Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante α.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 0 1 1 4
2 −1 −1 2 3
1 −2 −2 2 −44 −3 −1 4 −3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 1 2 1 −12 2 −7 −3 2
4 −2 −4 −2 2
0 −3 5 2 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(2) = 2f(−1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante α, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −4
−2 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 2
−3 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
121
, b2 =
132
, b3 =
342
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−20
1
, wB =
3
−10
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−2 2 3 2 4
6 −4 2 2 4
−1 0 −4 −3 −63 −2 1 1 2
.
Tarea 4, variante α, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−1 −5 5
0 0 0
−5 −5 0
0 5 0
, B =
4 2
2 1
6 3
, C =
[1 3
5 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 4 1 1
−1 −5 −5 −4−1 −3 3 2
−2 −6 6 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 2
4 −1
], A2 =
[1 −13 −2
], A3 =
[3 5
1 2
],
A4 =
[2 −15 −3
], A5 =
[1 1
1 0
].
Tarea 4, variante α, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −4+ 3x− 3x2 − x3, f2 = 1+ x+ x2 − 2x3, f3 = 2+ x+ x
2 − x3,
f4 = −2− 4x+ 2x2 − 2x3, f5 = −1+ x− 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
−20
1
, a2 =
5
−24
3
, a3 =
3
−13
2
, b1 =
2
−11
1
, b2 =
1
1
3
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante α, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante β.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 1 1 2
−2 −1 −2 −3 −43 0 1 2 2
−3 1 1 2 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 3 1 −13 1 4 1 3
−1 2 −1 0 −41 5 2 1 −5
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) − 2f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante β, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −11 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 4
−4 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
322
, b2 =
212
, b3 =
101
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
322
, wB =
−1−14
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−3 −1 −2 −2 −32 2 1 −1 1
−3 1 1 −1 1
1 −1 1 3 2
.
Tarea 4, variante β, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
3 0 4
−2 −1 0
3 0 0
0 0 0
, B =
[3 −4
−5 2
], C =
2 −1−2 1
−2 1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 2 0 −42 3 −3 −34 6 −6 −6
−2 −2 6 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 5
4 3
], A2 =
[−3 −5−1 −2
], A3 =
[−1 −2−1 −1
],
A4 =
[2 2
−2 0
], A5 =
[1 3
3 2
].
Tarea 4, variante β, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ 2x2 + 4x3, f2 = 1+ x+ 2x
2 + 3x3, f3 = 3− 2x+ x2 + 2x3,
f4 = −3− 3x2 + 2x3, f5 = 1+ 2x+ 3x2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
1
3
5
, a2 =
−30
−3−6
, a3 =
3
1
2
3
, b1 =
1
0
1
2
, b2 =
3
3
1
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante β, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 1 AJAS.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 −2 −2 −1 −22 1 3 1 2
−3 −1 4 1 −1−1 0 3 1 −1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 −4 1 2 −32 4 −3 −5 1
−6 −4 −1 −1 −52 0 2 3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) − 5f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 1 AJAS, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 1
−2 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 2
−4 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
−12
1
, b2 =
211
, b3 =
232
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
211
, wB =
0
−21
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 3 −1 1 2
−2 4 1 1 −23 −5 −3 −1 6
−2 6 −2 2 4
.
Tarea 4, variante 1 AJAS, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−5 4
5 3
], B =
0 2 −2 −24 −1 0 0
0 −5 −2 0
, C =
[2 −1 1 −3
−4 2 −2 6
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−2 −2 3 2
−2 −4 2 2
−2 0 4 2
−1 −2 1 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−3 −25 −4
], A2 =
[3 2
−5 4
], A3 =
[1 1
−1 1
],
A4 =
[−1 −11 −1
], A5 =
[−3 −33 −3
].
Tarea 4, variante 1 AJAS, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 3x+ 2x2 + 2x3, f2 = 1+ 4x+ 4x
2 − 3x3, f3 = 3+ 4x+ 3x2 + x3,
f4 = −1− 4x− x2 − 3x3, f5 = 2+ 2x+ x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−3−15
−2
, a2 =
3
−1−71
, a3 =
2
0
−41
, b1 =
1
−1−30
, b2 =
3
4
−13
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 1 AJAS, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 2 BTCF.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −4 2 1 3
1 2 −1 −1 −5−2 0 2 1 2
−4 2 1 1 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 1 −4 1 3
−8 −7 −8 −1 −18 8 4 2 4
4 4 2 1 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) + 4f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 2 BTCF, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 1
2 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 2
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
212
, b2 =
323
, b3 =
102
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
2
−2
, wB =
2
−1−2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 1 2 −2 1
1 −1 −3 3 −11 1 1 1 −3
−1 2 4 −3 0
.
Tarea 4, variante 2 BTCF, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
2 1 1 −30 −4 3 −30 0 3 −3
, B =
[−6 2 4 −4−3 1 2 −2
], C =
1 2
1 3
0 −1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 2 3 −32 3 5 1
−2 −4 −6 6
1 1 2 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 1
−3 1
], A2 =
[−4 1
2 6
], A3 =
[1 −11 −3
],
A4 =
[4 0
−4 −4
], A5 =
[1 2
−5 3
].
Tarea 4, variante 2 BTCF, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −4+ 3x− 3x2 + 3x3, f2 = 4+ 3x− 5x2 + x3, f3 = −1+ 3x− 2x2 + 4x3,
f4 = 1+ x− 2x2, f5 = 3+ 3x− 5x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−1−1−20
, a2 =
5
2
3
2
, a3 =
6
3
5
2
, b1 =
1
1
2
0
, b2 =
2
1
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 2 BTCF, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 3 CSA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 −1 1 −3 −21 1 2 2 1
2 1 4 −1 1
2 0 −3 1 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 2 3 −21 −2 3 −4 0
2 2 4 6 −4−2 1 −5 1 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) + 3f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 3 CSA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −4
−1 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 3
−4 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
2
−11
, b2 =
111
, b3 =
021
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
−20
, wB =
−13
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 2 1 4 2
2 2 −2 −6 6
1 1 −1 −3 3
2 3 0 1 5
.
Tarea 4, variante 3 CSA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 −2 4 −41 4 3 −4
], B =
4 0 2
0 0 0
0 −5 −10 −5 0
, C =
3 3 −43 1 0
0 −3 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
5 1 1 −4−3 3 5 2
−4 1 2 3
1 2 3 −1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−5 3
1 2
], A2 =
[−6 2
−2 4
], A3 =
[−5 3
1 2
],
A4 =
[−3 2
1 1
], A5 =
[−6 3
0 3
].
Tarea 4, variante 3 CSA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ 2x2 + x3, f2 = −3+ 3x− x2 + 2x3, f3 = 1+ 2x+ 4x
2 + 3x3,
f4 = 2+ x− 2x3, f5 = 1+ x+ 3x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−12
1
2
, a2 =
1
3
3
5
, a3 =
0
5
4
7
, b1 =
−31
−1−1
, b2 =
0
2
2
3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 3 CSA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 4 CNKM.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 −2 4 1
1 0 −3 3 1
4 3 −2 1 3
−1 1 1 4 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 −2 1 −1 3
−2 4 −2 4 −54 4 −2 6 −4
−2 −2 1 −3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
1∫−2
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 4 CNKM, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −13 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 1
3 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
1
−2
, wB =
2
−1−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 2 1 1 1
−2 −3 −2 −3 −30 1 1 2 4
1 1 1 2 2
.
Tarea 4, variante 4 CNKM, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[2 −4
−4 2
], B =
3 −3 4 4
−4 2 −4 0
−5 −4 0 0
, C =
1 0
4 1
5 1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
6 6 4 6
4 1 3 −47 4 5 −13 3 2 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 1
−5 −3
], A2 =
[6 4
−6 2
], A3 =
[5 3
−4 2
],
A4 =
[3 0
3 3
], A5 =
[2 1
−1 1
].
Tarea 4, variante 4 CNKM, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −1+ x+ 3x2 + 2x3, f2 = −3+ x+ 4x2 + x3, f3 = −2+ x+ 3x2 + x3,
f4 = −2− 2x+ x2 − x3, f5 = 1− 4x+ 3x2 + 4x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
−43
2
, a2 =
6
−44
4
, a3 =
7
−65
4
, b1 =
3
−22
2
, b2 =
2
2
1
3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 4 CNKM, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 5 CNLE.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −1 1 −1 1
1 −2 2 −4 −1−2 4 −1 3 −31 −3 0 −2 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −5 −1 2 −1 3
−3 −1 1 1 2
−2 0 1 −2 1
−4 −2 1 4 3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) − 5f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(2) = 0.
Tarea 4, variante 5 CNLE, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 1
−2 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 3
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
−12
1
, b2 =
211
, b3 =
232
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
132
, wB =
−1−32
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 2 3 4 1
5 3 5 2 0
4 2 4 −4 −22 1 2 −2 −1
.
Tarea 4, variante 5 CNLE, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 2
1 3
0 −1
, B =
[6 4 −2 −4
−3 −2 1 2
], C =
1 −1 0 0
0 4 1 4
0 2 0 −1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 −2 1 −41 1 3 3
5 3 −5 5
2 1 −4 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 −11 3
], A2 =
[3 −12 4
], A3 =
[−1 −3−4 2
],
A4 =
[2 −11 3
], A5 =
[2 −11 3
].
Tarea 4, variante 5 CNLE, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 2x− x2 + x3, f2 = 1− 4x+ 2x
2 + 3x3, f3 = 3− 2x− 4x2 − x3,
f4 = 2− 5x+ 3x3, f5 = 4− 3x+ x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−1−65
3
, a2 =
2
4
−2−2
, a3 =
−1−43
2
, b1 =
−1−21
1
, b2 =
1
−12
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 5 CNLE, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 6 DPE.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 4 −2 −4 −1−1 −4 2 1 −22 4 −3 2 3
1 4 −4 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 2 2 −2 2
2 4 −1 1 4
1 −1 −1 1 −14 2 −3 3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) − 3f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 6 DPE, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −42 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −21 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
131
, b2 =
141
, b3 =
132
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
141
, wB =
−31
1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 2 1 −1 3
−4 1 0 −3 1
3 −1 1 3 1
−4 −1 −2 −2 −4
.
Tarea 4, variante 6 DPE, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 3 5 −2−5 0 −2 −20 0 −5 −3
, B =
1 1
2 1
−1 0
, C =
3 1 −52 1 0
5 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 2 3 −33 2 4 −14 2 5 1
1 0 1 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 5
−1 2
], A2 =
[−2 −2−2 0
], A3 =
[1 2
−1 1
],
A4 =
[3 5
−1 2
], A5 =
[−2 −1−4 1
].
Tarea 4, variante 6 DPE, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ 4x+ 2x2 + 2x3, f2 = 2+ 4x− 2x
2 − 4x3, f3 = 1+ 2x− 2x2 + 3x3,
f4 = 2+ 4x+ x2 + 2x3, f5 = 1+ 2x− x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
−32
−2
, a2 =
1
−53
−5
, a3 =
−1−31
−7
, b1 =
0
−21
−3
, b2 =
1
−11
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 6 DPE, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 7 DEER.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 3 4 2
0 3 2 −1 1
1 1 2 −2 2
2 −1 2 −3 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 2 −4 2 −23 2 3 3 3
−2 −3 −1 −4 −2−1 1 −2 1 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(3) = 2f(−2)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 7 DEER, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 3
−3 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 1
−1 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
212
, b2 =
112
, b3 =
101
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−21
−1
, wB =
2
0
−3
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 1 −1 5 1
6 1 3 3 1
3 1 1 4 1
3 −1 3 −6 −1
.
Tarea 4, variante 7 DEER, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[0 1 −3 2
1 1 −3 3
], B =
3 −61 −2
−2 4
, C =
0 0 0
2 1 2
1 0 −40 0 −2
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 −1 −3 1
4 −2 4 2
2 −1 2 1
−4 3 4 −3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 −12 1
], A2 =
[2 −33 1
], A3 =
[4 −66 2
],
A4 =
[0 4
4 4
], A5 =
[−4 7
−5 −1
].
Tarea 4, variante 7 DEER, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ x+ 2x2 + 4x3, f2 = 4+ 2x− 3x
2 − x3, f3 = 2+ x2 + 3x3,
f4 = 3− x− 3x2 + x3, f5 = 2+ x+ 2x
2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
6
5
2
1
, a2 =
2
−33
5
, a3 =
2
−12
3
, b1 =
2
1
1
1
, b2 =
1
−22
3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 7 DEER, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 8 DLRTH.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 1 −1 −3 −2
−1 3 3 3 2
−2 1 3 −1 3
−2 1 2 3 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 −4 −3 4
4 2 3 2 −3−2 −4 5 4 −5−3 −3 1 1 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(2) = 2f(−2)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 3
2 1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 4
−4 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
131
, b2 =
141
, b3 =
132
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
140
, wB =
−13
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 2 3 1 2
−3 2 2 0 1
4 −3 −2 −2 −3−3 3 1 1 2
.
Tarea 4, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
3 −1 1 −2−4 −2 −5 0
4 0 2 0
, B =
4 3 4
1 −4 0
−3 0 0
, C =
0 −11 3
1 4
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 2 2 3
−2 −2 −4 4
1 1 2 −2−4 −3 −4 −1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−4 4
2 2
], A2 =
[−2 4
3 1
], A3 =
[−2 3
2 1
],
A4 =
[−4 5
3 2
], A5 =
[−2 2
1 1
].
Tarea 4, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 2x+ x2 + x3, f2 = −4+ 2x− 4x2 − 4x3, f3 = 1+ 4x+ 2x
3,
f4 = 1+ 3x− x2 + 3x3, f5 = 1− x+ 3x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
5
1
−24
, a2 =
4
1
−13
, a3 =
2
−1−53
, b1 =
1
0
−11
, b2 =
4
2
3
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 8 DLRTH, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 9 DGGI.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 2 −4 1
1 1 1 4 0
2 −2 −2 −4 −12 2 4 −4 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 4 −2 −1 −1−5 5 −3 −5 −42 −1 1 4 3
−1 3 −1 3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) − 3f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 9 DGGI, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −23 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 3
−3 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
214
, b2 =
112
, b3 =
021
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−14
0
, wB =
−13
0
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −4 −1 1 3
4 1 −3 3 3
−5 3 4 −4 −6−7 −6 5 −5 −3
.
Tarea 4, variante 9 DGGI, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−6 −32 1
6 3
, B =
[1 3 2 4
0 4 3 2
], C =
3 5 1
0 0 0
0 0 −4−2 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 1 −1 2
−2 2 −3 3
−2 2 −2 4
−3 3 −4 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 −27 −1
], A2 =
[3 2
−1 −5
], A3 =
[4 3
−2 −7
],
A4 =
[4 −16 −3
], A5 =
[−3 0
−3 3
].
Tarea 4, variante 9 DGGI, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 3x+ x2 + 2x3, f2 = 2+ x+ 2x
2, f3 = 2+ 2x+ x2 + x3,
f4 = 3− 3x+ 4x2 − x3, f5 = −4+ x− x2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−7−5−21
, a2 =
4
3
2
0
, a3 =
7
5
2
−1
, b1 =
1
1
2
1
, b2 =
2
1
0
−1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 9 DGGI, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 10 DJRA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 3 2 3 −11 2 1 2 −2
−3 4 3 4 0
−1 3 3 4 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 0 2 2 3
3 −2 5 4 2
2 −2 3 2 −13 −4 4 2 −5
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(2)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 10 DJRA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 4
−3 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 1
−1 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
−22
−1
, b2 =
111
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
2
−31
, wB =
−1−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 −4 1 0 1
−3 −3 2 1 1
3 2 2 1 2
−3 3 3 2 2
.
Tarea 4, variante 10 DJRA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 1
2 1
1 0
, B =
3 3 −3 2
4 0 −2 −3−5 0 −4 0
, C =
[2 −2 1 2
4 −4 2 4
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 3 3 2
−2 2 4 2
−1 1 2 1
3 4 5 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 1
−3 4
], A2 =
[1 −12 −2
], A3 =
[−1 2
−3 2
],
A4 =
[−3 −63 6
], A5 =
[2 −13 −4
].
Tarea 4, variante 10 DJRA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ 2x2 + 2x3, f2 = 1+ 2x+ 2x
2 + 4x3, f3 = 1− x+ 4x2 − 2x3,
f4 = −4+ 2x− x2 + 4x3, f5 = x+ x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
3
−41
, a2 =
3
4
−62
, a3 =
3
6
−60
, b1 =
1
2
−20
, b2 =
2
−1−34
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 10 DJRA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 11 FMFD.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −2 1 −2 −21 −1 2 1 1
−1 1 1 3 3
1 0 3 2 −3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 4 −4 1 3
1 −2 3 −2 1
−4 0 −2 3 −53 2 −1 −1 4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(2) = 2f(3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 11 FMFD, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 2
−1 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −2
−3 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
430
, b2 =
331
, b3 =
221
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
012
, wB =
1
−21
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −2 1 −4 −7
−2 −1 −4 1 1
0 1 1 1 2
−2 1 −2 3 5
.
Tarea 4, variante 11 FMFD, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
2 3 1
0 0 0
3 −4 0
−5 0 0
, B =
[2 −21 −2
], C =
1 −2−2 4
3 −6
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 −3 3 6
3 1 2 2
1 −4 1 4
5 6 3 0
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−1 0
1 −1
], A2 =
[3 −1
−4 2
], A3 =
[2 1
−1 3
],
A4 =
[3 2
−1 5
], A5 =
[1 −2
−3 −1
].
Tarea 4, variante 11 FMFD, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 4+ 3x+ 2x2 + 3x3, f2 = 4+ 2x+ 2x
2 + 3x3, f3 = −4+ 3x− 4x2 − 4x3,
f4 = 1+ x+ x2 + x3, f5 = 4− 4x− 4x
2.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
5
3
−16
, a2 =
3
2
0
4
, a3 =
−1−2−4−4
, b1 =
1
1
1
2
, b2 =
2
1
−22
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 11 FMFD, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 12 GDLD.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 1 1 1
4 4 1 4 2
0 2 2 1 1
1 2 1 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 2 4 3
−4 2 6 −6 −4−2 1 3 −3 −2−1 2 5 1 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) − 2f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 12 GDLD, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 1
4 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 4
−3 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
121
, b2 =
140
, b3 =
131
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−11
−4
, wB =
1
2
−3
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −3 1 1 −21 1 1 3 2
1 0 1 2 4
3 −4 2 2 4
.
Tarea 4, variante 12 GDLD, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
5 4 −53 0 −1
−1 0 0
, B =
[−1 2 1 2
−2 4 2 4
], C =
1 1
2 3
3 4
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 −5 1 1
−6 −6 −6 −42 −2 4 3
3 3 3 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 −13 7
], A2 =
[1 1
2 3
], A3 =
[−4 7
3 −1
],
A4 =
[4 −5
−1 3
], A5 =
[1 2
3 4
].
Tarea 4, variante 12 GDLD, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2− 2x− 3x2 + 4x3, f2 = 3− 4x− 3x
2 + 2x3, f3 = 1+ 4x+ x2 + 2x3,
f4 = 3+ 3x+ 2x2 − x3, f5 = 1+ 3x+ x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
2
1
3
, a2 =
3
6
1
7
, a3 =
2
−42
−2
, b1 =
−12
−11
, b2 =
3
−12
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 12 GDLD, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 13 GLMA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 2 1 1 −3−2 1 1 1 2
−1 3 3 4 −1−1 −2 −2 −3 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 −8 −8 7 −3
−2 5 3 −4 2
2 −3 −5 3 −10 2 −2 −1 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) − 2f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 13 GLMA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −2
−1 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 1
−4 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
212
, b2 =
323
, b3 =
102
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
212
, wB =
−21
1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−3 7 −6 2 3
1 4 −2 1 2
−6 −5 0 −1 −3−4 3 −4 1 1
.
Tarea 4, variante 13 GLMA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 3 1 1
2 6 2 2
], B =
4 1
−2 0
5 1
, C =
5 0 −3 2
−5 1 3 0
−2 −3 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 −3 1 2
4 −6 2 4
−2 6 1 3
0 3 2 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−6 −13 −4
], A2 =
[−2 0
1 −1
], A3 =
[−4 7
2 5
],
A4 =
[−2 3
1 2
], A5 =
[6 −2
−3 1
].
Tarea 4, variante 13 GLMA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ x+ 2x2 − 4x3, f2 = −4− 4x− x2 + x3, f3 = 1+ x
2 − 3x3,
f4 = 3+ 2x+ 2x2 − 4x3, f5 = −2− 2x− x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
−15
7
, a2 =
1
0
4
5
, a3 =
1
1
3
3
, b1 =
0
−11
2
, b2 =
1
1
4
4
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 13 GLMA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 14 GSLE.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 −1 −4 1
−3 −2 3 1 −10 3 −1 −3 1
1 2 −3 1 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 3 4 7 6
0 −2 −3 −3 −5−4 1 1 4 1
4 1 2 −1 4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) − 5f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 14 GSLE, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −14 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −4
−2 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
322
, b2 =
212
, b3 =
101
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−11
−2
, wB =
−12
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 1 −1 0 1
−4 −3 4 3 −32 1 −2 −3 1
−2 1 2 4 2
.
Tarea 4, variante 14 GSLE, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−1 −3 −3−3 0 −4−5 0 0
, B =
[4 5 3 2
3 3 −2 1
], C =
−2 2 3
0 3 4
0 0 0
0 2 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−4 −2 0 −12 4 −2 3
−1 1 −1 1
3 3 −1 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 −52 7
], A2 =
[4 0
−4 −4
], A3 =
[1 −21 3
],
A4 =
[3 1
−4 −5
], A5 =
[3 −1
−2 −1
].
Tarea 4, variante 14 GSLE, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 2x+ 3x2 + 3x3, f2 = 1− x+ 3x
2 − x3, f3 = −1+ 4x+ x2 − 3x3,
f4 = 2+ 2x+ x2 + 3x3, f5 = −1− 3x− 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
0
1
−25
, a2 =
−43
2
3
, a3 =
−54
2
5
, b1 =
−21
2
−1
, b2 =
−21
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 14 GSLE, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 15 KSJG.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 2 −3 −21 2 −3 −1 2
0 1 3 2 2
1 1 −2 −3 −1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 1 1 −2 4
−8 −2 −2 4 −8−8 1 −7 −4 6
−2 1 −3 −3 5
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 15 KSJG, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −13 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −24 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
3
−10
, b2 =
211
, b3 =
111
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
201
, wB =
1
0
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 3 2 1 −22 1 −4 1 −42 4 −2 2 −61 2 −1 1 −3
.
Tarea 4, variante 15 KSJG, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
5 3 4
0 −2 0
0 0 5
, B =
[−4 −6 4 −22 3 −2 1
], C =
−1 1 −3 2
2 4 −2 0
−5 0 −1 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 1 3 2
0 1 −1 1
3 −3 −1 −4−3 2 2 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[5 7
−3 2
], A2 =
[2 3
−1 1
], A3 =
[4 1
−7 −3
],
A4 =
[1 5
3 4
], A5 =
[−2 −6−2 −4
].
Tarea 4, variante 15 KSJG, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −3+ 2x+ x2 + 3x3, f2 = 1− x+ x3, f3 = 1− 4x+ 3x
2 + 2x3,
f4 = 1+ 3x− 4x2 + x3, f5 = 2− 4x+ 2x
2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−72
4
5
, a2 =
−4−13
0
, a3 =
−21
1
2
, b1 =
−30
2
1
, b2 =
2
1
−21
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 15 KSJG, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 16 LSS.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 1 1 −2 3
2 4 1 −1 2
4 3 1 2 3
−4 2 −1 3 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 −2 5 5 3
−4 −4 1 1 1
0 1 2 2 1
4 3 −3 −3 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) + 3f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 16 LSS, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −2
−3 1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −3
−2 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
214
, b2 =
112
, b3 =
021
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
−4−1
, wB =
−23
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −3 −1 1 3
0 −2 4 2 1
−1 −1 −2 −1 −21 3 −2 −1 1
.
Tarea 4, variante 16 LSS, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 −22 −41 −2
, B =
[−1 2 3 −40 3 4 −2
], C =
5 4 −30 0 0
0 0 −5−1 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 −3 4 2
−4 −2 −6 4
2 1 3 −2−1 −5 −2 6
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 1
−5 3
], A2 =
[−1 −34 2
], A3 =
[−4 0
4 −4
],
A4 =
[1 5
−6 −4
], A5 =
[3 1
−4 2
].
Tarea 4, variante 16 LSS, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 4x+ 3x2 + x3, f2 = 2− 3x+ 3x
2 + x3, f3 = −3x+ x2 + x3,
f4 = 4− 3x− x2 + 4x3, f5 = 1+ x+ 2x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
4
0
1
, a2 =
6
7
−11
, a3 =
−42
−6−4
, b1 =
2
3
−10
, b2 =
3
2
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 16 LSS, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 17 LPS.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 0 2 1 2
2 1 3 3 2
−2 1 1 1 2
4 1 4 3 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 6 −3 1 −1 1
4 −2 −2 −2 −6−2 1 1 1 3
2 −1 1 0 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(0)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 17 LPS, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 −44 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 4
3 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
101
, b2 =
212
, b3 =
213
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
021
, wB =
2
1
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −1 0 3 1
6 2 1 3 5
4 4 1 −3 3
3 5 1 −6 2
.
Tarea 4, variante 17 LPS, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
0 0 0
0 0 −5−4 2 0
−2 0 0
, B =
1 2
−1 −22 4
, C =
[4 1 −2 −33 1 3 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−2 −1 3 −2−2 2 4 2
−1 1 2 1
1 2 −1 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 3
2 5
], A2 =
[1 2
1 3
], A3 =
[−2 −3−1 −4
],
A4 =
[3 −1
−4 −5
], A5 =
[0 2
2 4
].
Tarea 4, variante 17 LPS, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −1+ 3x2 + 2x3, f2 = −1− 2x− 4x2 − 3x3, f3 = 3+ 3x+ 2x2 + 2x3,
f4 = 1+ x+ x2 + x3, f5 = 4+ 2x− 4x
2 − 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
3
1
2
, a2 =
−34
3
1
, a3 =
−13
2
1
, b1 =
−21
1
0
, b2 =
2
2
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 17 LPS, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 18 MPDD.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 3 −3 −13 2 3 −2 1
3 3 3 −2 −1−3 −1 −3 2 −3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 1 1 0 1
−2 −2 3 −2 2
4 4 −6 4 −4−4 −1 4 −2 3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) + 5f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 18 MPDD, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 2
−2 −1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 1
−2 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
121
, b2 =
021
, b3 =
−13
2
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−30
1
, wB =
1
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 1 0 3 3
−3 −1 2 −4 −2−4 1 1 3 −33 1 −1 4 −4
.
Tarea 4, variante 18 MPDD, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 3 1 −12 6 2 −2
], B =
1 1
−2 −23 2
, C =
[4 −11 4
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 −3 −4 6
1 0 1 −2−3 −6 −5 6
1 3 2 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 1
2 3
], A2 =
[−1 2
4 1
], A3 =
[−3 2
4 −1
],
A4 =
[1 −2
−4 −1
], A5 =
[3 2
4 5
].
Tarea 4, variante 18 MPDD, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− x+ 2x2 + 2x3, f2 = −2+ 3x− 4x2 − 4x3, f3 = 2+ x+ 2x
2 + 4x3,
f4 = −2− 4x+ 2x2 − 4x3, f5 = 1− 2x+ 3x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
−44
, a2 =
7
5
4
4
, a3 =
4
3
3
2
, b1 =
3
2
1
2
, b2 =
3
2
3
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 18 MPDD, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 19 MHF.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 4 −1 2 −3
−2 1 1 1 0
4 2 −1 1 −22 3 −1 1 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 3 −2 −3 1
1 −5 −4 3 −1−2 4 1 −3 1
−4 2 −5 −3 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) − 4f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(2) = 0.
Tarea 4, variante 19 MHF, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 4
−3 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −24 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
142
, b2 =
131
, b3 =
032
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
132
, wB =
−13
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
4 1 2 2 4
−2 1 −1 1 0
2 −4 1 −5 −42 2 1 3 4
.
Tarea 4, variante 19 MHF, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 4 −3 1
4 1 −3 3
], B =
−1 2
1 −21 −2
, C =
−5 1 1
0 2 0
−4 0 0
0 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−6 2 −4 −24 4 4 1
3 −1 2 1
2 −6 0 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−1 −12 0
], A2 =
[−1 2
−4 −3
], A3 =
[2 1
−2 1
],
A4 =
[3 1
−2 2
], A5 =
[5 1
−2 4
].
Tarea 4, variante 19 MHF, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 4x+ 2x2 − 4x3, f2 = 3+ 3x+ 2x
2 − 2x3, f3 = 1+ x+ x2,
f4 = 3+ 2x+ 4x2 + 4x3, f5 = −3+ 2x+ x2 − 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
5
2
3
, a2 =
2
3
0
1
, a3 =
3
4
1
2
, b1 =
1
2
−10
, b2 =
1
2
−2−1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 19 MHF, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 20 MME.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 2 3 1 4
1 1 1 −1 1
4 1 1 −2 2
−2 1 2 1 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 5 4 0 −3 3
−3 −2 1 1 −22 2 1 −2 1
4 4 2 −4 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(1) − 2f(1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 20 MME, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −3
−1 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −1
−4 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
324
, b2 =
112
, b3 =
201
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
213
, wB =
−23
2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 3 4 1 3
−3 1 4 −3 3
2 2 1 4 1
−1 1 1 2 1
.
Tarea 4, variante 20 MME, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 4
1 −23 −6
, B =
[−3 2
−5 2
], C =
[−4 1 1 −12 4 3 −3
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 −4 1 3
−1 0 1 2
3 −4 2 5
2 −4 3 7
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 −2
−4 3
], A2 =
[2 −3
−7 5
], A3 =
[−1 −20 1
],
A4 =
[−4 −35 −1
], A5 =
[4 6
−2 −2
].
Tarea 4, variante 20 MME, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 4+ 4x− 2x2 + 2x3, f2 = −2+ x+ x2 + 2x3, f3 = 1− x+ 2x
2 + x3,
f4 = x+ x2 + 2x3, f5 = 2− 3x+ 4x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
6
4
, a2 =
1
−52
4
, a3 =
2
0
4
3
, b1 =
1
−12
2
, b2 =
1
2
2
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 20 MME, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 21 MRCK.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 −2 3 3 1
1 −4 1 1 −23 2 2 2 3
2 0 2 1 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 0 1 5 2
1 2 4 4 3
−1 −4 −7 −3 −4−1 2 2 −6 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) − 4f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 21 MRCK, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 2
3 −3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −1
−4 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
211
, b3 =
2
−1−2
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
2
−1−2
, wB =
2
−1−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −1 0 1 1
2 1 −1 1 1
5 −2 −1 4 4
4 −1 −1 3 3
.
Tarea 4, variante 21 MRCK, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 −21 2
1 1
, B =
1 −5 5
−2 0 −1−2 0 0
, C =
0 2 5 −14 0 −4 2
−1 0 0 −3
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 3 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 2 3 4
−3 −3 2 3
−6 −6 4 6
−5 −5 −1 −1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 −13 4
], A2 =
[−6 −3−4 −1
], A3 =
[6 3
−1 −4
],
A4 =
[4 2
3 1
], A5 =
[2 1
2 1
].
Tarea 4, variante 21 MRCK, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 4x+ x2 + 4x3, f2 = 3+ 3x+ x
2 + 2x3, f3 = 1+ x+ x3,
f4 = −2+ 2x+ 2x2 + 4x3, f5 = 3+ 3x+ 4x2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
−1−2−1
, a2 =
3
7
2
3
, a3 =
2
3
0
1
, b1 =
3
2
−20
, b2 =
1
3
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 21 MRCK, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 22 PHJL.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 −1 1 1 1
−3 1 0 −1 1
3 4 2 1 2
3 −1 2 1 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 1 4 2 1
−4 6 −4 −2 −20 2 −6 −3 −22 −3 2 1 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(3) = 2f(0)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 22 PHJL, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 4
−2 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 4
−1 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
301
, b2 =
311
, b3 =
2
−11
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
2
−21
, wB =
−20
3
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −1 1 0 3
2 −2 3 1 −22 −2 2 1 3
−3 3 −3 −2 −3
.
Tarea 4, variante 22 PHJL, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 2
0 1
1 1
, B =
[2 −1 −2 1
−4 2 4 −2
], C =
3 2 1 5
−5 4 0 1
3 5 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
5 −4 3 1
3 0 2 −22 −4 1 3
1 4 1 −5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−5 2
3 −7
], A2 =
[0 4
−4 −4
], A3 =
[−2 1
1 −3
],
A4 =
[−3 4
−1 −7
], A5 =
[−2 3
−1 −5
].
Tarea 4, variante 22 PHJL, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −2− x+ 2x2 + 2x3, f2 = −2− 4x− x2 + 2x3, f3 = 4+ 2x− 4x2 − 4x3,
f4 = 1+ x+ 2x2 + 4x3, f5 = 1+ x+ x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
0
−13
2
, a2 =
1
−37
5
, a3 =
−53
1
−1
, b1 =
1
−11
1
, b2 =
−21
2
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 22 PHJL, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 23 RAJA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 2 3 4
1 2 4 3 1
1 0 4 2 4
1 4 4 4 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 5 −4 4 −3 −24 −2 3 −3 −3
−2 −2 −1 3 5
1 −2 1 0 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) − 4f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 23 RAJA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−2 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −31 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
−11
2
, b2 =
101
, b3 =
113
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
3
−1−1
, wB =
−1−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 1 −2 −3 3
−2 2 2 −3 5
−6 −2 4 6 −6−5 1 4 0 2
.
Tarea 4, variante 23 RAJA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−4 3 −42 0 2
0 0 −2
, B =
3 2
1 1
−2 −1
, C =
−4 −3 0 4
0 0 −1 2
−2 0 4 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 3 4 3
−2 2 3 4
3 1 1 −1−5 1 2 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[0 −2
−1 −1
], A2 =
[2 −6
−4 −2
], A3 =
[3 7
2 5
],
A4 =
[4 2
−1 3
], A5 =
[1 3
1 2
].
Tarea 4, variante 23 RAJA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 2x+ x2 + x3, f2 = −1+ x+ 4x2 + 2x3, f3 = 2+ 3x+ x
3,
f4 = −1+ 2x− 2x2 + 3x3, f5 = −1+ x+ 3x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−13
5
4
, a2 =
−24
7
5
, a3 =
4
0
−22
, b1 =
1
1
1
2
, b2 =
2
1
0
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 23 RAJA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 24 RCE.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 2 2 2 1
0 1 1 1 1
1 −1 −2 −1 −2−1 3 4 3 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 1 −3 −1 1
−1 3 −4 −2 2
−4 −4 2 2 −22 2 −1 −1 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) − 4f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 24 RCE, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 −21 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −32 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
210
, b3 =
−12
4
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−30
2
, wB =
2
−10
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 2 1 3 −42 2 1 3 1
0 −1 1 2 −21 −2 2 4 1
.
Tarea 4, variante 24 RCE, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[4 1
3 −2
], B =
−2 −41 2
−2 −4
, C =
3 4 2
0 0 4
−2 0 0
0 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−4 1 −7 3
−1 2 −3 5
3 1 4 2
2 3 1 7
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 1
1 −3
], A2 =
[3 2
1 −5
], A3 =
[0 3
−3 −3
],
A4 =
[−1 −43 5
], A5 =
[−4 1
−5 3
].
Tarea 4, variante 24 RCE, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2− x+ x2 + 3x3, f2 = 2+ x+ 3x
2 + x3, f3 = 3+ x+ 2x2 + 2x3,
f4 = 1+ x+ x2, f5 = −2− 3x− 4x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
5
7
, a2 =
1
−4−7−2
, a3 =
2
1
4
5
, b1 =
−11
1
−1
, b2 =
2
−11
4
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 24 RCE, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 25 RDIDJ.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 1 1 −2 2
1 −1 4 −2 4
1 2 2 −3 1
1 1 1 −1 −1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 5 1 −4 2
−4 6 5 −5 2
2 −4 3 3 −21 −1 −4 1 0
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−3) = 2f(3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 1
−4 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 2
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
232
, b2 =
122
, b3 =
331
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−3−12
, wB =
−21
1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −2 −1 5 1
0 2 −3 1 3
−2 4 −2 −4 2
1 −2 1 2 −1
.
Tarea 4, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[6 −6 4 2
3 −3 2 1
], B =
−1 0
1 2
1 1
, C =
−4 0 −4 −54 1 0 0
0 2 0 5
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−7 −5 −4 1
5 3 3 −42 2 1 3
3 1 2 −7
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 1
−1 4
], A2 =
[1 −1
−1 2
], A3 =
[−4 −40 −4
],
A4 =
[3 5
1 2
], A5 =
[2 4
1 1
].
Tarea 4, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ 3x2 − 3x3, f2 = 2+ x+ 3x
2 − 2x3, f3 = −3− 3x+ 2x2 − 2x3,
f4 = 4− 2x+ 2x2 + 4x3, f5 = 2+ x+ 4x
2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
6
4
0
−2
, a2 =
−3−73
5
, a3 =
−1−42
3
, b1 =
−3−20
1
, b2 =
2
−11
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 25 RDIDJ, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 26 SRGA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 0 −4 1
3 −1 4 4 −1−2 1 −2 −4 1
2 2 4 4 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −4 −2 −2 2
2 −3 1 −3 5
0 −5 −5 −1 −1−1 −1 −3 1 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) + 3f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 26 SRGA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 1
4 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
4 −1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
423
, b2 =
313
, b3 =
101
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
212
, wB =
1
−23
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−3 −2 0 1 2
2 −2 −1 1 2
−2 −1 2 2 3
3 −1 1 2 3
.
Tarea 4, variante 26 SRGA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 1 −2 5
4 5 0 −10 3 0 −4
, B =
[3 −1 1 2
−6 2 −2 −4
], C =
[4 −2
−1 4
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 1 1 1
1 2 1 3
3 3 2 4
1 −1 0 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 5
−3 4
], A2 =
[2 −31 −4
], A3 =
[−2 −24 4
],
A4 =
[1 −21 −2
], A5 =
[−3 3
0 6
].
Tarea 4, variante 26 SRGA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 2x+ 3x2 − 2x3, f2 = 3+ x+ 2x
2 + x3, f3 = 2+ 2x− x2 + 3x3,
f4 = 2+ x+ x2 + x3, f5 = 3+ 2x+ 2x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
2
1
−1
, a2 =
4
5
1
2
, a3 =
5
6
1
3
, b1 =
1
1
0
1
, b2 =
1
2
1
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 26 SRGA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 27 TMMA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −1 1 1 1
−1 −2 2 −3 −1−3 2 −1 2 1
−2 −1 2 0 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 0 2 4 1
2 −2 6 6 3
1 −2 4 2 2
2 −4 8 4 4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) − 4f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 27 TMMA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 1
2 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 −21 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
114
, b2 =
0
−11
, b3 =
122
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
120
, wB =
−12
1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 3 5 3 −61 0 2 1 −4
−2 6 2 2 4
−1 3 1 1 2
.
Tarea 4, variante 27 TMMA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
2 2 4
−2 0 1
2 0 0
, B =
−1 1 4 4
0 4 3 −10 0 1 1
, C =
[1 3 1 −1
−2 −6 −2 2
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−4 6 −5 −44 −3 1 1
0 −3 4 3
−4 −3 7 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 0
−2 −2
], A2 =
[−6 2
5 3
], A3 =
[−2 1
2 1
],
A4 =
[4 3
1 −2
], A5 =
[−6 1
4 3
].
Tarea 4, variante 27 TMMA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −2+ x+ 3x2 − x3, f2 = 3+ 4x− 2x2 − x3, f3 = 3− x− 4x
2 + x3,
f4 = −1+ x+ 2x2 − x3, f5 = 1+ 2x+ 2x2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−21
2
1
, a2 =
−75
1
−1
, a3 =
−32
1
0
, b1 =
−21
2
1
, b2 =
−21
4
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 27 TMMA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 28 TELD.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 −2 −1 1
2 4 1 −2 3
−1 −2 3 2 −11 2 4 0 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −6 5 −1 −1 −2−2 3 1 −1 1
4 −2 2 0 3
4 −6 −2 2 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−1) + 4f(−1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 28 TELD, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −13 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 4
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
134
, b2 =
111
, b3 =
034
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−22
3
, wB =
0
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 2 −1 1 −1−3 −2 2 −2 2
2 1 1 1 −14 0 −1 1 −1
.
Tarea 4, variante 28 TELD, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−4 1 −1 4
−4 1 −1 5
], B =
[−2 −34 1
], C =
0 0 0
−2 −5 −40 −1 −20 −2 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−2 −2 −2 −4−4 2 2 6
1 1 1 2
−1 2 2 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−5 −3−2 1
], A2 =
[−3 −3−3 0
], A3 =
[2 4
5 1
],
A4 =
[−1 1
2 1
], A5 =
[3 5
6 1
].
Tarea 4, variante 28 TELD, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = x− x2 + 2x3, f2 = 1+ 2x+ x
2 + x3, f3 = −2+ 3x− x2 + 4x3,
f4 = 1− 2x− 4x2 + 2x3, f5 = 2+ 4x+ 3x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
−27
−5
, a2 =
3
−15
−4
, a3 =
−33
−63
, b1 =
1
1
1
−2
, b2 =
1
2
0
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 28 TELD, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 29 UTAV.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 4 −1 −13 1 2 1 −51 1 3 0 −31 1 1 1 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 4 1 8 4
1 4 1 3 3
−3 −8 −2 −1 −52 4 1 −2 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
1∫−1
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 29 UTAV, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −2
−1 1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 2
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
233
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−10
4
, wB =
−32
0
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 −3 5 −5 2
3 −3 −2 −4 4
−2 1 3 1 −2−1 2 −1 3 −2
.
Tarea 4, variante 29 UTAV, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−1 −2 1 −22 4 −2 4
], B =
1 0
3 2
1 1
, C =
3 1 0
2 0 −30 0 3
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−5 1 3 1
4 1 2 1
−1 2 5 2
3 3 7 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−1 −7−3 4
], A2 =
[7 −1
−4 −3
], A3 =
[−3 −11 2
],
A4 =
[1 −5
−3 2
], A5 =
[−2 0
1 1
].
Tarea 4, variante 29 UTAV, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ 4x+ x2 + x3, f2 = 2+ 3x+ 2x
2 − x3, f3 = 1+ 3x+ x2 + x3,
f4 = −1+ 4x+ 2x2 + 3x3, f5 = −4− x+ 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
3
2
3
, a2 =
1
4
3
5
, a3 =
2
6
4
6
, b1 =
0
1
1
2
, b2 =
2
3
1
−1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 29 UTAV, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 30 VNDI.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −4 3 −3 1
2 −2 2 −3 1
1 −3 0 3 1
1 −1 −1 3 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 1 1 1 −12 −3 3 2 −44 2 2 2 −20 −4 2 1 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−3) = 2f(1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 30 VNDI, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 3
−3 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 4
2 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
2
−11
, b2 =
111
, b3 =
021
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
302
, wB =
1
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−2 −3 −2 1 −13 3 3 3 1
3 4 −2 −3 1
1 1 −4 −2 0
.
Tarea 4, variante 30 VNDI, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−4 3 1 2
2 4 −2 3
], B =
0 −1 5
1 0 3
0 0 −1
, C =
3 −61 −22 −4
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 1 4 −35 2 4 −42 1 0 −17 3 4 −5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 3
1 −3
], A2 =
[1 6
−4 3
], A3 =
[3 3
3 −6
],
A4 =
[3 5
1 −4
], A5 =
[−1 −42 −1
].
Tarea 4, variante 30 VNDI, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −3x− x2 + 2x3, f2 = −2+ 3x+ 4x2 + x3, f3 = 1+ 2x+ 4x2 + 2x3,
f4 = −4− 4x− x2 + 3x3, f5 = −1+ 2x+ 3x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
−10
1
, a2 =
3
3
4
1
, a3 =
5
4
6
2
, b1 =
1
2
2
0
, b2 =
2
−11
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 30 VNDI, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 31 VHA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 0 1 2 −41 2 1 1 4
−1 1 2 4 −1−2 1 1 1 −3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 2 2 0 −24 −1 3 1 −35 −2 2 1 −26 −3 1 1 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) − 5f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 31 VHA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −23 1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 2
4 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
301
, b2 =
311
, b3 =
2
−11
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
−31
, wB =
2
−30
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −3 1 1 3
3 −4 −3 4 0
2 −1 −4 3 −3−1 −2 5 −2 6
.
Tarea 4, variante 31 VHA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−2 1 2 3
−4 2 4 6
], B =
1 1
−1 −22 3
, C =
0 −2 −35 5 0
0 5 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 1 0 5
2 −6 2 6
1 4 −1 2
−1 3 −1 −3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−1 −10 −1
], A2 =
[1 3
1 2
], A3 =
[2 4
1 3
],
A4 =
[−6 2
4 −2
], A5 =
[−5 3
4 −1
].
Tarea 4, variante 31 VHA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −3− 4x− x2 − 4x3, f2 = 1+ 3x− 2x2 + x3, f3 = 1+ 4x− 3x
2 + x3,
f4 = x+ x2 + x3, f5 = 4− 4x− 2x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
5
−43
, a2 =
1
2
−22
, a3 =
0
1
−23
, b1 =
2
3
−21
, b2 =
2
3
−32
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 31 VHA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 32 VMJJ.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 4 0 3
1 −1 −4 1 −42 2 2 −2 1
3 3 2 3 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 −2 1 −2 3
4 1 2 2 5
4 3 1 4 2
−8 −6 −2 −8 −4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−1) = 2f(0)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −41 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −43 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
124
, b2 =
112
, b3 =
111
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−20
3
, wB =
2
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
4 3 −1 2 3
3 0 −5 −1 −1−3 4 −1 3 4
1 3 4 3 4
.
Tarea 4, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
5 −1 1 3
2 −1 1 0
0 1 0 0
, B =
[−2 3
−1 1
], C =
[4 4 −2 4
−2 −2 1 −2
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 1 2 −3−3 3 4 3
−6 2 4 −60 1 1 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[5 3
−7 2
], A2 =
[3 −1
−7 4
], A3 =
[4 4
−4 0
],
A4 =
[2 1
−3 1
], A5 =
[−3 −24 −1
].
Tarea 4, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ 4x− 3x2 − x3, f2 = 1− x− x
2, f3 = 1+ 4x+ 2x2 + 3x3,
f4 = 1+ 2x+ x2 + 2x3, f5 = 2− 4x− 3x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
−42
, a2 =
4
2
−63
, a3 =
−60
6
−3
, b1 =
1
1
−21
, b2 =
−12
−21
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 32 VMJJ, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 33 GMOA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 2 1 2 0
−4 −1 1 1 1
−1 4 1 3 2
−3 −2 1 1 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 4 −7 4 3
1 −4 −2 2 3
1 4 −4 2 1
1 0 −3 2 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
0∫−2
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 33 GMOA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 −21 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −12 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
−12
1
, b3 =
−22
1
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−21
1
, wB =
0
−21
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 2 −4 5 −3−2 1 −5 3 0
−2 1 1 2 −3−4 2 2 4 −6
.
Tarea 4, variante 33 GMOA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−5 2
2 5
], B =
[3 1 0 2
1 −1 4 1
], C =
3 −4 4
−2 −2 0
0 4 0
0 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 4 2 3
2 −1 −3 −4−6 −2 4 5
−4 −3 1 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 4
−2 −2
], A2 =
[−1 −46 −2
], A3 =
[−3 −1−4 5
],
A4 =
[4 2
4 −6
], A5 =
[2 3
−2 −1
].
Tarea 4, variante 33 GMOA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 3x+ 4x3, f2 = 2+ x+ x
2 + 2x3, f3 = −1− 2x+ x2 + 4x3,
f4 = 2+ x+ x2 + x3, f5 = 3+ 2x+ x
2 + 4x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
2
−1−1
, a2 =
1
4
4
−5
, a3 =
2
6
5
−7
, b1 =
−10
2
−1
, b2 =
2
3
1
−3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 33 GMOA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 34 VALA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −3 1 1 1
−3 4 −1 −4 4
3 −4 2 4 −11 2 1 2 0
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 0 −7 4 −11 −3 3 −2 2
2 −6 6 −4 4
1 3 4 −2 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(1) + 4f(1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 34 VALA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 1
3 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −34 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
120
, b2 =
121
, b3 =
1
1
−1
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
0
−4
, wB =
−21
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 1 1 −4 0
−2 3 −3 −2 −23 −2 4 −2 2
2 4 2 4 1
.
Tarea 4, variante 34 VALA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
6 5
−4 −31 1
, B =
−1 4 4 −4−2 5 −4 0
2 1 0 0
, C =
[4 4
−3 −2
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 2 1 2
4 0 3 −2−3 2 −2 4
2 4 2 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−5 −12 3
], A2 =
[3 5
1 −4
], A3 =
[5 −3
−4 −1
],
A4 =
[−7 −13 4
], A5 =
[−2 −4−1 3
].
Tarea 4, variante 34 VALA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 2x− 3x2 − 4x3, f2 = 4+ 4x+ x
2 − 2x3, f3 = 2+ 3x+ 2x2 + x3,
f4 = 3+ 3x+ x2 − x3, f5 = −4− 4x− 4x2 − 4x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
2
4
1
, a2 =
2
4
4
−6
, a3 =
5
4
7
0
, b1 =
1
0
1
2
, b2 =
1
2
2
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 34 VALA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 35 ZPJ.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 −1 2 1
−2 1 −2 −1 2
2 −1 3 2 −13 0 1 3 −1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 6 −6 −4 2 −42 −3 4 1 3
4 −3 −8 1 −73 −3 −2 1 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(0) = 2f(−3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 4
−1 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 2
−3 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
233
, b3 =
223
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
−21
, wB =
2
1
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
5 1 3 4 −16 −6 4 6 −22 4 1 1 0
3 −3 2 3 −1
.
Tarea 4, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 3 −2 0
2 5 3 −3
], B =
2 1
6 3
6 3
, C =
[3 −53 −1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 5 0 −13 3 1 1
5 1 2 3
2 −2 1 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 4
3 −1
], A2 =
[6 −4
−1 3
], A3 =
[6 2
5 3
],
A4 =
[2 1
2 1
], A5 =
[2 −2
−1 1
].
Tarea 4, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ x2 + x3, f2 = 1+ 2x+ 2x
2 + x3, f3 = −1+ 3x− x2 + 3x3,
f4 = 3+ x2 + 2x3, f5 = 3− 3x− 3x
2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
−45
, a2 =
2
2
−46
, a3 =
2
1
−34
, b1 =
1
1
−23
, b2 =
−11
−12
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 35 ZPJ, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 36 BRMF.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −3 1 3 2
1 −4 2 −1 −32 −2 2 1 1
1 2 0 2 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 −4 −2 −2 −41 2 1 1 2
−2 −4 1 1 3
1 2 −2 −2 −5
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(2) = 2f(1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(2) = 0.
Tarea 4, variante 36 BRMF, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−3 −1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 4
1 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
122
, b2 =
−23
1
, b3 =
−12
1
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
1
−2−1
, wB =
0
1
−3
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−3 −2 1 −2 1
−1 2 3 1 −42 1 1 1 3
4 0 −4 1 3
.
Tarea 4, variante 36 BRMF, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[2 4 −6 −61 2 −3 −3
], B =
[−5 4
5 −2
], C =
−5 −1 3 1
3 5 0 −4−5 0 0 −2
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 2 5 2
1 2 3 −22 4 6 −41 0 2 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−6 4
−2 4
], A2 =
[3 −21 −2
], A3 =
[−1 2
1 −2
],
A4 =
[6 −33 −6
], A5 =
[−1 3
2 −4
].
Tarea 4, variante 36 BRMF, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −2− 2x− 4x2 + 2x3, f2 = −1− 3x− 4x2 − 2x3, f3 = 2+ x+ 3x2 + x3,
f4 = −1+ 2x+ x2 + x3, f5 = 1+ x+ 2x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−4−26
2
, a2 =
5
4
−35
, a3 =
4
3
−33
, b1 =
2
1
−3−1
, b2 =
3
2
−22
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 36 BRMF, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 37 RMIA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −1 −2 2 2
0 −2 −1 1 1
−2 −3 −1 −4 −31 4 3 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 −1 −3 0 −1
−1 −1 5 −1 2
3 −2 2 −1 1
−6 4 −4 2 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) + 2f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(1) = 0.
Tarea 4, variante 37 RMIA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 3
2 −3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 4
3 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
134
, b2 =
111
, b3 =
034
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
310
, wB =
2
−3−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−2 4 −2 2 4
1 −4 4 1 1
−1 2 −1 1 2
0 −2 3 2 3
.
Tarea 4, variante 37 RMIA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 −13 2
1 1
, B =
[4 −45 −1
], C =
−1 −3 −5 −51 −2 5 0
0 −2 −1 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
6 2 −6 −43 1 −3 −24 1 −3 2
−5 −1 3 −6
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 −7
−3 −1
], A2 =
[2 −5
−3 1
], A3 =
[4 −13 −7
],
A4 =
[−1 5
4 −3
], A5 =
[1 0
1 −2
].
Tarea 4, variante 37 RMIA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ x+ 2x2 + 4x3, f2 = 2+ 3x+ x
2 + 3x3, f3 = 1+ 4x+ x2 + x3,
f4 = 2+ 4x+ x2 + 3x3, f5 = −1+ 2x− 3x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
−2−22
, a2 =
2
1
2
2
, a3 =
6
1
3
5
, b1 =
0
2
3
1
, b2 =
2
2
3
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 37 RMIA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 38 MRHA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 1 1 2 −34 2 4 1 1
−1 −3 −4 −4 2
3 1 2 0 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −3 0 4 3
1 5 2 2 −5−2 −2 −2 −6 2
1 1 1 3 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(−3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 38 MRHA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −33 1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −1
−3 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
113
, b2 =
0
1
−1
, b3 =
114
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
0
−12
, wB =
−12
2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 4 2 −4 1
2 1 0 −2 1
3 1 1 −4 2
2 −3 −3 4 −1
.
Tarea 4, variante 38 MRHA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[3 −3 2 4
2 4 1 3
], B =
−1 −3 −41 −5 0
0 0 0
2 0 0
, C =
4 1 −22 0 −30 0 −4
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 1 −1 3
1 2 1 3
1 3 3 3
1 4 5 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 −7
−1 −4
], A2 =
[2 −13 1
], A3 =
[−1 1
−1 0
],
A4 =
[4 −53 −1
], A5 =
[5 −37 2
].
Tarea 4, variante 38 MRHA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 4x− 3x2 + 2x3, f2 = 3+ x+ 2x
2 − 3x3, f3 = 3x+ 2x2 − x3,
f4 = 3+ x+ x2 − x3, f5 = 4+ x+ x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
6
4
3
3
, a2 =
7
5
3
4
, a3 =
−7−5−3−4
, b1 =
4
2
3
1
, b2 =
2
1
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 38 MRHA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 39 AVMA.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 2 −1 1 −31 3 −1 1 −10 4 −1 2 −33 1 1 1 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 4 −2 −2 −6−3 −6 −5 −3 3
1 4 2 1 −32 2 3 2 0
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(0) = 2f(3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 39 AVMA, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 1
−4 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −11 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
0
2
−1
, wB =
−20
1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−2 3 −2 2 1
−4 6 −4 4 2
−6 3 −5 3 2
−4 0 −3 1 1
.
Tarea 4, variante 39 AVMA, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
6 3
2 1
4 2
, B =
0 1 −10 0 0
5 −3 0
4 0 0
, C =
3 2 −30 −5 5
0 0 3
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 3 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 −6 −6 6
2 −3 −3 3
3 2 −1 4
1 5 2 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−3 4
7 1
], A2 =
[4 1
−3 5
], A3 =
[−1 3
4 2
],
A4 =
[1 2
1 3
], A5 =
[5 1
−4 6
].
Tarea 4, variante 39 AVMA, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 4x− 4x2 − x3, f2 = 4− x+ 4x
2 + x3, f3 = 4+ 2x2 − 2x3,
f4 = 3− x+ 3x2 + x3, f5 = 2− x+ 3x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−15
−15
, a2 =
1
−51
−5
, a3 =
−27
−36
, b1 =
1
1
3
3
, b2 =
1
0
3
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 39 AVMA, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 40 MCCO.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 2 0 1 1
−3 3 1 1 1
−4 2 −3 −3 −24 −1 4 3 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 4 −4 1 2
3 3 1 1 3
−3 −2 −6 −1 −46 6 2 2 6
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) + 2f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 40 MCCO, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−2 −1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −21 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
344
, b2 =
343
, b3 =
233
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
231
, wB =
−1−13
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −3 −1 −2 0
1 1 2 2 −41 4 1 1 −2
−1 −3 3 4 −4
.
Tarea 4, variante 40 MCCO, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 −25 4
4 3
, B =
−2 2 −30 −1 0
4 0 0
, C =
[6 4 −2 −2
−3 −2 1 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 3 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 0 1 2
−4 −2 −2 −42 1 1 2
1 1 2 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 1
−2 5
], A2 =
[1 2
1 0
], A3 =
[2 5
3 −1
],
A4 =
[3 5
2 1
], A5 =
[−4 −31 −5
].
Tarea 4, variante 40 MCCO, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− x− 2x2 − 2x3, f2 = −2+ x+ x2 + 3x3, f3 = −1+ x2 + x3,
f4 = −3+ x+ x2 + 4x3, f5 = −3− x− 4x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−3−5−1−3
, a2 =
−40
2
1
, a3 =
−7−13
1
, b1 =
−3−11
0
, b2 =
−14
3
3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 40 MCCO, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 41.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 0 −1 2
3 1 2 −1 3
2 1 1 2 2
2 3 1 −4 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 3 3 −3 5
−1 −1 5 −3 −1−2 4 7 −6 7
−1 1 4 −3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(3) = 2f(2)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 41, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −2
−1 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 1
3 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
120
, b2 =
121
, b3 =
1
1
−1
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
121
, wB =
−23
1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 −1 −4 0 −31 −3 2 4 1
−1 2 1 −2 1
−2 4 2 −4 2
.
Tarea 4, variante 41, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 −1 1
0 0 0
0 0 −10 4 0
, B =
−2 0 0
0 0 3
0 −5 0
, C =
[2 1 2 1
1 2 5 4
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 3 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 4 2 1
4 5 −1 −1−2 −3 −5 −31 1 −3 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−3 −2−2 1
], A2 =
[−2 4
−4 −2
], A3 =
[1 −22 1
],
A4 =
[5 6
2 −3
], A5 =
[2 −23 1
].
Tarea 4, variante 41, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ x3, f2 = 3+ x+ 2x
2 + 2x3, f3 = −1− 3x+ 2x2 − 2x3,
f4 = 3+ x+ 4x2 + 2x3, f5 = 3+ x+ x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
6
1
4
3
, a2 =
3
−13
1
, a3 =
3
2
1
2
, b1 =
0
−32
−1
, b2 =
2
1
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 41, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 42.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 4 1 1 4
1 −3 1 1 1
−2 −4 −3 −4 −31 3 1 2 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 1 0 2
4 6 3 3 5
2 4 2 3 3
−2 −6 −3 −6 −4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 42, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −24 −1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −13 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
344
, b2 =
343
, b3 =
233
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
013
, wB =
2
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 2 0 1 1
−4 4 4 1 3
−1 3 2 1 2
3 2 3 2 −1
.
Tarea 4, variante 42, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−3 6
1 −22 −4
, B =
[2 4 2 3
0 1 3 1
], C =
5 4 −30 0 3
0 0 0
2 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−4 −2 −4 2
1 1 2 −12 2 4 −23 2 4 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 5
−7 3
], A2 =
[−4 1
3 5
], A3 =
[−2 −13 1
],
A4 =
[−4 0
4 4
], A5 =
[1 2
−3 1
].
Tarea 4, variante 42, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x− x3, f2 = 2+ 2x+ x
2 − x3, f3 = 2+ 3x+ 2x2 − x3,
f4 = 2+ x+ 4x2 + 3x3, f5 = −1+ 4x+ x2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
0
−64
2
, a2 =
6
6
5
4
, a3 =
4
3
4
3
, b1 =
0
−32
1
, b2 =
1
−23
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 42, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 43.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 1 1 2 4
−3 −1 0 1 2
2 −2 1 1 1
−1 −3 1 2 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 2 −4 −4 6
−2 1 −2 −2 3
0 2 1 2 5
2 1 3 4 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) + 5f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(2) = 0.
Tarea 4, variante 43, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −24 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −24 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
343
, b2 =
334
, b3 =
102
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
0
2
−1
, wB =
−10
2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
4 −3 3 −2 4
−3 1 −2 5 −31 −2 1 3 1
5 −5 4 1 5
.
Tarea 4, variante 43, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
0 0 0
3 4 −10 5 1
0 0 3
, B =
[4 2
4 −2
], C =
−2 1
4 −2−2 1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 1 0 3
−2 −4 −2 −41 2 1 2
4 1 1 −1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[5 3
7 2
], A2 =
[1 −35 4
], A3 =
[2 1
3 1
],
A4 =
[3 0
6 3
], A5 =
[3 2
4 1
].
Tarea 4, variante 43, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2− 3x+ x2 + x3, f2 = 1− 2x+ x
2 + x3, f3 = 3− 2x− x3,
f4 = 3+ x− 2x2 − 4x3, f5 = −1+ 4x+ 4x2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
5
5
−2−7
, a2 =
−11
2
3
, a3 =
3
2
−2−5
, b1 =
1
−1−2−3
, b2 =
2
4
1
−1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 43, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 44.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 1 −1 1
0 −4 2 −2 1
1 −1 3 −3 2
1 2 2 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 4 −8 2 −21 −2 0 1 −12 2 −4 1 −1
−4 2 4 −3 3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
2∫−2
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 44, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −1
−2 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −12 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
231
, wB =
2
3
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −4 3 3 −33 −1 4 3 1
3 −4 4 4 0
−2 1 −3 −2 2
.
Tarea 4, variante 44, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[1 −3 2 −41 1 3 −1
], B =
−6 −32 1
2 1
, C =
0 0 0
5 5 5
4 −4 0
0 4 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 −1 −2 −2−1 2 3 2
−2 1 1 0
−3 3 4 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[5 −1
−4 −2
], A2 =
[2 −1
−1 −2
], A3 =
[−5 3
2 6
],
A4 =
[−1 −34 −6
], A5 =
[−3 2
1 4
].
Tarea 4, variante 44, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ x2 + x3, f2 = 3+ 2x+ 4x
2, f3 = 2− 2x+ 3x2 − 4x3,
f4 = 3+ 3x+ 4x2 + x3, f5 = −4+ 3x− 2x2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
−23
1
, a2 =
2
0
1
−1
, a3 =
5
−34
2
, b1 =
2
0
1
−1
, b2 =
2
1
1
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 44, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 45.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 3 −1 4 −31 0 −1 1 −3
−2 −2 −2 −2 −21 2 −1 2 −1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −6 −3 −5 −2 −36 −3 4 1 3
4 0 3 1 2
2 3 2 1 1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) + 5f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 45, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −4
−3 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −42 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
1
0
−3
, b2 =
111
, b3 =
112
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
014
, wB =
1
−13
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 1 4 3 −41 1 3 2 1
2 2 6 4 2
3 1 2 1 6
.
Tarea 4, variante 45, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−5 −3 −2−2 4 0
5 0 0
, B =
2 3 1
−2 0 0
0 0 0
0 3 0
, C =
2 −1−2 1
2 −1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 3 5 −21 −3 2 3
2 −6 4 6
−1 −6 −3 5
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 −3−4 −5
], A2 =
[−2 −10 1
], A3 =
[−1 1
3 5
],
A4 =
[−2 1
4 7
], A5 =
[4 4
4 4
].
Tarea 4, variante 45, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3− x+ 2x2 + 2x3, f2 = 3+ 2x
2 + x3, f3 = 1− x+ x2 + x3,
f4 = −1+ x− 4x2 + 2x3, f5 = 3− 2x+ 3x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
1
−32
, a2 =
5
−33
0
, a3 =
2
3
−63
, b1 =
4
−10
1
, b2 =
1
1
−21
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 45, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 46.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 1 −1 1
3 2 3 −2 2
−4 −3 −4 3 −3−2 1 4 −3 0
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 1 4 2 2
−2 1 −4 1 −4−6 3 −4 4 −66 −3 −4 −5 0
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) + 5f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 46, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 4
2 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −21 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
2
−11
, b2 =
111
, b3 =
021
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−13
0
, wB =
−13
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 1 3 −4 1
−3 3 4 −4 2
2 −3 −1 2 −1−1 2 2 −3 1
.
Tarea 4, variante 46, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 5 2 −33 −4 4 0
2 −5 0 0
, B =
5 1 −5−1 1 0
0 2 0
, C =
−2 −23 2
4 3
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 1 5 −32 2 6 6
1 1 3 3
1 1 4 0
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 −34 −5
], A2 =
[3 4
−1 −2
], A3 =
[1 −23 −4
],
A4 =
[−1 0
−1 2
], A5 =
[−1 −54 −3
].
Tarea 4, variante 46, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 4x+ 2x2 − 3x3, f2 = 4x+ 3x
2 − 4x3, f3 = 1+ 4x+ x2 − 3x3,
f4 = 1+ 3x+ 2x2 − 2x3, f5 = 1− x− 2x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−2−2−1−1
, a2 =
5
4
−15
, a3 =
7
6
0
6
, b1 =
3
2
−24
, b2 =
1
1
0
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 46, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 47.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 4 1 −1 −1
−1 1 1 1 1
−1 3 1 −2 0
1 1 −1 −4 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 −4 −1 −4 1
1 −1 −2 −2 2
2 −2 −4 −4 4
−1 −2 3 0 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) − 3f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(3) = 0.
Tarea 4, variante 47, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−2 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 3
−2 −4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
114
, b2 =
101
, b3 =
113
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
112
, wB =
0
2
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 −2 1 4 2
6 −2 2 −6 −43 −1 1 −3 −25 −3 2 1 0
.
Tarea 4, variante 47, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 −3 4 5
0 −3 2 3
0 0 3 −1
, B =
[−3 5
−3 3
], C =
[−2 2 6 6
−1 1 3 3
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 −1 3 4
1 −4 1 1
2 −5 4 5
0 3 2 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−3 7
1 5
], A2 =
[1 −11 1
], A3 =
[4 −35 6
],
A4 =
[0 −1
−1 −2
], A5 =
[−1 −1−3 −5
].
Tarea 4, variante 47, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− 2x+ 3x3, f2 = −2+ 4x− 3x2 − 2x3, f3 = 1− 2x+ 2x
2 − 2x3,
f4 = 1− 2x+ x2 + x3, f5 = 1− 2x+ 2x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−7−51
−2
, a2 =
0
−32
3
, a3 =
−1−53
4
, b1 =
−1−21
1
, b2 =
0
−21
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 47, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 48.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 −3 2 3 −23 2 −3 −2 1
2 1 4 3 −12 1 −4 −1 0
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 2 −2 1
1 4 1 −2 1
−1 2 −3 2 −1−2 −2 −4 4 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) − 3f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 48, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[2 1
−4 −3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 −13 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
423
, b2 =
111
, b3 =
122
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
2
−10
, wB =
−12
0
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 1 1 2 2
−1 −1 1 1 3
3 2 0 1 −1−4 1 2 3 −1
.
Tarea 4, variante 48, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−3 0 4 −4−4 2 0 4
0 −1 0 0
, B =
[−4 −45 4
], C =
[2 2 2 −21 1 1 −1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 −6 −5 −31 −4 1 3
2 1 3 3
1 5 2 0
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 1
2 0
], A2 =
[4 −22 6
], A3 =
[2 1
3 1
],
A4 =
[3 4
7 −1
], A5 =
[−4 3
−1 −7
].
Tarea 4, variante 48, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ 2x+ x2 + x3, f2 = 4+ x+ x
2 + 2x3, f3 = 2+ 3x+ x2 + x3,
f4 = −4+ 2x− 2x2 − 2x3, f5 = 2+ 4x+ 4x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
6
5
2
, a2 =
−2−4−3−1
, a3 =
2
4
3
1
, b1 =
1
2
2
1
, b2 =
1
1
2
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 48, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 49.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 0 2 4 1
1 1 −2 1 3
2 1 −3 2 3
1 1 1 4 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 3 −4 −3 4
0 4 −5 −7 1
1 −1 1 4 3
−2 −2 3 −1 −7
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(1) = 2f(−3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 49, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 −24 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[2 −3
−1 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
214
, b2 =
112
, b3 =
011
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
102
, wB =
0
1
−4
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−5 1 2 4 2
−3 1 0 3 2
−1 1 −2 2 2
1 1 −4 1 2
.
Tarea 4, variante 49, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
0 0 0
2 5 0
0 1 3
0 0 −4
, B =
−2 −4−2 −41 2
, C =
[3 0 3 2
1 −2 −4 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−5 3 −1 −5−3 1 0 −12 −2 1 4
−1 −1 1 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−4 −4−4 0
], A2 =
[7 −32 5
], A3 =
[4 2
3 1
],
A4 =
[3 1
2 1
], A5 =
[1 3
2 −1
].
Tarea 4, variante 49, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x+ x2 + x3, f2 = −2+ 2x+ 4x2 − 4x3, f3 = 1− 3x− 2x
3,
f4 = 1+ 2x+ x2 + 2x3, f5 = −2− x− 4x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−56
1
4
, a2 =
1
−2−10
, a3 =
−45
1
3
, b1 =
−34
1
2
, b2 =
−24
2
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 49, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 50.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 1 −4 2 2
−3 0 −1 2 1
−1 1 −4 3 3
−2 1 −3 2 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 3 1 3 −3−3 1 1 −1 1
−2 2 1 1 −1−1 −1 0 −2 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) − 2f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 50, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −32 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−3 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
223
, b2 =
−10
1
, b3 =
112
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
311
, wB =
1
0
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 3 3 3 1
1 −4 4 −1 1
−2 4 −4 −2 −11 3 3 0 1
.
Tarea 4, variante 50, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 −5 2
0 0 0
0 5 −20 0 −4
, B =
1 −2−3 6
3 −6
, C =
[−5 3
−2 3
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−3 −2 3 4
−1 −4 1 2
−1 1 1 1
2 −2 −2 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 3
1 2
], A2 =
[2 4
1 3
], A3 =
[−4 −21 −3
],
A4 =
[4 4
0 4
], A5 =
[1 −5
−3 −2
].
Tarea 4, variante 50, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −4x+ 5x2 + x3, f2 = 4+ x+ 5x2 + 2x3, f3 = −1+ x− 3x2 − x3,
f4 = −1− x+ 4x2 + 4x3, f5 = 2+ x+ 2x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−51
2
5
, a2 =
3
5
3
4
, a3 =
1
3
2
3
, b1 =
−3−10
1
, b2 =
1
1
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 50, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 51.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 1 3 −2 −1
−1 1 0 −2 3
−4 1 −1 1 4
−4 1 1 4 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 0 2 −4 3 2
2 −2 −2 2 1
−2 4 −2 1 1
4 −4 −4 4 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
0∫−1
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 51, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 3
−1 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 2
−2 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
122
, b2 =
212
, b3 =
201
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
3
−11
, wB =
0
2
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
5 0 −1 −1 3
2 −2 −3 3 1
3 2 2 −4 2
4 −4 −6 6 2
.
Tarea 4, variante 51, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
2 0 −3
−2 −3 0
0 −4 0
0 0 0
, B =
0 3 −55 0 −15 0 0
, C =
−3 −6−2 −41 2
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 −2 −4 −21 −4 1 2
1 0 3 2
1 −2 2 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 −2
−2 0
], A2 =
[−2 −11 1
], A3 =
[6 5
−3 −4
],
A4 =
[−6 −13 2
], A5 =
[6 −5
−3 1
].
Tarea 4, variante 51, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ x+ x2 + 2x3, f2 = −2+ 4x− 3x2 + 2x3, f3 = 2− 2x+ 2x
2 + 3x3,
f4 = 2− 2x+ 2x2 − 4x3, f5 = −2x+ x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
5
1
1
, a2 =
5
6
0
2
, a3 =
4
4
−44
, b1 =
3
4
2
0
, b2 =
3
4
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 51, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 52.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 −1 1 1 1
3 1 3 1 1
2 0 −4 2 1
4 1 −3 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 1 4 4
1 3 1 4 5
3 3 1 4 3
−4 −3 −1 −4 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
2∫0
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′′(2) = 0.
Tarea 4, variante 52, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 −24 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 −34 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
121
, b2 =
140
, b3 =
131
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−12
−3
, wB =
−12
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 1 1 −2 2
4 3 2 1 −12 1 1 −1 3
4 2 1 3 −3
.
Tarea 4, variante 52, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
2 3 2 2
0 5 5 −30 5 0 5
, B =
[2 −24 2
], C =
3 5
−2 −31 2
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 3 5 −13 0 4 2
−2 3 −3 −5−1 −3 −1 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 1
2 2
], A2 =
[−2 −1−4 −3
], A3 =
[−2 4
−4 2
],
A4 =
[1 −32 −2
], A5 =
[1 2
2 3
].
Tarea 4, variante 52, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −1+ 3x− x2 − 4x3, f2 = 4+ 4x+ 3x2 − x3, f3 = 1+ 2x+ x
2 − x3,
f4 = −2− x− 2x2 − x3, f5 = 1+ x+ x2.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
3
0
−2
, a2 =
−6−44
2
, a3 =
5
5
−2−3
, b1 =
1
4
2
−3
, b2 =
2
4
1
−3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 52, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 53.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 −1 3 2
2 1 0 3 −1−1 1 2 2 −33 1 1 3 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 2 2 4 1
−2 1 −2 −4 1
0 −5 −2 −4 −33 −4 2 4 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−2) = 2f(−1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 53, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −4
−1 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −42 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
1
0
−1
, b2 =
111
, b3 =
112
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
322
, wB =
−32
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 2 −5 −3 2
−4 4 −6 −4 −4−1 0 2 1 −42 −2 3 2 2
.
Tarea 4, variante 53, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−6 −3−4 −22 1
, B =
2 2 3
−5 0 −1−2 0 0
0 0 0
, C =
[2 1
−1 −5
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 −4 1 2
−4 2 2 −31 2 −3 1
−5 0 5 −4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 −1−3 −6
], A2 =
[4 2
−2 −4
], A3 =
[6 3
2 4
],
A4 =
[2 1
1 2
], A5 =
[−2 −12 4
].
Tarea 4, variante 53, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −2+ x+ x2 + x3, f2 = 4+ x− 3x3, f3 = −3− x− x2 + 4x3,
f4 = 3− 2x− x2 − 3x3, f5 = −3+ x+ x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−1−35
3
, a2 =
−2−44
2
, a3 =
−2−57
4
, b1 =
−1−22
1
, b2 =
2
2
0
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 53, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 54.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 2 2 3 1
1 −2 2 −1 −31 2 0 2 2
1 −2 1 1 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 2 1 −1 −4
−4 −8 −2 4 8
2 4 1 −2 −46 4 2 −2 −8
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) + 2f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 54, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 2
−3 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 3
4 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
233
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
013
, wB =
1
−20
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 1 3 4 0
3 −4 −4 3 −12 4 −1 2 −11 −3 4 2 1
.
Tarea 4, variante 54, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
3 −3 5 5
−5 5 0 −35 0 0 1
, B =
−1 0
4 1
3 1
, C =
[6 2 6 2
3 1 3 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 −4 4 6
1 6 3 −11 −2 2 3
2 4 5 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[3 −4
−6 1
], A2 =
[−1 2
2 0
], A3 =
[1 4
−2 3
],
A4 =
[2 6
−4 5
], A5 =
[1 2
−2 2
].
Tarea 4, variante 54, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 2x+ x2 + x3, f2 = −3+ 2x2 − 2x3, f3 = 1+ x+ 3x
2 − 2x3,
f4 = 2+ 2x+ x2 + x3, f5 = −1+ 3x+ x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
7
5
−13
, a2 =
4
2
−22
, a3 =
5
4
0
2
, b1 =
1
2
2
0
, b2 =
4
3
−12
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 54, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 55.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 1 1 3 −13 1 1 0 −21 1 2 −1 2
1 1 2 2 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 1 3 −1 −2
−4 −1 −5 3 4
−4 −1 −2 0 1
4 1 4 −2 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−1) = 2f(3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 55, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 2
3 −2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 1
2 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
031
, wB =
1
−20
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
5 −4 1 4 −11 −2 4 1 −14 −2 −3 3 0
6 −6 5 5 −2
.
Tarea 4, variante 55, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−5 0 4
0 −2 −30 −1 0
, B =
1 1
2 1
−2 −2
, C =
[2 2 −2 −6
−1 −1 1 3
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 4 3 4
1 0 1 2
1 4 2 2
3 4 4 6
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 3
1 1
], A2 =
[3 4
2 1
], A3 =
[0 −22 −2
],
A4 =
[2 5
−1 3
], A5 =
[4 2
6 −2
].
Tarea 4, variante 55, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1− x− x2, f2 = −1+ 2x+ 4x2 + x3, f3 = 1+ 3x+ 3x
2 − 4x3,
f4 = 2+ 2x+ 3x2 − 3x3, f5 = 3+ 2x+ 3x
2 − 4x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
2
−31
, a2 =
2
3
−53
, a3 =
3
3
−66
, b1 =
0
1
−1−1
, b2 =
1
1
−21
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 55, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 56.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 −2 −1 1 0
3 2 2 2 4
1 2 1 2 4
−1 2 −1 −4 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 1 1 −2 −2−2 4 5 −4 1
0 3 4 −2 3
4 −2 −2 4 4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) − 3f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 56, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −22 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 2
−3 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
2
−11
, b2 =
113
, b3 =
012
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−31
−2
, wB =
−11
−3
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 1 2 2 1
2 2 3 3 1
1 2 4 3 1
3 −1 −1 −2 −1
.
Tarea 4, variante 56, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
0 0 0
−5 3 −1−4 0 4
0 0 4
, B =
[5 −2 3 4
2 4 1 1
], C =
−4 1 4
0 2 −10 0 5
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 0 2 4
2 1 3 1
−3 −2 −4 2
−1 −1 −1 3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 −11 −2
], A2 =
[1 2
3 4
], A3 =
[5 −23 −4
],
A4 =
[2 −11 −2
], A5 =
[1 −3
−2 −6
].
Tarea 4, variante 56, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 4x− 2x2 + 2x3, f2 = 3+ x+ 4x
2 + x3, f3 = −3− 4x+ 2x2 + 3x3,
f4 = 3+ x+ 4x2, f5 = 2+ x+ 2x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
3
3
3
, a2 =
0
3
2
4
, a3 =
2
−3−1−5
, b1 =
4
3
4
2
, b2 =
1
2
2
2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 56, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 57.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 4 1 0
2 1 4 −2 1
3 2 4 −4 2
2 2 4 −1 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 4 0 3 2
−2 −5 −4 −4 1
1 7 −4 5 7
1 1 4 1 −3
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(1) − 5f(1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 57, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −4
−3 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 3
2 −1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
124
, b2 =
112
, b3 =
111
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
221
, wB =
−12
0
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 3 2 2 1
2 0 −6 −5 1
3 3 −4 −3 2
−2 −6 −4 −4 −2
.
Tarea 4, variante 57, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
0 −21 1
1 2
, B =
[−3 5
−1 3
], C =
3 −4 3 3
−3 0 −2 0
0 0 2 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
2 −3 5 4
2 −1 3 2
2 −2 4 3
0 −1 1 1
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 −2
−1 1
], A2 =
[6 2
6 4
], A3 =
[1 1
2 1
],
A4 =
[4 0
2 2
], A5 =
[1 3
5 2
].
Tarea 4, variante 57, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 4x+ 4x3, f2 = −4+ 5x+ 4x2 + x3, f3 = 3+ 5x+ x
2 + 4x3,
f4 = −2− 5x− 4x2 − x3, f5 = 1+ 2x+ x2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
5
3
6
−1
, a2 =
3
2
4
0
, a3 =
−3−1−23
, b1 =
1
1
2
1
, b2 =
−11
2
4
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 57, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 58.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 3 −2 1 −32 −2 2 1 3
1 2 1 3 3
−1 0 1 −1 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −2 2 1 3
3 −1 1 1 4
−1 3 −3 −1 −22 2 −2 0 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) :
2∫−1
f(x)dx = 0}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 58, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 1
−3 −1
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 4
−2 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
2
1
−1
, b2 =
012
, b3 =
111
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−2−12
, wB =
1
2
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
1 1 4 4 1
1 0 3 −3 2
2 1 −1 −2 4
1 1 −4 1 2
.
Tarea 4, variante 58, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−5 −3 −1 −31 2 0 1
0 2 0 −4
, B =
[−2 2 2 −4−1 1 1 −2
], C =
4 −4 2
0 −3 2
0 3 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
5 3 3 −24 2 −2 −22 1 −1 −1
−1 −1 −5 0
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 1
2 3
], A2 =
[2 −1
−3 −4
], A3 =
[−2 1
1 2
],
A4 =
[4 −20 −2
], A5 =
[6 −3
−2 −5
].
Tarea 4, variante 58, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ x− x2 − x3, f2 = 1+ 2x+ 3x
2 + 2x3, f3 = 4+ x− x2 + 2x3,
f4 = 2+ x− x2, f5 = 2+ 2x+ x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
4
1
3
, a2 =
1
7
2
4
, a3 =
−45
3
−5
, b1 =
1
1
0
2
, b2 =
2
4
1
4
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 58, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 59.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 0 1 2 −4−4 2 5 7 2
4 1 2 3 2
−4 1 2 2 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 −3 2 1 −2−2 −1 3 1 2
−5 −4 5 2 0
4 2 −6 −2 −4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(2) = 2f(−3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(−1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(−1) = 0.
Tarea 4, variante 59, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −31 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 4
3 2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
112
, b2 =
012
, b3 =
−21
3
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
2
0
−1
, wB =
−13
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
0 3 6 2 −56 −7 2 −4 3
−3 2 −4 1 1
−3 5 2 3 −4
.
Tarea 4, variante 59, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−1 0 5 −40 −3 −5 −40 −5 −5 0
, B =
[−1 −2 −3 1
−2 −4 −6 2
], C =
1 2
1 1
0 1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−6 1 −1 −14 2 6 4
−2 3 5 3
2 1 3 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 1
2 1
], A2 =
[2 2
3 1
], A3 =
[6 0
3 3
],
A4 =
[−4 −4−6 −2
], A5 =
[−4 4
2 −2
].
Tarea 4, variante 59, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −4− 4x− 4x2 + 3x3, f2 = 1+ x+ x2 + 3x3, f3 = x− x
2 − 3x3,
f4 = 1+ x+ x2 + 4x3, f5 = 2+ x+ 3x
2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
6
3
−36
, a2 =
4
3
−23
, a3 =
6
5
−34
, b1 =
2
2
−11
, b2 =
1
0
−12
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 59, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 60.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 −4 −1 2
1 2 −4 −3 −11 1 0 2 3
1 1 −3 −2 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 8 4 2 4
2 −3 5 3 2
−2 4 2 1 2
4 −7 3 2 0
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) + 3f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(2) = 0.
Tarea 4, variante 60, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 4
−4 −3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[4 −1
−2 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
101
, b2 =
223
, b3 =
213
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
132
, wB =
2
−32
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
2 2 2 1 1
1 2 3 1 −3−1 1 −2 1 3
−2 1 −1 1 −1
.
Tarea 4, variante 60, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 0
2 1
3 1
, B =
2 −2 1 0
0 −3 2 −30 2 0 3
, C =
[1 2 −1 2
2 4 −2 4
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
0 2 2 2
−1 4 3 3
1 −2 −1 −1−1 3 2 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 −5
−4 3
], A2 =
[2 −5
−4 3
], A3 =
[2 −6
−4 4
],
A4 =
[3 1
−6 −4
], A5 =
[1 −2
−2 1
].
Tarea 4, variante 60, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ x− x2 + x3, f2 = 3+ x+ x
2 + 2x3, f3 = 3+ x+ 2x3,
f4 = 1− 2x− 3x2 + 3x3, f5 = 1+ 2x− x
2 − x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
3
4
1
0
, a2 =
4
5
1
1
, a3 =
2
1
−15
, b1 =
2
3
1
−1
, b2 =
2
3
2
−3
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 60, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 61.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 1 −4 1 −41 1 −2 1 2
4 1 −1 2 −4−4 −2 1 −3 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 1 2 3 2
2 −2 −2 6 −46 −2 −4 −6 −4
−1 1 1 −3 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(1) = 2f(2)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(2) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(2) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 61, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 −31 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 4
1 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
121
, b2 =
021
, b3 =
−13
2
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
410
, wB =
1
2
−2
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−2 −2 −5 −3 −21 1 −4 1 −1
−4 −4 3 −5 0
3 3 1 4 1
.
Tarea 4, variante 61, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
[−5 3
3 −1
], B =
[−2 1 3 1
4 4 2 3
], C =
−5 −3 −10 0 0
0 −3 −30 1 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 −1 1 −43 −1 1 −41 −1 1 −42 −1 1 −4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 −7
−4 −3
], A2 =
[2 4
1 3
], A3 =
[−2 4
3 1
],
A4 =
[6 −2
−4 2
], A5 =
[3 5
1 4
].
Tarea 4, variante 61, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 4x+ x2 + 2x3, f2 = 3+ 5x+ 2x
2 + 2x3, f3 = 1+ x+ x3,
f4 = 2+ 4x+ 2x2 − 4x3, f5 = −3− x+ 2x2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
0
4
1
−4
, a2 =
−52
3
3
, a3 =
−32
2
1
, b1 =
−12
1
−1
, b2 =
−21
1
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 61, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 62.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 1 1 −24 2 1 2 −12 1 1 1 0
4 1 1 2 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 3 4 −2 1
−5 −5 −6 −1 −23 2 2 3 1
1 −1 −2 5 0
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(1) + 3f(1) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(1) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(1) = 0.
Tarea 4, variante 62, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−4 −21 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[3 2
−1 −3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
323
, b2 =
−1−11
, b3 =
322
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
213
, wB =
−21
2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 3 4 −3 3
1 −1 −2 1 −3−1 2 3 −2 3
4 3 4 −4 4
.
Tarea 4, variante 62, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 −2−2 4
1 −2
, B =
0 0 0
3 −4 4
0 −1 1
0 4 0
, C =
[−2 3
3 5
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 3 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−2 −3 −2 0
1 1 −1 −3−1 −2 −3 −33 4 1 −3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 −35 −7
], A2 =
[−3 −74 −1
], A3 =
[3 6
−3 0
],
A4 =
[1 −23 −4
], A5 =
[−1 1
−2 3
].
Tarea 4, variante 62, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3+ 2x+ 2x2 − x3, f2 = −3− 3x+ 2x2 − 2x3, f3 = 1+ x+ x
2 − x3,
f4 = 3+ 3x− x2 + x3, f5 = 2x+ x
2 − 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−2−57
4
, a2 =
−42
2
0
, a3 =
−1−45
3
, b1 =
−1−12
1
, b2 =
2
−20
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 62, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 63.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −2 3 3 2 0
2 1 2 1 −11 −2 −3 −2 −1
−3 1 1 1 2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 −2 1 3 −24 1 −1 −2 3
2 −2 0 2 2
−2 −3 1 4 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(−1) = 2f(−3)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−2) = 0 y f ′′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−2) = 0 y f ′′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 63, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 4
2 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 3
2 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
110
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
141
, wB =
2
−2−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 5 2 2 −31 2 −3 1 −25 −3 −5 −1 1
2 4 −6 2 −4
.
Tarea 4, variante 63, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
5 5 −5 −1−1 −2 2 0
0 1 4 0
, B =
−2 −1 5
0 2 −20 0 4
, C =
[−3 1 1 1
6 −2 −2 −2
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
1 2 4 −33 7 4 −2
−2 −5 0 −11 3 −4 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 5
1 6
], A2 =
[3 4
1 5
], A3 =
[1 −3
−4 −7
],
A4 =
[4 2
−2 0
], A5 =
[4 3
−1 2
].
Tarea 4, variante 63, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2− x+ 3x2 + x3, f2 = x− x
2 + x3, f3 = 1− 4x+ 4x2 − 4x3,
f4 = 3+ 2x− x2 + 3x3, f5 = 1+ x− x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−26
2
4
, a2 =
2
6
−55
, a3 =
1
5
−34
, b1 =
1
1
−21
, b2 =
1
4
−33
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 63, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 64.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 2 4 1 2
3 −4 −4 1 0
1 2 3 1 3
3 −2 −2 2 4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 0 2 2 1
−4 −4 −2 −6 −22 2 1 3 1
3 2 3 5 2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−2) + 5f(−2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 64, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −3
−2 4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 4
−3 −2
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
−12
1
, b3 =
−22
1
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
211
, wB =
−32
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 −1 3 2 1
−4 −1 −3 −1 −13 −3 2 2 1
0 3 4 1 1
.
Tarea 4, variante 64, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−2 2 −34 0 2
0 0 −2
, B =
−2 −24 3
1 1
, C =
2 −3 0 1
−1 −3 1 0
−2 0 2 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
4 2 −3 5
1 1 0 2
3 1 −3 3
5 3 −3 7
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[0 3
3 −6
], A2 =
[−4 1
5 −2
], A3 =
[1 2
1 −4
],
A4 =
[1 3
2 −6
], A5 =
[3 −3
−6 6
].
Tarea 4, variante 64, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 1+ 2x+ 2x2 + 4x3, f2 = −2+ 3x+ x2 + 4x3, f3 = −2− 3x+ 2x2 − x3,
f4 = −1+ 2x+ x2 + 3x3, f5 = 4+ 2x2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
−4−12
−5
, a2 =
5
−1−47
, a3 =
2
−1−23
, b1 =
1
1
0
1
, b2 =
1
−1−12
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 64, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 65.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 2 −3 3 1 1
3 −4 4 2 −12 −4 2 1 1
1 −3 1 0 3
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 1 −2 −3 1
−2 −2 4 6 −2−1 1 2 3 2
1 3 −2 −3 4
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f(3) = 2f(−1)
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−3) = 0 y f ′′(−2) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−3) = 0 y f ′′(−2) = 0.
Tarea 4, variante 65, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 4
−4 3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 4
−1 3
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
142
, b2 =
131
, b3 =
032
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
−3−12
, wB =
1
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
4 3 5 −2 6
3 1 1 0 1
−1 −2 −4 2 −5−2 1 3 −2 4
.
Tarea 4, variante 65, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
−1 0
2 1
1 1
, B =
[3 1 −1 2
−6 −2 2 −4
], C =
3 −2 2
−5 0 −52 0 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 2 4 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−2 0 1 −1−4 2 1 −35 −3 −1 4
−3 1 1 −2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[4 2
6 4
], A2 =
[2 1
3 2
], A3 =
[−6 −31 −1
],
A4 =
[4 2
−2 0
], A5 =
[2 1
1 1
].
Tarea 4, variante 65, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = −1+ 4x+ 4x2 + 3x3, f2 = 2+ 4x+ x2 + 3x3, f3 = 1+ 3x+ x
2 + 2x3,
f4 = 2+ 3x+ x2 + 3x3, f5 = 1+ 2x
2 + 3x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
0
2
3
−4
, a2 =
1
3
4
−6
, a3 =
−51
4
−2
, b1 =
−11
2
−2
, b2 =
−21
2
−1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 65, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 66.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −1 4 −1 3 2
4 −4 −2 −4 −21 2 −2 1 1
2 1 −1 1 1
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 4 −3 −5 −5 5
−4 2 3 3 −34 0 1 1 −1
−4 1 1 1 −1
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(3) + 3f(3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(1) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(1) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 66, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[−2 2
1 −4
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−1 2
−3 1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
433
, b3 =
−11
0
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
021
, wB =
−31
−1
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−4 1 −3 1 1
−4 1 −1 1 2
−4 1 1 1 3
−3 3 4 4 3
.
Tarea 4, variante 66, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
1 1 3
0 −3 −30 5 0
, B =
2 4
2 4
1 2
, C =
0 −5 −30 0 0
−3 −2 0
0 −3 0
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 2 3rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−4 2 1 3
6 −5 −1 −24 −6 0 2
−2 −1 1 4
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[1 2
−3 1
], A2 =
[1 2
−3 1
], A3 =
[4 −2
−2 −6
],
A4 =
[2 5
−7 3
], A5 =
[−3 −36 0
].
Tarea 4, variante 66, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2+ 3x+ 2x2 + x3, f2 = 4− 4x+ 2x
2 − 4x3, f3 = −4− 2x− 4x2 + 2x3,
f4 = 3+ 4x+ 3x2 + x3, f5 = 1+ 3x+ 2x
2.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
2
−17
−4
, a2 =
1
−25
−5
, a3 =
1
−14
−3
, b1 =
0
−11
−2
, b2 =
1
1
3
1
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 66, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 67.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −4 4 −1 −5 4
1 −4 0 1 −32 4 1 3 2
2 1 1 2 −4
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. −3 2 2 3 1
−6 2 −6 4 −6−3 1 −3 2 −3−6 3 −1 5 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(2) + 4f(2) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(−1) = 0 y f ′′(3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(−1) = 0 y f ′′(3) = 0.
Tarea 4, variante 67, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[4 3
−1 −3
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[1 −2
−1 4
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
111
, b2 =
121
, b3 =
1
−12
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
0
−31
, wB =
2
−1−2
.Calcule uB y wE , calcule (u + w)E como uE + wE , calcule (u + w)B como uB + wB. Haga lacomprobacion: (u+w)E = PE ,B(u+w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
−1 5 −2 0 4
−3 4 2 −2 3
−1 −6 6 −2 −52 1 −4 2 1
.
Tarea 4, variante 67, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
4 −4 −1 4
2 5 −5 0
4 0 2 0
, B =
−3 −4 5
5 4 0
−4 0 0
, C =
[−2 6 −2 −21 −3 1 1
].
Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 4 3 4rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
−1 −1 −2 1
1 2 1 −20 1 −1 −12 3 3 −3
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[2 −21 1
], A2 =
[2 −31 2
], A3 =
[2 3
1 −4
],
A4 =
[4 −42 2
], A5 =
[4 −52 3
].
Tarea 4, variante 67, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 3− x− 4x2 − 3x3, f2 = 3+ x+ 2x
2 + x3, f3 = 3+ 2x+ 2x2,
f4 = 3− 3x− x2 + 2x3, f5 = 4+ 2x+ 3x
2 + x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
4
3
−1−6
, a2 =
3
2
0
−4
, a3 =
−7−3−56
, b1 =
1
1
−1−2
, b2 =
2
1
0
−2
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 67, pagina 4 de 4
Engra
peaq
uı
No
dobl
e
Algebra II, licenciatura. Tarea 4. Variante 68.
Bases y dimension.
Nombre: Calificacion ( %):
Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.
Ejercicio 1. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 1 2 −1 3 3
2 0 2 1 −31 1 1 2 1
3 1 3 3 −2
.Ejercicio 2. 1 %.Construya una base del espacio S =
{x ∈ R5 : Ax = 04
}, donde A es la siguiente matriz. Haga
la comprobacion. 3 2 −2 −3 3
−2 1 −3 −1 1
−1 −3 5 4 −4−5 −1 −1 2 −2
.Ejercicio 3. 1 %.Construya una base del siguiente espacio de polinomios. Haga la comprobacion.
S ={f ∈ P2(R) : f ′(−3) − 5f(−3) = 0
}.
Ejercicio 4. 1 %.Denotemos por P3(R) al espacio vectorial de los polinomios de grado 6 3 (incluso al polinomiocero). Se considera el conjunto S ⊂ P3(R) definido de la siguiente manera:
S ={f ∈ P3(R) : f(3) = 0 y f ′(−3) = 0
}.
1. Muestre que S es un subespacio vectorial de P3(R).
2. Construya una base B del espacio S.
3. Haga las comprobaciones: verifique que los elementos de la base construida B pertenecena S, esto es, cumplen con las condiciones f(3) = 0 y f ′(−3) = 0.
Tarea 4, variante 68, pagina 1 de 4
Ejercicio 5. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈M2(R) : AX = XA
}, donde A es la siguiente matriz.
Haga la comprobacion.
A =
[3 −4
−2 2
].
Ejercicio 6. 1 %.Construya una base del espacio S =
{X ∈ M2(R) : tr(XA) = 0
}, donde A es la matriz dada.
Haga la comprobacion.
A =
[−3 3
4 −1
].
Ejercicio 7. 1 %.Sea E la base canonica del espacio R3 y sea B la base que consta de los vectores dados b1, b2, b3.Escriba la matriz de cambio PE ,B, calcule la matriz de cambio PB,E y haga la comprobacion:PE ,BPB,E = I3.
b1 =
241
, b2 =
131
, b3 =
121
.Ejercicio 8. 1 %.Sean E y B las bases de R3 definidas en el ejercicio anterior, y sean u,w vectores de R3 talesque
uE =
231
, wB =
2
−31
.Calcule uB y wE , calcule (u − w)E como uE − wE , calcule (u − w)B como uB − wB. Haga lacomprobacion: (u−w)E = PE ,B(u−w)B.
Ejercicio 9. 1 %.Transforme la matriz A en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango. Luegotransforme la matriz A> en una matriz escalonada o pseudoescalonada y calcule su rango.Indicacion: no se recomienda transformar A o A> en matrices pseudoescalonadas reducidas.
A =
3 4 2 1 3
1 1 1 2 −41 1 1 1 −2
−2 −3 −1 −1 −3
.
Tarea 4, variante 68, pagina 2 de 4
Ejercicio 10. 1 %.Estan dadas tres matrices A, B, C:
A =
4 1 −4−2 0 3
0 0 5
, B =
[6 2 −2 −63 1 −1 −3
], C =
2 5
1 2
0 1
.Sea F la lista de las columnas de la matriz A y sea S = `(F) el subespacio generado por F enel espacio V = Rm, donde m es el numero de los renglones de la matriz A. Determine el rangoy otras caracterısticas de F . De manera similar considere las columnas de las matrices B y C.Llene la siguiente tabla:
A B C
dim(V) = m|F | = n 3 4 2rango(F) = rdim(S)¿es F lin. indep.?¿genera F el espacio V?¿es F una base de V?
Ejercicio 11. 1 %.Con operaciones elementales por renglones transforme la matriz dada en una matriz escalonadareducida o pseudoescalonada reducida, encuentre un subsistema basico de las columnas y escribalas demas columnas como combinaciones lineales de las basicas. Haga la comprobacion.
3 −4 5 1
−1 4 −2 1
1 4 1 3
2 0 3 2
.
Ejercicio 12. 2 %.Halle una sublista basica de la lista de matrices A1, A2, A3, A4, A5 ∈M2(R). Escriba las demasmatrices como combinaciones lineales de las matrices que forman esa sublista basica. Haga lascomprobaciones.
A1 =
[−2 3
1 1
], A2 =
[−3 5
1 2
], A3 =
[−4 5
3 1
],
A4 =
[−1 5
−3 4
], A5 =
[−3 4
2 1
].
Tarea 4, variante 68, pagina 3 de 4
Ejercicio 13. 2 %.Construya una base B del espacio generado por los polinomios f1, f2, f3, f4, f5. Represente cadauno de los polinomios f1, f2, f3, f4, f5 como una combinacion lineal de los elementos de la baseconstruida B y haga las comprobaciones.
f1 = 2− x+ 4x2 + x3, f2 = −4− x− 3x2 − 4x3, f3 = 1+ 4x+ 2x
2 − 4x3,
f4 = 1− x+ 2x2 + x3, f5 = 1− 3x+ 3x
2 + 2x3.
Ejercicio 14. 1 %.En este y los siguientes ejercicios se consideran los vectores a1, a2, a3, b1, b2 y los subespaciosS1 = `(a1, a2, a3), S2 = `(b1, b2).
a1 =
1
3
4
2
, a2 =
−21
1
1
, a3 =
4
5
7
3
, b1 =
−21
1
1
, b2 =
4
1
2
0
.Construya una base del subespacio S1 + S2 como un subsistema basico del sistema de vectoresa1, a2, a3, b1, b2. Escriba los demas vectores como combinaciones lineales de los vectores queforman ese subsistema basico. Haga las comprobaciones.
Ejercicio 15. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S1. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S1).
Ejercicio 16. 1 %.Encuentre un sistema de ecuaciones lineales homogeneas que describa el subespacio S2. Hagalas comprobaciones. Calcule dim(S2).
Ejercicio 17. 1 %.Construya una base del subespacio S1 ∩S2. Comprueba que los vectores de esta base satisfacenlas ecuaciones homogeneas obtenidas en dos ejercicios anteriores. Haga la comprobacion de lasdimensiones con la formula de Grassmann.
Ejercicio 18. 1 %.Extienda la base de S1 ∩S2 obtenida en el ejercicio anterior a una base de S1; a una base de S2;a una base de S1 + S2.
Tarea 4, variante 68, pagina 4 de 4