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USO DE COMPUERTAS LÓGICAS PARA REPRESENTAR FÓRMULAS PROPOSICIONALES.

A nivel de hardware básico, la memoria del ordenador tiene dos estados, que son identificados como los dos valores lógicos o valores booleanos de T y F. Las operaciones del ordenador son considerados como operaciones compuestas sobre estos valores booleanos y, por tanto, como las operaciones de la lógica proposicional. Dispositivos físicos especiales, llamados compuertas, implementan las operaciones ∧ ,∨ y ~. Un conjunto de compuertas para representar un circuito se denomina circuito combinatorio o red combinatoria. Piense en una compuerta como la representación de una operación y en los cables que van en las puertas como representantes de sus operandos. Por ejemplo, una compuerta ∧ permitirá el flujo de corriente si y sólo si ambos operandos (es decir, los dos cables que entran) llevan la corriente. Notación de estas puertas se muestra en la siguiente figura: Tipo de Compuerta

Representación Simbólica Acción

NOT

Entrada Salida 𝑝 ~𝑝 V F F V

AND

Entrada Salida 𝑝 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 V V V V F F F V F F F F

OR

Entrada Salida 𝑝 𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 V V V V F V F V V F F F

EJERCICIOS 1. Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?

a. La tierra es plana. b. Toronto es la capital de Canadá. c. ¡Qué hermoso día! d. Pase, por favor. e. -1 es un número entero. f. Si 𝜋 > 0, entonces calcular √𝜋. g. 1 + 2 + 3 = 5. h. 15 es número par. i. Qué hora es?

2. Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes

proposiciones moleculares, donde 𝑝, 𝑞, 𝑟 son proposiciones simples. a. ~(𝑝 ∨ ~𝑞) → ~𝑝 b. 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) c. (𝑝 → 𝑞) → 𝑟 d. (𝑝 → 𝑞) → (𝑞 → 𝑝) e. [𝑝 ∧ (𝑝 → 𝑞)] → 𝑞 f. [(𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟)] → (𝑝 → 𝑟)

3. Cuáles de las proposiciones moleculares del ejercicio anterior es

una tautología.

4. Verificar que [𝑝 → (𝑞 → 𝑟)] → [(𝑝 → 𝑞) → (𝑝 → 𝑟)] es una tautología.

5. Verificar que ∼ (∼ 𝑝) ↔ 𝑝 es una tautología. 6. Verificar que 𝑝 ∧ 𝑞 ↔ 𝑞 ∨ 𝑝 no es una tautología. 7. Verificar que 𝑝 ∨ 𝑞 ↔ 𝑞 ∨ 𝑝 es una tautología.

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8. Los operadores lógicos NAND (not and) y NOR (not or) son definidos como:

𝑝 𝐍𝐀𝐍𝐃 𝑞 ≡ ~(𝑝 ∧ 𝑞) 𝑝 𝐍𝐎𝐑 𝑞 ≡ ~(𝑝 ∨ 𝑞)

Construir una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a. 𝑝 𝐍𝐀𝐍𝐃 𝑞 b. 𝑝 𝐍𝐎𝐑 𝑞

9. ¿Cuántas filas se necesitan para la tabla de verdad de la siguiente

proposición compuesta: (𝑝 ∨ ~𝑞) ↔ [(~𝑟 ∨ 𝑠) → 𝑡], donde 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 y 𝑡 son proposiciones simples?

10. Sean 𝑝1,𝑝2,𝑝3, … , 𝑝𝑛 , 𝑛 proposiciones atómicas. Sea 𝒑 una proposición molecular que está compuesta por las 𝑛 proposiciones atómicas anteriores. ¿Cuántas filas se necesitan para construir la tabla de verdad de 𝒑 ?

11. Usar una tabla de verdad para verificar las equivalencias lógicas de:

a. 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝

b. (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)

c. 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

d. ∼ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞

e. ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞

f. 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑝 ∨ 𝑞

g. 𝑝 → 𝑞 ≡ ~𝑞 → ~𝑝

h. 𝑝 ⟷ 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑝)

i. 𝑝 ⟷ 𝑞 ≡ ~𝑝 ⟷ ~𝑞

12. Sean 𝑚 y 𝑛 variables enteras. ¿Cuáles son los valores de 𝑚,𝑛 después de que cada una de estas declaraciones es ejecutada?. a. 𝑚 = 3 y 𝑛 = 8

if 𝑛 −𝑚 = 5 then 𝒏 ≔ 𝑛 − 2

b. 𝑚 = 3 y 𝑛 = 6 if �(2 ∗ 𝑚 = 𝑛) 𝒂𝒏𝒅 (𝑚 + 1 = 4)� then

𝒏: = 4 ∗ 𝑚 − 3

c. 𝑚 = 3 y 𝑛 = 9 if �(𝑛 < 8) 𝒐𝒓 (𝑚− 1 = 4)� then

𝒏: = 4 ∗ 𝑚 − 3 else 𝒎: = 2 ∗ 𝑛

d. 𝑚 = 18 y 𝑛 = 9

if �(𝑚 < 20) 𝒂𝒏𝒅 (𝑚𝑛

< 3)� then

𝒎: = 𝑚− 𝑛 − 5 e. 𝑚 = 4 y 𝑛 = 9

if �(𝑛 = 2 ∗ 𝑚) 𝒐𝒓 (𝑚𝑛

= 2)� then

𝒎: = 𝑚 + 2

13. Sean 𝑝(𝑥),𝑞(𝑥) enunciados abiertos, donde 𝑝(𝑥):𝑥 ≤ 3 y 𝑞(𝑥):𝑥 + 1 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟. Si el conjunto donde están definidos es enunciados abiertos es el de los números enteros, cuáles son los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a. 𝑞(1) b. ~𝑝(3) c. 𝑝(7) ∨ 𝑞(7) d. 𝑝(3) ∧ 𝑞(4) e. ~(𝑝(−4) ∨ 𝑞(−3)) f. ~𝑝(−4) ∧ ~𝑞(−3)

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14. Sea 𝐴 = {1, 2, 3, 4,5}. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: a. (∃ 𝑥 ∈ 𝐴)/ (𝑥 + 3 = 10) b. ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/𝑥 + 3 < 5 c. (∀ 𝑥 ∈ 𝐴) , (𝑥 + 3 < 10)

d. ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥 + 3 ≤ 7 15. Escribir cada proposición simbólicamente, donde 𝐴 es el

conjunto de los números naturales. a. Para todos los enteros positivos 𝑛, se tiene que 𝑛 + 2 > 8. b. Existe un número entero positivo 𝑛 talque 𝑛 + 2 ≯ 8. c. Existe una persona (en vida) tal que tiene 150 años de edad. d. Cada persona que vive no es de 150 años de edad.

Teorema 1. (DeMorgan): . ~�∀ 𝒙 ∈ 𝑨� ,𝒑(𝒙) ≡ (∃ 𝒙 ∈ 𝑨)/~𝒑(𝒙) Teorema 2. (DeMorgan): . ~(∃ 𝒙 ∈ 𝑨)/𝒑(𝒙) ≡ �∀ 𝒙 ∈ 𝑨� , ~𝒑(𝒙) 16. La negación de

“Para todos los enteros positivos 𝑛, se tiene que 𝑛 + 2 > 8” es: a. No existe un entero positivo 𝑛 tal que 𝑛 + 2 > 8. b. Existe un número entero positivo 𝑛 talque 𝑛 + 2 > 8. c. Existe un número entero positivo 𝑛 talque 𝑛 + 2 ≯ 8.

17. La negación de

“Existe una persona (en vida) que tiene 150 años de edad” a. Cada persona que vive tiene mas de 150 años de edad. b. Cada persona que vive no es de 150 años de edad. c. Existe una persona (en vida) tal que tiene 150 años de edad.

18. Negar cada una de las siguientes afirmaciones: a. Todos los estudiantes viven en los dormitorios. b. Algunos estudiantes tienen 25 años o más.

c. Todos los estudiantes miden más de 1.80 m. e. Existen estudiantes que pesan más de 80 kg.

19. Determinar los circuitos lógicos que representan a las siguientes

proposiciones moleculares: a. (~𝑝 ∨ ~𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) b. (~𝑝 ∧ ~𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑞) c. (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟) d. (𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

20. Describir simbólicamente el circuito.

a.

b.

c.

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d.

e.

f.

g.

g.

21. Indicar la salida de los circuitos se muestran a continuación para las señales de entrada dadas.

a.

Señales de entrada: P=F y Q=V

b.

Señales de entrada: P=1 , Q=0 y R=1

22. Describir simbólicamente los siguientes circuitos: a.

b.

c.

d.

e.