ME3202/ME46A

Resistencia de Materiales

Auxiliar 4: Esfuerzo por torsion

Profesor: Roger Bustamante

Auxiliar: Eladio Hurtado M.

Otono 2009

Capıtulo 1

Auxiliar 4: Esfuerzos por torsion

1.1. Definiciones

Torsion

T =θGJ

L(1.1)

J

J =πD4

32(1.2)

Esfuerzo por torsion

τ =Tr

J(1.3)

1.2. Problemas

1.2.1. Problema 1

Hallar los momentos en los empotramientos MA y MD.

1

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 2

Figura 1.1: Problema 1

El problema se puede resolver por superposicion, es decir, se pueden resolver dos problemas y despues

sumar las soluciones. En este caso en particular se calculara el angulo de deformacion producido por los

dos momentos puntuales (figura 1.2) y el angulo de deformacion producido por una de las reacciones

en los empotramientos (figura 1.3) Estos dos angulos, θ1 y θ2 respectivamente, son calculados en el

extremo D de la viga.

Figura 1.2: Parte 1 superposicion

Figura 1.3: Parte 2 superposicion

Luego sabemos que se tiene que cumplir la siguiente igualdad dado que la viga esta empotrada en

el punto D.

θ1 + θ2 = 0 (1.4)

Calculo de θ1

Tramo 0 < x < 30

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 3

Figura 1.4: T interno en tramo 1

T = −3 · 104 − 2 · 104 = −5 · 104 (1.5)

Tramo 30 < x < 80

Figura 1.5: T interno en tramo 2

T = −2 · 104 (1.6)

Tramo 80 < x < 120

T = 0 (1.7)

θ1 =−5 · 104 · 30

GJ+−2 · 104 · 50

GJ(1.8)

Calculo de θ2

Figura 1.6: T en parte 2 superposicion

T = MD (1.9)

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 4

θ2 =MD · 120GJ

(1.10)

Usando la ecuacion (1.4)

−5 · 104 · 30GJ

+−2 · 104 · 50

GJ+MD · 120GJ

= 0 (1.11)

MD = 20833, 3[Ncm] (1.12)

Haciendo sumatoria de momentos en el eje de la barra

MA +MD = 5 · 104 (1.13)

MA = 29166, 6[Ncm] (1.14)

1.2.2. Problema 2

En la figura 1.7 el eje 1 esta empotrado a lapared del lado izquierdo y el eje 2 esta apoyado en dos

cijientes (puede girar sin roce) y se le aplica un torque T en su extremo derecho. Los engranajes puedes

considerarse como discos rıgidos. Determine el angulo de rotacion total en el punto A. Determien el

valor de los maximos esfuerzos de corte en los ejes 1 y 2.

Datos:

Eje 1 G1 = 27, 6[GPa] L1 = 1[m] d1 = 5[cm] D1 = 15[cm]

Eje 2 G2 = 83[GPa] L2 = 2[m] d2 = 8[cm] D2 = 20[cm]

T = 2000[Nm]

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 5

Figura 1.7: Problema 2

Sean:

TM : Torque de raccion de pared sobre el eje 1

F : Fuerza de interaccion engranaje

Equilibrio torque eje 2

Figura 1.8: DCL eje 2

T =D2

2F (1.15)

F =2TD2

(1.16)

Equilibrio de torque eje 1

Figura 1.9: DCL eje 1

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 6

TM =D1

2F (1.17)

TM =D1

D2T (1.18)

Sea

θC : Angulo de torsion en el eje 1 en C debido a TM θB : Angulo de torsion en el eje 2 en C debido

a la interaccion cn el eje 1 θBA : Angulo de torsion en el eje 2 en C debido a T

θC =TML1

G1J1(1.19)

J1 =πd4

1

32= 6, 1359 · 10−7[m4] (1.20)

θC = 8, 8573 · 10−2[rad] (1.21)

La relacion que se cumple es la igualdad de arcos como se observa en la figura 1.10

Figura 1.10: Igualdad en los arcos producidos por los angulos de torsion en los engranajes

θCD1

2= θB

D2

2(1.22)

θB = θCD1

D2= 6, 643 · 10−2[rad] (1.23)

θBA =TL2

G2J2(1.24)

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 7

J2 =πd4

2

32= 4, 0122 · 10−6[m4] (1.25)

θBA = 1, 1984 · 10−2[rad] (1.26)

Sea

θA : Angulo de torsion total en A

θA = θC + θBA = 7, 8414 · 10−2[rad] (1.27)

Esfuerzo cortante maximo en los ejes

Eje 1

τmax1 =TMd1

2J1= 61, 1157[MPa] (1.28)

τmax2 =Td2

2J2= 19, 8946[MPa] (1.29)

1.2.3. Problema 3

El poste solido de hierro colado de 2 pulgadas de diametro mostrado en la figura esta enterrado 24

pulgadas en el suelo. Si se le aplica un par de torsion por medio de una llave rıgida a su parte superior,

determine el esfuerzo cortante maximo en el poste y el angulo de torsion en su parte superior, determine

el esfuerzo cortante maximo en el poste y el angulo de torsion en su parte superior. Suponga que el par

esta apunto de hacer girar el poste y que el suelo ejerce una fuerza torsional uniforme de t[lb · in/in] a

lo largo de su longitud enterrada. G = 5, 5 · 103[ksi]

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 8

Figura 1.11: Problema 3

El par de torsion interno en el segmento AB del poste es constante. Del DCL de la figura 1.12se

obtiene

Figura 1.12: DCL tramo AB

TAB = 25 · 12 = 300[lb · in] (1.30)

La magnitud del par de torsion distribuido uniformente a lo largo del segmento BC enterrado puede

determinarse a partir del equilibrio de todo el poste como se muestra en la figura 1.13.

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 9

Figura 1.13: DCL Poste

∑MZ = 0⇒ 25 · 12− t · 24 = 0 (1.31)

t = 12, 5[lb · in/in] (1.32)

Del diagrama de cuerpo libre de una seccion de poste situada en la posicion x dentro de la region

BC, tenemos:

Figura 1.14: DCL tramo BC

∑MZ = 0⇒ TBC − 12, 5x = 0 (1.33)

TBC = 12, 5x (1.34)

Esfuerzo cortante maximo: El esfuerzo cortante mas grande ocurre en la region AB, puesto que

el par es maximo ahı y J es constante en todo el poste.

τmax =TAB · rGJ

= 191[psi] (1.35)

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 10

Angulo de torsion: El angulo de torsion en la parte superior puede determinarse con respecto a la

parte inferior del poste, ya que este extremo esta fijo y a punto de girar.

φA =TABLAB

GJ+

∫ 24

0

TBC

GJdx (1.36)

φA =300 · 36GJ

+∫ 24

0

12, 5xGJ

dx (1.37)

φA =10800

π/2 · 14 · 5500 · 103+

0, 5 · 12, 5 · 242

π/2 · 14 · 5500 · 103dx = 0, 00167[rad] (1.38)

1.2.4. Problema 4

Un eje debe transmitir una potencia de 700[CV ] a N = 180[rpm]. Sabiendo que las condiciones de

trabajo de un eje que transmite potencia son que el angulo de torsion no debe ser superior a 1o en una

longitud de 15 veces el diametro y ademas el τadmisible es de 600[kp/cm2].

a) Determinar τmax

b) Calcular el diametro mınimo del eje

a) Del enunciado tenemos las siguientes restricciones

θ ≤ 1o =π

180(1.39)

⇒ TL

GJ≤ π

180(1.40)

T ≤ π

180· GJL

=π

180· GπD

3

328 · 103

15D(1.41)

T ≤ 91, 38D3[kp · cm] (1.42)

La segunda arestriccion es:

τ ≤ 600[kp/cm2] (1.43)

CAPITULO 1. AUXILIAR 4: ESFUERZOS POR TORSION 11

T · rJ≤ 600 (1.44)

T ≤ 600Jr

=2 · 600D

π ·D4

32= 117, 81D3 (1.45)

La restriccion dada por la ecuacion (1.42) es la mas estricta, por lo tanto el esfuerzo de corte maximo

es:

τmax =T · rJ

= 465, 4[kp [cm]2] (1.46)

b) Para esta parte hay que sacar el T necesario para transmitir los 700[CV ] a 180[RPM ], y con

esto calcular el diametro mınimo tal que se cumpla la restriccion dada por la ecuacion (1.42)

P = T ·N (1.47)

P =2π · 180 · T

60 · 65= 700 (1.48)

T = 2785, 21[kp ·m] (1.49)

T = 91, 38 ·D3 (1.50)

D3 =2785, 2191, 38

(1.51)

Dmin = 14, 5[mm] (1.52)