Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante α.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 + 4x2

−x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 − x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−9 6

−3 7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−3 1

−1 1

].

Tarea 5, variante α, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−2 4 2

4 −5 5

4 3 4

, PA,B =

2 −1 1

2 0 1

3 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 −2 2 3

3 −3 0 −11 −4 −1 −22 1 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 1

5 4

], TD,C =

−1 −21 2

1 2

, UF ,E =

0 0 0

0 2 −53 −4 0

0 5 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante α, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[4, −1, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante α, pagina 3 de 3

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peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante β.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x21 + x2

x1 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 2x− 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[5 8

4 −4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 3

2 −1

].

Tarea 5, variante β, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−4 3 2

3 −2 −14 −5 2

, PA,B =

2 0 3

3 1 2

2 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 −3 0 2

−1 1 3 3

−1 −3 2 2

1 −3 1 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[1 −13 4

], TD,C =

−3 −61 2

−1 −2

, UF ,E =

[−3 2 0 1

3 1 −1 1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante β, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−2, −5, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante β, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 1 AJAS.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 + x2

x1 + 4x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −5x2 + x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[1 −12 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 1

1 1

].

Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−5 5 −53 −1 1

5 3 −2

, PA,B =

−1 1 1

1 0 1

2 1 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 −2 1 1

1 −1 2 1

2 2 3 1

−1 3 0 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 2

−2 −42 4

, TD,C =

−3 3 −20 2 0

−2 0 0

, UF ,E =

[1 4 −4 1

2 −1 2 1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −5, −1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 1 AJAS, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 2 BTCF.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x2

4

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 − x− 3)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 − x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−3 −9−5 1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−3 5

3 −5

].

Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 2 −12 2 −21 −1 1

, PA,B =

3 1 2

2 1 0

4 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−1 −1 −1 1

1 3 4 2

1 2 3 0

1 3 3 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−1 0

3 2

1 1

, TD,C =

[2 −43 4

], UF ,E =

2 −4 1 −35 2 0 4

−4 0 0 −1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 1, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 2 BTCF, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 3 CSA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 − 4x2

3x2 − 2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 − x− 3)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 3x− 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[9 −9

−3 −4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[5 −2

−1 2

].

Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −2 −13 2 −41 4 −5

, PA,B =

1 2 2

1 3 2

1 3 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 −3 1

0 1 −3 1

−3 2 −3 1

1 −1 3 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 1 1 −43 1 2 −4

], TD,C =

[2 −21 −3

], UF ,E =

2 −4 3

−2 0 5

0 0 −40 0 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−4, −1, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 3 CSA, pagina 3 de 3

Engra

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 4 CNKM.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x21 − x2

−3x1 − 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 4x2 − 3x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 −1

−8 −4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 1

3 4

].

Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−4 4 1

−2 0 3

−1 1 3

, PA,B =

2 −1 1

2 0 1

3 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 1 4 2

1 1 3 1

−1 0 −1 −13 3 −4 4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−6 −2 −6 6

3 1 3 −3

], TD,C =

2 5 3 1

4 0 0 −10 0 5 −4

, UF ,E =

−2 −21 1

4 3

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−4, −4, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 4 CNKM, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 5 CNLE.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x2 + 3

5x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −3x2 + 3x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−7 −35 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−4 −12 2

].

Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−3 2 −45 3 −3

−5 1 2

, PA,B =

−2 1 1

2 1 2

−1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 −1 −1 −2−3 2 1 2

4 4 2 3

1 3 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

2 5

2 4

1 2

, TD,C =

[5 1

−5 −3

], UF ,E =

[2 2 2 −61 1 1 −3

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −1, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 5 CNLE, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 6 DPE.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x1x2

x1 + 4x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 2x+ 1)f ′′(x) + (−3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + 2x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[3 7

5 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 −2

−1 5

].

Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 0 −41 −1 2

4 −3 5

, PA,B =

1 1 1

1 1 2

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 −1 1 2

3 4 2 3

3 3 2 2

1 0 1 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[3 3 1 2

−6 −6 −2 −4

], TD,C =

3 1

2 1

−2 0

, UF ,E =

4 −2 −4 1

5 0 2 −10 0 1 5

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−2, −6, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 6 DPE, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 7 DEER.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 + 4x2

−3x1 + x2 + 3

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 − 4x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −59 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−2 2

−5 3

].

Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−3 1 1

−3 2 2

3 2 −2

, PA,B =

2 1 1

1 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 2 0 4

3 1 2 1

1 −1 1 −34 2 2 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−4 0 1

0 0 0

3 1 0

0 5 0

, TD,C =

−4 −22 1

2 1

, UF ,E =

3 0 −10 2 1

0 0 −1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 1, −6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 7 DEER, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 8 DLRTH.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 + x2 + 3

−x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 + 3x− 3)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + 2x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 −39 6

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 −12 3

].

Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

2 5 −42 3 −41 2 −4

, PA,B =

1 0 −12 2 3

1 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 −3 3 3

−1 −3 −1 1

3 −2 2 2

1 1 1 0

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−5 4

−5 3

], TD,C =

[1 −1 2 4

1 4 3 −2

], UF ,E =

0 4 −3

−2 1 0

0 1 0

0 0 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−5, −3, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 8 DLRTH, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 9 DGGI.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−2x1 + 3x2

−2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 1)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −4x2 + 2x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 −3

−8 1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−5 1

1 −4

].

Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 5 −43 4 −33 1 −4

, PA,B =

3 −1 3

2 −1 2

3 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 2 −44 2 3 3

−3 −2 −4 3

2 1 1 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−5 −4 −1 5

−3 −4 1 0

3 0 4 0

, TD,C =

1 3

1 2

0 −1

, UF ,E =

[2 −1 3 1

−4 2 −6 −2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−4, −3, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 9 DGGI, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 10 DJRA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x21 + 2x2

−2x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (−x− 2)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −4x2 + 5x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 6

4 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 3

1 −3

].

Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

0 −1 1

1 −3 2

5 5 −4

, PA,B =

1 2 1

0 1 1

1 2 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 2 1 2

−1 −2 −1 −1−1 1 1 2

−3 0 1 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

4 −1 2 5

−5 1 0 3

0 2 0 −2

, TD,C =

[5 −4

−1 4

], UF ,E =

0 1

1 1

1 2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[4, −3, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 10 DJRA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 11 FMFD.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x2

5x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 3x− 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−5 −9−4 −6

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−5 3

1 −4

].

Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 3 −40 4 4

−3 4 1

, PA,B =

3 2 4

3 1 4

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−4 1 2 1

−2 1 2 2

−1 0 1 1

−4 2 4 4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−3 2

−5 4

], TD,C =

−5 4 1 1

1 0 4 −30 0 2 1

, UF ,E =

3 1

2 1

1 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[4, 1, −5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 11 FMFD, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 12 GDLD.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[4x1 + 3x

22

x1 − 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + x+ 2)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 − x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[6 9

−1 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 −11 1

].

Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −2 5

2 −1 5

1 −1 1

, PA,B =

1 1 1

2 2 1

0 1 −1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 −1 0 −12 2 −3 1

−2 1 4 1

3 2 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−3 −4 −20 2 2

0 0 5

0 0 0

, TD,C =

2 1

−4 −2−4 −2

, UF ,E =

[1 −4 4 1

2 2 −1 3

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −3, −1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 12 GDLD, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 13 GLMA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1

−2x1 − 2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 − x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[4 2

−8 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[5 −12 3

].

Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −5 0

4 −4 3

−1 5 4

, PA,B =

2 0 1

1 1 1

−1 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 3 3 3

2 4 3 3

0 1 2 −21 3 4 −4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−3 1 1 −36 −2 −2 6

], TD,C =

−4 1 −3 4

0 0 4 1

−1 0 −3 0

, UF ,E =

3 2

2 1

1 1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 3, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 13 GLMA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 14 GSLE.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x2

3x1 − x2 + 4

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (3x− 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 4x− 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−6 −8−2 3

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 3

1 −2

].

Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

2 −1 −41 −2 2

−5 2 3

, PA,B =

3 1 −12 3 1

−2 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 −3 1 2

2 −1 3 3

−1 1 3 2

0 −1 2 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[3 −2 1 −42 1 1 1

], TD,C =

5 −5 −50 0 0

3 4 0

0 3 0

, UF ,E =

−1 −2 4

2 0 3

0 0 4

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, 4, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 14 GSLE, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 15 KSJG.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x1 − 3x2

2x1 − 3x2 + 4

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 − 5x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−6 9

5 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 1

1 1

].

Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−5 5 5

−4 2 4

−2 5 5

, PA,B =

1 2 2

0 2 1

1 3 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

0 1 1 1

1 3 1 2

3 −2 −3 −2−3 1 2 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−1 −12 3

1 2

, TD,C =

2 1 3 −54 −3 0 −50 −2 0 −3

, UF ,E =

[−6 −2 2 −6−3 −1 1 −3

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[4, −5, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 15 KSJG, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 16 LSS.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 − 3x

22

2x1 − 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 5x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−4 −5−7 −8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 −2

−1 1

].

Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 2 1

−2 4 0

−5 −2 4

, PA,B =

1 1 1

2 1 1

4 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 4 −1 −24 4 1 2

2 −1 0 1

1 −3 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−2 6 −4 2

−1 3 −2 1

], TD,C =

[5 5

2 −3

], UF ,E =

4 1

3 1

−1 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−3, 1, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 16 LSS, pagina 3 de 3

Engra

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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 17 LPS.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 + 5x2

−5x1 − 5x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 3)f ′′(x) + (−x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 −76 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 2

−1 2

].

Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 2 −43 5 −50 3 −1

, PA,B =

2 1 1

1 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 3 1 1

−2 3 1 2

−4 3 1 0

4 4 1 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−5 −2 −52 −5 0

4 0 0

0 0 0

, TD,C =

4 −2−2 1

−4 2

, UF ,E =

[1 5

2 −5

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −4, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 17 LPS, pagina 3 de 3

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 18 MPDD.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x1 + 5x2

3x1 − 4x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 + 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 4x− 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −18 2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 1

−4 5

].

Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 −1 4

−4 2 3

−5 4 5

, PA,B =

2 1 1

1 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 1 −32 1 −2 4

2 2 1 −11 1 0 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−2 6 6 −41 −3 −3 2

], TD,C =

4 3

3 2

−1 −1

, UF ,E =

[1 4

−4 −1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 2, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 18 MPDD, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 19 MHF.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1 + 3x2

−x21

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 3x− 2)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−9 −58 3

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 −12 1

].

Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−2 4 1

2 5 −51 5 −3

, PA,B =

1 2 2

2 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 2 3 −10 −1 1 2

1 1 1 3

−1 −3 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−4 −5 4 −3−5 1 0 −5−5 2 0 0

, TD,C =

[1 −5

−2 2

], UF ,E =

−3 −12 1

5 2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−3, 1, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 19 MHF, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 20 MME.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−4x1 − 5x

22

−5x1 − 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 − x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−6 2

−8 6

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−4 1

−5 3

].

Tarea 5, variante 20 MME, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 5 −20 4 −3

−2 2 3

, PA,B =

1 4 −11 3 1

1 3 0

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 3 −3 2

1 3 0 3

1 2 4 2

1 4 −4 4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 2

1 3

2 5

, TD,C =

4 2 3 5

−2 −3 0 −2−5 0 0 3

, UF ,E =

−4 −5 −12 4 0

0 −2 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 20 MME, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −6, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 20 MME, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 21 MRCK.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x1 − 3x2

−3x1 − 3x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 3x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[1 −8

−2 −3

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 −3

−1 2

].

Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−1 2 1

3 3 −35 −3 3

, PA,B =

1 2 0

1 2 1

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 1 1 3

3 1 0 3

−1 1 −2 4

−2 1 −1 4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

5 4 3

−3 0 1

0 0 −40 0 0

, TD,C =

1 2

3 6

−2 −4

, UF ,E =

−4 −3 3

−2 −1 0

0 4 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −3, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 21 MRCK, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 22 PHJL.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1 − 3x2

−3x2 − 2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + x− 2)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 3x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−5 7

−3 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 −51 1

].

Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−3 5 −31 −2 2

3 −4 5

, PA,B =

1 0 −12 2 3

1 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 1 1 2

4 4 4 3

1 1 1 1

3 2 2 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 −3

−5 4

], TD,C =

[−4 3 2 4

4 5 3 0

], UF ,E =

−2 −16 3

2 1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −6, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 22 PHJL, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 23 RAJA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 − 4x2

−2x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −3x2 + 3x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−4 −2−8 −5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[5 1

1 4

].

Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 −2 4

1 4 −33 −1 2

, PA,B =

2 1 1

4 3 2

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 2 1 4

−4 −3 −2 −21 1 1 3

2 1 0 −4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 1 2 −23 1 0 −2

], TD,C =

2 1

−2 −1−2 −1

, UF ,E =

[2 3

3 1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 1, 4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 23 RAJA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 24 RCE.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − x2 − 5

−4x1 + 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + x+ 3)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 5x− 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −25 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[4 −12 −4

].

Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 1 −2−3 2 1

−3 1 2

, PA,B =

2 1 0

1 1 1

4 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 −2 3 −11 4 3 1

2 3 1 1

2 3 0 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 −51 −1

], TD,C =

[−2 1 −3 3

4 −2 6 −6

], UF ,E =

2 −5 1 −21 −2 0 −20 2 0 −2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, −2, −1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 24 RCE, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 25 RDIDJ.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−2x1 + 3x2

1x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 + 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x− 1)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + 5x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−7 9

−3 3

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 5

−2 4

].

Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 3 −35 −2 2

3 −2 3

, PA,B =

−1 2 2

2 1 3

1 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 4 2 3

−3 4 3 4

3 3 2 3

−4 0 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 4 −4 −2

−2 −2 2 1

], TD,C =

4 3 −20 −4 −40 −1 0

, UF ,E =

2 1 −3 2

0 −5 0 −10 0 0 −3

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, −2, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 25 RDIDJ, pagina 3 de 3

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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 26 SRGA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−5

−3x1

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (x− 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 4x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−7 −6−2 6

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[5 5

1 −5

].

Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 3 −15 −1 −22 5 −1

, PA,B =

1 2 2

0 1 1

1 2 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−1 1 2 2

3 0 1 1

−2 1 3 2

−2 −1 −3 −3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−2 −2 2

1 0 −10 0 0

−3 0 0

, TD,C =

5 −3 −30 −3 −30 −1 0

, UF ,E =

[−3 1 1 1

−1 2 5 6

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 1, −5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 26 SRGA, pagina 3 de 3

Engra

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 27 TMMA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x1 − 5

2x1 + 4x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + 3x+ 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 4x2 + 2x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 5

8 −7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 −2

−3 1

].

Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 0 1

2 2 −24 2 −3

, PA,B =

1 1 0

1 4 1

1 3 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 3 3 1

−1 1 −2 1

1 1 4 1

0 1 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[5 3

2 −3

], TD,C =

2 5

2 4

1 2

, UF ,E =

−1 −1 −3 1

0 1 −3 −10 4 −3 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, −3, −1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 27 TMMA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 28 TELD.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[4x1 + 4x

22

2x1 − 4x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 3x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 −46 7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 −34 4

].

Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 1 0

3 4 −24 5 1

, PA,B =

1 2 2

0 1 1

2 3 4

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 2 3 −4

−3 0 −4 4

1 1 2 −32 −1 2 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−1 −5 −3−1 4 0

0 0 0

0 −3 0

, TD,C =

[1 4 1 4

3 0 4 −4

], UF ,E =

3 6

2 4

1 2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −4 2

6 −5 3

2 −2 2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 6, −1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 28 TELD, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 29 UTAV.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−5x1 − 4x2

−3x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x− 1)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 − 2x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−1 −4−2 2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 5

2 −1

].

Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−5 5 3

−3 1 3

−4 1 −1

, PA,B =

2 0 1

1 1 1

−1 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 3 2 1

1 −2 −1 2

1 3 2 2

0 2 1 −3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

5 2

2 1

4 2

, TD,C =

[4 −3

−4 2

], UF ,E =

[6 2 2 −23 1 1 −1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 3, 6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 29 UTAV, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 30 VNDI.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−4x1 + 3x2

4x1 + 4x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 − x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −4x2 + 3x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[5 6

8 −8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[4 4

5 −4

].

Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−3 5 1

−3 3 2

−4 −5 4

, PA,B =

1 2 2

0 1 1

2 3 4

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 1 1 −31 1 0 −42 3 1 3

1 1 1 4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

3 −3 4 −4−3 0 −2 2

−1 0 −3 0

, TD,C =

4 2 4

1 −5 0

−3 0 0

, UF ,E =

1 2

1 3

2 5

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 6, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 30 VNDI, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 31 VHA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x21 − 5x2

−4x1 − 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 − 4x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 −39 −6

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 1

−1 2

].

Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 5 −2−1 −1 2

−5 2 3

, PA,B =

1 0 −21 1 1

2 2 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−1 1 2 −42 1 0 4

3 2 1 −34 4 3 −3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 −4 2

0 0 0

0 5 −40 −3 0

, TD,C =

1 −21 −2

−2 4

, UF ,E =

−3 −5 −53 −5 0

0 −1 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −4 2

6 −5 3

2 −2 2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 3, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 31 VHA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 32 VMJJ.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x1 − 3x2 − 5

x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 2x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[3 −58 −7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−2 3

−4 4

].

Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

2 −3 5

4 5 −13 2 3

, PA,B =

1 2 2

2 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 2 −13 2 3 −13 2 1 3

2 1 0 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−2 −15 2

], TD,C =

[−6 2 −6 −4−3 1 −3 −2

], UF ,E =

4 −5 −2 3

0 −1 −3 2

0 0 5 5

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−4, 4, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 32 VMJJ, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 33 GMOA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x21 − 3x2

−2x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 4x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −6

−8 9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 −2

−4 2

].

Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 3 1

3 2 −12 1 2

, PA,B =

3 1 0

4 1 −11 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−2 −2 4 −22 4 −3 3

3 2 −2 2

1 1 −2 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−1 2

1 −2−3 6

, TD,C =

2 3 4

−5 0 −13 0 0

, UF ,E =

[3 1 4 −22 1 −1 −3

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −3, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 33 GMOA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 34 VALA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 + x2 − 2

−5x1 − 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 2)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + 4x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−4 6

2 1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−3 3

2 −1

].

Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 −2 1

−4 −5 3

4 −1 3

, PA,B =

1 0 1

1 −1 2

4 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 0 2

3 −1 3 −41 2 −1 4

4 2 1 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[3 1

−5 −4

], TD,C =

1 2

1 2

1 2

, UF ,E =

0 0 0

4 4 5

−2 −2 0

0 −2 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[4, 3, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 34 VALA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 35 ZPJ.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x1

−3x21 + 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (−2x− 3)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −5x2 + 4x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 6

−7 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 −21 −1

].

Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−5 3 3

0 −4 2

−2 3 4

, PA,B =

1 1 1

1 0 1

4 1 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−2 −2 −4 −20 3 4 1

1 1 2 1

2 4 −1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−3 5 −33 −5 0

0 0 0

−1 0 0

, TD,C =

1 2

2 4

−1 −2

, UF ,E =

[2 1 2 5

−2 1 1 2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[6, −1, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 35 ZPJ, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 36 BRMF.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x21

5x1 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 + x+ 3)f ′′(x) + (−x− 3)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 3x− 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[3 −54 −3

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 2

−2 5

].

Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−1 5 −2−5 5 1

1 1 −4

, PA,B =

1 2 2

0 1 1

2 3 4

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 3 −1 2

1 2 4 0

1 4 2 2

1 4 −2 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−4 −5 5

0 5 −40 0 2

0 0 0

, TD,C =

[−3 3

−4 3

], UF ,E =

[4 3 2 0

2 2 1 4

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, −1, 6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 36 BRMF, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 37 RMIA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − 5x2

3x2 − 2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + x− 1)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + 2x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−3 3

7 2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 1

3 5

].

Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

0 4 −45 5 −25 1 −3

, PA,B =

2 1 1

4 3 2

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 2 4 3

3 1 3 2

2 4 1 2

4 4 3 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−1 −21 2

2 4

, TD,C =

[−2 3 2 −3−4 1 1 1

], UF ,E =

[4 −25 −5

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 2, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 37 RMIA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 38 MRHA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x21 − 4x2

x1 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 5x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 3

5 −5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 1

2 −4

].

Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 −2 3

−2 5 −50 1 1

, PA,B =

1 0 −12 2 3

1 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 1 −2 1

2 −1 3 −31 2 −2 3

2 1 3 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

0 0 0

1 −5 3

0 −2 3

0 0 3

, TD,C =

[0 2 3 1

−3 −2 2 1

], UF ,E =

1 2 −40 4 0

0 0 1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, −1, −6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 38 MRHA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 39 AVMA.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 − 3x2

x1 + 3x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −5x2 + 2x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −49 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 1

−2 4

].

Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 −4 4

2 −1 3

−1 4 −5

, PA,B =

2 2 −13 3 −12 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 −1 −3 4

−3 3 3 −41 0 2 1

1 1 2 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

2 1

−2 −12 1

, TD,C =

−2 −5 2

2 0 5

2 0 0

0 0 0

, UF ,E =

3 −5 −50 5 −10 3 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 2 −42 2 −26 3 −5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −5, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 39 AVMA, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 40 MCCO.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 − x2

4x21 − 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (−2x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −x2 + 4x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 6

−9 7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 2

−2 2

].

Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−4 5 2

3 1 −3−3 3 4

, PA,B =

3 3 2

0 1 −11 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 2 3 4

1 4 1 1

3 −2 2 3

4 −4 3 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−3 4 2 1

2 1 1 1

], TD,C =

4 −5 −35 0 −4

−2 0 0

0 0 0

, UF ,E =

−5 1 4

3 0 2

5 0 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−3, −1, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 40 MCCO, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 41.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − x2 + 4

4x1 − 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (2x+ 3)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 4x− 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 −4−3 4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 2

1 −4

].

Tarea 5, variante 41, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 −2 2

−2 4 1

4 1 −1

, PA,B =

1 1 1

1 1 2

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 4 2 1

2 −2 1 1

−4 −2 −3 −11 2 1 0

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[−6 −6 −2 −23 3 1 1

], TD,C =

−4 −1 −40 −1 4

0 −1 0

, UF ,E =

3 −5 4 2

1 −5 0 5

0 4 0 5

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 41, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−3, 5, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 41, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 42.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 + 5x

22

2x1 + x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − x+ 3)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −x2 + 5x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−7 1

2 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 1

1 5

].

Tarea 5, variante 42, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−5 1 4

1 2 −34 3 −3

, PA,B =

1 2 2

0 2 1

1 3 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 1 −3 1

−3 −1 2 1

3 2 1 2

−1 0 3 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 3 −3 −41 1 0 −4

], TD,C =

0 0 0

5 −3 5

0 −2 4

0 0 −1

, UF ,E =

2 1

−6 −32 1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 42, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[6, −1, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 42, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 43.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − 5x2

2x1 − 3x2 − 5

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + 5x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[6 −9

−8 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 −4

−3 3

].

Tarea 5, variante 43, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−1 4 3

1 1 3

0 1 2

, PA,B =

3 1 1

2 1 1

−1 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−1 2 −1 2

1 3 2 1

2 1 3 −1−3 2 1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

3 2

−2 −22 1

, TD,C =

[3 −32 −1

], UF ,E =

[2 −2 −4 2

1 −1 −2 1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 43, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −4, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 43, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 44.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−5x21 + 3x2

x1 + 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (2x− 3)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −3x2 + 2x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 1

−9 −7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 1

−4 −4

].

Tarea 5, variante 44, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 −4 2

−1 1 −32 2 −5

, PA,B =

−1 2 0

1 1 2

1 3 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 −3 3 2

1 −1 1 1

1 −2 2 1

3 −4 4 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

5 2

3 1

2 1

, TD,C =

[4 5

−4 4

], UF ,E =

[−6 2 4 −4−3 1 2 −2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 44, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−5, −4, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 44, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 45.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1 + 4x2

−2x1 − 3x2 + 4

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 3)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 − x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 9

−8 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[4 −32 4

].

Tarea 5, variante 45, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 −1 −4−1 2 1

1 4 −5

, PA,B =

3 2 1

−1 1 1

0 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 −3 4 1

2 3 2 1

3 −4 2 3

3 0 3 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

3 −2 −2 −40 0 4 5

3 0 0 −5

, TD,C =

1 1

−1 0

1 2

, UF ,E =

0 −3 −3−5 1 0

0 5 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 45, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, −2, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 45, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 46.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−4x21 + 4x2

0

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 4x2 + x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[9 1

−8 −2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 1

−2 1

].

Tarea 5, variante 46, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

0 2 1

2 1 1

1 1 −1

, PA,B =

1 1 1

−2 2 1

3 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 4 1 1

3 2 1 2

−2 −1 1 3

4 0 1 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 −1 −1 4

4 4 0 5

−2 0 0 −2

, TD,C =

−1 −22 3

3 4

, UF ,E =

[−1 −3 −1 1

−2 −6 −2 2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 46, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 3, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 46, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 47.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−2x1 + x

22

x1 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + 5x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−7 7

2 1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 4

2 4

].

Tarea 5, variante 47, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −3 −13 −3 5

4 −3 5

, PA,B =

1 1 1

1 1 2

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 1 −1 4

3 0 2 −22 1 3 4

1 1 2 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

4 5 3 −1−5 1 5 0

4 0 −3 0

, TD,C =

[−2 1 1 1

4 −2 −2 −2

], UF ,E =

[2 −53 5

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 47, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−5, −3, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 47, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 48.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[4x1 − 4x

22

x1 + 4x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 4x2 − 4x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[4 5

2 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−5 5

1 −1

].

Tarea 5, variante 48, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 3 3

−2 5 3

5 −1 −4

, PA,B =

4 3 3

1 1 1

2 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 2 3 4

1 1 1 1

−3 1 1 0

−4 3 4 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 5 1

0 0 0

−2 2 0

2 0 0

, TD,C =

−6 3

6 −3−2 1

, UF ,E =

[3 −1 2 1

4 −1 3 −2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 48, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 1, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 48, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 49.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−5x1 + x2

−3x21

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − x+ 2)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 4x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 9

−8 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 −33 3

].

Tarea 5, variante 49, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 0 4

−4 2 2

4 3 −1

, PA,B =

2 1 0

−1 1 2

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

4 1 1 0

−1 1 1 1

−4 3 4 1

−2 2 2 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[3 −1

−3 3

], TD,C =

[6 4 −2 6

−3 −2 1 −3

], UF ,E =

3 4

1 1

2 3

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 49, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[3, 3, 4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 49, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 50.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[5x1 − 5x2

−3x21 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −3x2 + 2x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 5

−1 4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 −31 −5

].

Tarea 5, variante 50, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 −3 2

4 −3 1

1 1 −1

, PA,B =

1 1 1

2 1 1

4 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

0 −2 1 1

1 2 1 1

2 2 3 3

−3 3 2 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−3 4 −2−3 0 −20 0 −3

, TD,C =

[−3 1 −2 −16 −2 4 2

], UF ,E =

2 −1 −5 −10 −4 0 4

0 1 4 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 50, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −5, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 50, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 51.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − x2

3x21 − 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + 2x− 3)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 4x2 − 4x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−2 −1−8 −4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−5 1

4 −5

].

Tarea 5, variante 51, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 3 −41 −4 1

1 −5 1

, PA,B =

3 1 0

2 1 1

2 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 2 2 3

−2 −1 1 −11 1 3 2

1 1 0 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

2 4

2 4

1 2

, TD,C =

−2 −2 1

0 0 0

0 4 −10 0 −4

, UF ,E =

[−1 −52 5

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 51, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−3, 1, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 51, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 52.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 + 2x2

−3x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (x2 − x− 2)f ′′(x) + (3x+ 2)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −3x2 + 4x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−9 6

7 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−5 2

2 −3

].

Tarea 5, variante 52, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −3 2

0 3 1

4 5 1

, PA,B =

1 1 1

0 1 1

−3 1 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

0 1 1 −11 3 3 4

1 3 4 −1−1 −4 −4 −3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 −2

−4 1

], TD,C =

−1 −21 2

2 4

, UF ,E =

0 0 0

1 5 5

0 1 −30 0 −3

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 52, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−4, 5, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 52, pagina 3 de 3

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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 53.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1 + 5x2

−x21

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 5x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[3 −3

−6 2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 3

4 −1

].

Tarea 5, variante 53, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 0 −25 1 −2

−5 3 1

, PA,B =

1 1 1

2 4 3

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 −3 3 2

1 −2 2 3

1 1 1 2

2 −1 0 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 3 0 1

1 2 −3 1

], TD,C =

[−5 1

−5 2

], UF ,E =

−2 −41 2

−2 −4

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 53, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 1, −2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 53, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 54.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[3x1 − 5x2

4x21

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 2x− 2)f ′′(x) + (3x+ 1)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −4x2 + 4x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 8

6 −2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 1

1 −3

].

Tarea 5, variante 54, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−2 3 −15 3 −34 3 −3

, PA,B =

1 1 1

2 2 1

0 1 −1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−2 −3 −4 3

1 −1 1 2

2 1 3 1

0 2 1 −4

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[3 −23 −1

], TD,C =

[2 −2 −2 6

1 −1 −1 3

], UF ,E =

4 0 2 −5−4 −4 2 0

−1 0 5 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 54, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 2 −1−4 5 −2−6 6 −2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 1, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 54, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 55.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−2x1 − 5x2

5x1x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 + 3x− 1)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) − 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 3x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−5 −84 7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−1 −41 4

].

Tarea 5, variante 55, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 −1 1

1 3 −23 −1 −3

, PA,B =

3 3 4

2 2 3

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 3 −4 0

−2 1 −1 −31 −2 −3 2

1 1 4 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−2 1

−4 2

−4 2

, TD,C =

−2 −1 −10 −4 −10 −1 0

, UF ,E =

−3 −2 −50 4 −40 −3 0

0 0 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 55, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 3, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 55, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 56.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−4x2

−5x21 − 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 + 2x− 1)f ′′(x) + (−3x− 2)f ′(x) + 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 4x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−6 −87 4

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[2 3

−2 −1

].

Tarea 5, variante 56, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−2 0 4

−2 2 2

−3 1 3

, PA,B =

1 3 2

1 4 2

0 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 3 3 −41 3 2 −22 1 2 −11 0 1 −2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

3 −3 −5 3

−5 3 1 0

0 3 −4 0

, TD,C =

[4 −4 −2 2

2 −2 −1 1

], UF ,E =

2 3

3 4

2 2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 56, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 2 −42 2 −26 3 −5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, −1, −6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 56, pagina 3 de 3

Engra

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Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 57.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−2x1 − 2

−x1 − x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 2x+ 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 − 4x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[9 6

3 −7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−2 1

1 −5

].

Tarea 5, variante 57, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

0 2 4

2 −2 1

1 4 1

, PA,B =

1 2 1

0 1 1

1 2 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−3 3 2 2

−1 2 2 1

−3 2 3 1

2 1 −2 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 −34 −5

], TD,C =

1 −22 −4

−2 4

, UF ,E =

[2 4 2 1

3 3 −4 1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 57, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 4, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 57, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 58.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−4x1 − 2x2

3x1 − 4x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (2x− 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 + 2x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 −42 −9

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 −11 −1

].

Tarea 5, variante 58, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−4 5 1

−5 5 −2−5 1 1

, PA,B =

1 2 0

1 2 1

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 −2 −1 −1

−2 3 2 2

−2 1 0 1

3 2 3 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[2 −3

−4 5

], TD,C =

[6 2 6 6

3 1 3 3

], UF ,E =

2 3

−2 −23 4

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 58, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −4 2

6 −5 3

2 −2 2

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−6, 2, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 58, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 59.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1

3x1 + 5x22

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 + 2x+ 1)f ′′(x) + (3x− 2)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + x− 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−4 7

4 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−4 5

2 2

].

Tarea 5, variante 59, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

2 4 −21 2 −12 −2 2

, PA,B =

1 2 1

0 1 1

1 2 2

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

0 2 2 −13 3 −2 1

1 4 4 −12 1 −4 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[4 6 −2 2

2 3 −1 1

], TD,C =

[5 −2

−4 1

], UF ,E =

5 2 −1 5

−3 −1 −1 0

5 0 −1 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 59, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 −6 6

−1 −1 2

−2 −4 5

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, −3, −3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 59, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 60.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x1 − 3x2

3x1 + 3x2 − 2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 + 3x+ 2)f ′′(x) + (x− 1)f ′(x) − 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 3x2 + 2x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 9

8 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−4 3

2 −4

].

Tarea 5, variante 60, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−2 −4 2

3 5 −45 1 −4

, PA,B =

2 1 0

1 1 1

4 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 −1 2 2

1 0 −1 1

1 1 −2 1

1 −2 3 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−2 −5 0

0 −2 −10 4 0

, TD,C =

−3 0 3

5 −4 0

0 0 0

0 −1 0

, UF ,E =

[−1 1 −4 2

4 3 −2 5

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 60, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, −4, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 60, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 61.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[2x1 − 3x2 + 4

3x1 + 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (2x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−2x+ 3)f ′(x) − 1f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −2x2 + x+ 3.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−8 −61 5

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 3

−1 −5

].

Tarea 5, variante 61, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

3 −3 3

4 −3 5

0 1 3

, PA,B =

1 2 0

1 2 1

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 0 1 3

4 −1 1 2

3 1 1 1

−3 −2 −1 1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

[1 −4 −3 3

1 1 1 4

], TD,C =

2 1

−2 −1−2 −1

, UF ,E =

−1 5 1

0 0 0

−4 −2 0

4 0 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 61, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[5, −4, 2

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 61, pagina 3 de 3

Engra

peaq

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No

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e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 62.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−x21 − x2

x1 + 3x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 3x+ 2)f ′′(x) + (−2x+ 1)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 2x2 + 5x− 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[7 −91 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−2 5

−1 2

].

Tarea 5, variante 62, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

4 −2 4

−1 3 0

1 −2 2

, PA,B =

1 2 0

1 2 1

1 1 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 −2 −1 3

1 3 2 −23 2 1 2

−1 −1 0 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

2 5 −5 −4−5 1 0 −10 −5 0 −3

, TD,C =

3 2 −30 −5 5

0 3 0

, UF ,E =

1 2

1 3

0 2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 62, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 2, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 62, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 63.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 − x

22

4x1 − 2x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 + 3x− 2)f ′′(x) + (x− 3)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −x2 + 5x+ 1.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 −4

−2 2

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[4 −21 3

].

Tarea 5, variante 63, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−4 5 2

4 1 −21 4 −1

, PA,B =

1 2 2

2 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−2 2 2 1

1 0 −1 −22 3 3 1

−3 2 3 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

0 0 0

3 −5 0

−4 0 2

−2 0 0

, TD,C =

−1 −2−1 −21 2

, UF ,E =

1 4 2

3 4 0

0 2 0

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 63, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[−1, 1, −5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 63, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 64.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−5x1 + 3x2

−3x1 + x2 − 5

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−2x2 − x+ 3)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −x2 + 2x+ 5.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[−5 7

2 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[−3 1

1 −2

].

Tarea 5, variante 64, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

1 4 −31 0 5

1 1 3

, PA,B =

1 2 2

2 1 0

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

2 3 4 3

−4 3 4 4

−4 1 2 2

−4 2 3 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

1 1

−1 0

3 2

, TD,C =

4 −2 5

1 5 0

0 5 0

, UF ,E =

[2 4 6 −21 2 3 −1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 64, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −4 2

−1 −1 1

−3 −6 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, 2, −4

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 64, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 65.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 + x2

5x21 + 4x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 2x− 3)f ′′(x) + (x+ 2)f ′(x) + 3f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = 5x2 + 3x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[2 −4

−8 7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[1 1

1 1

].

Tarea 5, variante 65, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

−1 5 −14 −1 3

5 −4 3

, PA,B =

2 1 3

3 2 3

2 2 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 4 1 4

1 4 0 3

−1 4 −1 2

3 −3 1 3

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−2 1 1

−2 0 3

2 0 0

, TD,C =

4 3

3 2

−1 −1

, UF ,E =

[−6 −2 −4 −43 1 2 2

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 65, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

4 −6 −31 −1 −12 −4 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −5, 1

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 65, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 66.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[−3x1 − 5

−2x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (3x2 − 3x+ 1)f ′′(x) + (−x− 2)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = x2 − 5x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[9 5

−2 8

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[4 −43 4

].

Tarea 5, variante 66, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

2 −2 0

5 −2 1

2 5 1

, PA,B =

1 1 1

2 2 1

0 1 −1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

−2 3 −3 −21 −1 2 3

1 −3 1 −21 −2 2 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−4 0 −1−3 −1 0

0 4 0

0 0 0

, TD,C =

[1 3 2 1

−1 −2 5 3

], UF ,E =

−2 −2 4

−3 0 −50 0 −1

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 66, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−2 6 −6−2 5 −4−1 2 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 1, −6

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 66, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 67.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[4x21

4x1 + 5x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−x2 − 2x+ 3)f ′′(x) + (−3x+ 1)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −x2 + 3x+ 4.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[8 7

−9 −7

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 2

−2 −1

].

Tarea 5, variante 67, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

5 −3 4

0 3 3

1 −3 5

, PA,B =

3 3 4

2 2 3

1 0 1

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

3 2 0 1

2 −1 −2 2

1 3 2 −11 −2 −2 2

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

−4 −3 −4−3 0 2

5 0 0

0 0 0

, TD,C =

[2 −54 −4

], UF ,E =

[3 2 1 −33 1 1 −1

].

Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 67, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

−1 −1 1

−4 −1 2

−6 −3 4

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[1, −2, 3

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones

directas muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 67, pagina 3 de 3

Engra

peaq

uı

No

dobl

e

Algebra II, licenciatura. Tarea 5. Variante 68.

Transformaciones lineales.

Nombre: Calificacion ( %):

Esta tarea vale 20 % de la calificacion parcial.

Ejercicio 1. 1%.Demuestre que la funcion f : R2 → R2 definida mediante la siguiente formula no es transforma-cion lineal. Indique cual condicion no se cumple y de un contraejemplo concreto.

f(x) =

[x1 + 4x

22

5x1 − x2

].

Ejercicio 2. 2%.Demuestre que la funcion T : P2(R) → P2(R) definida mediante la siguiente regla es una trans-formacion lineal.

(Tf)(x) = (−3x2 − 2x− 1)f ′′(x) + (x+ 3)f ′(x) + 2f(x).

Calcule la matriz TE asociada a T respecto a la base canonica E = (e0, e1, e2). Para comprobacioncalcule Tg aplicando la regla de correspondencia de T , escriba el vector (Tg)E y calcule elproducto TEgE .

e0(x) = 1, e1(x) = x, e2(x) = x2.

g(x) = −5x2 + x+ 2.

Ejercicio 3. 2%.Demuestre que la funcion T : M2(R) → M2(R) definida mediante la siguiente regla es unatransformacion lineal.

T(X) = AX− XA, donde A =

[3 2

−7 −1

].

Calcule la matriz asociada a T respecto a la base E = (E1, E2, E3, E4). Para comprobar larespuesta calcule T(Y) de dos maneras diferentes:

1) usando la matriz asociada;

2) aplicando la regla de correspondencia de T .

E1 =

[1 0

0 0

], E2 =

[0 1

0 0

], E3 =

[0 0

1 0

], E4 =

[0 0

0 1

], Y =

[3 1

1 3

].

Tarea 5, variante 68, pagina 1 de 3

Ejercicio 4. 2%.Sean A y B algunas bases de un espacio vectorial V y sea T : V → V una transformacion lineal.Dadas la matriz TA asociada a T respecto a la base A y la matriz de cambio de base PA,B,calcule la matriz PB,A, compruebe la igualdad PA,BPB,A = I y calcule la matriz TB asociada a Trespecto a la base B.

TA =

0 4 −15 3 −35 1 −1

, PA,B =

3 3 2

4 4 3

4 3 3

.Ejercicio 5. 2%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Calcule las matrices T(F1), T(F2), T(F3), T(F4) yescriba la matriz TF asociada a la transformacion lineal T respecto a la base F = (F1, F2, F3, F4),donde

F1 =

[1 0

0 0

], F2 =

[0 0

1 0

], F3 =

[0 1

0 0

], F4 =

[0 0

0 1

].

Escriba las matrices de cambio PE ,F y PF ,E , compruebe que PE ,FPF ,E = I y PF ,ETEPE ,F = TF .

Ejercicio 6. 1%.Sean V y W espacios vectoriales reales, sea A = (a1, a2, a3, a4) una base de V y sea B =(b1, b2, b3, b4) una base de W. Se considera una transformacion lineal T : V →W dada por sumatriz asociada TB,A. Construya una base de ker(T) y una base de im(T). Calcule el rango y lanulidad de T . Haga las comprobaciones.

TB,A =

1 2 2 3

1 −2 1 2

2 0 −2 −1−3 2 1 −1

.Ejercicio 7. 1%; se baja 0.25% por cada error en la tabla.Se consideran tres transformaciones lineales S, T,U dadas por sus matrices asociadas respectoa ciertas bases:

SB,A =

5 1 −2 −32 0 −1 3

3 0 −3 0

, TD,C =

[3 4

−5 −3

], UF ,E =

5 4

4 3

−3 −2

.Llene la siguiente tabla:

S T U

dim(dominio)dim(contradominio)rango := dim(imagen)nulidad := dim(nucleo)¿es inyectiva?¿es suprayectiva?¿es invertible?

Tarea 5, variante 68, pagina 2 de 3

Ejercicio 8. 1%.Sea T la transformacion lineal del Ejercicio 3. Construya una base de ker(T) y una base deim(T). Halle el rango y la nulidad de T . Haga las comprobaciones.

Ejercicio 9. 2%.Sea P : R3 → R3 la transformacion lineal dada por su matriz asociada con respecto a la basecanonica E . Verifique que P2 = P. Construya una base A de im(P) y una base B de ker(P).Haga las comprobaciones.

PE =

5 −2 −46 −2 −62 −1 −1

.Ejercicio 10. 1%.Seguimos trabajando con la transformacion lineal P del ejercicio anterior. SeaQ = I−P. Calculela matriz QE . Calcule Q2, PQ y QP multiplicando las matrices asociadas correspondientes.

Ejercicio 11. 2%.Construya una base C de im(Q) y una base D de ker(Q). Muestre que los vectores de C soncombinaciones lineales de los vectores de B y vice versa. Muestre que los vectores de D soncombinaciones lineales de los vectores de A y vice versa. ¿Que significa esto en terminos de lossubespacios im(P), ker(P), im(Q), ker(Q)?.

Ejercicio 12. 1%.

Sea v =[2, 3, 5

]>. Calcule los vectores u = P(v) y w = Q(v). Con comprobaciones directas

muestre que u+w = v, u ∈ ker(Q), w ∈ ker(P).

Ejercicio 13. 1%.Denotemos por F al sistema de vectores que se obtiene al juntar las bases A y B de im(P) y deker(P). Escriba la matriz de transicion de E a F (puede denotarla por UE ,F), calcule su inversay haga la comprobacion.

Ejercicio 14. 1%.Calcule las matrices PF y QF asociadas a las transformaciones lineales P y Q con respecto a labase F del ejercicio anterior. Verifique que

PF +QF = I, P2F = PF , Q2F = QF , PFQF = 0, QFPF = 0.

Tarea 5, variante 68, pagina 3 de 3