7.-∫sin 13 xdx=?

Resolución:

∫sin 13 xdx = 3∫sin 13 x13dx = 3∫sinudu

3∫sinudu= -3 cosu + C = -3 cos13x + C.

Conclusión:

∫sin 13 xdx= -3 cos13x + C .

15. -∫ 4 sin x¿¿¿ ¿ =?

Resolución:

u= 1 + cos x→ du=- sin x dx

Por lo tanto:

∫ 4 sin x¿¿¿ ¿= 4∫−sin x¿¿¿ ¿= 4∫ du

u2 = 4∫u−2du

= -4 u−1

−1 = 4u

= 4¿¿

+ C

Conclusión:

∫ 4 sin x¿¿¿ ¿= 4¿¿

+ C

23. - ∫ sec23√ t√ t

dt=?

Resolución:

u = 3√ t→ du = 3 1

2√t = 32√t

Por lo tanto:

∫ sec23√ t√ t

dt = 23∫ sec

23√ t . 32√ t

dt = 23∫ sec

2udu

= 23tanu + C = 2

3tan3√ t + C

Conclusión:

∫ sec23√ t√ t

dt = 23tan3√ t + C

31.-∫sin ¿¿¿

Resolución:

u=sin ¿¿ dv = dx

du = cos¿¿ v = x

uv−∫ vdu = x sin ¿¿ - ∫ x cos¿¿= x sin¿¿ - ∫❑cos ¿¿

u = cos¿¿ dv = dx

du=−sin ¿¿ v = x

∫cos ¿¿¿= x cos¿¿

Entonces:

∫sin ¿¿¿

∫sin ¿¿¿

∫sin ¿¿¿

Conclusión:

∫sin ¿¿¿

39. - ∫ tan−1√x dx

Resolución:

u= tan−1√x dv = dx

du= 11+x

1

2√xdxv = x

uv−∫ vdu=x tan−1√x−∫ x 11+x

12√x

dx=x tan−1√x−12∫ x1 /2

1+xdx

47.- ∫ x2+1( x−1 )3

dx

Resolución:

x2+1( x−1 )3

= A( x−1 )

+ B

(x−1 )2+ C

( x−1 )3=A ( x−1 )2+B ( x−1 )+c

(x−1 )3

x2+1=A ( x−1 )2+B ( x−1 )+C

x2+1=A x2−2 Ax+A+Bx−B+C

x2+1=A x2+x (−2 A+B )+(A−B+C )

①A=1

②−2 A+B=0→remplazo①en②:B=2

③A−B+C=1→remplazo :1−2+C=1→C=2

Entonces:

∫ x2+1( x−1 )3

dx=∫ [ 1(x−1 )

+ 2( x−1 )2

+ 2( x−1 )3 ]dx=∫ 1

(x−1 )dx+∫ 2

(x−1 )2dx+∫ 2

( x−1 )3dx

∫ x2+1( x−1 )3

dx=ln ( x−1 )− 2( x−1 )

− 2( x−1 )2

+C

Conclusión:

∫ x2+1( x−1 )3

dx=ln ( x−1 )− 2( x−1 )

− 2( x−1 )2

+C

55.- ∫ x3 e3 xdx

Resolución:

u¿ x3dv=e3x dx

du¿3 x2dx v=13e3x

Por integración por partes:

∫ x3 e3 xdx=13 x3 e3x−3

3∫ x2 e3 xdx

∫ x2 e3 xdx=¿

u=x2dv=e3 xdx

du¿2 x❑dx v=13e3 x

Por integración por partes:

∫ x2 e3 xdx=13 x2 e3x−2

3∫ x❑e3 xdx

u=x❑dv=e3 xdx

du¿❑dx v=13e3 x

Por integración por partes:

∫ x❑e3 xdx=13xe3x−∫ e3 xdx

∫ x❑e3 xdx=13xe3x−1

3e3 x

Remplazando en la integral principal

∫ x3 e3 xdx=13 x3 e3x−[13 x2 e3x−23 (13 xe3x−13 e3 x)]

∫ x3 e3 xdx= 13x3 e3 x−1

3x2 e3x−2

9x e3x+ 2

9e3x

Conclusión:

∫ x3 e3 xdx=13 x3 e3x−1

3x2 e3 x−2

9x e3 x+ 2

9e3 x

63.- ∫ (1+x 4 )−1 /4dx

Resolución:

m= 0; n =4; p= −14

=rs

-descartado primer caso, p no es entero

m+1n

=0+14

=14

No es entero, descartado el segundo caso.

m+1n

+ p= 14−14=0: Si es numero entero, se trata del tercer caso.

a x−n+b=zs

x−4+1=z4

x=( z4−1 )−14 →→dx=−1

4( z 4−1 )

−54 (4 z3 )dz=−z3 ( z4−1 )

−54 dz

Remplazando:

∫ (1+x 4 )−1 /4dx= ∫{1+[( z4−1 )−14 ]

4}−1 /4

[−z3 ( z4−1 )−54 ]dz

= −∫ z3 {1+( z4−1 )−1}−1/4[( z4−1 )−54 ]dz

= −∫ z3{1+ 1z4−1 }

−1/4[ ( z4−1 )−54 ]dz

= −∫ z3{ z4−1+1z4−1 }−1/4[ ( z4−1 )

−54 ]dz

¿−∫ z3 { z4

z4−1 }−1 /4[( z4−1 )

−54 ]d z

¿−∫ z3 z−1 ( z4−1 )−1dz=∫ z2

( z4−1 )dz

Integración por fracciones parciales

∫ z2

( z4−1 )dz= ?

z2

( z4−1 )= z2

( z2+1 ) ( z2−1 )= z2

( z2+1 ) ( z+1 ) (z−1 )= A

( z+1 )+ B

( z−1 )+Cz+D

( z2+1 )

A( z+1 )

+ B( z−1 )

+Cx+D( z2+1 )

=A ( z−1 ) ( z2+1 )+B ( z+1 ) ( z2+1 )+ (Cx+D ) ( z+1 ) ( z−1 )

( z+1 ) ( z−1 ) ( z2+1 )

Entonces:

A ( z−1 ) ( z2+1 )+B ( z+1 ) ( z2+1 )+ (Cz+D ) ( z+1 ) ( z−1 )=z2

Az3+Az−Az2−A+Bz3+Bz+Bz2+B+Cz3−Cz+Dz2−D=z2

z3 ( A+B+C )+z2 (−A+B+D )+ z ( A+B−C )+(−A+B−D )=z2

Sistema de Ecuaciones:

①A+B+C=0

②−A+B+D=1

③A+B−C=0→ A+B=C

④−A+B−D=0→−A+B=D

Remplazo 3 en 1

C+C=0→C=0

Remplazo 4 en 2

D+D=1→D=12

Remplazo el valor de C en 1

⑤ A+B+0=0→A=−B

Remplazo el valor de D y el de A ecuación 4

−(−B )+B=12→B=1

4

Finalmente:

A=−14

Remplazamos los valores de A, B, C, D en las fracciones parciales

∫ z2

( z4−1 )dz=[ −1

4 ( z+1 )+ 14 ( z−1 )

+ 1

2 ( z2+1 ) ]dz∫ z2

( z4−1 )dz=−1

4∫ dz

( z+1 )+ 14∫ dz

( z−1 )+ 12∫ dz

( z2+1 )

∫ z2

( z4−1 )dz=−1

4ln (z+1 )+ 1

4ln ( z−1 )+ 1

2tan−1 z

Por ultimo:Conclusión:

∫ (1+x 4 )−1 /4dx=−14ln [ (x−4+1 )1/4+1 ]+ 1

4ln [ (x−4+1 )1 /4−1 ]+ 1

2tan−1 (x−4+1 )1 /4

71.- ∫ y2

1− ydy=

Por división sintética tenemos

y2

1− y= 11− y

− y−1

Por lo tanto:

∫ y2

1− ydy=∫ 1

1− ydy−∫ ydy−∫ dy

Conclusión.

∫ y2

1− ydy= ln (1− y )− y2

2− y+C

79.- ∫ (csc 2x−2 x . tan 2x . csc2 x−2csc22x )dx

Resolución:

∫ csc2 x dx−∫ 2x . tan 2 x . csc 2x dx+∫−2csc22x dx

12∫ csc 2x 2dx−∫2 x .

sin 2xcos2x

.1

sin 2xdx+ctg2 x

−12ln (csc 2 x+ctg2 x )−∫ x sec 2x 2dx+ctg2 x .

2∫ x sec2 x dx=¿

u=sec 2 xdv= xdx

du=2 sec 2 x . tan 2 xdx v= x2

2

Por integración por partes:

2∫ x sec2 x dx= x2 sec 2 x2

−∫ x2 sec 2x . tan 2 xdx

u=x2dv=sec 2x . tan 2 xdx

du=2 xdx v=12sec 2x

Entonces:

2∫ x sec 2x dx= x2 sec2 x2

−[ 12 x2 sec2 x−12∫ x2 sec2 x dx ]∫ x sec 2 xdx=2

3 [ x2 sec 2 x2−12x2 sec 2x ]

Conclusión

∫ (csc 2x−2 x . tan 2x . csc2 x−2csc22x )dx=

−12ln (csc 2 x+ctg2 x )+2

3 [ x2 sec 2 x2−12x2 sec 2x ]++ctg2 x

87.-∫ 11+cos x

dx

u= 11+cos x

dv=dx

d u= senx

(1+cos x )2dx v=x

Por integración por partes

∫ 11+cos x

dx= x1+cos x

−∫ xsenx

(1+cos x )2dx

u=xdv= senx

(1+cos x )2

du=dx v= −11+cos x

Por integración por partes

∫ xsenx

(1+cos x )2dx= −x

1+cos x−∫ 1

1+cos xdx

Remplazando en la integral principal

∫ 11+cos x

dx= x1+cos x

−[ −x1+cos x

+∫ 11+cos x

dx ]Conclusión:

∫ 11+cos x

dx= x1+cos x