Ejercicios de Analisis Matematico

1. Sea T un subconjunto no numerable y S = {s1, s2, ...} un subconjunto numerable deT . Si S0 = {s1, s3, ...} entonces T T r S0.Solucion.Definimos f : T T r S0 como

f(x) =

{x, si x T r S0s2n, si x = sn S

Hay que probar que f es biyeccion. Construimos una inversa para f como sigue:Sea g : T r S0 T donde,

g(x) =

{x, si x T r Ssn, si x = s2n S r S0

Sea x T , entonces,1) Si x S, se tiene que (g f)(x) = g(f(x)) = g(x) = x2) Si x / S, tenemos que x = sn para alguna n N, entonces (g f)(x) = g(f(x)) =

g(s2n) = sn = x

Por lo tanto tenemos que g f = IdT .Analogamente,

1) Si x Ar S0, se tiene que (f g)(x) = f(g(x)) = f(x) = x = IdTrS02) Si x {s2n : n N}, con x = s2n para alguna n N, entonces (f g)(x) =

f(g(x)) = f(sn) = s2n = x

Por lo tanto f es biyeccion.

2. Sea d : M M R una metrica. Pruebe la desigualdad tetrahedrica: Para todax, y, z, w M se tiene que

|d(x, y) d(z, w)| d(x, z) + d(y, w)

Solucion.Como d es metrica, se tiene

d(x, y) d(x, z) + d(z, w) + d(w, y)Por otro lado tenemos,

d(z, w) d(z, x) + d(x, y) + d(y, w)De las dos desigualdades anteriores,

d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(w, y)

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Por otro lado tenemos,

d(z, w) d(x, y) d(z, x) + d(y, w)Y como d es metrica, se tiene que d(x, y) = d(y, x) para toda x, y M .Por lo que

d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(w, y)y

(d(x, z) + d(w, y)) d(x, y) + d(z, w)Por lo tanto,

|d(x, y) d(z, w)| d(x, z) + d(y, w)3. Pruebe que (0, 1] (0, 1).

4. Sea Dn ={

j2n

: j = 0, ..., 2n 1} para n N y sea D = n=1Dn el conjunto de losnumeros diadicos en [0, 1). Pruebe:

(a) sup(D) = 1.

(b) Entre cualesquiera dos numeros reales en [0, 1) hay una infinidad de numerosdiadicos.

5. Pruebe:

(a) Si un conjunto acotado contiene cota superior, esta es el supremo (analogamentecon el nfimo).

(b) Un conjunto finito no vaco de numeros reales contiene su supremo y su nfimo.

6. Sea S R acotado, entonces para toda a R se tiene:(a) inf(a + S) = a + inf(S)

(b) sup(a + S) = a + sup(S)

7. Pruebe con detalle que si S R es acotado, entonces:

inf(aS) =

a inf(S), si a > 0

0, si a = 0

a sup(S), si a < 0

Enuncie el resultado analogo para supremo y pruebelo.Aqu aS = {as : s S}

8. Sea S un conjunto no vaco y f, g : S R dos funciones acotadas. Pruebe la siguienteserie de desigualdades:

inf {f(x) : x S}+ inf {g(x) : x S} inf {f(x) + g(x) : x S} inf {f(x) : x S}+ sup {g(x) : x S} sup {f(x) + g(x) : x S} sup {f(x) : x S}+ sup {g(x) : x S}

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9. Muestre con ejemplos que cada una de las desigualdades en el ejercicio anterior podraser estricta.

10. Sea f : X Y R acotada, entonces:(a) supx supy {f(x, y)} = supy supx {f(x, y)} = sup(x,y) {f(x, y)}(b) supx infy {f(x, y)} infy supx {f(x, y)}

11. Pruebe: Para cada a > 0 y n N existe uno y solo un numeros real b > 0 talquebn = a (se denotara b = n

a).

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