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UTT Universidad Tecnológica de Torreón
ESTADÍSTICA
PROCESOS INDUSTRIALES
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
EJERCICIOS Y SOLUCIONES
GRUPO 2 ´´A´´
ROSALVA GUERRERO HERNANDEZ
18 DE MARZO DEL 2012
EJERCICIOS Y SOLUCIONES
Distribuciones comúnmente usadas
1. 1 Distribución de Bernoulli
Para cualquier ensayo de Bernoulli se define a la variable aleatoria X así:
Si el experimento “éxito”, entonces X =1. De lo contrario, X=0. De ahí que
X sea una variable aleatoria discreta, con función de masa de
probabilidad p(x) definida por
P (0)=P(X=0) = 1-p FRACASO
P (1)= P(X=1)=p ÉXITO
Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli
Es fácil calcular la media y la varianza de una variable aleatoria de
Bernoulli.
Resumen
Si X Bernoulli (p), entonces
Media = (0) (1-p) + (1) (p)= P Media = p
Varianza = (0 -p)2 (1 – p) + (1 – p)2(p) = P (1-p) Varianza = p (1 – p)
Ejercicio 1.1 Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte
superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55.
a) Sea X = 1. Si anota el tiro, si no lo hace, X = 0. Determine la media y la
varianza de X.
Solución
M = (0) (1 - 0.55) + (1) (0.55)
= .55
V = (0 - 55)2 (1-.55) + (1 -0.55)2(0.55) =0.2575
A continuación otra forma de interpretarlo:
Media
(X – M)2 (P)
b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos; si lo falla, su equipo no recibe
puntos. Sea Y el número de puntos anotados. ¿Tiene una distribución de
Bernoulli? Si es así, encuentre la probabilidad de éxito si no explique por qué.
Solución: no es una distribución de Bernoulli, ya que una distribución
de Bernoulli sus resultados siempre son X = 1, X = 0
C) Determine la media y la varianza de Y
Solución:
y p (y)(P) Media
2 .55 1.1 (Y-M) (P)
0 .45 0 (2-1.1)2(0.55) =0.4455
M= 1.1 (0-1.1)2(0.45) =0.5445
Y=0.99 Varianza
X P (X)(p)
1 0.55 1(0.55) = 0.55
0 0.45 0(0.45) = 0
M = 0.55
(1- 0.55)2 (0.55) = 0.111375
(0-0.55)2 (0.45) = 0.136125
V = 0.2475
Ejercicio 1.2 En un restaurante de comida rápida, 25% de las
órdenes para beber es una bebida pequeña, 35% una mediana y 40% una
grande. Sea X=1 si se escoge aleatoriamente una orden de una bebida
pequeña y X=0 en cualquier otro caso Sea Y=1 si la orden es una bebida
mediana y Y= 0 en cualquier otro caso. Sea Z=0 si la orden es una bebida
pequeña o mediana y Z=0 para cualquier otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px
b) Sea Py la probabilidad de éxito de Y. Determine Py.
c) Sea Pz la probabilidad de éxito de Z. Determine Pz.
d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
e) ¿Es Pz = Px + Py?
f) ¿Es Z =X + Y? Explique.
SOLUCION:
a) X-( y + z) Y=35%=0.35 Z=40%=0.40
1-(0.35+0.40)
1-(0.75)=0.25 por lo tanto Px=25
b) Y- ( X + Z ) X=25%=.25 Z=40%=.40
1-(0.25+.40)
1-(0.65)=0.35 Py=35%
c) Z – (X+ Y) X=25%=0.25 Y=35%=0.35
1 – (0.25+.35)
1- ( 0.6)= 0.4 Pz= 40%
d) No porque la suma de sus porcentajes es menor a 1
e) No porque Pz= 40% y Py = 35%
f) No.
Ejercicio 1.3 Se lanza una moneda de 1 y de 5 centavos. Sea X =
1 si sale cara en la moneda de 1 centavo y X=0 en cualquier otro caso.
Sea Y=1 si sale cara en la moneda de 5 centavos y Y=0 en cualquier
otro caso. Sea Z =1 si sale cara en ambas monedas y Z=0 en cualquier
otro caso.
a) Sea Px la probabilidad de éxito de X. Determine Px.
c) Sea Py la probabilidad de éxito de X. Determine Px.
d) Sea Pz la probabilidad de éxito de X. Determine Pz.
e) ¿Es Pz= PxPy?
f) ¿Es Z= XY? Explique.
SOLUCION:
a) X=0.5
X P (x)(P)
1 .5 1(0.5) =0.5
0 .5 0(0.5) =0
.5 0.5
b) Y=0
c) Z=.33
Z P (Z)(P)
1 0.33 1(.33) =0.33
0 0.66 0(.66) =0
d) Si porque aun teniendo el mismo resultado no depende uno del
otro.
e) No, porque los tres resultados son independientes.
f) Si porque Z=1, X=1, Y=1, por lo tanto 1=1 x1 =1=1
Ejercicio 1.4 Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z =
XY.
a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces Pz= PxPy.
SOLUCION:
a) Si. X y Y son variables de Bernoulli ya que X = 1 y Y = 1
Sea Z= XY = Z = (1) (1)=1
b) X=1, Y=1, Z=1
Pz = 1= Px =1=Py=1
Pz=Pxpy
1= (1) (1) = 1=1
Ejercicio 1.5 Sean X y Y aleatorias de Bernoulli. Sea Z=X+Y
a) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1, entonces Z es
variable aleatoria de Bernoulli.
b) Demuestre que si X y Y no pueden ser iguales a 1 , entonces Pz= Px
+Py
c) Demuestre que si X y Y pueden ser iguales a 1, entonces Z no es
una variable aleatoria de Bernoulli.
SOLUCION.
a) X=1 X=0
Y=1 Y=0 Z=0+0 Z=0 no es una variable de Bernoulli.
b) Px=Px+Py
1=0+0 1=0 no son iguales
c) X=1, Y=1 Z=X+ Y Z=2 no es una variable de Bernoulli.
2.0 Distribución Binomial
Ejercicios
2. 1 La última novela de un autor ha tenido un gran
éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la
han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la
lectura:
1. ¿Cuál es la probabil idad de que en el grupo
hayan leído la novela 2 personas?
B (4, 0.8) p = 0.8 q = 0.2
2. ¿Y cómo máximo 2?
2.2 Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas
de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según
las tablas actuales, la probabil idad de que una persona en
estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabil idad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B (5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
2. Al menos tres personas.
3. Exactamente dos personas.
2.3 Si de seis a siete de la tarde se admite que un número
de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la
probabil idad de que, cuando se marquen 10 números de
teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B (10, 1/5) p = 1/5q = 4/5
2.4 La probabil idad de que un hombre acierte en el blanco
es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabil idad de que
acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la
probabil idad de que acierte por lo menos en una ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
2.5 En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que
el 5% de los conductores controlados dan positivo en la
prueba y que el 10% de los conductores controlados no
l levan aprovechado el cinturón de seguridad. También se
ha observado que las dos infracciones son
independientes. Un guardia de tráfico para cinco
conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número
de conductores es suficientemente importante como para
estimar que la proporción de infractores no varía al hacer
la selección.
1. Determinar la probabi l idad a de que exactamente
t res conductores hayan comet ido alguna de las dos
inf racciones .
2. Determine la probabi l idad de que al menos uno de
los conductores contro lados haya comet ido alguna de las
dos inf racciones .
3.0 Distribución Poisson
Ejercicios
3.1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de Contabilidad son
muy inteligentes ¿Calcular la probabilidad de que si tomamos 100
alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes.
n = 100
P = 0.03
Lambda = 100 * 0.03 = 3
x = 5
e = 2.718281828
3.2 La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con
defectos.
n = 85
P = 0.02
X = 4
Lambda = 1.7
3.3 En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.
n = 20
p = 0.15
X = 3
Lambda =3
3.4 Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de
la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿ Calcular la
probabilidad de que 10 de ellos tengan defecto en la vista.
n = 50
p = 0.2
Lambda =10
3.5 El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?
n = 40
p = 0.08
Lambda =3.2
X = 5
4.0 Distribución Normal
Ejercicios
4.1La media y los que de los pesos de 500
estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación
típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen
normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 65 kg.
2. Más de 90 kg.
3. Menos de 64 kg.
4. 64 kg.
5.64 kg o menos.
4.2 En una ciudad se estima que la temperatura
máxima en el mes de junio si una distribución normal,
con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número
de días del mes en los que se espera alcanzar máximas
entre 21° y 27°.
4.3Se supone que los resultados de un examen
siguen una distribución normal con media 78 y
desviación típica 36. Se pide:
1. ¿Cuál es la probabi l idad de que una persona que se
presenta el examen obtenga una cal i f icación superior a 72?
2. Calcular la proporción de estudiantes que t ienen
puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos
de la puntuación que marca la f rontera entre e l Apto y e l
No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los
estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).
3. Si se sabe que la cal i f icación de un estudiante es mayor
que 72 ¿cuál es la pr ior idad de que su cal i f icación sea,
de hecho, superior a 84?
4.4Varios test de intel igencia dieron una
puntuación que sigue una ley normal con media 100 y
desviación típica 15.
1. Determinar el porcentaje de población que
obtendría un coef ic iente entre 95 y 110.
2. ¿Qué intervalo centrado en 100 cont iene al 50% de
la población?
3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos
se esperan que tengan un coef ic iente superior a 125?
4.5En un examen tipo test de 200 preguntas de elección
múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una
incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110
respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar,
calcular la probabil idad de aprobar el examen .