EJERCICIO: Errores de las aproximaciones numéricas

1. Use el método de Euler para aproximar la solución del problema de valor inicial

dydt

= y2−4 ty+4 t2 y−4 y+8 t−3. y(0) = -1

Cómo cambia la aproximación cuando se modifica el tamaño del paso?. Interprete sus resultados. (Sugerencia: Observe el campo de pendientes para esta ecuación).

Solucióna) Para la solución del problema de valor inicial propuesto anteriormente; se va a

utilizar un paso “h” de 0.1Recordando la expresión general para el método de euler tenemos:

Suponiendo que deseamos aproximar nuestra solución para un t=1 tenemos que:

y1=−1+0 ,1 ((−1 )2−4 (−1∗0 )+4 (02∗(−1 ) )−4 (−1 )+8 (0 )−3)y1=−0,8

y2=−0 ,8+0 ,1 ( (−0 ,8 )2−4 (−0 ,8∗0 ,1 )+4 (0 ,12∗(−0 ,8 ) )−4 (−0 ,8 )+8 (0 ,1 )−3 )y2=−0,6072

N Xn Yn

0 0 -1,00001 0,1 -0,80002 0,2 -0,60723 0,3 -0,42864 0,4 -0,26285 0,5 -0,10556 0,6 0,04837 0,7 0,20468 0,8 0,36989 0,9 0,5519

10 1 0,7617

La solución aproximada para el problema de valor inicial propuesto con un paso de 0.1 es:

yn+1= yn+hf ' ( xn)xn=x0+n∗h

y (1)=0,7617

b) Si consideramos un paso de 0.05 tenemos:

N Xn Yn0 0 -1,00001 0,05 -0,90002 0,1 -0,80103 0,15 -0,70434 0,2 -0,61075 0,25 -0,52036 0,3 -0,43327 0,35 -0,34908 0,4 -0,26729 0,45 -0,1874

10 0,5 -0,108911 0,55 -0,031112 0,6 0,046713 0,65 0,125314 0,7 0,205315 0,75 0,287716 0,8 0,373517 0,85 0,463818 0,9 0,560019 0,95 0,663620 1 0,7766

Como podemos observar al reducir el tamaño del paso la solución del problema es más acertada. Esto se debe a que el número de intervalos aumenta y por ende la pendiente de las rectas tangentes a la curva se aproximan más a la pendiente de la recta secante que corta a la curva.

2. Use el método de Euler, el método de Euler mejorado y el de Runge-Kutta para aproximar la solución del problema de valor inicial

dydt

=2√ y , y(0) = 1

Encuentre la fórmula par la solución y evalué el error como función del tamaño del paso en cada uno de los métodos. ¿Son los métodos mejores o peores de lo que había esperado? (Sugerencia: La geometría del campo de pendientes no será muy útil aquí, pero sí lo será la forma especial de la fórmula de la solución).

SoluciónVamos a utilizar un paso de 0.1 y vamos a buscar la solución para x=1

Método de EulerPara este caso procedemos igual que en el ejercicio 1 a continuación se muestran los resultados obtenidos:

N Xn Yn

0 0 1,00001 0,1 1,20002 0,2 1,41913 0,3 1,65734 0,4 1,91485 0,5 2,19166 0,6 2,48767 0,7 2,80318 0,8 3,13799 0,9 3,4922

10 1 3,8660

Método de Euler mejorado Recordando la expresión general para el método de Euler mejorado tenemos:

Partiendo de lo anterior tenemos:

y1¿=1+0.1 (2√1 )=1.2

y1=1+0.1( 2√1+2√1.22 )=1.2095Los resultados de la implementación de este método se encuentran en la siguiente tabla.

N Xn Yn+1* Yn

0 0 11 0,1 1,2000 1,20952 0,2 1,4295 1,43913 0,3 1,6790 1,68864 0,4 1,9485 1,95825 0,5 2,2380 2,24776 0,6 2,5475 2,55727 0,7 2,8771 2,88688 0,8 3,2266 3,23639 0,9 3,5961 3,6058

10 1 3,9856 3,9954

yn+1= yn+h( f (xn , yn )+ f ( xn+1 , yn+1¿ )2 )

yn+1¿ = yn+hf ( xn , yn)

Método de Runge-Kutta de cuarto ordenLa expresión general para este método es:

Con lo anterior tenemos:

k 1=0.1 (2 (√1 ) )=0.2

k 2=0.1(2 (√1 )+ (0.2 )2 )=0.21

k 2=0.1(2 (√1 )+ (0.21 )2 )=0.2105

k 2=0.1 (2 (√1 )+0.2105 )=0.2211

y1=1+(0.2+2 (0.21 )+2 (0.2105 )+0.2211)

6=1.2103

A continuación se muestran los resultados

X Y K1 K2 K3 K40 1,0000 0,2000 0,2100 0,2105 0,2211

0,1 1,2103 0,2200 0,2310 0,2316 0,24320,2 1,4418 0,2401 0,2522 0,2528 0,26540,3 1,6943 0,2603 0,2733 0,2740 0,28770,4 1,9681 0,2806 0,2946 0,2953 0,31010,5 2,2632 0,3009 0,3159 0,3167 0,33250,6 2,5796 0,3212 0,3373 0,3381 0,35500,7 2,9175 0,3416 0,3587 0,3595 0,37760,8 3,2767 0,3620 0,3801 0,3810 0,40010,9 3,6575 0,3825 0,4016 0,4026 0,42271 4,0598 0,4030 0,4231 0,4241 0,4454

En la grafica que se muestra a continuación se observan los resultados obtenidos por los tres métodos y la tendencia de la solución real:

yn+1= yn+16

(k1+2k2+2k3+k 4 )

k 1=hf (xn , y n)

k 2=hf ( xn+12h , yn+

12k 1)

k 3=hf ( xn+12h , yn+

12k2 )

k 4=hf ( xn+h , yn+k 3 )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

1

2

3

4

Comportamiento de las diferentes solu-ciones

EulerEuler mejoradoRunge-KuttaSolución Real

Con el grafico anterior podemos corroborar que para un mismo número de pasos el método que más se aproxima a la solución real del problema de valor inicial propuesto es el método de Runge-Kutta.

3. Repita la parte 2 para el problema de valor inicial

dydt

= y2+ t3−6 , y(0) = 0

SoluciónPara dar solución al PVI propuesto vamos a utilizar un paso de 0.05 y vamos a aproximar la solución para x=0.05

Método de Euler

N Xn Yn

0 0 0,00001 0,05 -0,30002 0,1 -0,59553 0,15 -0,87774 0,2 -1,13905 0,25 -1,37386 0,3 -1,57867 0,35 -1,75278 0,4 -1,89699 0,45 -2,0138

10 0,5 -2,1065Método Euler mejorado

N Xn Yn+1* Yn

0 0 01 0,05 -0,3000 -0,29782 0,1 -0,5933 -0,58673 0,15 -0,8695 -0,85924 0,2 -1,1221 -1,10915 0,25 -1,3472 -1,33256 0,3 -1,5430 -1,52797 0,35 -1,7098 -1,69518 0,4 -1,8493 -1,83569 0,45 -1,9639 -1,9517

10 0,5 -2,0567 -2,0462

Método de Runge-Kutta de cuarto orden

k 1=0.05 (02+03−6 )=−0.3

k 2=((0+ 0.05∗(−0.3 )2 )

2

+(0+ 0.052 )3

−6)=−5.999

k 3=((0+ 0.05∗(−5.999 )2 )

2

+(0+ 0.052 )3

−6)=−5.9775

k 4=( (0+0.05∗(−5.977 ) )2+ (0+0.05 )3−6)=−5.9105

y1=0+0.05((−0.3−2 (5.99 )−2 (5.9775 )−5.9105)6 )=−0.2514

X Y K1 K2 K3 K40 0,0000 -0,3000 -5,9999 -5,9775 -5,9105

0,05 -0,2514 -0,2968 -5,9326 -5,8398 -5,70370,1 -0,4976 -0,2876 -5,7432 -5,5869 -5,3930

0,15 -0,7338 -0,2729 -5,4462 -5,2379 -5,00070,2 -0,9558 -0,2539 -5,0629 -4,8171 -4,5524

0,25 -1,1605 -0,2319 -4,6190 -4,3511 -4,07400,3 -1,3459 -0,2081 -4,1402 -3,8649 -3,5882

0,35 -1,5109 -0,1837 -3,6504 -3,3802 -3,11380,4 -1,6556 -0,1598 -3,1690 -2,9136 -2,6643

0,45 -1,7805 -0,1369 -2,7104 -2,4767 -2,24850,5 -1,8868 -0,1157 -2,2842 -2,0764 -1,8709