EJERCICIOS DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL, POISSON Y NORMAL

BINOMIAL*Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

*Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

*La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

*En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

1. Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

2. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

*Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

2.Al menos dos tengan efectos secundarios.

3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

*En un juego una persona recibe 15 pesetas cuando saca una sota o un caballo y recibe 5 pesetas si saca un rey o un as de una baraja española con 40 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar 4 pesetas ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?

Resp: El espacio muestral será (sota o caballo, rey o As, otra carta)

P(sota o caballo) = 8/40 = 1/5

P(rey o as) = 8/40 = 1/5

P(otra carta) = 24/40 = 3/5

E(X)=15*1/5+5*1/5-4*3/5=8/5=1.6

1Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

1. La función de probabilidad y su representación.

2. La función de distribución y su representación.

3. La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

*Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x 0 1 2 3 4 5

P(x) 0,1 0,2 0.1 0,4 0.1 0,1

1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

2. Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X ≥ 3)

p (3 ≤ X < 4.5)

*Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar:

La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

*Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.:1*2/4+2*1/4-5*1/4=-1/4 es desfavorable

*Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos

cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.E(X)=1*1/6*100+200*1/6+300*1/6-400*1/6+500*1/6-600*1/6=16,667

*Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta? E(X)=5000*0.001+2000*0.003=11euros

Normal. 1Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye según una distribución Normal(0, 1). Calcular:

1. P(Z ≤ 1.47) =0.9292

2.P(Z > 1.47)=1-0.9292=0.0708

3.P(Z ≤ −1.47)=1-0.9292=0.078

4.p(Z > 1.47)=0.9292

5.P( 0.45 <Z ≤ 1.47)=09292-06736=0.2556

6.P(−1.47 <Z ≤ − 0.45)=0.9292-0.6736 =0.2556

7.P(-1.47 < Z ≤ 0.45)=0.6736-(1-0.9292)=0.6028

8.p= 0.75,z<0.68, (x-u/t)=0.68

*En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°

*La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

Entre 60 kg y 65 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

*Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la prioridad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2.

*Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

*Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

*un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?

2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos dos televisores?

*En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.

*una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tipos se han teléfono.

*Cierto tipo de batería dura un promedio de 3 años, con una desviación típica de 0,5 años. Suponiendo que la duración de las baterías es una variable normal: a) ¿Qué porcentaje de baterias se espera que duren entre 2 y 4 años? b) Si una batería lleva funcionando 3 años. ¿ cuál es la probabilidad de que dure menos de 4.5 años