Ejercicios 2012 II

Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Economía

Diplomado en Estadística AplicadaMódulo II

PROBABILIDAD

ÍNDICE

DadosVADBERNOULLIBINOMIALPOISSONB.NEGATIVAGEOMÉTRICAHIPERGEOMÉTRICAEXPONENCIALNORMALTCL

Espacio Muestral Dado 1 (d1)1 2 3 4

Dad

o 2

(d2)

1 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 85 6 7 8 96 7 8 9 10

No. de Eventos 36

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1/50 1/25 3/50 2/25 1/10 3/25 7/50 4/25 9/50

Lanzamiento de dos dados

x

p(x)

La probabilidad de obtener cada uno de las posibles combinaciones de dados es 1/36, dado que los resultados son independientes entre si y la probabilidad de que un dado arroje un resultado determinado es 1/6.

Asume el lanzamiento de dos dados. El resultado que arroje cada uno de ellos es, claramente, independiente. Considera la variable aleatoria "suma de las caras de los dados" y construye su función de probabilidad y la probabilidad acumulada para cada uno de los valores. ¿Cuál es la media, mediana y moda de la distribución?

𝑓(𝑥)=(6−|7−𝑥|)/36

Definición de la Variable Aleatoria

Dado 1 (d1) x Frecuencia f(x) F(x)5 6 2 1 1/36 0.02786 7 3 2 1/18 0.08337 8 4 3 1/12 0.16678 9 5 4 1/9 0.27789 10 6 5 5/36 0.4167

10 11 7 6 1/6 0.583311 12 8 5 5/36 0.7222

9 4 1/9 0.833310 3 1/12 0.916711 2 1/18 0.972212 1 1/36 1.0000

Media 7 5.8333Mediana 7 σ 2.4152

Moda 7

σ2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1/50 1/25 3/50 2/25 1/10 3/25 7/50 4/25 9/50

Lanzamiento de dos dados

x

p(x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Función de Distribución Acumulada

x

F(x)

Asume el lanzamiento de dos dados. El resultado que arroje cada uno de ellos es, claramente, independiente. Considera la variable aleatoria "suma de las caras de los dados" y construye su función de probabilidad y la probabilidad acumulada para cada uno de los valores. ¿Cuál es la media, mediana y moda de la distribución?

x*f(x)0.0556 0.6944 -3.4722 17.36110.1667 0.8889 -3.5556 14.22220.3333 0.7500 -2.2500 6.75000.5556 0.4444 -0.8889 1.77780.8333 0.1389 -0.1389 0.13891.1667 0.0000 0.0000 0.00001.1111 0.1389 0.1389 0.13891.0000 0.4444 0.8889 1.77780.8333 0.7500 2.2500 6.75000.6111 0.8889 3.5556 14.22220.3333 0.6944 3.4722 17.3611

m3 0.0000 α3 0.0000m4 80.5000 α4 2.3657

f(x)*(x-µ)2 f(x)*(x-µ)3 f(x)*(x-µ)4

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Función de Distribución Acumulada

x

F(x)

x f(x) F(X)1 0.12 0.122 0.16 0.283 0.2 0.484 0.24 0.725 0.28 1Σ 100%

x f(x) F(X)1 0.0667 0.06672 0.1333 0.20003 0.2000 0.40004 0.2667 0.66675 0.3333 1.0000Σ 100%

x f(x) F(X) Media Varianza1 0.0182 0.0182 0.0182 0.65452 0.0364 0.0545 0.0727 0.90913 0.0545 0.1091 0.1636 0.87274 0.0727 0.1818 0.2909 0.6545

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

𝑓(𝑥)=(𝑥+2)/25

𝑓(𝑥)=𝑥/15

1. Verifica si la función dada, puede fungir como una función de probabilidad de una variable aleatoria.

2. Obtener la función de distribución correspondiente a la distribución de probabilidad:

1 2 3 4 50.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Función de distribución acumulada

x

F(x)

3. Suponer que X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x) definida por:

a) Demostrar Σ p(x) = 1b) P(X=4)c) P(X≤3)d) P(X≤9)e) P(2≤X≤4)f) P(2<X<4)g) E(X)h) V(X)

𝑓(𝑥)=𝑥/55

5 0.0909 0.2727 0.4545 0.36366 0.1091 0.3818 0.6545 0.10917 0.1273 0.5091 0.8909 0.00008 0.1455 0.6545 1.1636 0.14559 0.1636 0.8182 1.4727 0.6545

10 0.1818 1.0000 1.8182 1.6364Σ 100% 7 6

x f(x) Media Varianza1 0.4 0.4 0.4 µ

2 0.3 0.6 0.03 0.2 0.6 0.2 σ4 0.1 0.4 0.4Σ 100% 2.00 1

X 0 1 2 3 4p(x) 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2

MediaVarianza

µ

σ2

σ2

4. Dada la función de probabilidad definida por para x = 1, 2, 3, 4. Encontrar la media , desviación estándar y P(X≤3)𝑓(𝑥)=(5−𝑥)/10

5. Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información, encontrar E(X) y V(X).

P(X=4) 7.27%10.91%81.82%16.36%

P(X≤3)P(X≤9)

P(2≤X≤4)

1 2 3 4 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Función de probabilidad

x

f(x)

1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


x

F(x)

1. Verifica si la función dada, puede fungir como una función de probabilidad de una variable aleatoria.

2. Obtener la función de distribución correspondiente a la distribución de probabilidad:

1 2 3 4 50.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000


x

F(x)

3. Suponer que X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad f(x) definida por:

a) Demostrar Σ p(x) = 1b) P(X=4)c) P(X≤3)d) P(X≤9)e) P(2≤X≤4)f) P(2<X<4)g) E(X)h) V(X)

𝑓(𝑥)=𝑥/55

5.45%E(X) 7V(X) 6

2

11

5 6 7 80.25 0.1 0.05 0.05

P(2<X<4)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


Número de clientes de una tienda en una hora

f(x)

4. Dada la función de probabilidad definida por para x = 1, 2, 3, 4. Encontrar la media , desviación estándar y P(X≤3)

5. Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información, encontrar E(X) y V(X).

1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


x

F(x)

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


Número de clientes de una tienda en una hora

f(x)

p 0.52 hq 0.48 m

ESPACIO MUESTRALPROBABILIDAD

X COMBINACIONES 1er 2do 3er 4to 5to

10 1 m 0.481 1 h 0.52

2

0 1 m m 0.48 0.48

1 2 m h 0.48 0.52h m 0.52 0.48

3

0 1 m m m 0.48 0.48 0.48

1 3m m h 0.48 0.48 0.52m h m 0.48 0.52 0.48h m m 0.52 0.48 0.48

4

0 1 m m m m 0.48 0.48 0.48 0.48

5

Número de eventos

Una pareja planea tener un bebé.

Entonces, la distribución de

probabilidad es:

Y, ¿si planea tener dos hijos?

La distribución de probabilidad de una familia

con tres hijos:


con cuatro hijos:


con cinco hijos:

De acuerdo a estudios de natalidad de la ciudad Z, la probabilidad de nacimientos de niños es de 52% y de niñas es de 48%. Sea X una variable aleatoria tipo Bernoulli, se considera "éxito" si al nacer un bebé éste sea niño y "fracaso" si al nacer un bebé éste sea niña.

5La distribución de

probabilidad de una familia con cinco hijos:

PROBABILIDADΣ

0.48

0.52 10.2304 0.230.24960.2496 0.499

0.730.110592 0.1110.1198080.1198080.119808 0.359

0.05308416 0.053

Gráficos!A1

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

De acuerdo a estudios de natalidad de la ciudad Z, la probabilidad de nacimientos de niños es de 52% y de niñas es de 48%. Sea X una variable aleatoria tipo Bernoulli, se considera "éxito" si al nacer un bebé éste sea niño y "fracaso" si al nacer un bebé éste sea niña.

BERNOULLI!P11

0 10.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0.5

0.51

0.52

0.53

Distribución de probabilidad del nacimiento de un niño

0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Distribución de probabilidad del nacimiento de dos niños

0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Distribución de probabilidad del nacimiento de dos niños

0 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Distribución de probabilidad del nacimiento de tres niños

00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Distribución de probabilidad del nacimiento de cuatro niños

00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Distribución de probabilidad del nacimiento de cuatro niños

0

2

4

6

8

10

12

Distribución de probabilidad del nacimiento de cinco niños

n 10

x 0, 1, 2, … , 10 GRÁFICASp 0.63q 0.37

x f(x) F(x)0 0.000048 0.0000481 0.000819 0.0008672 0.006273 0.0071403 0.028485 0.0356254 0.084877 0.1205035 0.173425 0.2939286 0.246076 0.5400047 0.239425 0.7794298 0.152876 0.9323069 0.057845 0.990151

10 0.009849 1.000000

MOMENTOS MOMENTOSMEDIA 6 α3 -0.1703

VARIANZA 2.33 α4 2.8290DE 1.53

Algunas probabilidades:

La probabilidad de que cuatro microbuses sean conducidos con imprudencia:

A lo más seis sean conducidos con imprudencia:

Por lo menos siete sean conducidos con imprudencia:

Entre tres y ocho sean conducidos con imprudencia:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. Según datos de la Secretaría de Transportes y Vialidad, 63% de los operadores de microbuses urbanos manejan con imprudencia. De los próximos 10 microbuses que pasen por un crucero:

a) Construye su distribución de probabilidadb) Calcula su función de distribución acumulativac) Calcula el valor esperado, varianza, desviación estándar, asimetría y curtosisd) Grafica los resultados

2. El 35% de los empleados de Wal-Mart desean afiliarse a un sindicato independiente. Si se toma una muestra de 10 empleados calcular la probabilidad de que:

a) Cuando menos tres deseen pertenecer al sindicato independiente.b) Por lo menos uno desee estar en el sindicato independiente.

n 10x 0, 1, 2, … , 10p 0.35q 0,65

b(x≥3) 48.6173b(x≥1) 91.4046

p 0.65q 0.35

n 6b(x=3) 23.5491

n 10b(x=5) 15.3570

n 4b(x=4) 17.8506

n 5b(x≥1) 94.5978

n 12x 0, 1, 2, … , 12



3. Se ha observado que el “Chicharito” Hernández logra 65% de sus tiros libres directos en los partidos de fútbol, calcula la probabilidad de que el “Chicharito” logre:

a) Tres de los siguientes seis tirosb) Cinco de los próximos diez tirosc) Todos los cuatro tiros siguientesd) Al menos uno de cinco tiros

4. De acuerdo al Censo de Población y Vivienda de 2000, se sabe que la población mexicana es predominantemente católica, pero sólo el 46% de los católicos asiste a la iglesia regularmente. En un grupo se identifican a 12 católicos, calcular:

a) No más de tres católicos que asistan a la iglesia regularmenteb) Más de tres católicos que asistan a la iglesia regularmentec) Calcula el número promedio de personas que asisten a la iglesia regularmente y su desviación estándar.

p 0.46q 0.54

b(x≤3) 11.9950b(x>3) 88.0050

µ 6σ 1.7265

n 20xp 0.66q 0.34

b(x=8) 5.9817b(x≥4) 13.7446

µ 13

4.4880σ2

5. Conforme los resultados de una encuesta realizada por la Comisión Nacional Bancaria y de Valores, la probabilidad de que una empresa en México "no solicite créditos bancarios" es de 66%. Considerando una muestra de 20 empresas, calcular:

a) la probabilidad de que diez empresas no soliciten crédito bancariob) la probabilidad de que al menos 15 no soliciten crédito bancarioc) la mediad) desviación estándar

GRÁFICAS

P(X=4) 8.487735P(X≤6) 54.0004P(X≥7) 22.0571

0.9252P(3≤X≤8)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Probabilidad Acumulada













GRÁFICAS

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

Probabilidad Acumulada













n 1000p 0.003λ 3

p(X=2) 22.4042p(X<2) 19.915p(X>2) 57.6810

95.0213

λ 2t 1

λt 1

p(x=0) 0.3679p(x=3) 0.0613

λ 5

p(x=4) 17.5467p(x≤4) 44.0493p(x≤2) 12.4652p(x≥1) 95.9572

p(2≤x≤4) 40.0066

p(X≥1)

4. En un control de calidad diariamente se extraen 50 artículos para ser analizados. Si más de 3 artículos son defectuosos, se deberá detener el proceso y analizar las causas de los defectos para corregirlos. Si en un día determinado el 4% de los artículos son defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de detener el proceso? Obtén el resultado mediante una distribución binomial y aproxímala con una poisson.

1. El supermercado Soriana recibió 1000 botellas de agua mineral de la compañía Peñafiel. La probabilidad de que al transportar las botellas de la bodega al supermercado resulte una rota es igual a 0.003. Calcular la probabilidad de que el almacén del supermercado reciba rotas: a) Exactamente dos botellas.b) Menos de dos.c) Más de dos.d) Por lo menos una.

2. En la Central de Abastos de la Ciudad de México, se desea ordenar el arribo de los camiones de carga con el objeto de evitar congestionamientos. Para ello se están realizando estudios y se determina que a una bodega llegan dos camiones por hora, y que el proceso se puede modelar con una poisson. Se observa el tráfico durante media hora y se pretende encontrar la probabilidad de que durante ese tiempo: a) no llegue ningún camiónb) arriben tres camiones

3. Un estudio de filas en cajas registradoras de la Comercial Mexicana reveló que, durante un cuarto de hora, el número medio de clientes en espera de que les cobren, fue de tres. Si se selecciona alaetoriamente una caja el día de hoy, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos 25 minutos:

a) cuatro clientes aguardenb) cuatro o menos estén en esperac) a lo más dos estén esperandod) alguno esté esperandoe) entre dos y cuatro estén esperando

Binomial Poissonn 50 λ 3p 0.06 P(X>3) 0.3528q 0.94

P(X>3) 0.3527

x Binomial Poisson0 0.045331 0.0497871 0.144673 0.1493612 0.226243 0.2240423 0.231057 0.2240424 0.173293 0.1680315 0.101763 0.1008196 0.048717 0.0504097 0.019546 0.0216048 0.006706 0.0081029 0.001997 0.002701

10 0.000523 0.00081011 0.045331 0.00022112 0.045331 0.00005513 0.045331 0.00001314 0.045331 0.00000315 0.045331 0.000001

Binomial Poissonn 45 λ 0.9p 0.02 P(X=3) 4.9400q 0.098

P(X=3) 0.0486

x Binomial Poisson0 0.402878 0.4065701 0.369990 0.3659132 0.166118 0.1646613 0.048592 0.0493984 0.010413 0.0111155 0.001743 0.0020016 0.000237 0.0003007 0.000027 0.0000398 0.000003 0.0000049 0.000000 0.000000

10 0.000000 0.000000


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.000000

0.050000

0.100000

0.150000

0.200000

0.250000Aproximación de la Binomial

Binomial Poisson

5. En una fábrica existen 45 telares y la probabilidad de que cualquiera de ellos no funcione correctamente durante un día es del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que tres telares estén fuera de servicio el mismo día?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000000.0500000.1000000.1500000.2000000.2500000.3000000.3500000.4000000.450000

Aproximación de la Binomial

Binomial Poisson


1. El supermercado Soriana recibió 1000 botellas de agua mineral de la compañía Peñafiel. La probabilidad de que al transportar las botellas de la bodega al supermercado resulte una rota es igual a 0.003. Calcular la probabilidad de que el almacén del supermercado reciba rotas: a) Exactamente dos botellas.b) Menos de dos.c) Más de dos.d) Por lo menos una.

2. En la Central de Abastos de la Ciudad de México, se desea ordenar el arribo de los camiones de carga con el objeto de evitar congestionamientos. Para ello se están realizando estudios y se determina que a una bodega llegan dos camiones por hora, y que el proceso se puede modelar con una poisson. Se observa el tráfico durante media hora y se pretende encontrar la probabilidad de que durante ese tiempo: a) no llegue ningún camiónb) arriben tres camiones

3. Un estudio de filas en cajas registradoras de la Comercial Mexicana reveló que, durante un cuarto de hora, el número medio de clientes en espera de que les cobren, fue de tres. Si se selecciona alaetoriamente una caja el día de hoy, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos 25 minutos:

a) cuatro clientes aguardenb) cuatro o menos estén en esperac) a lo más dos estén esperandod) alguno esté esperandoe) entre dos y cuatro estén esperando


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150.000000

0.050000

0.100000

0.150000

0.200000

0.250000Aproximación de la Binomial

Binomial Poisson

5. En una fábrica existen 45 telares y la probabilidad de que cualquiera de ellos no funcione correctamente durante un día es del 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que tres telares estén fuera de servicio el mismo día?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0000000.0500000.1000000.1500000.2000000.2500000.3000000.3500000.4000000.450000

Aproximación de la Binomial

Binomial Poisson

p 0.29 PARÁMETROS p 0.29q 0.71 MEDIA 5 q 0.71k 2 VARIANZA 16.88 k 3

DE 4.11α3 1.44α4 6.06

Fracasos k=2 Fracasosx x-k f(x) x x-k2 0 8.41000 3 03 1 11.94220 4 14 2 12.71844 5 25 3 12.04013 6 36 4 10.68561 7 47 5 9.10414 8 58 6 7.54126 9 69 7 6.11920 10 7

10 8 4.88771 11 811 9 3.85586 12 912 10 3.01143 13 1013 11 2.33249 14 1114 12 1.79407 15 1215 13 1.37177 16 1316 14 1.04353 17 1417 15 0.79030 18 1518 16 0.59618

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

2.00000

4.00000

6.00000

8.00000

10.00000

12.00000

14.00000

Segundo en entregar la tarea incompleta

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.000001.000002.000003.000004.000005.000006.000007.000008.000009.00000

10.00000

Tercero en entregar la tarea incompleta

1. Se sabe que el 29% de los alumnos que cursan el módulo II del diplomado de Estadística Aplicada entregan su tarea incompleta. ¿Cuál es la probabilidad de que el n-ésimo alumno en llegar a la clase sea:

a) segundo, b) tercero, c) cuarto en entregar la tarea incompleta?

p 0.15q 0.85x 10k 2

f(10,2) 0.0552

p 0.4q 0.6x 11k 7

f(11,7) 0.0446

p 0.28q 0.72x 5k 2

f(5,2) 0.1171f(5,2) 0.4303

p 0.095q 0.905x 18k 2

f(18,2) 0.0311

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

2.00000

4.00000

6.00000

8.00000

10.00000

12.00000

14.00000

Segundo en entregar la tarea incompleta

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.000001.000002.000003.000004.000005.000006.000007.000008.000009.00000

10.00000


2. Se realizó un muestreo de agua en los canales de Xochimilco. La probabilidad de que las muestras contengan algún tipo de pesticida es del 85%. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra número 10 sea la segunda en no contener pesticidas?

3. De acuerdo con la Encuesta Origen-Destino elaborada por la SETRAVI, el INEGI, el Gobierno del DF y el del Estado de México, el 40% de la población que se desplaza diariamente del Estado de México al Distrito Federal tiene como principal motivo la escuela. ¿Cuál es la probabilidad de que la onceava persona encuestada sea la séptima en responder que lo que motiva su viaje sea la escuela?

4. Derivado de la Encuesta Perfil Nutricional Hidalgo 2010, se conoce que la probabilidad de que un niño de la sierra Otomí-Tepehua tenga desnutrición moderada es de 28%. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto niño en evaluar su estado de nutrición, sea el segundo en presentar desnutrición moderada?, ¿Cuál es la probabilidad de encontralo antes del sexto niño?

5. Un meta análisis publicado en una revista científica en el 2008, concluye que en las indicaciones de migraña, cefalea tensional y dolor dental, sólo el 9.5% de los pacientes tratados con Aspirina presentaron reacciones adversas. Calcular la probabilidad de que la persona dieciocho sea el segundo paciente en sufrir alguna reacción adversa.

PARÁMETROS p 0.29 PARÁMETROSMEDIA 7 q 0.71 MEDIA 10

VARIANZA 25.33 k 4 VARIANZA 33.77DE 5.03 DE 5.81α3 1.17 α3 1.01α4 5.04 α4 4.53

k=3 Fracasos k=4f(x) x x-k f(x)

2.43890 4 0 0.707285.19486 5 1 2.008687.37670 6 2 3.565408.72909 7 3 5.062879.29648 8 4 6.290629.24070 9 5 7.146148.74787 10 6 7.610647.98555 11 7 7.719377.08718 12 8 7.536036.15009 13 9 7.134115.23988 14 10 6.584784.39674 15 11 5.950253.64196 16 12 5.280852.98361 17 13 4.614652.42099 18 14 3.978491.94809

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.000001.000002.000003.000004.000005.000006.000007.000008.000009.00000

10.00000


4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

1.00000

2.00000

3.00000

4.00000

5.00000

6.00000

7.00000

8.00000

9.00000

Cuarto en entregar la tarea incompleta



3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.000001.000002.000003.000004.000005.000006.000007.000008.000009.00000

10.00000


4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

1.00000

2.00000

3.00000

4.00000

5.00000

6.00000

7.00000

8.00000

9.00000






4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

1.00000

2.00000

3.00000

4.00000

5.00000

6.00000

7.00000

8.00000

9.00000




4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 180.00000

1.00000

2.00000

3.00000

4.00000

5.00000

6.00000

7.00000

8.00000

9.00000






p 0.7q 0.3k 1

g(3) 0.0630g(x<4) 0.9730

p 0.55q 0.45x 4k 1

g(4) 0.0501 0.05011875

p 0.3q 0.7x 5k 1

g(5) 0.0720

p 0.32q 0.68x 6k 1

g(5) 0.0465

1. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es del 70%. Calcular la probabilidad de que el primer estudiante aprobado en el examen haya sido: a) En el tercer intentob) Antes del cuarto intento

3. El 30% de los aspirantes para cierto trabajo tiene un entrenamiento avanzado en programación computacional. Determinar la probabilidad de que se encuentre al primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista.

2. Se sabe que el 55% de los ciudadanos que se presenta en los módulos de atención ciudadana del IFE no lleva la documentación completa para tramitar su credencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto ciudadano en llegar sea el primero que no cuente con toda la documentación necesaria para su trámite?

4. De acuerdo con información registrada en los últimos meses, se conoce que el 32% de las demandas que entran a la Procuraduría de la Defensa del Menor son por motivo de violencia familiar. ¿Cuál es la probabilidad de que la sexta solicitud en entrar a dicho departamento sea la primera por este motivo?

5. Al aplicar una encuesta sobre el servicio del metro, el 65% respondió que se encontraba satisfecho con el servicio que otorga el metro. ¿cuál es la probabilidad de que la tercer persona encuestada, sea la primera en estar de acuerdo con el servicio?

p 0.65q 0.35x 3k 1

g(5) 0.0796


1. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es del 70%. Calcular la probabilidad de que el primer estudiante aprobado en el examen haya sido: a) En el tercer intentob) Antes del cuarto intento

3. El 30% de los aspirantes para cierto trabajo tiene un entrenamiento avanzado en programación computacional. Determinar la probabilidad de que se encuentre al primer aspirante con un entrenamiento avanzado en programación en la quinta entrevista.

2. Se sabe que el 55% de los ciudadanos que se presenta en los módulos de atención ciudadana del IFE no lleva la documentación completa para tramitar su credencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuarto ciudadano en llegar sea el primero que no cuente con toda la documentación necesaria para su trámite?

4. De acuerdo con información registrada en los últimos meses, se conoce que el 32% de las demandas que entran a la Procuraduría de la Defensa del Menor son por motivo de violencia familiar. ¿Cuál es la probabilidad de que la sexta solicitud en entrar a dicho departamento sea la primera por este motivo?



N 10n 2k 2

h(x=2) 0.0222h(x≥1) 0.0222

N 2260n 588k 26

h(10) 0.06050.2938

Sin reemplazo Con reemplazoHipergeométrica Binomial

N 1000 n 5k 5 p 0.25n 250 q 0.75

P(X=2) 0.2642 P(X=2) 0.2637

x Hipergeométrica Binomial0 0.23651 0.237301 0.39630 0.395512 0.26420 0.263673 0.08760 0.087894 0.01444 0.014655 0.00095 0.00098

h(X≤5)

3. La distribución Binomial puede usarse para aproximar la distribución Hipergeométrica si 20n<N; si se va a escoger una muestra de cinco estudiantes de un conjunto de mil, en el cual hay un 25% de estudiantes de ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los cinco alumnos sean estudiantes de ingeniería si la muestra se obtuvo:

a) sin reemplazob) con reemplazo

Compara ambas respuestas.

0 1 2 3 4 50.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000

0.35000

0.40000

0.45000

Aproximación por la Binomial

Hipergeométrica

Binomial

1. Un anuncio contiene fotografías de 10 piezas de joyería. Ocho son piezas baratas y dos son gemas muy costosas. Si no pueden distinguirse las piezas de fantasía de las gemas, ¿cuál es la probabilidad de elegir dos piezas del total de 10 y descubrir que ambas son gemas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir al menos una gema?

2. De los 2,260 camiones para la recolección de residuos sólidos en el DF, 588 están en malas condiciones al haber concluido su vida útil según el Programa de Gestión Integral de Residuos Sólidos. Se realizará un diagnóstico del parque vehicular por lo que se seleccionaron 26 camiones: a) ¿cuál es la probabilidad de que 10 no estén en condiciones óptimas para brindar el servicio?b) ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 5 no estén en condiciones óptimas para brindar el servicio?


N 300 n 30k 25 p 0.08n 30 q 0.92

P(X=5) 0.06180 P(X=5) 0.06504

x Hipergeométrica Binomial0 0.06380 0.073511 0.19452 0.200482 0.27406 0.264273 0.23723 0.224234 0.14148 0.137595 0.06180 0.065046 0.02052 0.024647 0.00530 0.007688 0.00108 0.002019 0.00018 0.00045

10 0.00002 0.0000911 0.00000 0.0000112 0.00000 0.0000013 0.00000 0.0000014 0.00000 0.0000015 0.00000 0.0000016 0.00000 0.0000017 0.00000 0.0000018 0.00000 0.0000019 0.00000 0.0000020 0.00000 0.0000021 0.00000 0.0000022 0.00000 0.0000023 0.00000 0.00000

0 1 2 3 4 50.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000

0.35000

0.40000

0.45000


Hipergeométrica

Binomial

4. Una universidad de prestigio titula 300 alumnos de administración por año. Al finalizar el año se realiza un control de calidad. Los académicos responsables afirman que anualmente hay 25 alumnos que no tienen ni idea de lo que estudiaron. Si se extrae una muestra de tamaño 30 y los académicos están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de que 5 exalumnos no sepan lo que en realidad estudiaron?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000


Hipergeométrica Binomial

24 0.00000 0.0000025 0.00000 0.0000026 Err:502 0.0000027 Err:502 0.0000028 Err:502 0.0000029 Err:502 0.0000030 Err:502 0.00000


N 5000 n 100k 300 p 0.06n 100 q 0.94

P(X=5) 0.1650 P(X=5) 0.1639

x Hipergeométrica Binomial0 0.00193 0.002051 0.01257 0.013122 0.04042 0.041443 0.08547 0.086414 0.13371 0.133755 0.16502 0.163926 0.16734 0.165667 0.14341 0.142008 0.10600 0.105369 0.06865 0.06875

10 0.03943 0.0399311 0.02029 0.0208512 0.00943 0.0098713 0.00399 0.0042714 0.00154 0.0016915 0.00055 0.0006216 0.00018 0.0002117 0.00005 0.0000718 0.00002 0.0000219 0.00000 0.0000120 0.00000 0.00000

5. Trescientos de los 5000 empleados de la compañía Kraft Foods son eventuales. Si se pretende formar un equipo de representación social con 100 miembros de la compañía, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 5 personas temporales si la muestra se obtuvo: a) sin remplazob) con remplazo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200.00000

0.02000

0.04000

0.06000

0.08000

0.10000

0.12000

0.14000

0.16000

0.18000


Hipergeométrica

Binomial

3. La distribución Binomial puede usarse para aproximar la distribución Hipergeométrica si 20n<N; si se va a escoger una muestra de cinco estudiantes de un conjunto de mil, en el cual hay un 25% de estudiantes de ingeniería, ¿cuál es la probabilidad de que dos de los cinco alumnos sean estudiantes de ingeniería si la muestra se obtuvo:

a) sin reemplazob) con reemplazo

Compara ambas respuestas.

0 1 2 3 4 50.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000

0.35000

0.40000

0.45000


Hipergeométrica

Binomial

1. Un anuncio contiene fotografías de 10 piezas de joyería. Ocho son piezas baratas y dos son gemas muy costosas. Si no pueden distinguirse las piezas de fantasía de las gemas, ¿cuál es la probabilidad de elegir dos piezas del total de 10 y descubrir que ambas son gemas? ¿Cuál es la probabilidad de elegir al menos una gema?

2. De los 2,260 camiones para la recolección de residuos sólidos en el DF, 588 están en malas condiciones al haber concluido su vida útil según el Programa de Gestión Integral de Residuos Sólidos. Se realizará un diagnóstico del parque vehicular por lo que se seleccionaron 26 camiones: a) ¿cuál es la probabilidad de que 10 no estén en condiciones óptimas para brindar el servicio?b) ¿cuál es la probabilidad de que a lo más 5 no estén en condiciones óptimas para brindar el servicio?

0 1 2 3 4 50.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000

0.35000

0.40000

0.45000


Hipergeométrica

Binomial

4. Una universidad de prestigio titula 300 alumnos de administración por año. Al finalizar el año se realiza un control de calidad. Los académicos responsables afirman que anualmente hay 25 alumnos que no tienen ni idea de lo que estudiaron. Si se extrae una muestra de tamaño 30 y los académicos están en lo correcto, ¿cuál es la probabilidad de que 5 exalumnos no sepan lo que en realidad estudiaron?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.00000

0.05000

0.10000

0.15000

0.20000

0.25000

0.30000


Hipergeométrica Binomial

5. Trescientos de los 5000 empleados de la compañía Kraft Foods son eventuales. Si se pretende formar un equipo de representación social con 100 miembros de la compañía, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 5 personas temporales si la muestra se obtuvo: a) sin remplazob) con remplazo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 200.00000

0.02000

0.04000

0.06000

0.08000

0.10000

0.12000

0.14000

0.16000

0.18000


Hipergeométrica

Binomial

μ 15

λ 0.07

P(X<30)

μ 16

λ

P(X<20)P(5<X<25)

μλ

P(X>30)P(X<10)P(X=18)

1. Suponga que un usuario está trabajando en una terminal de una red conectada a una central. El tiempo, en segundos, que le toma a la computadora central responder a una petición del usuario, tiene un tiempo esperado en respuesta de 15 segundos. Determinar la probabilidad de que dicha respuesta tarde a lo más 30 segundos.

2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con una media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba de reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente cinco años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?

3. Unos aviones se encuentran en espera para su servicio de mantenimiento. En promedio cada servicio dura 18 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Un servicio tome más de 30 horas?b) Un servicio termine a las 10 horas o antes?c) Un servicio dure exactamente 18 horas?

1. Suponga que un usuario está trabajando en una terminal de una red conectada a una central. El tiempo, en segundos, que le toma a la computadora central responder a una petición del usuario, tiene un tiempo esperado en respuesta de 15 segundos. Determinar la probabilidad de que dicha respuesta tarde a lo más 30 segundos.

2. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con una media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba de reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente cinco años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?

3. Unos aviones se encuentran en espera para su servicio de mantenimiento. En promedio cada servicio dura 18 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Un servicio tome más de 30 horas?b) Un servicio termine a las 10 horas o antes?c) Un servicio dure exactamente 18 horas?

μ 4.45

σ 2.55

n 30.6

P(X<1)

P(X>1)

P(1<X<3)

P(3.5<X<5) E(X) -

μ 1.95

σ

P(1.75<X<1.90)

P(X>1.90)

P(1.95<X<2.05)

P(X<2.00)

P(X>2.10)

μσ

P(X<10,000)

P(X>18,000)

1. De acuerdo con cifras oficiales existen 30.6 millones de personas en México que pasan en promedio 4.45 horas al día conectados a internet, ya sea en el trabajo, en el hogar o accesos públicos. Si se supone que los tiempos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 1.5 horas, calcular:

a) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red hasta una horab) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red más de una horac) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red entre una y tres horasd) El número esperado de mexicanos conectados a la red entre 3.5 y 5 horas

3. Una persona con buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $15,015. Si suponemos que la desviación estándar es de $3,540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea menor a $10,000?b) ¿De que la deuda sea mayor a $18,000?c) ¿De que la deuda esté entre $12,000 y $18,000?d) ¿De que la deuda de una persona sea mayor a $14,000?

2. Considerar que la variable aleatoria X representa la altura de los jugadores de basquet y se distribuye normalmente con media 1.95 m y desviación estándar de 0.20 m. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador de basquet tenga una altura:

a) entre 1.75m y 1.90m?b) mayor a 1.90m?c) entre 1.95m y 2.05m?d) menor a 2.00m?e) superior a 2.10m?

P(12,000<X<18,000)

P(X>14,000)

μσ

P(X>8)

P(X<6)

P(7<X<9)

4. De acuerdo con la Fundación del Sueño de Estados Unidos, en promedio se duermen 6.8 horas por noche. Si se supone que la desviación estándar es 0.6 horas y que las horas de sueño se distribuyen como una normal:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar duerma más de ocho horas?b) ¿De que una persona tomada aleatoriamente duerma seis horas o menos?c) Los especialistas del sueño aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche, ¿qué porcentaje de la población duerme esta cantidad?

1. De acuerdo con cifras oficiales existen 30.6 millones de personas en México que pasan en promedio 4.45 horas al día conectados a internet, ya sea en el trabajo, en el hogar o accesos públicos. Si se supone que los tiempos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 1.5 horas, calcular:

a) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red hasta una horab) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red más de una horac) La probabilidad de que una persona esté conectado a la red entre una y tres horasd) El número esperado de mexicanos conectados a la red entre 3.5 y 5 horas

3. Una persona con buena historia crediticia tiene una deuda promedio de $15,015. Si suponemos que la desviación estándar es de $3,540 y que los montos de las deudas están distribuidos normalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la deuda de una persona con buena historia crediticia sea menor a $10,000?b) ¿De que la deuda sea mayor a $18,000?c) ¿De que la deuda esté entre $12,000 y $18,000?d) ¿De que la deuda de una persona sea mayor a $14,000?

2. Considerar que la variable aleatoria X representa la altura de los jugadores de basquet y se distribuye normalmente con media 1.95 m y desviación estándar de 0.20 m. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador de basquet tenga una altura:

a) entre 1.75m y 1.90m?b) mayor a 1.90m?c) entre 1.95m y 2.05m?d) menor a 2.00m?e) superior a 2.10m?

4. De acuerdo con la Fundación del Sueño de Estados Unidos, en promedio se duermen 6.8 horas por noche. Si se supone que la desviación estándar es 0.6 horas y que las horas de sueño se distribuyen como una normal:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar duerma más de ocho horas?b) ¿De que una persona tomada aleatoriamente duerma seis horas o menos?c) Los especialistas del sueño aconsejan dormir entre siete y nueve horas por noche, ¿qué porcentaje de la población duerme esta cantidad?

N 4n 2

Total de muestras

N PARÁMETROS1 µ

35 σ7

MUESTRAS

1 11 3

TLC

Nn

Total de muestras

σ2

n1 n2 n3 n4 n5 n6

𝑿 ̅�𝝁_𝑿 ̅� 〖〗𝝈𝟐_𝑿 ̅�̂ 𝝈_𝑿 ̅�̂

〖 (𝑿 ̅�−𝝁)〗^𝟐

𝝈_𝑿 ̅�̂

1. Suponer que de la población 1,3,5 y 7 se toman muestras ordenadas de tamaño 2 con reemplazo.

a) Encontrar μ y σb) Calcular y el error estándar de la mediac) Verifica la validez de los resultados del teorema central del límite

2. Suponer que de la población 2,4,6 y 8 se toman muestras ordenadas de tamaño 2 sin reemplazo.


N PARÁMETROS2 µ

46 σ8

MUESTRAS

TLC

μ 200

σ 15

n 36

ee

P(X>204)

μ 2.4

σ 0.2

σ2

n1 n2 n3 n4 n5 n6

𝑿 ̅�

𝝁_𝑿 ̅� 〖〗𝝈𝟐_𝑿 ̅�̂ 𝝈_𝑿 ̅�̂

〖 (𝑿 ̅�−𝝁)〗^𝟐

𝝈_𝑿 ̅�̂

3. Una máquina de refrescos está programada para que la cantidad de refrescos que sirve sea una variable aleatoria con media de 200 mililitros y una desviación estándar de 15 mililitros. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad media de refresco servido en una muestra de 36 refrescos sea por lo menos 204 mililitros?

4. Un productor de tabaco mantiene que el contenido medio de nicotina en sus cigarrillos es de 2.4 miligramos con una desviación estándar de 0.2 miligramos. Si se asume que estas cifras son correctas, calcula la probabilidad de que la media muestral de 100 cigarrillos seleccionados aleatoriamente sea:

a) mayor que 2.45 miligramosb) menor que 2.38 miligramos

nee

P(X>2.45)P(X<2.38)

μsn

ee

P(X<4)P(3<X<4)

5. El tiempo promedio de permanencia en un hospital público de la Ciudad de México es de 3.5 días. Suponiendo una desviación estándar de la población de 2.3 días y una muestra aleatoria simple de 50 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia para este grupo de pacientes no sea mayor que 4 días?, y ¿cuál es la probabilidad de que permanezca entre 3 y 4 días?

n7 n8 n9 n10 n11 n12 n13 n14

1. Suponer que de la población 1,3,5 y 7 se toman muestras ordenadas de tamaño 2 con reemplazo.


2. Suponer que de la población 2,4,6 y 8 se toman muestras ordenadas de tamaño 2 sin reemplazo.


3. Una máquina de refrescos está programada para que la cantidad de refrescos que sirve sea una variable aleatoria con media de 200 mililitros y una desviación estándar de 15 mililitros. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad media de refresco servido en una muestra de 36 refrescos sea por lo menos 204 mililitros?

4. Un productor de tabaco mantiene que el contenido medio de nicotina en sus cigarrillos es de 2.4 miligramos con una desviación estándar de 0.2 miligramos. Si se asume que estas cifras son correctas, calcula la probabilidad de que la media muestral de 100 cigarrillos seleccionados aleatoriamente sea:

a) mayor que 2.45 miligramosb) menor que 2.38 miligramos

5. El tiempo promedio de permanencia en un hospital público de la Ciudad de México es de 3.5 días. Suponiendo una desviación estándar de la población de 2.3 días y una muestra aleatoria simple de 50 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio de permanencia para este grupo de pacientes no sea mayor que 4 días?, y ¿cuál es la probabilidad de que permanezca entre 3 y 4 días?

n15 n16

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Ejercicios 2012 II