Ejercicios Hamilton

FORMULACIN HAMILTONIANA: ECUACIONES

1. El punto de suspensin de un pndulo simple de masa y de longitud l est obligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y est conectado a un punto de la periferia de un volante de masa y de radio . El volante gira libremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana del sistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.

m

M a

cossincos2

lylax

=+=

&&&&&

lsinylasinx

=+= cos2

( )

( )

=

+

++==

=====

=

+=

&&&&

&&&&

&

&&&&

A,21

coscossin2sin222

cos4122

21

cossin2sin22

22222

224

0

2

2

22222

L

mglalmmaIlmL

mglV

MRlaMlarrdrlI

IT

almmalmT

a

D

p

32

2cos2sin2224)2sin24(2

12cossin2

cossin22sin24)1(

)1(21

2sin24cossin2cossin22

mlamaIml

mlalmalmaI

TT

P

P

maIalmalmml

+

+=

=

=

=

+=

A

PAP

AP

A

&&

coscossin4222)2sin24(21 mglPPalmPmlPmaIH

+++=

No hay ninguna que sea obviamente cclica, aunque H se conserva: H=E, al no depender explcitamente del tiempo.

Las ecuaciones de Hamilton son:

PHHP

PHHP

=

=

=

=

&&

&&

;

;

-------------------------------------------

2. La Lagrangiana de un sistema con dos grados de libertad puede escribirse en la forma

])()cos[(2

22 tqsintqtsinqmL ++= &

Cul es la Hamiltoniana correspondiente?Se conserva? Introduciendo la nueva coordenada

tqsinQ = , hallar la Lagrangiana en funcin de Q y su derivada, y tambin la correspondiente Hamiltoniana .Se conserva ? H H

33

[ ]

22

)cos(

)()cos(2

2222

22

mqtsinqmH

LqpH

tqtsinqtmsinqLp

tqtsintqtsinqmL

==

+==

++=

&

&

&&

&

donde

tsintq

tmsinpq

1)cos( =&

Entonces la Hamiltoniana es:

2)cos(

2222 mqtq

tmsinpmH =

No se conserva al depender del tiempo.

22211

1222

1

21

21

)(2

cos

QmPm

H

QmPQQmL

tqtsinqQ

tqsinQ

=

=+=+=

=

&&&&

S, se conserva.

-----------------------------------------

3. Considrese un cilindro de radio R, libre de girar respecto de su eje de simetra, situado verticalmente, y cuyo momento de inercia respecto de tal eje es . Sobre la superficie lateral del cilindro est fija rgidamente una espira uniforme pista helicoidal, a lo largo de la cual puede deslizarse sin rozamiento un punto material de masa . El ngulo formado por la hlice respecto de la vertical es tal que desciende una altura 2 por cada vuelta que se da alrededor del cilindro. Supngase que la partcula parte del reposo desde la parte superior del cilindro y se desliza bajo la influencia de la gravedad. Usando un sistema de coordenadas cualquiera, obtener la Hamiltoniana para el sistema combinado partcula-cilindro, y resolver completamente el movimiento del sistema. Interprtense todas las variables cclicas del sistema.

I

m

34

=+=+=

zryrx )sin(;)cos(

siendo la constante de la espiral: 2=L

[ ]2222 )((21 &&& ++= RmTparticula

2

21 &ITcilindro = mgV =

[ ] mgaIRmL +++++=2

)2(21 222222 &&&&&&

=

++=

&

&&&&&&& A),(

21)(

),(21

22

222

ImRmRmRRmT

=

2

1

2

1

&&

App

( )

++

= 21

222

22

21 )(,

21

pp

RmmRmRImR

ppT

siendo 42222 ))(( RmmRIRm ++=

pero es cclica de modo que es constante: Lo que equivale a la conservacin del momento angular total. De hecho, como el sistema parte del reposo

,

2p .2 constp ==

0=.0)( 22 =++ && ImRmR

Entonces,

.)(21 2

12 pImRT +=

35

Definiendo + ImR

21 ,

mgp

H =2

21

Las ecuaciones de movimiento son:

1pH=& ;

= Hp1&

1p=& ; mgp =1&

)0(;)( 01 ==== &&tmgttmgp en t .0=2

0 2tmg

+=

242222

2

0 ))((2t

RmmRIRmImRmg

++++=

Movimiento uniformemente acelerado:

mg=&& ;

ImRmRmg

+= 22

&&

----------------------------------------

4. Una Hamiltoniana de un grado de libertad tiene la forma

[ ]kbeebqpqbeptqpH ttt +++= )(22

),,(22

en donde y son constantes. b, ka) Hallar la Lagrangiana asociada a esta Hamiltoniana. b) Obtener una Lagrangiana equivalente que no dependa del tiempo

explcitamente, explicando someramente la base del procedimiento seguido. c) Escribir la Hamiltoniana correspondiente a esta segunda Lagrangiana y

explicar su relacin con la Hamiltoniana anterior.

22

22qpqpH +=

con kbeebbe ttt ++ )(; HpqqqL = &&),( qp

pH ==&q

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Entonces,

22

22 qpL = Sustituyendo el p:

22

2)(

2),( qqqqqL += &&

Recurdese que por el origen variacional de las ecuaciones de Lagrange L es

equivalente al Lagrangiano dtdFLL +1

siendo F arbitrario. Ntese que

= teqdtd 2 .2 2 tt eqeqq &

Resulta inmediato ver que

,22

)(2

2221 q

kqeqdtdLL t = &

de modo que el Lagrangiano equivalente es el del oscilador armnico:

221 22

qkqL = & y el Hamiltoniano asociado es:

.22

221 q

kqH += & ----------------------------------------

5. Dos masas puntuales y estn unidas por una cuerda de longitud constante . La primera partcula puede moverse libremente sin rozamiento sobre un plano horizontal, mientras la segunda cuelga verticalmente de la cuerda que pasa por un orificio practicado en dicha superficie. Obtener el

Lagrangiano, tambin el Routhiano correspondiente, y el Hamiltoniano. Reducir el problema a una cuadratura.

1m 2ml

1. Lagrangiano. Usamos z y como coordenadas.

37

1x cos)( zl = , entonces cossin)(1 zzlx &&& =sin)(1 zly = , entonces sincos)(1 zzly &&& =

22122122

21

211 )(222

1)(21 &&&&& zlmzmmzmyxmT ++=++=

gzmV 2=

gzmzlm

zmm

L 2221221 )(

22+++= &&

Ntese que es coordenada cclica: .0=L El correspondiente momento conjugado

es constante

.)( 212 ==== constzlmLp &&

2. Routhiano.

Es Vzlm

zmm

zlmLpppzR ++== 221221221221 )(22)();,( &&&&

Finalmente:

21);,( 21 =ppzR 22122

1

22

2)(z

mmgzm

zlmp &+

Las correspondientes ecuaciones de Lagrange tienen un solo grado de libertad, , puesto que

z.2 == constp

El potencial efectivo es .)(2 21

2

2 zlmgzm +

.0=

zR

zR

dtd

&

Entonces,

).)(2

()( 21

22

221 zlmp

gzmz

zmm =+ &&

Naturalmente, una primera integral de la ultima ecuacin es la ecuacin de la energa:

constEzlm

pgzmz

mm ==++

21

22

2221

)(22&

Despejando , se obtiene la solucin para z& :)(tz

++

==2

1

22

221 )(2

)(

zlmp

gzmEmm

z

dztz

dzdt &

38

Para la coordenada cclica tenemos: )(t

[ ] ,)( 212 dt

tzlmp

d = lo que reduce la solucin a dos cuadraturas.

El Hamiltoniano es trivial de obtener al ser diagonal la matriz

a invertir:

21

1211 ;)( mm

pzzmm

zLp +=+== &&&

21

2212 )(

;)(zlm

pzlmLp ==

= &&

&

T= 21

22

21

21

)(2)(2 zlmp

mmp

++

=+= VTH gzmzlm

pmm

p22

1

22

21

21

)(2)(2++

Evidentemente es tambin cclico en H .0: 2 === constpH

Ntese que la existencia de una coordenada cclica reduce en dos(no en uno) el orden del sistema a integrar, al desaparecer tanto la coordenada como su momento conjugado del problema diferencial. Ello no era obvio en los ejemplos anteriores en los que usamos el formalismo lagrangiano en vez del hamiltoniano.

------------------------------------------

6. A partir de la formulacin de Lagrange para un sistema descrito por n coordenadas generalizadas q : i

a) constryase una funcin , anloga a la hamiltoniana, en la que las variables independientes sean q y .

( tpqG ii ,, &&&i &pi

)

) )

b) Dedzcanse las correspondientes ecuaciones de movimiento.

a) A partir de la lagrangiana , construimos la funcin G mediante una transformacin de Legendre:

( tqqL ii ,, & ( tpq ii ,, &&( )tqqLpqG iiii ,, && = .

Diferenciando esta expresin se obtiene:

ttLq

qLq

qLqppqG i

ii

iiiii dddddd

+= &&&&

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Aqu, el segundo y el tercer trmino se anulan en virtud de la ecuacin de Lagrange, , mientras que de la definicin de moment