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EJERCICIO ANGULOS DE EULER (zxz) A un rígido solido con un punto fijo se le aplican 3 rotaciones sucesivas según los ángulos
eulerianos �,θ y ψ. cada uno de dichos ángulos es igual a π/2
a) determinar la matriz de transformación T
b) determinar ángulo de rotación equivalente Φ
c) determinar ecuación vectorial del eje de rotación L
d) determinar ecuación secular y sus 3 raíces λ1, λ2 y λ3
e) determinar el desplazamiento de las siguientes partículas L, M, N
DESARROLLO
a)
Como sabemos, las rotaciones se hacen con respecto a los ejes Z, X' y finalmente Z' por la convención ZXZ. X, Y, Z sistema inercial (fijo) x1, x2 , x3 sistema móvil
L
0
50
100
:=
M
50
50
50
:=
N
50
0
50
:=
En el dibujo se aprecia la primera rotación respecto al eje Z, en este caso �=90°
Ahora con la figura resultante de la primera rotación sigue la segunda con respecto al eje x2, recordar que las rotaciones se van realizando a partir de los nuevos ejes ya rotados Con un Θ=90°
Finalmente se realiza una tercera rotación ahora con respecto al eje z3 resultado de la rotación anterior, como se muestra en la figura, con un ψ=90°
Cada rotación puede ser escrita como 3 ecuaciones que se transforman en una matriz de rotación total, un tensor de rotación.
Para la primera rotación sera así
donde esta claro que i,j y k son versores tongo, i tongo, j tongo y k tongo. de módulo 1 por ello
así, la matriz de la primera rotación es esa. Saltándonos los pasos sencillos para las otras 2 rotaciones quedan las siguientes matrices
y con la tercera rotación en el nuevo eje Z2
estas 3 matrices, se resumen en
X1 X cos φ( )⋅ i⋅ Y sin φ( )⋅ j⋅+ Y1 X− sin φ( )⋅ i⋅ Y cos φ( )⋅ j⋅+ Z1 Z k⋅
X1
Y1
Z1
cos φ( )
sin φ( )−
0
sin φ( )
cos φ( )
0
0
0
1
X
Y
Z
⋅
X2
Y2
Z2
1
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
sin θ( )
cos θ( )
X1
Y1
Z1
⋅
1
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
sin θ( )
cos θ( )
cos φ( )
sin φ( )−
0
sin φ( )
cos φ( )
0
0
0
1
X
Y
Z
⋅
⋅
X3
Y3
Z3
cos ψ( )
sin ψ( )−
0
sin ψ( )
cos ψ( )
0
0
0
1
X2
Y2
Z2
⋅
X3
Y3
Z3
cos ψ( )
sin ψ( )−
0
sin ψ( )
cos ψ( )
0
0
0
1
1
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
sin θ( )
cos θ( )
⋅
cos φ( )
sin φ( )−
0
sin φ( )
cos φ( )
0
0
0
1
⋅
X
Y
Z
⋅
cos ψ( )
sin ψ( )−
0
sin ψ( )
cos ψ( )
0
0
0
1
1
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
sin θ( )
cos θ( )
⋅
cos φ( )
sin φ( )−
0
sin φ( )
cos φ( )
0
0
0
1
⋅
cos ψ( ) cos φ( )⋅ cos θ( ) sin ψ( )⋅ sin φ( )⋅−
cos φ( ) sin ψ( )⋅− cos ψ( ) cos θ( )⋅ sin φ( )⋅−
sin θ( ) sin φ( )⋅
cos ψ( ) sin φ( )⋅ cos θ( ) cos φ( )⋅ sin ψ( )⋅+
cos ψ( ) cos θ( )⋅ cos φ( )⋅ sin ψ( ) sin φ( )⋅−
cos φ( ) sin θ( )⋅−
sin ψ( ) sin θ( )⋅
cos ψ( ) sin θ( )⋅
cos θ( )
Así se determina la MATRIZ DE TRANSFORMACION O TOTAL DE ROTACIÓN, donde cada uno de los términos de la matriz corresponde al coseno director entre los ejes inerciales y los ejes móviles
y si tenemos los siguientes ángulos
esa es la matriz de rotación, si la multiplicamos por algún punto del sistema inicial coordenado, el resultado será ese punto en su posición final una vez efectuadas las 3 rotaciones.
C) determinar la recta L sobre la cual se ejerce una sola rotación equivalente, esto quiere decir que existe una recta L que se mantiene fija y a partir de esa se realiza una sola rotación equivalente que resume las 3 rotaciones antes mencionadas
Se entiende que la primera matriz es la de rotación que esta rotando al vector, así, no cambia ni su dirección ni sentido (LLAMADO TEOREMA DE EULER)
Se pasa restando al otro lado
Se obtiene así un sistema homogéneo de ecuaciones
Siempre existe un λ=1 que de hecho debe ser reemplazado en esta ecuación, (aplicable en ángulos de Euler)
φπ2
:= θπ2
:= ψπ2
:=
R
cos ψ( )
sin ψ( )−
0
sin ψ( )
cos ψ( )
0
0
0
1
1
0
0
0
cos θ( )
sin θ( )−
0
sin θ( )
cos θ( )
⋅
cos φ( )
sin φ( )−
0
sin φ( )
cos φ( )
0
0
0
1
⋅
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
→:=
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
XL
YL
ZL
⋅ λ
XL
YL
ZL
⋅
0 λ−
0
1
0
1− λ−
0
1
0
0 λ−
XL
YL
ZL
⋅
0
0
0
0 λ−
0
1
0
1− λ−
0
1
0
0 λ−
XL
YL
ZL
⋅
ZL XL λ⋅−
YL λ 1+( )⋅−
XL ZL λ⋅−
→
ZL XL λ⋅− 0
YL λ 1+( )⋅ 0
XL ZL λ⋅− 0
Se tiene entonces:
Se tiene entonces que ZL=XL , YL=0
Ecs paramétrica del eje de rotación L: XL=t, YL=0, ZL=t
Este es un vector, o mejor dicho una recta paramétrica que cumple, que al ser rotada da la misma dirección y magnitud
Así se comprueba que al aplicar la matriz de rotación a un punto dentro de esta recta no varia
LA trasa corresponde a la suma de la diagonal de la matriz
t11+t22+t33
ANGULO DE ROTACION EQUIVALENTE
Esto quiere decir q si la figura se gira sobre la recta L (fija) antes determinada en un ángulo de 180 se tiene el mismo efecto realizado por las 3 rotaciones
i y k son i tongo y k tongo
por ejemplo
B) para el ángulo equivalente esta la siguiente ecuación
asi
ZL XL− 0
YL 2⋅ 0
XL ZL− 0
XL
YL
ZL
t
0
t
r t( ) t i⋅ t k⋅+
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
4
0
4
⋅
4
0
4
=
trasa
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
⋅ 1 2 cos Φ( )⋅+
1− 1 2cos Φ( )+ Φ 180°
Φ π:=
D)
Ahora multiplicando la matriz de rotación por el punto L inicial nos entrega el punto L final
X Y Z
Lo mismo para M Y N
Si se dan cuenta como N pertenece al eje de rotación L calculado anteriormente no varia
POSICION INICIAL
en verdad son 1,-1,-1
para la ecuación secular y sus 3 raíces
asi
0 λ−
0
1
0
1− λ−
0
1
0
0 λ−
λ λ2− λ3− 1+→0 λ−
0
1
0
1− λ−
0
1
0
0 λ−
0
λ λ2− λ3− 1+ 0 solve λ, 1−
1
→
λ1 1:= λ2 1−:= λ3 1−:=
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
0
50
100
⋅
100
50−
0
=
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
50
50
50
⋅
50
50−
50
=
0
0
1
0
1−
0
1
0
0
50
0
50
⋅
50
0
50
=
POSICION FINAL
En AZUL se aprecia el eje de rotación de la figura
