Ejercicios Matlab Cap03 Operaciones Arrays

8/16/2019 Ejercicios Matlab Cap03 Operaciones Arrays

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B= A=

A*B=

Operaciones Matemáticas con Arrays 1

Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa

CURSO DE MATLAB BASCO

CA!TULO O!ERACONES MATEMATCAS CON ARRA"S

#$% Su&a ' RestaLos arrays deben tener el mismo número de filas y columnas, La suma y la resta de losarrays se efectuan sumando o restando sus elementosLos operadores son +(suma) y –(resta)

Ejemplo ! "#$% &enerar dos 'ectores de " elementos y lueo efectuar la suma y la restade los mismos#Solución

'ecta= -./'ectb=$0 1 2./ 'ectsum='ecta+'ectb'ectsum = $ 2 $$

'ectres='ecta3'ectb'ectres =

31 " 3"

Ejemplo !"#1% enerar dos matrices de "4", lueo efectuar la suma y resta de las mismasSolución: A=- 5 /$ 1 ". A = - 5 $ 1 " B=$0 $1 $-/" 2.B = $0 $1 $- " 2 6789AB=A+B6789AB =

$- $ 11 - 2 $0

:E69AB=A3B:E69AB = 35 35 35 31 3" 3- :E69BA=B3A:E69BA = 5 5 5

1 " -

#$( Multiplicaci)n de Arra'sLa operaci;n de multiplicaci;n * se reali


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Operaciones Matemáticas con Arrays

B=

[

b11b21

b31

⋮

bn 1

]El resultado de AB es otra matri< de $4$%

C = AB=[ a11b11+a12 b21+a13b31… . a1m bn1 ]

C = AB=[∑k =1

m

a1 k bk 1]

8ultiplica @LA CDL78A

Ejemplo:

A= [234 ]

B=[ 1

−12 ]

C =[2(1)+3 (−1)+4 (2)]2−3+8

C =[¿ ]=[7 ]

Con 8atlab% A= 1 " -. A = 1 " - B=$ 3$ 1.B = $ 3$ 1 C=A*BC =

2

As> para una matri< A, de " filas 4 1 columnas/ y la matri< B de 1 filas 4 1 columnas/el resultado AB es otra matri< de " filas por 1 columnas%

A=|a11

a12

a21

a22

a31

a32

|B=

|b

11

b12

b21

b22|

A∗B=a

11b

11+a

12b

21 a

11b

12+a

12b

22

a21

b11+a

22b

21 a

21b

12+a

22b

22

a31

b11+a

32b

21 a

31b

12+a

32b

22

Ejemplo:

A=

|

1 4

2 5

3 6

|

7sando 8atlab% A=$ -/1 /" 5. A =

$ - 1 " 5

Ing. Héctor G. Bolaños Sosa


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Operaciones Matemáticas con Arrays !

B=|7 98 10|

A∗B=

[1(7)+4(8) 1(9)+4 (10)2(7)+5 (8) 2(9)+5(10)3 (7)+6(8) 3(9)+6(10)

] A∗B=[

7+32 9+4014+40 18+5021+48 27+60]

A∗B=[39 49

54 68

69 87]

B=2 F/ $0.B = 2 F $0 C=A*BC =

"F -F - 5 5F 2

Comentarios%a) La matri< A tiene 1 columnas/ la matri< B tiene 1 filas/ C78GLE LA

CDHCD#b) El resultado es otra matri< de tiene " filas (filas de A) y 1 columnas (Columnas

de B)

Ejemplo ! "#"% &enerar una matri< de 141 y otra de $41, lueo multiplicar Solución:

C=$ 1/1 -.C = $ 1 1 - H=$ 1.H = $ 1

HC=H*CHC = $0

Ejemplo ! "#-% &enerar una matri< de -4" y otra de "41, lueo multiplicar Solución:

A=$%"/-%5/2%F/$0%$1. A = $ 1 " - 5 2 F

$0 $$ $1 B=$ "/ 2/F $$.B = $ " 2 F $$

AB=A*B AB = " 0 " $$" $1 $25

$2" 1"F

BA=B*AIII Error usin == mtimesnner matri4 dimensions must aree#B tiene 1 columnas, y A tiene - filas, elsistema no se puede resol'er

A=$ - 1/ 2 "/F $ 5/- 1 $. A = $ - 1 2 " F $ 5

- 1 $

B=5 $/1 /2 ".

C=A*BC = 1 12 5 -F F "1

" $2

H=B*A



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Operaciones Matemáticas con Arrays "

B = 5 $ 1 2 "

III Error usin == mtimesnner matri4 dimensions must aree

B, tiene 1 columnas y A tiene - filas/ nose puede resol'er

@=$ "/ 2.@ = $ " 2

&=- 1/$ 5.& = - 1 $ 5

J=@*&J = 2 10 12 1

=&*@ = $- 15 "$ -

8ultiplicaci;n de un 'ector fila por un 'ector columna, el resultado es un escalar#8ultiplicaci;n de un 'ector columna por un 'ector fila, el resultado es una matri


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Operaciones Matemáticas con Arrays #

• La matri< identidad multiplicada por otra matri< (o 'ector) da como resultado

la matri< oriinal#

HE=eye(")HE = $ 0 0

0 $ 0 0 0 $ A = 1 $ - - $

A*HEans = 1 $ -

- $

#$#$( nversa de una &atri*• 6e dice ue la matri< B es la in'ersa de una matri< A, si al multiplicar ambas

matrices el producto es la matri< identidad#

• La matri< debe ser cuadrada#

• o todas las matrices tienen in'ersa# Piene in'ersa solo si es cuadrada y su

determinante no es cero

•

8atlab usa la funci;n inv(A) o tambien A

+%

#

Ejemplo ! "#2% &enerar una 8atri< cuadrada de "4", determinar a) La in'ersa de la matri<b) La multiplicaci;n de ambas matricesSolución:

A=1 $ -/- $ /1 3$ ".

A = 1 $ - - $ 1 3$ "

B=in'(A)B = #000 3"#000 1#0000 1#0000 3$#0000 0

3"#0000 1#0000 3$#0000

B$=AQ3$

B$ =

#000 3"#000 1#0000 1#0000 3$#0000 0 3"#0000 1#0000 3$#0000

H=A*BH = $ 0 0 0 $ 0 0 0 $

#$#$# Deter&inantesHeterminante es una funci;n ue asocia un número, llamado determinante de lamatri


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Operaciones Matemáticas con Arrays $

Ejemplo !"#F% &enerar una matri< de "4", y un 'ector columna de " elementos,determinar%a) La di'isi;n AOBSolución:

:esoluci;n de (di'isi;n i


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Operaciones Matemáticas con Arrays %

B = - 0

= 3$#0-F

1 1

1

\

AX B

A AX A B

X A B

X A B

− −

−

=

=

=

= 0#1F12 1#5"-$

b) He la @orma C=H

A=- 31 5/1 1/5 $0 ". A = - 31 5 1 1 5 $0 " C=AC = - 1 5

31 $0 5 1 "

H= - 0.H = - 0 $=HNC$ = 3$#0-F 0#1F12 1#5"-$ $=H*in'(C)$ =

3$#0-F 0#1F12 1#5"-$

b) Kerificaci;n de respuesta

G$=($)*-+(1)*(31)+(")*5G$ = #0000

G1=($)*1+(1)*+(")*1G1 = -#0000

G"=($)*5+(1)*$0+(")*"

G$ = 31#55-e30$

#$, Operaciones ele&ento a ele&entoGara ue las operaciones de multiplicaci;n, e4ponenciaci;n y di'isi;n de arrays se realicen

elemento por elemento, en 8atlab May ue teclear el punto ( $), delante del operador aritmRtico correspondiente#Las operaciones elemento a elemento se pueden realimbolo Hescripci;n 6>mbolo Hescripci;n

#* 8ultiplicaci;n #N Hi'isi;n derecMa

#Q E4ponenciaci;n #O Hi'isi;n i


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Operaciones Matemáticas con Arrays &

" 1 2

C$=A#NBC$ = 1#0000 $#000 0#"000 $#5552 -#0000 0#2$-

C1=B#Q"C1 = $ 5- $000 12 "-"

Las operaciones elemento a elemento son muy útiles para calcular el 'alor de una funci;n#Gara esta operaci;n es necesario definir un 'ector ue contena las 'ariablesindependientes

Ejemplo ! "#$"% Calcular el 'alor de las siuientes funciones en el rano de $ a y 1 a $con incrementos de 1 respecti'amente#

( )( )

2

3

2

4

5

4 10

y x x

z z y

z

= −

+

=

−

4=$%.4 = $ 1 " - 5 2 y=4#Q13-*4y = 3" 3- 3" 0 $1 1$ "1


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Operaciones Matemáticas con Arrays '

Pabla !"#$ @unciones predefinidas

@unci;n Hescripci;n Ejemplo

mean(A) 6i A es un 'ector, retorna elpromedio de los elementos

A=$%. A = $ 1 " - mean(A)

ans = "

H=ma4(B) :etorna el m4imo elementode un array

B=$%.B = $ 1 " - H=ma4(B)H =

E=min(B) :etorna el m>nimo elementodel array

E=min(B)E = $

sum(A) Calcula la suma de loselementos del array#

6i es 'ector retorna la sumade todos los elementos#6i es matri< retorna la sumade cada columna

C=$%-.C =

$ 1 " - H=sum(C)H = $0 A=$ "/- 5. A = $ " - 5 B=sum(A)B = F

sort(A) :etorna el array ordenado enforma ascendente#

6i es 'ector ser ordenascendente cada elemento#6i es matri< cada columna enorden ascendente

A=" 2 1 $$ $. A =

" 2 1 $$ $ B=sort(A)B = $ 1 " 2 $$ C=rand(1)*$0C = "#2"2 #"55 #500$ #F"5 H=sort(C)H = "#2"2 #F"5 #500$ #"55

median(A) :etorna el 'alor medio de

cada elemento del array#Podos los elementos del'ector#6i el 'ector es matri


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Operaciones Matemáticas con Arrays 1(

Estndar de los elemntos decada columna

B=std(A)B = 1#10

det(A) :etorna el determinante deuna matri< cuadrada

CC = $ 1

2 H=det(C)H = 3"

in'(A) :etrna la in'ersa de unamatri< cuadrada

CC = $ 1 2 H=in'(C)H = 31#"""" 0#5552 $#5552 30#""""

#$5 6eneraci)n de n7&eros aleatoriosEl 8atlab puede enerar números aleatorios usando las funciones% rand y randn

a/ 8unci)n rand$&enera arrays de números aleatorios los cuales estn uniformemente distribuidos en elinter'alos (0,$)#rand(n): enera 'alores aleatorios en una matri< cuadrada nrand(m,n): enera 'alores aleatorios en una matri< cuadrada m4n

randans = 0#F0$ rand($,-)ans =

0#1"$$ 0#505 0#-50 0#F$"

rand(")ans =

0#251$ 0#1$- 0#2F$F 0#-5 0#---2 0#F1$

0#0$ 0#5$- 0#2"1 rand(1,")ans = 0#$25" 0#F" 0#-$0" 0#-02 0#F$5F 0#F"5

Gara otro inter'alo diferente de 0 y $., se puede usar la siuiente ecuaci;n%

( ) *a b a rand + −Honde%a% nter'alo menor b% nter'alo mayor

Ejemplo ! "#$5% &enerar $0 números aleatorios entre y 10 '=+(103)*rand($,$0)' = #2$F $$#2F0 $#0-0 $F#0$" #F552 2#-0- $#0F1 #51 $-#52$F#0""

Ejemplo ! "#$2% &enerar - números aleatorios entre F0 y $00, los datos deben ser enteros y estar en forma de 'ector columna A=round(F0+($003F0)*rand(-,$)) A = F" F0 F2 F2



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4/ 8unci)n randn&enera números aleatorios con distribuci;n normal, con media de 0 y des'iaci;nstandard de $randn(n): enera 'alores aleatorios en una matri< cuadrada nrandn(m,n): enera 'alores aleatorios en una matri< cuadrada m4n

Ejemplo ! "#$% &enerar un 'ector con números aleatorios d=randn($,)d = 30#" 1#$"1 30#$"5- 0#$$"F $#055 0#0F" 30#0F5 30#"1"

Ejemplo ! "#$F% &enerar $0 números aleatorios con des'iaci;n 6tandard y promediode 0 '=round(*randn($,$0)+0)' = -1 $ - 2 -5 " $ - "F 0 e=mean(')e = -2#F000

f=std(')f = #--2

Ejemplo ! "#10% enerar $0 números aleatorios con des'iaci;n estandar de 0#$ ypromedio de # Heterminar el promedio y la des'iaci;n estandar con las funcionesapropiadas#

B=#$*randn($0,$)+B = -#F52- -#22 #0550 #0"5

#0$1F #0050 -#F1-0 #0005 #$"$ -#F$21

mean(B)ans = -#FF std(B)ans = 0#$0$-

#$9 6eneraci)n de Ta4lasLoas arrays nos permiten enerar tablas, los cuales pueden se pueden presentar dediferentes formas, as> sean dos 'ectores, estos se pueden presentar%a) 7n solo 'ector fila con los elementos de los dos 'ectoresb) 7n solo 'ector columna con los elementos de los 'ectoresc) 7na matri< de dos columnas con los elementos de los dos 'ectores

Ejemplo ! "#1$% &enerar dos 'ectores con elementos cada uno, lueo presentar losdatos de acuerdo a lo indicado anteriormente#

A=$%. A = $ 1 " - B=$0%$-.B = $0 $$ $1 $" $-a/ AB$=A,B. AB$ = $ 1 " - $0 $$ $1 $" $-

4/ AB1=A/B. AB1 = $ 1 " - $0 $$ $1

$" $-



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c/ AB1=A/B. AB1 = $ $0 1 $$ " $1 - $"

$-

Los arrelos nos permiten enerar tablas para e'aluaci;n de e4presiones, funciones%6e debe seuir los siuientes pasos%a) nresar los datos de la 'ariable independiente en un 'ector fila o columnab) E'aluar la e4presi;n o funci;n matemticac) &enerar la tabla en forma

Ejemplo ! "#11% &enerar las siuientes tablas%a) Cuadrados de 0 a b) &enerar tabla para las funciones seno y coseno de o a pi, con incrementos de piN-

radianes

Solución:

a/ n=0%.n = 0 $ 1 " - GDP=n#Q1/ tabla=n GDP.tabla = 0 0 $ $

1 - " F - $5 1

4/ 4=0%piN-%pi.4 = 0 0#2- $#20 1#"51 "#$-$5 tabla=4,sin(4),cos(4).tabla = 0 0 $#0000 0#2- 0#202$ 0#202$ $#20 $#0000 0#0000 1#"51 0#202$ 30#202$

"#$-$5 0#0000 3$#0000

Ejemplo ! "#1"% enerar un 'ector del $ al / efectuar las siuientes operaciones%a) 8ultiplicaci;n por " cada elementob) Ele'ado al cubo de cada elementoc) 8ostrar en una tabla las 'ariables

4=$%./ y$=4#*"y$ = " 5 F $1 $

y1=4#Q"y1 = $ 12 5- $1

PABLA=4/y$/y1.PABLA = $ " $ 1 5

" F 12 - $1 5- $ $1

#$: !roducto Escalar o producto !untoEl producto punto de dos 'ectores A y B es un escalar A#B (ue se lee A punto B) dado por%

A . B=| A||B|cosθHonde θ es el nulo entre A y B

Ejemplo T "#1-% sean dos 'ectores A y B/ determinar el producto punto

A= (1,2,3 )B=(4,5,6)

A . B=(1 x 4+2 x 5+3 x 6 )=32Este 'alor es un escalar

7sando 8atlab, se tiene% A=$,1,"./ B=-,,5./

C=dot(a,b)C = "1



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Operaciones Matemáticas con Arrays 1!

#$; !roducto vectorial o producto cru*El producto cru< de dos 'ectores A y B es un 'ector A 4 B (se lee A cru< B) dado por%

AxB=| A||B|senθ

Ejemplo T "#1% sean dos 'ectores A y B, determinar el producto cru<

A= (1,2,3 )B=(4,5,6)

AxB=det |i j k

1 2 3

4 5 6|=i ( 2∗6−3∗5 )− j (1∗6−3∗4 )+k (1∗5−2∗4 )

AxB=i (−3 )− j (−6 )+k (−3 ) AxB=−3i+6 j−3k

7sando 8atlab% A=$,1,"./ B=-,,5./ H=cross(A,B)H = 3" 5 3"



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Operaciones Matemáticas con Arrays 1"

!ROBLEMAS DE A!LCAC


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Operaciones Matemáticas con Arrays 1#

E4perimento $ 1 " - 5

8asa (U) 1 - $0 10 0

@uer

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