Preguntas y ejercicios 401Mxima verosimilitudSistema en
serieRegla del producto de probabilidadesSistema en paraleloFuncin
de estructuraDistribucin WeibullDistribucin valor extremoModelo
lognormalEstimador de Kaplan-MeierMnimos cuadrados1.Qu es la
conabilidad de un producto? 2.Describa dos elementos distintivos de
los estudios de conabilidad.3.Plantee al menos tres preguntas de
inters en los estu-dios de conabilidad.4.Dena las censuras: por la
derecha, por izquierda y por intervalo. Describa para cada censura
una situacin prctica que la puede generar.5.Qu informacin proveen
las funciones de distribu-cin acumulada y la funcin de
conabilidad?6.Cmo se dene la funcin de riesgo? Cmo se
inter-preta?7.Si la funcin de riesgo de un producto es decreciente,
signica que despus de un tiempo ste no falla? Argumente su
respuesta.8.Cmo se pueden detectar y eliminar las fallas tem-pranas
o la mortalidad infantil? En qu sentido esto incrementa la
conabilidad del producto?9.Por lo general, cules son las tres
etapas en la vida de un producto? 10.Describa una situacin en la
cual la tasa de riesgo constante es apropiada. 11.Cmo se dene el
cuantil p? Por qu los cuantiles son importantes en conabilidad?
12.Por qu la vida media puede ser menos relevante que la vida
mediana en los estudios de conabilidad? 13.Para qu sirve el papel
de probabilidad? Explique de mane-ra breve cmo se construye una
grca de probabilidad. 14.Segn la teora, en qu situaciones puede ser
til la distribucin Weibull? 15.Cmo se estima la conabilidad del
producto, si en el estudio aparecieron varios modos de
falla?Preguntas y ejercicios 16.En qu situaciones es til la
distribucin lognormal? 17.En qu consiste el tiempo de quemado o
burn-in de un producto? En qu situaciones puede incrementar la
conabilidad del producto? 18.Dena los sistemas en serie y los
sistemas en paralelo, despus comente cmo se puede mejorar la
conabili-dad de cada uno de ellos. 19.Qu es la funcin de estructura
de un sistema? Para qu sirve? 20. En qu consiste el mtodo de
trayectorias para calcu-lar la conabilidad de un sistema? 21.Dena
el estimador de Kaplan-Meier de la funcin de conabilidad emprica.
Cmo es que toma en cuenta las censuras por la derecha? 22. Qu tipo
de preguntas sobre la vida de un producto se pueden responder con
la funcin de conabilidad condicional. 23. Escriba y graque la
funcin de riesgo h(t) para una distribucin de Weibull con
parmetros: a) = 1, = 4, b) = 2, = 2, c) = 3, = 1. Comente el efecto
de cada parmetro. 24. Suponga que la vida de un producto se
distribuye de manera uniforme en el intervalo [a, b].a)Escriba las
funciones f(t), F(t), C(t) y h(t) y grafquelas.b)D las expresiones
para el cuantil p y la vida media del producto. 25. La duracin t
(en horas) de cierto componente electr-nico es una variable
aleatoria con funcin de densidad. f (t) 110000
et /1000t > 0en los dems puntosa)Calcule F(t), C(t) y
h(t).b)Cul es la conabilidad del componente a las t = 100
horas?c)Si una unidad ha sobrevivido a las primeras 100 horas, cul
es la probabilidad de que sobreviva hasta las 200 horas?d)Graque
h(t) e interprtela. 26. Para un disco magntico de computadora se
considera que ocurre una falla temprana si falla antes del tiempo t
= y una falla por desgaste si ocurre despus del tiempo t = .
Suponga que la distribucin del tiempo de falla de los discos,
durante su vida til se puede mo-delar con la distribucinf (t) 1 oo
s t s a)Obtenga las funciones F(t) y C(t).b)Calcule la tasa de
riesgo h(t).c)Graque la tasa de riesgo de discos considerando = 100
horas y = 1 500 horas.d)Si = 100 y = 1 500, cul es la conabilidad
del paquete de discos en el tiempo t = 500 horas? Cul es su tasa de
riesgo a las 500 horas y cmo se interpreta? 27.Se realiz un estudio
para estimar la vida media (en millas) de cierto tipo de
locomotora. Se operaron 96 mquinas durante 135 mil millas o hasta
que fallaron; y de stas, 37 fallaron antes de cumplirse el periodo
de 135 mil millas. La siguiente tabla presenta las millas hasta
fallar para las 37
locomotoras.22.557.578.591.5113.5122.537.566.580.093.5116.0123.046.068.081.5102.5117.0127.548.569.582.0107.0118.5131.051.576.583.0108.5119.0132.553.077.084.0112.5120.0134.054.5Las
restantes 59 locomotoras no fallaron a 135 mil mi-llas; por lo
tanto, entran al estudio en forma censurada:a)Use un software
apropiado y graque los datos en varios papeles de probabilidad para
identicar la distribucin de la que proceden.b)Determine la vida
mediana de las locomotoras.c)Cul es la conabilidad de las
locomotoras a las 200 000 mi? 28. Para los datos sobre la vida de
balatas dados en el ejemplo 13.1:a)Haga un anlisis grco para
identicar la distri-bucin que siguen los datos.b)Una vez identicada
una distribucin, estime los parmetros por mxima verosimilitud y
tambin por mnimos cuadrados. Compare los estimadores.c)Cul es la
conabilidad de las balatas a los 10 000 km?d)Si el fabricante no
est dispuesto a reemplazar ms de 2% de las balatas, es razonable
otorgar una garanta de 10 000 km?e)Si tiene apoyo de un software
apropiado, proporcio-ne un intervalo de conanza al 95% para los
kilme-tros en que falla 2% de las balatas e interprtelo. 29.Para
los datos sobre la vida de ventiladores dados en el ejemplo 13.2,
identique un modelo adecuado para los datos y conteste las
siguientes preguntas:a)Estime los parmetros del modelo usando el
m-todo grco, el mtodo de mnimos cuadrados y el mtodo de mxima
verosimilitud. Compare los resultados.b)Graque el estimador no
paramtrico de la fun-cin de supervivencia.c)Cul es la proporcin de
ventiladores que fallan antes del tiempo de garanta de 8 000
h?d)Ser necesario redisear los ventiladores para tra-tar de
incrementar su conabilidad? Argumente. 30. Suponga que la duracin
(en aos) de un chip para computadoras tiene una distribucin de vida
Weibull. A n de estimar los parmetros de esta distribucin, se
sometieron a prueba 100 chips y se registr el n-mero de
supervivientes al nal de cada ao, durante un periodo de ocho aos.
Los datos con censura por intervalo se presentan en la siguiente
tabla:Ao12345678Nmero94785836221062de supervivientesa)Utilice el
mtodo de mnimos cuadrados para obtener estimaciones de y .b)Si
tiene apoyo de un software apropiado, esta-blezca un intervalo de
conanza de 95% para el percentil 1%.c)Calcule la probabilidad de
que un chip falle antes de cinco aos.d)Estime la conabilidad de los
chips en el tiempo de siete aos.e)Calcule la tasa de riesgo, h(t),
y grafquela. Obtenga la tasa de riesgo en el tiempo t = 4 aos e
interprete su valor. 31.Nelson (1985) aplic la distribucin Weibull
a los tiempo de vida de una muestra de n = 138 cojinetes de
rodillos. La siguiente tabla indica el nmero de cojine-tes que
seguan funcionando al nal de cada periodo de 100 horas hasta que
todos fallaron.a)Calcule la probabilidad de que la lmpara falle
antes de las 900 horas.b)Calcule la conabilidad de la lmpara en el
tiem-po t = 400 h e interprete su valor.c)Graque la funcin de
riesgo. Podra funcionar con esta lmpara el tiempo de quemado para
detectar y eliminar unidades dbiles? 35.Sea la siguiente funcin de
distribucin acumulada F(t) = 1 (t2) para t > 1, que modela el
tiempo de vida de un microorganismo en cierto medio:a)Obtenga las
siguientes funciones f(t), S(t) y h(t).b)Bosqueje la grca de f(t) y
h(t) e interprtelas en trminos del tiempo de vida.c)Obtenga la
funcin percentil.d)Calcule el percentil 90 e interprtelo.e)Calcule
Pr(T < 2). 36. Con el propsito de estudiar la vida de un
productosemiperecedero se realiza un experimento teniendo como
tiempo de censura 400 h. Se estudiaron un total de 60 productos.
Los datos obtenidos hasta eltiempo de censura se muestran a
continuacin.82113132136154156204212238242249270275276284290290292302304308313317331334334335336342351352354358377383386390396396397a)Por
qu cree que se censur el experimento y qu tipo de censura se
aplica?b)Los datos siguen una distribucin Weibull?c)Estime los
parmetros de la distribucin Weibull, graque la densidad
correspondiente e interprtela.d)Qu tiempo de garanta propondra para
el pro-ducto? Por qu?e)Utilizando la estimacin no parmetrica de
Kaplan-Meier obtenga el inciso d). 37.Con el propsito de estudiar
la vida de anaquel de dos marcas del mismo producto, se realiza un
experimento teniendo como tiempo de censura 200 horas. Se
estu-diaron un total de 40 productos de cada marca. Los datos
obtenidos hasta 200 horas (el resto regstrelos como censurados)
para las dos marcas se muestran a continuacin:MARCA A MARCA
B2325293044606264676869727577828791110114118
119121127132133136155156161165178187189192196198200*200*200*200*(*)Censura3351717982838486929399102103104111112112114119125128128131132132134157158171175181185194200*200*200*200*200*200*200*a)Ajuste
un modelo Weibull a estos datos.b)Si tiene apoyo de un software
apropiado, d un intervalo de conanza para el tiempo al cual falla
una proporcin de 2% de los cojinetes.c)Calcule la conabilidad de
los cojinetes de rodillos a las 400 horas.d)Calcule la conabilidad
de que, luego de sobrevivir las primeras 300 horas, un cojinete
sobreviva 100 horas ms. 32. El tiempo de vida en aos de un
generador que se compra tiene una distribucin Weibull con parmetros
= 13 aos y = 2. El periodo de garanta que ofrece el proveedor es de
dos aos.a)Cul es la conabilidad del generador al terminar el
periodo de garanta?b)Si se compran 1 000 unidades, cul es el nmero
esperado de reclamos al fabricante?c)Cul periodo de garanta debe
ofrecer el fabri-cante si quiere tener una proporcin de reclamos a
lo ms de 1 por ciento? 33. De un proveedor se adquiere un lote de
100 000 uni-dades cuyo tiempo de falla sigue una distribucin
Weibull. Si 5% de las unidades falla al tiempo t1 = 225 h y 10%
falla a las t2 = 325 h, encuentre:a)Los parmetros de forma y
escala, utilizando la funcin cuantil.b)La vida media de las
unidades.c)La vida mediana de las unidades.d)La proporcin de
reclamos esperada si el produc-tor ofrece un tiempo de garanta de
30 das. 34. Suponga que la duracin (en horas) de una lmpara
uorescente tiene una distribucin de tiempo de falla Weibull con
parmetro = 500 y = 0 .70.HORAS(CIENTOS)123456781213171924 51
NMERODE COJINES138 114 104 6437292010864321a)Por qu cree que se
censur el experimento y qu tipo de censura se aplica?b)Los datos
para cada marca siguen una distribu-cin Weibull?c)Estime los
parmetros de la distribucin Weibull para cada caso; adems, graque
las densida-des y las funciones de riesgo correspondientes. Comente
las diferencias entre marcas.d)Estime e interprete los cuantiles
0.05, 0.10, 0.25 y 0.80, para cada caso, con base en la distribucin
Weibull.e)Utilice la estimacin no parmetrica de Kaplan-Meier y
obtenga el inciso d).f )Hay diferencias importantes entre los dos
mto-dos de estimacin? Comente.g)Los diseos son diferentes? 38. Haga
el mismo anlisis del problema anterior pero ahora con la
distribucin lognormal, en lugar de la distribucin Weibull. 39.Un
sistema con dos componentes conectados en serie tienen
distribuciones de tiempo de falla exponenciales con medias = 1 000
horas. En el tiempo t = 1 400 h, cul es la conabilidad del sistema?
A las cuntas horas falla 10% de estos sistemas? 40. Considere un
sistema con cuatro componentes, A, B, C y D, conectados en
paralelo. Suponga que los com-ponentes A y B tienen distribuciones
de tiempo de falla normales con parmetros = 800 horas y = 100
horas, mientras que los componentes C y D tienen dis-tribuciones de
tiempo de falla Weibull con parmetros = .5 y = 300. Calcule la
conabilidad del sistema en el tiempo t = 500 horas. 41.Considere el
sistema de la gura 13.18. Si las conabi-lidades de los componentes
individuales son CA = .85, CB = .75, CC = .75, CD = .90, CE = .95,
calcule la cona-bilidad global del sistema. 42. El sistema dado en
la gura 13.19 se llama sistema puente y es muy utilizado para
incrementar la conabili-dad de redes elctricas. Suponga que las
conabilidades de los cinco componentes son: CA = 0.96, CB = 0.92,CC
= 0.94, CD = 0.89 y CE = 0.90. Calcule la conabili-dad del sistema
utilizando el mtodo de trayectorias. 43. Considere el sistema dado
en la gura 13.20.a)D una expresin para la funcin de estructura del
sistema.b)Considerando que las conabilidades los seis componentes
independientes son: CA = 0.95, CB = 0.92, CC = 0.95, CD = 0.90, CE
= 0.92 y CF = 0.90, calcule la conabilidad del sistema. 44.
Demuestre que la tasa de riesgo h(t) se puede expresar como:h(t)
=dIn C(t)[ ]dt 45. Demuestre que en general C(t) = exp
(H(t)).FIGURA 13.20 Diagrama para el ejercicio 42.ADBECFIGURA 13.18
Diagrama para el ejercicio 43.ACBDEFFIGURA 13.19 Diagrama del
ejercicio 41.AB EC D
