Ejercicios Resueltos Para Ex Parcial

1 Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos.

Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos.

Estima que el modelo I requiere 2 unidades de madera y 7 horas del tiempo disponible,

mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente.

¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? .Resuelva mediante el método SIMPLEX. (6 puntos)

EJ

Solución

Recursos Modelo I Modelo II Disponibilidad

Madera 2 1 6

Horas Disponibles 7 8 28

120 80

a) Formulación b) Método gráfico

Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo I

Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo II R1: 2X1+X2=6

R2: 7X1+8X2=28

Max Z= 120X1+80X2 Sujeto a :

2X1+1X2 <= 6 R1:

7X1+8X2 <=28

X1,X2>=0

R2:

A=(0, 28/8)

B=(3,0)

C=(20/9,14/9)

Z=120 X1+80X2

ZA=120*0 + 80*28/8 =280

ZB=120*3+80*0 = 360

ZC=120*20/9 + 80*14/9

C) METODO SIMPLEX

Max Z= 120X1+80X2

i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura

2X1+X2+X3=6

7X1+8X2+X4=28 BASE X1

X3 2

ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 7

Se ponen los valores de Z en negativo-> Z -120

Ahora comienza las iteraciones……..

Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -120

La columna donde esta el -120 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X1 que se convierte en la variable que ingresa a la base

Paso 2) Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN

entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las varibles de la Base, de la siguiente forma:

Para la fila de X3 : 6/2 =3 Dado que 3<4 y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,

Para la fila de X4 : 28/7 =4 X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)

Paso 3) Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:

BASE X1 X2 X3 X4 SOLUCIÓN

X1 1 1/2 1/2 0 3

X4

Z

Toda la fila PIVOTE que corresponde a la variable ingresante (X1) debe dividirse entre la columna PIVOTE

Calcular nueva fila X4:

7 8 0 1 28 (anterior fila X4, MENOS...)

7 * 1 1/2 1/2 0 3 (El 7 es el valor de X4 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 7 7/2 7/2 0 21

Resto: 0 9/2 -7/2 1 7 anterior fila X4 - 7*(nueva fila X1)

Calcular nueva fila Z:

-120 -80 0 0 0 (anterior fila Z, MENOS...)

-120 * 1 1/2 1/2 0 3 (El -120 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

Multiplico-> -120 -60 -60 0 -360

Resto: 0 -20 60 0 360 anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)

TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL


X1 1 1/2 1/2 0 3

X4 0 9/2 -7/2 1 7

Z 0 -20 60 0 360





Para la fila de X1 : 3/1/2 =6 Dado que 14/9<6 y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,

Para la fila de X4 : 7/9/2 =14/9 X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)



X1

X2 0 1 -7/9 2/9 14/9

Z


Calcular nueva fila X1

1 1/2 1/2 0 3 (anterior fila X1, MENOS...)

1/2 * 0 1 -7/9 2/9 14/9 (El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 0 1/2 -7/18 1/9 7/9

Resto: 1 0 16/18 -1/9 20/9 anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)


0 -20 60 0 360 (anterior fila Z, MENOS...)

-20 * 0 1 -7/9 2/9 14/9 (El -20 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 0 -20 140/9 -40/9 -280/9

Resto: 0 0 400/9 40/9 3520/9 anterior fila Z - -20*(nueva fila X2)


X1 1 0 16/18 -1/9 20/9

X2 0 1 -7/9 2/9 14/9

Z 0 0 400/9 40/9 3520/9

Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de madera y 28 horas disponibles, durante las cuales fabricará biombos decorativos.

Con anterioridad, se han vendido dos modelos, de manera que se limitará a producir éstos.

mientras el modelo II requiere 1 unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son $120 y $80, respectivamente.

¿Cuántos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su ingreso en la venta? .Resuelva mediante el método SIMPLEX. (6 puntos)

X2

R1

b) Método gráfico 6

R1: 2X1+X2=6

R2: 7X1+8X2=28

28/8 A

X1 X2 C

0 6 R2

3 0

X1 X2 B

0 28/8 o 3 4X1

28/7=4 0

C=? multiplico R1 * 8 para eliminar variable X2

2X1+X2=6 ---> 16X1+8X2=48

7X1+8X2=28

Restando: 9X1=20 X1=20/9

Reemplazo X1 en R1 y obtengo:

2*20/9 +X2 =6 , X2=6-40/9

C=(20/9,14/9) <---------------------------------------- X2=14/9

Z=120 X1+80X2

ZA=120*0 + 80*28/8 =280

ZB=120*3+80*0 = 360

ZC=120*20/9 + 80*14/9 3520

9

X2 X3 X4 SOLUCIÓN

1 1 0 6 6/2=3

8 0 1 28 28/7=4

-80 0 0 0 DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z

NO HAYA ELEMENTOS NEGATIVOS


Para determinar que variable sale de la base, debemos identificar la fila PIVOTE, para lo cual debemos dividir el valor de la columna SOLUCIÓN


y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,

X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)

Volver a dibujar el cuadro con la variable ingresante y la saliente y hacer los siguientes cálculos:

Toda esta fila resulta de dividir la FILA PIVOTE entre

la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 2)


(anterior fila X4, MENOS...)

(El 7 es el valor de X4 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

anterior fila X4 - 7*(nueva fila X1)

(anterior fila Z, MENOS...)

(El -120 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)

Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL

3/1/2=6

7/9/2= 14/9 9*7 /7*4








la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 9/2)



(El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)


(El -20 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

anterior fila Z - -20*(nueva fila X2)

La función se maximiza en este valor de X1


Este valor es el Z máximo y ya no se itera más

Dado que los elementos de Z son todos positivos :)

2 Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado

y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo.

La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo

para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía?

Solución

Recursos Modelo A Modelo B Disponibilidad

Hierro Forjado 3 4 1000

Minutos de Trabajo 6 3 1200 minutos

2 1.5

a) Formulación b) Método gráfico

Sea X1 la cantidad a producir del mueble modelo A

Sea X2 la cantidad a producir del mueble modelo B R1: 3X1+4X2=1000

R2: 6X1+3X2=1200

Max Z= 2X1+1.5X2 Sujeto a :

3X1+4X2 <= 1000 R1:

6X1+3X2 <=1200

X1,X2>=0

R2:

A=(0,250)

B=(200,0)

C=(120,160)

Z=2X1+1.5X2

ZA=2*0 + 1.5*250 =375

ZB=2*200 +1.5*0 = 400

ZC=2*120+1.5*160=

C) METODO SIMPLEX

i) Convertir las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de holgura

3X1+4X2+X3=1000

6X1+3X2+X4=1200 BASE X1

X3 3

ii) Construir siguiente cuadro (iteración 1) X4 6

Se ponen los valores de Z en negativo-> Z -2

Ahora comienza las iteraciones……..




entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las variables de la Base, de la siguiente forma:

Para la fila de X3 : 1000/3 =333.33 Dado que 200<333.33 y que X4 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,

Para la fila de X4 : 1200/6 =200 X4 debe salir de la base y permitir que ingrese X1 (columna PIVOTE)



X3

X1 1 1/2 0 1/6 200

Z


Calcular nueva fila X3:

3 4 1 0 1000 (anterior fila X3, MENOS...)

3 * 1 1/2 0 1/6 200 (El 3 es el valor de X3 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 3 3/2 0 1/2 600

Resto: 0 5/2 1 -1/2 400 anterior fila X3 - 3*(nueva fila X1)


-2 -1.5 0 0 0 (anterior fila Z, MENOS...)

-2 * 1 1/2 0 1/6 200 (El -2 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

Multiplico-> -2 -1 0 -1/3 -400

Resto: 0 -0.5 0 1/3 400 anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)

TERMINÓ LA PRIMERA ITERACIÓN!!!!!!!!!!!!!!!! Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL


X3 0 5/2 1 -1/2 400

X1 1 1/2 0 1/6 200

Z 0 -0.5 0 1/3 400

Paso 1) Buscar el elemento más negativo de la fila Z , en este caso corresponde a -0.5

La columna donde esta el -0.50 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base



Para la fila de X3 : 400/5/2 =160 Dado que 160<400 y que X3 se encuentra en dicha fila, entonces esa se convierte la fila PIVOTE,

Para la fila de X1 : 200/1/2 =400 X3 debe salir de la base y permitir que ingrese X2 (columna PIVOTE)



X2 0 1 2/5 -1/5 160

X1

Z


Calcular nueva fila X1

1 1/2 0 1/6 200 (anterior fila X1, MENOS...)

1/2 * 0 1 2/5 -1/5 160 (El 1/2 es el valor de X1 que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 0 1/2 1/5 -1/10 80

Resto: 1 0 -1/5 4/15 120 anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)


0 -0.5 0 1/3 400 (anterior fila Z, MENOS...)

-0.5 * 0 1 2/5 -1/5 160 (El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

Multiplico-> 0 -0.5 -0.2 0.1 -80

Resto: 0 0.75 0.5 0.083 480 anterior fila Z - -0.5*(nueva fila X2)


X2 0 1 2/5 -1/5 160

X1 1 0 -1/5 4/15 120

Z 0 0.75 0.5 0.083 480

Una compañía tiene una división que produce dos modelos de braseros, el A y el B. Para producir cada modelo A se necesitan 3 onzas de hierro forjado

y 6 minutos de trabajo, mientras que para cada modelo B, 4 onzas de hierro forjado y 3 minutos de trabajo.

La ganancia por cada modelo A es $2 y $1.50 por cada B. Si se dispone de 1000 onzas de hierro forjado y 20 horas de trabajo

para la producción diaria de braseros, ¿cuántas piezas de cada modelo debe producir la división para maximizar las ganancias de la compañía?

400

b) Método gráfico 250 A

CR1: 3X1+4X2=1000

R2: 6X1+3X2=1200 R2

X1 X2

0 250 R1

1000/3 0

X1 X2 B0 400 200 1000/3

200 0

C=? multiplico R1 * 2 para eliminar variable X1

3X1+4X2=1000 ---> 6X1+8X2=2000

6X1+3X2=1200

Restando: 5X2=800 X2=160

Reemplazo X2 en R1 y obtengo:

3X1+4*160=1000 , X1=120

<----------------------------------------

ZA=2*0 + 1.5*250 =375

ZB=2*200 +1.5*0 = 400

ZC=2*120+1.5*160= 240 240

X2 X3 X4 SOLUCIÓN

4 1 0 1000 1000/3 333

3 0 1 1200 1200/6 200

-1.5 DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z




entre el valor de la columna PIVOTE, para cada una de las variables de la Base, de la siguiente forma:





la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 6)



(El 3 es el valor de X3 que está en la Columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

anterior fila X3 - 3*(nueva fila X1)


(El -2 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE), este valor se multiplica por la fila X1 que acaba de ingresar.

anterior fila Z - 120*(nueva fila X1)

Y AHORA REGRESO A EJECUTAR PASO 1 PARA LA SEGUNDA ITERACIÓN, TODO ES IGUAL

400/5/2 160

200/1/2 400

La columna donde esta el -0.50 se denomina columna PIVOTE y corresponde a X2 que se convierte en la variable que ingresa a la base







la columna pivote del cuadro anterior (QUE CORRESPONDE AL VALOR 5/2)




anterior fila X1 - 1/2*(nueva fila X2)


(El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

anterior fila Z - -0.5*(nueva fila X2)



Este valor es el Z máximo y ya no se itera más

Dado que los elementos de Z son todos positivos :)

DEBO ITERAR HASTA QUE EN LA FILA Z



(El -0.5 es el valor de Z que está en la columna PIVOTE) este valor se multiplica por la fila X2 que acaba de ingresar.

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