ejercicios-resueltos-beer-grupo-03 (1).docx

8/17/2019 ejercicios-resueltos-beer-grupo-03 (1).docx

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2/40

Úniversidad Nacional de SanCristobal de HuamangaFacultad de Ingenier´ Minas, Geolog´ y Civilıaıa

Éscuela de Formacion ro!esional de Ingeniera Civil

CU"S#$IN%MIC% &IC'())*

´

S#+UCI#N $E "#+EM%S ' ĆINE-IC% $E UN% %"-ÍCU+% . CUE"# "ÍGI$# eer ' 0onston

$#CEN-E1Ing2 C%S-"# E"E3 Cristian

%+UMN#S1 %.%+% I3%""# "oc4y G2C#N-"E"%S 5EN-U"% Samir 6 5%"G%S N%U% Hilmar 3%"%-E +%3# $ic4 F2

%yacuc0o, /ulio de (789


3/40

´gina 8a (

222222222222222

222222222222222

222222222222222

222222222222222

222222222222222

222222222222222

222222222222222

Ca:´ıtulo 8 roblemas de $in´micaa828 +eyes de Ne;ton Cuer:o "´ıgido

(E87888)8?8@(((=(>(A97999=9?

222222222222222

´

Indice General

82( -raba


4/40

roblemas de $in´micaaB7

7y7 8

y

UNSCH

Ferdinand eer2

y

7

7

?7D

97D

B

v

$INMIC%1+ate o! +e0ig0 University

E2 "ussell /o0nston, /r2University o! Connecticut

y

v7

v

8(7 !tB

v%%

F


5/40

roblemas de $in´micaa

Ingenier´ Civilıa(

En las siguientes im´genes se vera de donde salen la a , a% y a% 2a

a% +2 J K+2K a L K a%

a a% J a%

´+% %CE+E"%CI#N "E+%-I5% SE"%

m =4g+ >=7mm (7D

$atos

Soluciń1o

+

%

?7D

E=7mm se gu´ :or medio de dos ruedas :eue6as de masades:reciableıanue ruedan sobre la su:ercie mostrada2 Si la barra se suelta desdeel re:oso cuando (7D, determine inmediatamente des:u´s de laeaceleraciń a* la aceleraciń angular de la barra y b* la reacciń enooo

+eyes de Ne;ton Cuer:o "´ıgido828

$inamica IC'())


6/40

$escom:oniendo las ecuaciones de la aceleraci´n en coordenadas yo

G

>=7

unto Fi7Osin =7Osin ?7O?7D

=7D

a% 827@=+a 72@@)+

a%

a 827@=+ cos ?7O J 72=+ sin (7O

a 72=)(+ J 728>8+

a 72>89=+

ay 827@=+ sin ?7O P 72=+ cos (7O

ay 72A9@+ J 72)?A+

ay 72)?A+

$I%G"%M%S $E CUE"# +I"E

En el triangulo %E

%E >7D%E =7D

&82(*

&828*

9Ingenier´ Civilıa

?7D

?7D

%

+%

+

$inamica IC'())

$I%G"%M% $E %CE+E"%CI#NES


a%

(7D a

a%

(7D

a

(7D

%G

>=7

(7D

(7D%

G

>=7

>=7

%


7/40

&ME *

?7D?7D

EE

+ey de senos

sin+ O?7E 72@@=+

Suma de Momentos

ME

E

sin =7O

$inamica IC'())

mg &72)?A@+* I J ma &72>8)* J may &72)?A* 8 72)?Amg+ m+( J m&72>8)*&72>8)* J m&72)?A*&72)?A* 8( 72)?Amg+ m+( &72@89*a

Calculando

g

72=>>@ + 72=>>@ A2@8 72>=

&829*

>2=?rads &82)*

)Ingenier´ Civilıa

%

=7D

a% roblemas de $in´micaa

72)?A

72)?A

(7D(7D

728>

Qmg ma

728>

Ia

may

%

72>8)


8/40

´C%+CU+%N$# +% "E%CCI#N EN %

Ingenier´ Civilıa=

NmgC

Fusmg

7?in )7!ts 72(7

Ror5s

$atos

Soluci´n1o

%

Qmg r

C

v

r%

E


9/40

&(2?*

-(

CNmg

-8 JU8P( -(

m5 (7Jr &s mg * ) ( Vm5Vrad V)r &sV *mg 5( rev @Wr &s g *

%"% r?in , s 72(7, 5)7!ts

)7(@Wr &72?*&9(2(*

$inamica IC'())

&(2>*

&(2@*

&(2A*

8A2>>rev28(8

&(287*

?Ingenier´ Civilıa

%


+a unica !uerBa ue 0ace el traba


10/40

Qmg

+as barras :arten desde el re:oso cuando 7D :rimera imagen de la iBuierda,0allamos la 5d :ara angulos desde 7D 0asta A7D usando incrementos de

87D

++++0+(&sen&**+

%+(++ +(++ +(

%

++ +(++


$

$++0+(&sen&**

Qmg Qmg

QmgQmg

$imensiones1

% C +

>Ingenier´ Civilıa

$inamica IC'())

E2C=*

t7&v%*7 7

%%

+

+

$

Soluci´n1o

$atos+(

%+(++ +(

++ ++

+ 97in

$%

$+

Qmg


11/40

´C#NSE"5%CI#N $E +% ENE"G´I%

CE$

+ ((

(

&EC *( &C$ *( J

( &C$ * +( cos&A7 P *

8(

EC &C$ * J


( +( ( &C$ *

+ cos&A7 P *(

&(28(*

consideramos a - como el traba


12/40

?7

9,8(>>

(,)@7?

7,7777

Ingenier´ CivilıaA

A7@7

>7

9,9((9

=7

)7

97

(7

87

7

Cuadro de "esultados R5$

+ 97in (2=!tg 9(2(lbs(Evaluando y gracando desde desde 7D 0asta A7D usando incrementos de 87D

(,8=9>

8=,=)798=,9?((

8),@(87

89,@A)=

8(,=)(9

87,>798

@,97??

=,9)@>

-( 8 m (

7,7777

9,87@89,88A@

9,8=))

9,(7@@

9,(>)?

9,997(

(

7 J 7 P(mg+ sin J

-8 J U8 -( J U(

Formula de la conservaci´n de la energ´oıa

8Ec

-( = J 8( ()+

R(8(8( m+

8(

&(289*

(

m+( R (

R ( J 8 m&Ec* R ( J (


8 8(

( 8( m+Ec (8

J ()+

( +

R J (888

@ J () J @

-(

$inamica IC'())

8()

$atos

$%-#S %"% "ES#+5E" C#N "#G"%M%

"eem:laBando las ecuaciones (288, (28( y (289 :ara el calculo de 5$

5$ &C$ * R

+a velocidad en $ sera &5$ *

Ec (++ =J

R

m+( R (Ec (+

sin

= J 8(

m+( R (

()g


13/40

rm:

md

@7 A7

Grados seagecimales

E299*

97 N

%

Soluci´n1o

$atos


87

@7mmA4g

?4g

v

v% ; ;vcr

vvC

Ingenier´ Civilıa

?7

$inamica IC'())

G"%FIC# 5$ vs -iem:o8?

8)

8(

87

@

$atos+ineal

5d

?

)

(

7

P( 7

%

87 (7 97 )7 =7 >7


14/40

72=4g

-8 J U8Y( -8 (7 J >2= 892=vc

vc 72>)=

E*

+as es!erasde 72=4g del regulador centri!ugo giran con velocidad contastev en el circulo 0oriBontal de 8=7mm de radio ue se muestra2 Si se ignoralas masas de los eslabones %, C, %$ y $E y con la restricci´n de ueolos eslabones solo so:ortan !uerBas de tension, determine el intervalo de

valores :ermisibles de v de modo ue las magnitudes de las !uerBas delos eslabones no ecedan de >=N 2&roblema 8(2)9*

r8=7mm

-%C#S(7Z -%

-%SEN(7Z

.

[

72=4g

97 N

Q

-CSEN97Z

-C

-CC#S97Z

Soluci´n1o


@in

?inlinicial(7in

U8Y( >2=/

$inamica IC'()) roblemas de $in´micaa

consideramos a - como el traba


15/40

\ -%

-% Q J -C cos 97

cos (7 - cos (7 P Q % cos 97 linicial(7insera maimo cuando-% sea maimo y esto es 1 >=N

vinici

?in -C

-%

+uego1

&(28A*

si-C >=N

Nos :iden1

-%

] &72=*&A2@8* J &>=*& 9(* cos (7 >)29)N esta dentro de lo :ermitido

8)in

&(2(7*

^

?in

8(Ingenier´ Civilıa

\ -% cos (7 P Q P -C cos 97 7


$etermine el intervalo de valores :ermisibles de v de modo ue las magnitudes de las!uerBas de los eslabones no ecedan de >= N

Haciendo el $2C2+2 de una de las es!eras1

r8=7mm

-%C#S(7Z -%

-%SEN(7Z

.

[

72=4g

Q

-CSEN97Z

-C

-CC#S97Z

#" E_UI+I"I#1

F . 7

&(28@*


16/40

%s´ tambi´n1ıe

Ingenier´ Civilıa89

72>9(ms ` v ` )29)ms

or tanto1

5 min 72>9(ms

r K -% min 2 sin (7 J -C min 2 sin 97m8=787P9 K=2(( sin (7 72=

5M in

\ 5min

En !orma an´logaa

%s´ tambi´n1ıe

&(2((*

r K -% ma 2 sin (7 J -C ma 2 sin 97 m 8=787P9

K>)29) sin (7 J >=2 sin 97 72= )29)ms

5M %[

5M %[

\ 5M %[

m25M %[ (\ -% ma 2 sin (7 J -C ma 2 sin 97 r

F" m2ac: ma

%:licando la segunda ley de Ne;ton al movimiento circular1

´#" CINEM%-IC%

&72=*&A2@8* cos (7 =2((N esta dentro de lo :ermitido

&(2(8*

-%

\ -%

-C 7

+uego1 si

-% sera minimo cuando-% sea minimo y esto es 1 7N

roblemas de $in´micaa$inamica IC'())


17/40

72=4g$inamica IC'())

Ingenier´ Civilıa8)

Inicialmente tenemos ue1

5elocidad del collarin cuando :asa :or 2

"EGUN-% a*

Si se sabe ue el collarin esta en euilibrio en % y se le da un ligero im:ulso :ara :onerloen movimiento2

%demas1

9lb>in 82= lbin

Qcollarin+resorte ^

$atos

Soluci´n1o

@in

?in

-C Q -CC#S97ZUn collarin de 9lb esta unido a un resorte y desliBa sin !riccion a lolargo de una varilla circular en un :lano 0oriBontal2 El resorte tiene unalongitud no de!ormada de >in y una constante 4 82=lbin2Si se sabeue el collarin esta en euilibrio en % y se le de un ligero in:ulso :ara

:onerlo en movimiento, determine la velocidad del collarin, a*cuando:asa :or ,b* cuando :asa :or C2&roblema 892?7*

E


18/40

8 5! inal en c ^ &+! inal P +resorte *( ( 8lib\ 5! inal en c &82= *&@in P >in*(

(in 82= 5! inal en c lib2in (

+nal@in

vC

8)in

Finalmente 1^

%:licando la conservaci´n de la energ´ se cum:le ue1oıa

5inicial J -inicial 5! inal J -! inal 8 Qcollarin 5inicial J 7 5! inal J 225 ( (g (8A2>8782?9>=9lib lib2in lib2in J25 ( (((&9(2(*&(*

5 882??!ts

"EGUN-% b*

5elocidad del collar´ cuando :asa :or CınCuando :asa :or C tenemos ue 1

Entonces1

Entonces 1

^

?in

&(2(=*

5

CvC

+nal@in

&(2(?*

8=Ingenier´ Civilıa

C

$inamica IC'())

r8=7mm @in


vinicia

-%C#S(7Z?in -%

-%SEN(7Z

. linicial(7in

[

8)in 872=4g

-CSEN97Z5inicial ^ &+inicial P +resorte *(&(2(9* ( -C Q

lib8 -CC#S97Z\ 5inicial &82= *&(7in P >in*( (in (8A2> 5inicial lib2in (( Inicialmente tenemos ue1 %0ora 0allamos la velocidadnal

72=4g

^

?in

5

@in

85! inal ^ &+! inal P +resorte *( ?in( 8lib5! inal &82= *K 8)( P ?( P >in( (in 8782?9>= lib2in5! inal (

vinicial7^

&(2()*linicial(7in


19/40

+uego1or la conservacion de la energia se cum:le ue1

Ingenier´ Civilıa8?

El


20/40


Ingenier´ Civilıa8>

5

[Fim:ulsiva =82()

5Cl9G

Fim:ulsiva :romedio sobre la :elota Fim:ulsiva :romedio e


21/40


Ingenier´ Civilıa8@

%:licando la conservaciń de la cantidad de movimiento lineal y de la conservacion de laoenergia cinetica des:ues de ue la es!era C c0oca con y antes ue se tense la cuerda se

cum:le ue1Haciendo el $2C2+2 de una de las es!eras1

%"-E a*

&(297*

5#C 5#

5#% 5# 7

m% m mC m

donde

$e la gura 1

Soluciń1o[

l9

.

-res es!eras, cada una de masa m, se :uede desliBar con libertad sobreuna su:ercie 0oriBontal sin !ricciń2 +as es!eras % y estń unidasoa[a una cuerda inetensible e inelastica de longitud l y se encuentran enre:oso en la :osiciń ue se muestra cuando la es!era C, ue se estao

moviendo con una velocidad 57 , c0oca 0oriBontalmente contra la es!era y se su:one un im:acto :er!ectamente el´stico entre . C, determineaa* la velocidad de cada es!era inmediatamente des:u´s de ue la cuerdaese tensa, b* la !racciń de la energ´ cin´tica inicial del sistema ue seoıaedisi:a cuando se :one tensa la cuerda2&roblema 8)2))*

E


22/40

E


23/40


Ingenier´ Civilıa(7

&(29@*

%"-E b*

] ? (v v7 88

&(29>* 8

v7 2& 9 *v% 8 @ K9 J A 9v% v7 "-% 88 ] v7 2 & ( ( *

v 8 9 @ K9 J A

.1

&(29?*v7 v 2 tan J v 2 cos sin v7 v 2J v 2 cos cos v7 2 cos v sin J cos( v7v tan J cos

rem:laBando ecuaci´n &9* en ecuaci´n &)* resulta ue1oo

Finalmente1

5

[

5Cl9G

5%l9

.

( (l9

$inamica IC'())


24/40

-enemos ue1

Ingenier´ Civilıa(8

&(2)8* 99TEinicial

E

&(2)7*Einicial EEinicial EEinicial EEinicial E

7299Einicial

Einicial P E! inal Einicial E 8 P ! inal Einicial 8@8(( 2m& 8(8 v7 *8P 8(( 2m&v7 * @88P 8(8

E

En consecuencia1

8 (Einicial 2m2v7&(29A* ( E! inal -% J - J -C 222222222222222222222&Cuando se :one tensa la cuerda* 8 (((\ E! inal 2mKv% J v J vC ( ] 9? ( (8 v7 * J 7( \ E! inal 2mK& v7 *( J & (8888 8@8 ( E! inal 2m&v7 * (8(8

roblemas de $in´micaa$inamica IC'())


25/40


E


26/40

m : ac &8*s N 2 cos&(7* P N sen&(7*

Y F &* m: ac

! s cos&(7* P N sen&(7* m: ac

s N 2 cos&(7* P N sen&(7* m: ac

N

tambien1

! &y * 7


N cos (7 J ! s sin (7 7

N cos (7 J s N sin (7 m: g m: g &(*N

cos (7 J &s *sen(7Igualando las ecuaciones &8* y &(*

m: acm: g s cos&(7* P sen&(7* cos&(7* J s sen&(7* 72) cos (7 P sen(7 ac A2@8 72)sen(7 J cos (7 ac 7297Am s( Y

aceleraciń móınima del camińo ac 7297Am s( Y

(9Ingenier´ Civilıa

$inamica IC'())

N N cos&(7*

! s sen&(7*

! s

(7! s cos&(7*

Nsen&(7*

y

m :g

7* s&(co

m gsen&(7*:

(7 m: g

or la Segunda ley de Ne;ton -enemos1


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Ingenier´ Civilıa()

aceleraciń del camińoo ac 882)=m s(

4 g cos (7 P gsen(7 J a:c ac cos (7 J 4 ac sen(7 4 g cos (7 P gsen(7 J a:c ac cos (7 J 4 sen(7 &729*A2@8 cos (7 P A2@8sen(7 J 8(2= ac cos (7 J 729sen(7 ac 882)=m s(

4 &g cos (7 P ac sen(7* P gsen(7 ac cos (7 P a:c4 Km: &g cos (7 P ac sen(7* P m: gsen(7 m: ac cos (7 P a:c

"eem:laBando la ecuaciń &=* y &9*o

&=*

&9*

&)*

8 Pa:c t( ( 8 P8 Pa:c &72)*( (a:c 8(2=m s(

P[:c

:or cinem´tica1a

N m: &g cos&(7* P ac sen&(7**

N P m: g cos&(7* Pm: ac sen&(7*

F &y * Pm: a:

tambiń1e

4 N P m: gsen&(7* m: ac cos&(7* P a:c

! 4 P m: gsen&(7* Pm: a:c J m: ac cos&(7*

F &* Pm: a:

:arte&b*del grćo de la :arte &a* a:licando la Segunda ley de Ne;ton cuando la :ila se desliBaa:or la cama del camiń se cum:le1o

$inamica IC'())


28/40


Ingenier´ Civilıa(=

d )72@(=mm9d( (&=7*(

[ ! % & ^ % [! % * [! & ^ [! *

887 J [% &^ % [i J ^ % [! * P [ &^ [i J ^ [! * 7 (( [! &^ % [! % * P &[! P [i * &^ [i J ^ [! * 7

-inicial J Uinicial -! inal J U! inal

a:licando el :rinci:io de traba


29/40

:or lo tanto la distancia ue recorre es

Ingenier´ Civilıa(?

(

d 8@(2797mm

:or lo tanto la distancia ue recorre es1

d 8@(2797mm

(&=7*d (&729=*&)*&A2@8*

87 J [ &^ [! J ^ [i * P ! 4 d 7 (

8 &[F P [i * &^ [! * 4 mc gd ( ^ [ ! ( d (4 mc gd

-inicial J Uinicial -! inal J U! inal

a:licando el :rinci:io del traba


30/40


oEIngenier´ Civilıa


31/40

t8

! 4

% (7 gsenm

mg(7D mg

a:licando el :rinci:io del im:ulso y la cantidad de movimiento se cum:le1

mv% Pt(

mv% P

&! 4 J mgsen(7*dt 7

mv% &! 4 J mgsen(7* t

mv% &4 N J mgsen(7* t

mv% &4 mg cos (7 J mgsen(7* t v% t &4 m cos (7 J msen(7*g A t A2@8&729 cos (7 J sen(7* t 82)>s

(cos

7

(@Ingenier´ Civilıa

s

$inamica IC'())

t(

t8


F dt mv

mv% P ! 4 t mv

mv% P 4 &mg * t mv v% P v t g4 AP7 t A2@8&7297* t 927?s

el tiem:o ue tarda es1 t 927?s

:arte&b*

0aciendo $2C2+ del bloue

s Amv

y N

#

Amv%


32/40

el tiem:o ue tarda es1 t 82)>s

Ingenier´ Civilıa(A

i


33/40

$inamica IC'())

iH% 7 8( iH 82( @ iHC 92? P@

or lo tanto

<9?

4 7 8@i P 9?< ? < 4 (2) 9 P8@i J()< P 8(4

? 7 < 4 7 7 P(@2@i P=>2?4


H# &8@i P 9?4 * J &P8@i J ()< P 8(4 * J&P(@2@< J =>2?4 *

en consecuencia la res:uesta es1

H# &P)2@< J A2?4 *

E


34/40

n

y a$

hn

&P9)* = J a$

h

t

&9)* =

&$ *R ( $


87

8( $

87(8( &?* 97! t s(

&$ *$ t

sumando en [ las com:onentes tenemos1


a$ (7 L J9? J a$

$inamica IC'())

Soluci´n1o

datos1

R 8(rads

% @7rads(

& *n r h R (

& *t r h

calculando las aceleraciones2

9

8( ! t

9

8( ! t

&8(rads*( 9?! t s(

@7rads(( (7! t s(

a$ a J a

$

donde 1 a$


35/40

8

)

M

8

9

&M *e! ! 1 $

?8(8

PQ )8( I J may

9P g &87*

Y com:onentestenemos 1P(7 P ) &97* J 9 87 $ 7== 8(

)8(

P ma 98(

72=$ P 9 728>9?89&@@* J g &>)299* 8g9

$ >287lb Y

9(Ingenier´ Civilıa

%:licando momentos en b tenemos1

$inamica IC'())

$ @@rads(

desde a $

esdirectot


J

1

oo +a aceleraci´n de res:ecto de $ en la direcci´n tangencial en sentido anti

tenemos1

8

a aG a J a a J ( a$ G $ 9a P(7 P ) &8=* J = &9?2??>*

ay 9? J 9 &8=* J ) &9?2??>* >)299 ==

I 8 9 87 (8( g 8( 728>9?8 g

J


36/40

$ >287lb

Ingenier´ Civilıa99

oıa :or el :rinci:io de conservaciń deenerg´ tenemos1

0 Pb5( Pmgb

o sabemos ue cuando la barra se encuentreen :osiciń vertical tenemos1

R(8 (8( +

-( 8 m b( J (

( 8 -( 8 m5( J ( IR

85( bR, I 8(

o ara la :osiciń (

5 7, R 7-8 70 758 mg0 7

o ara la :osiciń 8

Soluciń1o

2 c*Evalue los resultados de a* y b* :ara Q=lb y +9!t2

R

E


37/40


Ingenier´ Civilıa9)

o reem:laBando valores en la siguiente ecuaciń

obtenemos la velocidad angular

c*Evaluamos los resultados :ara :ara Q=lb y +9!t2

+b ] 8(

de donde tenemos ue es igual a1

( 8&b( J 8( +( *

8b( J 8( +( Pb&(b*

7

7 8b( J 8( +(

bddb

cual derivamos el omega res:ecto de b2

a sabemos ue :ara ue sea mímo la velocidad angular deve ser

a b*Evaluamos :ara bmímo1

(gb 8b( J 8( +(R(

-8 J 58 -( J 5( 87 J 7 8 m b( J 8( +( R ( P

$inamica IC'())


38/40

$inamica IC'())

R(

R 82@?8

(gb 8b( J 8( +(


gA2@8 82@?8 929?rads

l9 reem:laBando el valor de +9!t obtenemos b2

+ b ] 8( 9+b ] ] 72@??! t 8(8(

b 72@??!t &(2)9*

oE


39/40


Ingenier´ Civilıa9?

&(2))*RC ()2)r:m

()2)r:m(?8@)87A?2)&RC *(

))?2)! t h lb h s( &8@7r:m* ))?2)! t h lb h s( K&RC *( J ()7r:m J ?=7lb h !ths( &RC *(

de donde reem:laBando valores tenemos1

I &R *8 J 7 I &R *( J IC &RC *(

se sabe ue la suma de momentos de inercia res:ecto al centro es1

&R *( &RC *( J ()7r:m

&R *( P &RC *( ()7r:m

))?2)! t h lb h s(8 ==lb&8)! t*(9 9(

I )

momento del sist2( J momento del sist28 ' ( momento del sist2(

IC & R C * 8 7

&R *8 8@7r:m&R *( ()7r:mI & R * 8

RC K8@7r:m()7r:m

sabemos lo siguiente1

la velocidad angular inicial es de o2

sabemos ue omento centroidal de inercia es ?=7lb2!t2segundos al cuadrado2

$inamica IC'())


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nE

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