizar y entonces la serie quedara
4
21 2 1
0
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
11/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 10
4 { 12 1 [212 ]}
=
Desarrollando de = 4 { 1211 [2112 ] + 1221 [2212 ]
+ 1231 [2312 ] + 1241 [2412 ]+ 1251 [2512 ]}
4 { [2 ] + 13 [32 ] + 15 [52 ] + 17 [72 ] + 19 [92 ]}Grficas
Con n=1 a 1 de -2 a 2 Con n=1 a 1 de -6 a 6
Con n=1 a 10 de -6 a 6Con n=1 a 10 de -2 a 2
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
12/19
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
13/19
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
14/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 13
(3 )
[3 (3 )]
3 (3 )
(
3)
[ 3
(
3) + 9
cos(
3)]
[30 (03 ) + 9 cos(03 )] [33 (33 ) + 9 cos(33 )]
[0 + 9 cos0] [9 + 9 cos]
(3 )
9 9 cos
3 (3 ) 3
c o s (3 ) 3 (3 ) 3 [
33 (3 )] 3 (3 )
(3 )
[33 (3 ) + 9 cos(3 )]
[333 (33 ) + 9 cos(33 )] [303 (03 ) + 9 cos(03 )] [0 + 9 cos] [9 0 + 9 cos0]
3 (3 )
9 cos 9
13 [ 9 9 cos + 9 cos 9]Como cos cosel resultado se puede reducir como
0
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
15/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 14
13 (3 )
+13 + 3(3 )
1
3 (
3)
+ 3 (
3)
y 3 , son integrales por partes.
(3 )
s e n (3 ) 3 (3 )
(3 )
[ 3 (3 )]
3 (3 )
(3 )
[3 (3 ) + 9 (3 )]
[ 30 (03 ) + 9 (03 )] [ 33 (33 ) + 9 (33 )]
[ 0 + 9 0] [ 9 + 9 ]
3
9
3 (3 )
3
s e n (3 ) 3 (3 )
3 (3 ) [ 33 (3 )] 3 (3 )
3(3 )
[33 (3 ) + 9 (3 )]
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
16/19
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
17/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 16
Desarrollando de + = 32 + 6 { 121 [213 ] + 122 [223 ] + 123 [233 ] + 124 [243 ]
+ 125 [253 ]} 32 + 6 {12 [23 ] + 14 [43 ] + 16 [63 ] + 18 [83 ] + 110 [103 ]}
Grficas.
Con n=1 a 1 de -3 a 3Con n=1 a 1 de -9 a 9
Con n=1 a 10 de -3 a 3 Con n=1 a 10 de -9 a 9
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
18/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 17
Con n=1 a 100 de -3 a 3Con n=1 a 100 de -9 a 9
8/9/2019 Ejemplos Series de Fourier
19/19
Series y transformada de Fourier
Autor: Ing. Jonathan Alejandro Corts Montes de Oca. Pgina 18
Ejercicios Propuestos.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
0 < 0
1 0 < 0 1 < 0
0 < 10 < 0
0 < 2 3 < 0
2 0 < 3
0 2 < < 0
0 < 11 1 < 21 5 < 0
+ 1 0 < 5
0 < 0 c o s 0 <