Matrices de permutaciones - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/numerical_methods/permutation_matrice… · Se recomienda resolver cada ejercicio en papel antes de continuar con

Matrices de permutaciones

Egor Maximenkocon correcciones de Roman Higuera Garcıa

Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico

5 de diciembre de 2014

1 / 68

Contenido

Objetivosy requisitos

Repaso rapido

PermutacionesMultiplicacion

de matricesDelta de

Kronecker

Matrices depermutaciones

Multiplicacionde matrices depermutaciones

Matrices queintercambiandos renglones

2 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




3 / 68

¿Que aprenderemos?

1. Escribir en la forma explıcita la matriz de permutacionasociada a la permutacion dada:

P3,2,4,1 =

0 0 1 00 1 0 00 0 0 11 0 0 0

.2. Dada una matriz de permutacion en la forma explıcita,escribir la permutacion correspondiente:

0 1 0 00 0 1 01 0 0 00 0 0 1

= P2,3,1,4.

4 / 68

¿Que aprenderemos?

3. Multiplicar una matriz de permutacion por un vector:

P4,1,3,2

−4

715

=

5−4

17

.4. Multiplicar una matriz de permutacion por una matriz:

P3,1,4,2

−3 7 1 5

2 −4 3 40 −1 2 −2−5 5 7 2

=

0 −1 2 −2−3 7 1 5−5 5 7 2

2 −4 3 4

.

5 / 68

¿Que aprenderemos?

5. Multiplicar dos matrices de permutacion:

P3,1,4,5,2P5,3,2,4,1 = P2,5,4,1,3.

6. Demostar la formula para el producto de dos matrices de permutacion:

PϕPψ = Pψϕ.

7. Multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por una matrizde permutacion:

E2↔4P3,1,5,2,4 = P3,2,5,1,4.

6 / 68

¿Que se necesita para comprender bien la presentacion?

Permutaciones, multiplicacion de permutaciones.

Notacion para vectores y matrices, multiplicacion de matrices.

Delta de Kronecker, sumas con la delta de Kronecker.

7 / 68

Resolver ejercicios simples incluidos en la presentacion

Para aprender a jugar el futbol,no es suficiente solo ver partidos por la television.

Esta presentacion incluye varios ejercicios simples.Se recomienda resolver cada ejercicio en papel

antes de continuar con la presentacion.

8 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




9 / 68

Ejemplos de permutacionesLa funcion (mapeo, aplicacion) ϕ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definidamediante la siguiente regla es una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4}:

ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 2, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1.

Por lo comun se usa alguna notacion mas concisa:

ϕ =

1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓3 2 4 1

=

(1 2 3 43 2 4 1

)= (3, 2, 4, 1).

Otra permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4}: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓4 1 3 2

.

10 / 68

Definicion de permutaciones

Una permutacion del conjunto {1, . . . , n}es una funcion biyectiva {1, . . . , n} → {1, . . . , n}.

Biyectiva significa inyectiva y suprayectiva.Por ejemplo, la funcion ϕ : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} definida por

ϕ =

1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓3 2 4 1

es inyectiva porque 3, 2, 4, 1 son diferentes a pares,y es suprayectiva porque 3, 2, 4, 1 son todos los elementos de {1, 2, 3, 4}.

En realidad, aquı serıa suficiente exigir cualquiera de estas dos propiedades,y la otra se cumplirıa automaticamente.

11 / 68

Ejemplos

Las siguientes dos funciones son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 5 4 1 2

, 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓5 1 2 3 4

.Las siguientes dos funciones mandan {1, 2, 3, 4, 5} en {1, 2, 3, 4, 5},pero no son permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}: 1 2 3 4 5

↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 5 1 5 2

, 1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓5 1 2 3 1

.

12 / 68

Ejercicios

Complete la definicion de ϕ de tal maneraque ϕ sea una permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 ?

.

Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.

13 / 68

Ejercicios


ϕ =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2

.

Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.

13 / 68

Ejercicios


ϕ =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2

.Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ(1) =

3

, ϕ(4) =

5

.

13 / 68

Ejercicios


ϕ =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓3 4 1 5 2

.Encuentre los valores de la funcion ϕ en los elementos 1 y 4.Se recomienda escribir la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ(1) = 3, ϕ(4) = 5.

13 / 68

El conjunto de las permutaciones del conjunto {1, . . . , n}

Se denota por Sn el conjunto de todas las permutaciones del conjunto{1, . . . , n}. Por ejemplo, el conjunto S3 consiste de 6 permutaciones:(

1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 33 2 1

).

Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:(

1 21 2

),

(1 22 1

).

14 / 68



1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 33 2 1

).

Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:

(1 21 2

),

(1 22 1

).

14 / 68



1 2 31 2 3

),

(1 2 31 3 2

),

(1 2 32 1 3

),

(1 2 32 3 1

),

(1 2 33 1 2

),

(1 2 33 2 1

).

Escriba todos los elementos del conjunto S2, es decir,todas las permutaciones del conjunto {1, 2}:(

1 21 2

),

(1 22 1

).

14 / 68

Multiplicacion de permutacionesDefinicion (el producto de dos permutaciones)Sean ϕ,ψ ∈ Sn. El producto ϕψ se define como la composicion ϕ ◦ ψ.En otras palabras, la funcion ϕψ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}se define mediante la regla:

(ϕψ)(j) := ϕ(ψ(j)) (j ∈ {1, . . . , n}).

Por ejemplo, si

ϕ =

(1 2 3 4 53 5 4 1 2

), ψ =

(1 2 3 4 52 4 1 5 3

),

entonces

(ϕψ)(1) = ϕ(ψ(1)) = ϕ(2) = 5, (ϕψ)(2) = ϕ(ψ(2)) = ϕ(4) = 1, . . .

Resultado:ϕψ =

(1 2 3 4 55 1 3 2 4

).

15 / 68

Multiplicacion de permutaciones, otro ejemplo

ϕ =

(1 2 3 4 5 63 1 6 4 2 5

), ψ =

(1 2 3 4 5 66 3 5 1 2 4

).

Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar segun el siguiente diagrama:

1 2 3 4 5 6

3 1 6 4 2 5

1 2 3 4 5 6

6 3 5 1 2 4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

Escriba en papel el producto ϕψ:

ϕψ =

(1 2 3 4 5 6

5 6

2

3 1 4

).

16 / 68

Multiplicacion de permutaciones, otro ejemplo

ϕ =

(1 2 3 4 5 63 1 6 4 2 5

), ψ =

(1 2 3 4 5 66 3 5 1 2 4

).

Para calcular (ϕψ)(3), uno puede pensar segun el siguiente diagrama:

1 2 3 4 5 6

3 1 6 4 2 5

1 2 3 4 5 6

6 3 5 1 2 4

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

Escriba en papel el producto ϕψ:

ϕψ =

(1 2 3 4 5 65 6 2 3 1 4

).

16 / 68

La inversa de una permutacionPor definicion, cada permutacion ϕ es una funcion invertible.La permutacion inversa ϕ−1 es la funcion inversa de ϕ.

Por ejemplo, si ϕ =

(1 2 3 4 53 5 4 1 2

), entonces

ϕ(1) = 3, ϕ(2) = 5, ϕ(3) = 4, ϕ(4) = 1, ϕ(5) = 2.

De allı

ϕ−1(3) = 1, ϕ−1(5) = 2, ϕ−1(4) = 3, ϕ−1(1) = 4, ϕ−1(2) = 5.

Hemos construido la permutacion inversa de ϕ:

ϕ−1 =

(1 2 3 4 54 5 1 3 2

).

17 / 68

Transposiciones (ciclos de dos elementos)

DefinicionSean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.Denotemos por τ (n)p,q a la permutacion del conjunto {1, . . . , n}que intercambia p y q y deja inmovibles los demas elementos.Escribimos simplemente τp,q cuando n se deduce del contexto.

Ejemplos (en S6):

τ3,5 = τ(6)3,5 =

(1 2 3 4 5 61 2 5 4 3 6

),

τ1,4 = τ(6)1,4 =

(1 2 3 4 5 64 2 3 1 5 6

).

18 / 68

Transposiciones (ciclos de dos elementos)

DefinicionSean p, q ∈ {1, . . . , n}, p 6= q.Denotemos por τ (n)p,q a la permutacion del conjunto {1, . . . , n}que intercambia p y q y deja inmovibles los demas elementos.Escribimos simplemente τp,q cuando n se deduce del contexto.

Ejemplos (en S6):

τ3,5 = τ(6)3,5 =

(1 2 3 4 5 61 2 5 4 3 6

),

τ1,4 = τ(6)1,4 =

(1 2 3 4 5 64 2 3 1 5 6

).

18 / 68

Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEjemplo

Seaϕ =

(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5

).

Haga el siguiente calculo en papel:

ϕτ2,4 =

(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5

)(1 2 3 4 5 61 4 3 2 5 6

)

=

(1 2 3 4 5 6

3 1 4 6 2 5

).

Al comparar ϕτ2,4 con ϕ vemos quese hizo un intercambio de los valores ϕ(2) y ϕ(4).

19 / 68

Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEjemplo

Seaϕ =

(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5

).

Haga el siguiente calculo en papel:

ϕτ2,4 =

(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5

)(1 2 3 4 5 61 4 3 2 5 6

)

=

(1 2 3 4 5 63 1 4 6 2 5

).

Al comparar ϕτ2,4 con ϕ vemos quese hizo un intercambio de los valores ϕ(2) y ϕ(4).

19 / 68

Multiplicacion de una permutacion por una transposicionEl mismo ejemplo

1 2 3 4 5 6

3 6 4 1 2 5

1 2 3 4 5 6

ϕ

τ2,4

(1 2 3 4 5 63 6 4 1 2 5

)τ2,4 =

(1 2 3 4 5 63 1 4 6 2 5

).

20 / 68

Multiplicacion de permutaciones por transposicionesEjercicios

Calcule los siguientes productos(escriba las respuestas en papel antes de continuar):(

1 2 3 4 5 66 1 4 3 2 5

)τ1,3 =

(1 2 3 4 5 64 1 6 3 2 5

),

(1 2 3 4 5 62 5 1 3 6 4

)τ3,4 =

(1 2 3 4 5 62 5 3 1 6 4

),

(1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3

)τ1,6 =

(1 2 3 4 5 63 2 6 1 4 5

).

21 / 68

Multiplicacion de permutaciones por transposicionesEjercicios

Calcule los siguientes productos(escriba las respuestas en papel antes de continuar):(

1 2 3 4 5 66 1 4 3 2 5

)τ1,3 =

(1 2 3 4 5 64 1 6 3 2 5

),

(1 2 3 4 5 62 5 1 3 6 4

)τ3,4 =

(1 2 3 4 5 62 5 3 1 6 4

),

(1 2 3 4 5 65 2 6 1 4 3

)τ1,6 =

(1 2 3 4 5 63 2 6 1 4 5

).

21 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




22 / 68

Importancia de notacion

En el siglo XVI fue inventado el simbolismo algebraico:

El cuadrado de la suma de dos terminoses igual al cuadrado del primer termino

mas el doble producto de ambos terminosmas el cuadrado del segundo termino.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

23 / 68

Notacion para construir vectores

la tupla de longitud ncuya k-esima componente es igual a k

k+1

para cada ındice k desde 1 hasta n

[ kk + 1

]n

k=1

Por ejemplo, [ kk + 1

]3

k=1=

1/22/33/4

.

24 / 68



k+1


[ kk + 1

]n

k=1


]3

k=1=

1/22/33/4

.

24 / 68



k+1


[ kk + 1

]n

k=1


]3

k=1=

1/22/33/4

.24 / 68

Notacion para las componentes de vectores en R3

Dado un vector v ∈ R3, denotamos sus componentes por v1, v2, v3:

v =

v1v2v3

.Esta notacion es muy general.Si el vector se llama ,, entonces sus componentes son ,1, ,2, ,3:

, =

,1,2,3

.

25 / 68


Escriba la segunda componente del vector a � (b n c):

?

Aquı no es necesario saber el sentido de los signos � y n.

26 / 68


Escriba la segunda componente del vector a � (b n c):

(a � (b n c))2.

Aquı no es necesario saber el sentido de los signos � y n.

26 / 68

Notacion para vectores en Rn

Dado un vector v ∈ Rn, denotemos por vj su j-esima componente.

Dos vectores u y v se llaman iguales si son de la misma longitud(digamos n) y para cada ındice j sus j-esimas componentes son iguales:

∀j ∈ {1, . . . , n} uj = vj .

27 / 68

Notacion para matricesDenotemos por Mm×n al conjunto de todas las matrices de tamano m× ncon entradas reales. Si A es una matriz, entonces denotemos su entrada(j , k) por Aj,k . Por ejemplo, si ☼ ∈M2×3, entonces

☼ =

[☼1,1 ☼1,2 ☼1,3

☼2,1 ☼2,2 ☼2,3

].

Si (P ~ Q)† ∈M2×2, entonces

(P ~ Q)† =

[((P ~ Q)†)1,1 ((P ~ Q)†)1,2

((P ~ Q)†)2,1 ((P ~ Q)†)2,2

].

A veces es necesario definir una matriz mediante una formula para suscomponentes: [

10j + k2]2,3j,k=1 =

[11 14 1921 24 29

].

28 / 68

Notacion para los renglones de una matriz

Dada una matriz A, denotemos por Aj,∗ a su renglon j .Por ejemplo, si A ∈M3×2, entonces

A =

A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2

y A2,∗ =[

A2,1 A2,2].

Dada una matriz B, escriba B3,∗:

B =

6 −1 34 2 −37 0 2

, B3,∗ =

[7 0 2

].

29 / 68



A =

A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2

y A2,∗ =[

A2,1 A2,2].


B =

6 −1 34 2 −37 0 2

, B3,∗ =

[7 0 2

].

29 / 68



A =

A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2

y A2,∗ =[

A2,1 A2,2].


B =

6 −1 34 2 −37 0 2

, B3,∗ =[

7 0 2].

29 / 68

Producto de una matriz por un vector (ejemplo)Consideremos una matriz general A ∈M2×3 y un vector general b ∈ R3:

A =

[A1,1 A1,2 A1,3A2,1 A2,2 A2,3

], b =

b1b2b3

.Escriba el producto Ab, luego escriba por separado las componentes de Ab:

Ab =

?

?

, (Ab)1 = A1,1b1 + A1,2b2 + A1,3b3 =3∑

k=1A1,kbk ;

(Ab)2 = ?

Generalizando estas expresiones escriba una formula para (Ab)j :

(Ab)j =?∑

k=?

A?,?b? (j ∈ {1, 2}).

30 / 68

Producto de una matriz por un vector (definicion formal)

Sean A ∈Mm×n, b ∈ Rn. Entonces Ab se define como

Ab =

[ n∑k=1

Aj,kbk

]m

j=1

.

En otras palabras, Ab ∈ Rm,y las componentes de Ab se calculan por la siguiente formula:

(Ab)j =n∑

k=1Aj,kbk (j ∈ {1, . . . ,m}).

31 / 68

Producto de dos matrices (ejemplo)Sean A ∈M3×2, B ∈M2×4:

A =

A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2

, B =

[B1,1 B1,2 B1,3 B1,4B2,1 B2,2 B2,3 B2,4

].

Entonces AB ∈M?×?. Calcule la matriz AB y escriba por separado sussiguientes entradas:

(AB)2,3 = A2,1B1,3 + A2,2B2,3 =2∑

k=1A2,kBk,3;

(AB)1,4 = ?

(AB)2,1 = ?

Escriba la formula general para (AB)i ,j .

32 / 68

Producto de dos matrices (definicion formal)

Sean A ∈Mm×n, B ∈Mn×p. Entonces AB se define como

AB =

[ n∑k=1

Ai ,kBk,j

]m,p

i ,j=1

.

En otras palabras, AB ∈Mm×p,y las entradas de AB se calculan mediante la siguiente regla:

(AB)i ,j =n∑

k=1Ai ,kBk,j (i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {1, . . . , p}).

33 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




34 / 68

Delta de Kronecker

La funcion δ : Z× Z→ {0, 1} esta definida mediante la regla:

δp,q =

{1, si p = q;0, si p 6= q.

Por ejemplo,

δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.

Evalue la delta de Kronecker en los pares dados(escriba las respuestas en papel antes de continuar):

δ4,4 = 1, δ2,3 = 0, δ−6,−6 = 1, δ−5,4 = 0.

35 / 68

Delta de Kronecker


δp,q =

{1, si p = q;0, si p 6= q.

Por ejemplo,

δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.


δ4,4 = ?

1

, δ2,3 = ?

0

, δ−6,−6 = ?

1

, δ−5,4 = ?

0

.

35 / 68

Delta de Kronecker


δp,q =

{1, si p = q;0, si p 6= q.

Por ejemplo,

δ3,5 = 0, δ7,7 = 1, δ−1,6 = 0, δ−2,−2 = 1.


δ4,4 = 1, δ2,3 = 0, δ−6,−6 = 1, δ−5,4 = 0.

35 / 68

Ejemplo de una suma con la delta de Kronecker

En la siguiente suma sobrevive solo el sumando con el ındice j igual a 4:

5∑j=1

δj,4aj = δ1,4︸︷︷︸=

0

a1 + δ2,4︸︷︷︸=

0

a2 + δ3,4︸︷︷︸=

0

a3 + δ4,4︸︷︷︸=1

a4 + δ5,4︸︷︷︸=0

a5 = a4.

Podemos llegar a la misma respuesta con un razonamiento mas formal(“separar las moscas de las albondigas”):

5∑j=1

δj,4aj =∑

j∈{4}δj,4︸︷︷︸=

1

aj +∑

j∈{1,2,3,5}δj,4︸︷︷︸=

0

aj = 1 · aj + 0 = aj .

36 / 68

Ejercicios simples con sumas de KroneckerPara cada una de las siguientes sumasescriba en papel los razonamientos y la respuesta:

4∑j=1

δj,32j =∑

j∈{3}δj,3︸︷︷︸=

?

2j +∑

j∈{1,2,4}δj,3︸︷︷︸=?

2j = ?

4∑k=1

δk,2bk = ?

5∑p=1

δp,5cp = ?

4∑q=1

δq,3dq = ?

37 / 68

Ejercicios simples con sumas de KroneckerPara cada una de las siguientes sumasescriba en papel los razonamientos y la respuesta:

4∑j=1

δj,32j =∑

j∈{3}δj,3︸︷︷︸=

1

2j +∑

j∈{1,2,4}δj,3︸︷︷︸=

0

2j = 8,

4∑k=1

δk,2bk = b2,

5∑p=1

δp,5cp = c5,

4∑q=1

δq,3dq = d3.

37 / 68

Formula para las sumas con la delta de Kronecker

ProposicionSi a1, . . . , an son algunos numeros y p ∈ {1, . . . , n}, entonces

n∑j=1

δj,paj = ap.

Demostracion:p∑

j=1δj,paj =

∑j∈{p}

δj,p︸︷︷︸=1

aj +∑

j∈{1,...,n}\{p}δj,p︸︷︷︸=

0

aj = 1 · ap + 0 = ap.

38 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




39 / 68

Ejemplo de una matriz de permutacion

A cada permutacion ϕ del conjunto {1, . . . , n} le vamos a asociarmediante cierta regla una matriz n × n. Por ejemplo,

ϕ =

(1 2 3 44 1 3 2

)7→ Pϕ =

0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0

.Lo escribiremos de manera mas breve:

P4,1,3,2 =

0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0

.

40 / 68

Ejemplos de matrices de permutacion

P2,5,3,1,4 =

0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0

, P2,1,3 =

0 1 01 0 00 0 1

,

P2,4,1,3 =

0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0

, P3,1,2,4 =

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

.Antes de pasar a la siguiente pagina, escriba la siguiente matriz:

P2,3,4,1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

.

41 / 68

Ejemplos de matrices de permutacion

P2,5,3,1,4 =

0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 01 0 0 0 00 0 0 1 0

, P2,1,3 =

0 1 01 0 00 0 1

,

P2,4,1,3 =

0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0

, P3,1,2,4 =

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

.Antes de pasar a la siguiente pagina, escriba la siguiente matriz:

P2,3,4,1 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 0 0 0

.41 / 68

Hacia la formula para la matriz de permutacionQueremos escribir una formula general para las entradas de Pϕ.Consideremos un ejemplo:

ϕ =

(1 2 32 3 1

), Pϕ =

0 1 00 0 11 0 0

.Entre las entradas del primer renglon de A solamente una es igual a 1,y las demas son nulas.

(Pϕ)1,j =

{1, si j = 2,0, si j 6= 2

= δ2,j = δϕ(1),j .

Verifique que

(Pϕ)2,j = δ3,j = δϕ(2),j , (Pϕ)3,j = δ1,j = δϕ(3),j .

Escriba una formula general para (Pϕ)i ,j .42 / 68

Matrices de permutacionDefinicion formal

DefinicionSea ϕ ∈ Sn. Entonces

Pϕ =[δϕ(i),j

]ni ,j=1.

En otras palabras, Pϕ ∈Mn×n, y

(Pϕ)i ,j = δϕ(i),j (i , j ∈ {1, . . . , n}).

43 / 68

Producto de una matriz de permutacion por un vectorEjemplo

Sea v ∈ R4 y sea

ϕ =

(1 2 3 43 1 4 2

).

Calcule el producto Pϕv :

P3,1,4,2v =

0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0

v1v2v3v4

= ?

Escriba por separado las componentes del vector Pϕv :

(Pϕv)1 = v ?, (Pϕv)2 = v ?, (Pϕv)3 = v ?, (Pϕv)4 = v ?.

Encuentre una formula general. Sugerencia: (Pϕv)i = vϕ(?).

44 / 68

Producto de una matriz de permutacion por un vectorFormula general

ProposicionSean ϕ ∈ Sn, v ∈ Rn. Entonces

Pϕv =[vϕ(i)

]ni=1.

En otras palabras, Pϕv ∈ Rn, y

(Pϕv)i = vϕ(i) (i ∈ {1, . . . , n}).

Demostracion.

(Pϕv)i =n∑

j=1(Pϕ)i ,jvj =

n∑j=1

δϕ(i),jvj = vϕ(i).

45 / 68

Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjemplo

Sea ϕ =

(1 2 3 4 54 1 5 3 2

)y sea A una matriz general de clase M5×2.

Entonces

PϕA =

0 0 0 1 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 1 0 00 1 0 0 0

A1,1 A1,2A2,1 A2,2A3,1 A3,2A4,1 A4,2A5,1 A5,2

=

A4,1 A4,2A1,1 A1,2A5,1 A5,2A3,1 A3,2A2,1 A2,2

.

46 / 68

Producto de una matriz de permutacion por una matrizFormula general

ProposicionSea ϕ ∈ Sm y sea A ∈Mm×n. Entonces

PϕA =[Aϕ(p),q

]m,np,q=1.

En otras palabras, PϕA ∈Mm×n, y

(PϕA)p,q = Aϕ(p),q (p ∈ {1, . . . ,m}, q ∈ {1, . . . , n}).

Demostracion.

(PϕA)p,q =m∑

k=1(Pϕ)p,kAk,q =

m∑k=1

δϕ(p),kAk,q = Aϕ(p),q.

47 / 68

Producto de una matriz de permutacion por una matrizEjercicios

Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar:

P3,1,4,2

−7 2 4

1 0 −32 1 5−2 3 1

=

2 1 5−7 2 4−2 3 1

1 0 −3

,

P2,4,3,1

−5 7 1 2

3 4 6 −47 2 −1 03 7 −1 −2

=

3 4 6 −43 7 −1 −27 2 −1 0−5 7 1 2

.

48 / 68


Calcule los siguientes productos en papel antes de continuar:

P3,1,4,2

−7 2 4

1 0 −32 1 5−2 3 1

=

2 1 5−7 2 4−2 3 1

1 0 −3

,

P2,4,3,1

−5 7 1 2

3 4 6 −47 2 −1 03 7 −1 −2

=

3 4 6 −43 7 −1 −27 2 −1 0−5 7 1 2

.

48 / 68


Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que

Pϕ

2 7 −2 −20 −3 −7 9−2 −5 5 −2

6 3 0 59 2 3 −4

=

9 2 3 −4−2 −5 5 −2

2 7 −2 −26 3 0 50 −3 −7 9

.

Escriba la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ =

(1 2 3 4 55 3 1 4 2

).

49 / 68


Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que

Pϕ

2 7 −2 −20 −3 −7 9−2 −5 5 −2

6 3 0 59 2 3 −4

=

9 2 3 −4−2 −5 5 −2

2 7 −2 −26 3 0 50 −3 −7 9

.

Escriba la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ =

(1 2 3 4 55 3 1 4 2

).

49 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjemplo

Multipliquemos A ∈M3×4 por Pϕ, donde ϕ =

(1 2 3 42 4 1 3

):

AP2,4,1,3 =

A1,1 A1,2 A1,3 A1,4A2,1 A2,2 A2,3 A2,4A3,1 A3,2 A3,3 A3,4

0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0

=

A1,3 A1,1 A1,4 A1,2A2,3 A2,1 A2,4 A2,2A3,3 A3,1 A3,4 A3,2

.El producto B = AP2,4,1,3 se obtiene de la matriz original A al cambiar elorden de columnas, por ejemplo,

B∗,1 = A∗,3 = A∗,ϕ−1(1).

50 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutacionFormula general

ProposicionSea A ∈Mm×n y sea ϕ ∈ Sn. Entonces

APϕ =[Ai ,ϕ−1(j)

]m,ni ,j=1,

esto es, APϕ ∈Mm×n y

(APϕ)i ,j = Ai ,ϕ−1(j) (i ∈ {1, . . . ,m}, j ∈ {1, . . . , n}).

51 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjercicios

Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. −6 4 1 2 −33 7 2 3 −26 4 −8 7 −8

P3,5,1,4,2 =

1 −3 −6 2 42 −2 3 3 7−8 −8 6 7 4

,

9 −6 7 3 −4−3 1 9 1 −2

7 4 −6 −3 01 8 −1 −4 2

P4,2,5,3,1 =

−4 −6 3 9 7−2 1 1 −3 9

0 4 −3 7 −62 8 −4 1 −1

.

52 / 68

Producto de una matriz por una matriz de permutacionEjercicios

Escriba los siguientes productos en papel antes de continuar. −6 4 1 2 −33 7 2 3 −26 4 −8 7 −8

P3,5,1,4,2 =

1 −3 −6 2 42 −2 3 3 7−8 −8 6 7 4

,

9 −6 7 3 −4−3 1 9 1 −2

7 4 −6 −3 01 8 −1 −4 2

P4,2,5,3,1 =

−4 −6 3 9 7−2 1 1 −3 9

0 4 −3 7 −62 8 −4 1 −1

.

52 / 68

Producto de matriz por una matriz de permutacionEjercicios

Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que2 −7 3 −2 10 6 2 7 −8−5 4 −6 0 −3−2 7 −8 −1 8

Pϕ =

3 1 −7 −2 22 −8 6 7 0−6 −3 4 0 −5−8 8 7 −1 −2

.Escriba la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ =

(1 2 3 4 55 3 1 4 2

).

53 / 68

Producto de matriz por una matriz de permutacionEjercicios

Encuentre una permutacion ϕ ∈ S5 tal que2 −7 3 −2 10 6 2 7 −8−5 4 −6 0 −3−2 7 −8 −1 8

Pϕ =

3 1 −7 −2 22 −8 6 7 0−6 −3 4 0 −5−8 8 7 −1 −2

.Escriba la respuesta en papel antes de continuar.

ϕ =

(1 2 3 4 55 3 1 4 2

).

53 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




54 / 68

Producto de dos matrices de permutacionEjemplo

ϕ =

(1 2 3 4 54 1 5 2 3

), ψ =

(1 2 3 4 55 4 2 3 1

).

PϕPψ = P4,1,5,2,3

0 0 0 0 10 0 0 1 00 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 0 0

=

0 0 1 0 00 0 0 0 11 0 0 0 00 0 0 1 00 1 0 0 0

.Por otro lado,

ϕψ =

(1 2 3 4 53 2 1 5 4

), ψϕ =

(1 2 3 4 53 5 1 4 2

).

Adivine la formula general para PϕPψ.

55 / 68

Producto de dos matrices de permutacionFormula general

TeoremaSean ϕ,ψ ∈ Sn. Entonces

PϕPψ = Pψϕ.

Vamos a demostrar la formula. Tenemos que verificar dos cosas:

1 Las matrices PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano.

2 Para cada par de ındices p y q,las matrices PϕPψ y Pψϕ tienen la misma entrada (p, q):

(PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q.

56 / 68

Producto de dos matrices de permutacionFormula general

TeoremaSean ϕ,ψ ∈ Sn. Entonces

PϕPψ = Pψϕ.

Vamos a demostrar la formula. Tenemos que verificar dos cosas:

1 Las matrices PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano.

2 Para cada par de ındices p y q,las matrices PϕPψ y Pψϕ tienen la misma entrada (p, q):

(PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q.

56 / 68

Demostracion: PϕPψ y Pψϕ son del mismo tamano

ϕ ∈ Sn

ψ ∈ Sn

Pϕ ∈ Mn×n

Pψ ∈ Mn×n

PϕPψ ∈ Mn×n ϕψ ∈ Sn Pψϕ ∈ Mn×n

57 / 68

Demostracion: ∀p, q ∈ {1, . . . , n} (PϕPψ)p,q = (Pψϕ)p,q

(PϕPψ)p,q

(i)===

n∑k=1

(Pϕ)p,k(Pψ)k,q(ii)===

n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.

Justificacion de los pasos:(i) definicion del producto de dos matrices

(ii), (vi) definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones

58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1

(Pϕ)p,k(Pψ)k,q

(ii)===

n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.



58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1


n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.


(ii)

, (vi)

definicion de la matriz de permutacion

(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones

58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1


n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.


(ii)

, (vi)

definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k

(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones

58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1


n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.


(ii)

, (vi)

definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker

(v) definicion del producto de dos permutaciones

58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1


n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.


(ii)

, (vi)

definicion de la matriz de permutacion(iii) dividimos la suma en dos partes para simplificar δϕ(p),k(iv) definicion de la δ de Kronecker(v) definicion del producto de dos permutaciones

58 / 68


(PϕPψ)p,q(i)===

n∑k=1


n∑k=1

δϕ(p),kδψ(k),q

(iii)====

∑k∈{p}

δϕ(p),k︸︷︷︸1

δψ(k),q +∑

k∈{1,...,n}\{p}δϕ(p),k︸︷︷︸

0

δψ(k),q

(iv)==== δψ(ϕ(p)),q

(v)=== δ(ψϕ)(p),q

(vi)==== (Pψϕ)p,q.



58 / 68

Producto de dos matrices de permutacionEjercicios

Calcule los siguientes productos.Se recomienda usar la formula que acabamos de demostrar.Puede hacer comprobaciones escribiendo las matrices en la forma explıcita.

P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 =

P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.

59 / 68



P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.

59 / 68



P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 =

P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.

59 / 68



P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.

59 / 68



P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 =

P3,5,1,2,4.

59 / 68



P1,5,4,2,3P3,1,4,2,5 = P3,5,2,1,4,

P3,1,5,2,4P1,4,2,5,3 = P2,1,3,4,5,

P4,1,3,2,5P5,2,1,3,4 = P3,5,1,2,4.

59 / 68

Contenido


Repaso rapido


de matricesDelta de

Kronecker




60 / 68

Matrices de intercambio de dos renglonesLa siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I6al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares:

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

R2↔R5−−−−→

1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1

= E2↔5.

Vamos a denotar esta matriz por E2↔5.

Es una matriz elemental porque se obtiene de la matriz identidadal aplicar una operacion elemental. Hay otros dos tipos de matriceselementales que no estudiamos en esta presentacion.

Serıa mas preciso escribir E (6)2↔5 indicando el tamano de la matriz,

pero el tamano por lo comun esta claro del contexto y lo omitimos.

61 / 68

Matrices de intercambio de dos renglonesLa siguiente matriz se obtiene de la matriz identidad I6al intercambiar los renglones 2 y 5 de lugares:

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

R2↔R5−−−−→

1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1

= E2↔5.

Vamos a denotar esta matriz por E2↔5.

Es una matriz elemental porque se obtiene de la matriz identidadal aplicar una operacion elemental. Hay otros dos tipos de matriceselementales que no estudiamos en esta presentacion.

Serıa mas preciso escribir E (6)2↔5 indicando el tamano de la matriz,

pero el tamano por lo comun esta claro del contexto y lo omitimos.61 / 68

Matrices de intercambio de dos renglones

En general, si p, q ∈ {1, . . . , n} y p 6= q,entonces denotemos por E (n)

p,q o simplemente por Ep,q a la matrizque se obtiene de la matriz identidad In al intercambiar sus renglones p y q.

Haga los siguientes ejercicios en papel (con n = 4):

E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

,

E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68





E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

, E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

, E1,2 =

0 1 0 01 0 0 00 0 1 00 0 0 1

.

62 / 68


Las matrices de tipo Ep↔q (donde p 6= q) forman una subclasede las matrices de permutaciones.Por ejemplo,

E2↔4 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

= P1,4,3,2 = Pτ2,4 .

En general, la matriz Ep,q corresponde a la transposicion τp,q:

Ep,q = Pτp,q .

63 / 68

Matrices de intercambio de dos renglonesComplete las respuestas de los ejercicios anteriores:

E1,3 =

? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?

= P?,?,?,? = Pτ?,?

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68


E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68


E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68


E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68


E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68


E1,3 =

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

= P3,2,1,4 = Pτ1,3 ,

E2,3 =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= P1,3,2,4 = Pτ2,3 ,

E1,4 =

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

= P4,2,3,1 = Pτ1,4 .

64 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz general

Sea A una matriz general de clase M4×4. Calcule el producto E2↔4:

E2↔4A =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

A1,1 A1,2 A1,3 A1,4A2,1 A2,2 A2,3 A2,4A3,1 A3,2 A3,3 A3,4A4,1 A4,2 A4,3 A4,4

= ?

Notese que la matriz E2↔4A se obtiene de la matriz A al hacer unaoperacion elemental:

A R2↔R4−−−−→ E2↔4A.

65 / 68

Producto de una matriz de intercambio de dos renglonespor una matriz de permutacion

Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por unamatriz de permutacion:

E1↔3P2,4,1,3 = E1↔3

0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0

=

1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0

= P1,4,2,3.

Este producto se puede calcular mas facilmente:

E1↔3P2,4,1,3 = Pτ1,3P2,4,1,3 = P(2,4,1,3)τ1,3 = P1,4,2,3.

En el ultimo paso hicimos el intercambio de los numeros 1 y 2que estaban en las posiciones 1 y 3.

66 / 68


Vamos a multiplicar una matriz de intercambio de dos renglones por unamatriz de permutacion:

E1↔3P2,4,1,3 = E1↔3

0 1 0 00 0 0 11 0 0 00 0 1 0

=

1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0

= P1,4,2,3.

Este producto se puede calcular mas facilmente:

E1↔3P2,4,1,3 = Pτ1,3P2,4,1,3 = P(2,4,1,3)τ1,3 = P1,4,2,3.

En el ultimo paso hicimos el intercambio de los numeros 1 y 2que estaban en las posiciones 1 y 3.

66 / 68


Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras.

E1↔2P3,5,1,2,4 =

P5,3,1,2,4,

E2↔4P5,1,4,3,2 =

P5,3,4,1,2,

E3↔5P2,4,3,1,5 =

P2,4,5,1,3,

E2↔3P1,4,2,5,3 =

P1,2,4,5,3,

E4↔5P4,3,5,1,2 =

P4,3,5,2,1.

67 / 68


Haga cada uno de los siguientes ejercicios de varias maneras.

E1↔2P3,5,1,2,4 = P5,3,1,2,4,

E2↔4P5,1,4,3,2 = P5,3,4,1,2,

E3↔5P2,4,3,1,5 = P2,4,5,1,3,

E2↔3P1,4,2,5,3 = P1,2,4,5,3,

E4↔5P4,3,5,1,2 = P4,3,5,2,1.

67 / 68

Gracias por su atencion.Recomiendo resolver todos los ejercicios incluidos en esta presentacion.

68 / 68

Documents

Matrices de permutaciones - Egor Maximenkoesfm.egormaximenko.com/numerical_methods/permutation_matrice… · Se recomienda resolver cada ejercicio en papel antes de continuar con