Ejercicios y Problemas Resueltos de Ecuaciones de La Recta I

8/15/2019 Ejercicios y Problemas Resueltos de Ecuaciones de La Recta I

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Ejercicios y problemas resueltos de ecuaciones de larecta I

1 Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que

pasa por los puntos A(1, 2) y B (−2, 5).

2 e un paralelo!ramo AB" conocemos A(1, #), B(5, 1 ), "(−2, $).

%alla las coordenadas del &'rtice .

3 "lasificar el trin!ulo determinado por los puntos A(*, $), B(#, $)

y "(*, #).

4 %allar la pendiente y la ordenada en el ori!en de la recta #+ 2y

− - $.

5 Estudiar la posición relati&a de las rectas de ecuaciones

1 2+ #y − / $

2 + − 2y 1 $

3 #+ − 2y − 0 $

4

/+ *y − $

5 2+ − /y − * $

6 2+ #y 0 $

6 %allar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela

a la recta s 2+ y 2 $.≡

7 e tiene el cuadriltero AB" cuyos &'rtices son A(#, $), B(1, /),

"(−#, 2) y (−1, −2). "omprueba que es un paralelo!ramo y

determina su centro.

8 %allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −#) y es

paralela a la recta que une los puntos (/ , 1)) y (−2, 2).


2/39

9 3os puntos A(−1, #) y B(#, −#), son &'rtices de un trin!ulo

isósceles AB" que tiene su &'r tice " en la recta 2+ − /y # $

siendo A" y B" los lados i!uales. "alcular las coordenadas del &'rtice

".

10 3a recta r #+ ny − - $ pasa por el punto A(#, 2) y es≡

paralela a la recta s m+ 2y − 1# $. "alcula m y n.≡

11 ado el trin!ulo AB", de coordenadas A($, $), B(/, $) y "(/,

/)4 calcula la ecuación de la mediana que pasa por el &'rtice ".

12 e un paralelo!ramo se conoce un &'rtice, A(, $), y el punto de

corte de las dos dia!onales, (*, 2). 6ambi'n sabemos que otro

&'rtice se encuentra en el ori!en de coordenadas. "alcular

1 3os otros &'rtices.

2 3as ecuaciones de las dia!onales.

3 3a lon!itud de las dia!onales.

Ejercicio 1 resuelto

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa

por los puntos A(1, 2) y B(−2, 5).


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e un paralelo!ramo AB" conocemos A(1, #), B(5, 1), "(−2, $).

%alla las coordenadas del &'rtice .


"lasificar el trin!ulo determinado por los puntos A(*, $), B(#,$) y

"(*, #).


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%allar la pendiente y la ordenada en el ori!en de la recta #+ 2y − -

$.


Estudiar la posición relati&a de las rectas de ecuaciones

1 2+ #y − / $

2 + − 2y 1 $

3 #+ − 2y − 0 $

4 /+ *y − $


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5 2+ − /y − * $

6 2+ #y 0 $

Las rectas 1 y 4 son coincidentes , porque todos sus

coeficientes son proporcionales

Las rectas 2 y 5 y las 1 y 6 son paralelas respectivamente , ya

que e+iste proporcionalidad entre los coeficientes de + y de y, pero

no en el t'rmino independiente.


%allar la ecuación de la recta r, que pasa por A(1, 5), y es paralela a

la recta s 2+ y 2 $.≡


6/39


e tiene el cuadriltero AB" cuyos &'rtices son A(#, $), B(1, /),

"(−#, 2) y (−1, −2). "omprueba que es un paralelo!ramo y

determina su centro.


7/39


%allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, −#) y es

paralela a la recta que une los puntos (/ , 1)) y (−2, 2).


3os puntos A(71, #) y B(#, 7#), son &'rtices de un trin!ulo isósceles

AB" que tiene su &'rtice " en la recta 2+ − /y # $ siendo A" y

B" los lados i!uales. "alcular las coordenadas del &'rtice ".


8/39


3a recta r #+ ny − - $ pasa por el punto A(#, 2) y es paralela≡

a la recta s m+ 2y − 1# $. "alcula m y n.≡


ado el trin!ulo AB", de coordenadas A($, $), B(/, $) y "(/, / )4

calcula la ecuación de la mediana que pasa por el &'rtice ".


9/39


e un paralelo!ramo se conoce un &'rtice, A(, $ ), y el punto decorte de las dos dia!onales, (*, 2). 6ambi'n sabemos que otro

&'rtice se encuentra en el ori!en de coordenadas. "alcular

1 3os otros &'rtices.

2 3as ecuaciones de las dia!onales.


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3 3a lon!itud de las dia!onales.

Ejemplos

1 %allar una recta paralela y otra perpendicular a r + 2 y # ≡

$, que pasen por el punto A(#,5).

2 "alcula k para que las rectas r + 2y 7 # $ y s + 7 8y /≡ ≡

$, sean paralelas y perpendiculares .


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1 "alcula la distancia del punto 9(2, −1) a la recta r de ecuación #+

/y $.

2 %allar la distancia entre r #+ − /y / $ y s 0+ − 12y − / ≡ ≡

$.

3 "alcular el n!ulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus

&ectores directores son (−2, 1) y (2, −#).

4 "alcula el n!ulo que forman las rectas r + #y − 2 $ y s≡ ≡

2+ − #y 5 $.

5 %allar una recta paralela y otra perpendicular a r + 2y # ≡

$, que pasen por el punto A(#, 5).

6 %allar la ecuación de la mediatri: del se!mento de e+tremos A(2,

5) y B(/, −-).

7 %allar las ecuaciones de las bisectrices de los n!ulos que

determinan las rectas r #+ − /y 5 $ y s *+ y 1 $.≡ ≡

8 "alcular la ecuación de la recta perpendicular a r + − y − 1 $≡

y pasa por el punto 9(−#, 2).

9 ;na recta de ecuación r + 2y − 0 $ es mediatri: de un≡

se!mento AB cuyo e+tremo A tiene por coordenadas (2, 1). %allar las

coordenadas del otro e+tremo.

10 %alla el punto sim'trico A


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1

2

12 %allar el n!ulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones

1

2

13 adas las rectas r #+ y − 1 $ y s 2+ my − $,≡ ≡

determinar m para que formen un n!ulo de /5=.

14 ;na recta es paralela a la que tiene por ecuación r 5+ y −≡

12 $, y dista * unidades del ori!en. >"ul es su ecuación?

15 ;na recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r 5+ −≡

-y 12 $ y dista / unidades del ori!en. >"ul es su ecuación?

16 e tiene el cuadriltero AB" cuyos &'rtices son A(#, $), B(1, /),

"(−#, 2) y (−1, −2). "alcular su rea.

17 ado el trin!ulo A(−1, −1), B(-, 5), "(2, -)4 calcular las

ecuaciones de las alturas y determinar el ortocentro del trin!ulo.

18 "alcular las bisectrices de los n!ulos determinados por la rectas


"alcula la distancia del punto 9(2, −1) a la recta r de ecuación #+ /

y $.


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%allar la distancia entre r #+ − /y / $ y s 0+ − 12y − / $.≡ ≡


"alcular el n!ulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus

&ectores directores son (−2, 1) y (2, −#).


"alcula el n!ulo que forman las rectas r + #y − 2 $ y s 2+ −≡ ≡

#y 5 $.


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%allar una recta paralela y otra perpendicular a r + 2y # $,≡

que pasen por el punto A(#, 5).

%allar la ecuación de la mediatri: del se!mento de e+tremos A(2, 5) y

B(/, −-).


%allar las ecuaciones de las bisectrices de los n!ulos que determinan

las rectas r #+ − /y 5 $ y s *+ y 1 $.≡ ≡


15/39


"alcular la ecuación de la recta perpendicular a r + − y − 1 $ y≡

pasa por el punto 9(−#, 2).



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;na recta de ecuación r + 2y − 0 $ es mediatri: de un≡

se!mento AB cuyo e+tremo A tiene por coordenadas (2, 1). %allar las

coordenadas del otro e+tremo.


%alla el punto sim'trico A


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%allar el n!ulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones


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1

2


%allar el n!ulo que forman las rectas que tienen por ecuaciones

1


19/39

2


adas las rectas r #+ y − 1 $ y s 2 + my − $,≡ ≡

determinar m para que formen un n!ulo de /5=.


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;na recta es paralela a la que tiene por ecuación r 5+ y − 12 ≡

$, y dista * unidades del ori!en. >"ul es su ecuación?


;na recta es perpendicular a la que tiene por ecuación r 5+ − -y ≡

12 $ y dista / unidades del ori!en. >"ul es su ecuación?


e tiene el cuadriltero AB" cuyos &'rtices son A(#, $), B(1, /),

"(−#, 2) y (−1, −2). "alcular su rea.


21/39


ado el trin!ulo A(−1, −1), B(- , 5), "(2, -)4 calcular las ecuaciones

de las alturas y determinar el ortocentro del trin!ulo.


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"alcular las bisectrices de los n!ulos determinados por la rectas

9.2 Ejercicios resueltos de rectas

Ejercicios de rectas paralelas, rectas crecientes y decrecientes, pendiente deuna recta.

Rectas crecientes y decrecientes


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Ejercicios rectas crecientes

Una función es creciente cuando al ir aumentando los valores de x vanaumentando los valores de y . O al ir disminuyendo los valores de x vandisminuyendo los valores de y .La pendiente de la recta m es positiva.

Para leer en un eje de coordenadas leemos de izquierda a derecha (comoescribimos.

!jemplos de rectas crecientes" # y $ %x & y $ 'x & ' y $ )*' x #

% y $ '*& x &

Analizar y representar la siguiente recta: y = 3x -1

La pendiente de la recta es ' + por ser positiva la recta es creciente.

La ordenada en el ori,en n $ -#+ el punto de corte con el eje de ordenadas serel (/+ -#

Tabla de valores de la recta

x 1 0 -1

y 2 -1 -4

Ejercicios rectas decrecientes

Una función es decreciente cuando al ir aumentando los valores de x vandisminuyendo los valores de y + o viceversa. La pendiente de la recta m es

ne,ativa.La pendiente de la recta m es ne,ativa.

!jemplos de rectas decrecientes" # y $ - 'x & y $ - %*'x #

Analizar y representar la siguiente recta: y = -2x + 2


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La pendiente de la recta es -& + por ser ne,ativa la recta es decreciente.

La ordenada en el ori,en n $ &+ el punto de corte con el eje de ordenadas ser el(/+ &

a!la de "alores

x 1 0 -1

y 0 2 4

0rfica de las rectas

Ejercicios rectas paralelas

1os rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

!jemplos de rectas paralelas" a y $ 'x y b y $ 'x # c y $ -&x ) y dy $ -&x -&

Analizar y representar la siguiente recta: y = #x + 2

La pendiente de la recta es % + por ser positiva la recta es creciente.


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La ordenada en el ori,en n $ &+ el punto de corte con el eje de ordenadas ser el(/+ &

a!la de "alores

x 1 0 -1

y 6 2 -2

Analizar y representar la siguiente recta: y = #x

La pendiente de la recta es % + es paralela a la recta anterior.

La ordenada en el ori,en n $ /+ el punto de corte con el eje de ordenadas ser el(/+ /

0rfica de las rectas

Ecuaci$n de una recta %ue pasa por dos puntos


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Ejercicios resueltos de rectas

1& Representa las siguientes rectas: a y $ 'x & b y $ -x & c y $)x -'

2& Representa las siguientes rectas: d y $ )x ' e y $ -x % f y $

-&x - #


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3& 'i!uja la gr()ica de una recta %ue pasa por el punto *2 ,& y cuyaordenada en el origen es 1.

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2ubir

U34 L53!4 6!784

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2e puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la

pendiente.

!sta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se

conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos+ o cuando se

conocen sólo los dos puntos+ por lo que tambi:n se le llama ecuación de la

recta conocidos dos puntos+ y se le debe a =ean >aptiste >iot. La pendiente

m es la tan,ente de la recta con el eje de abscisas


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2e utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al ori,en+ que llamaremos b. 8ambi:n se

puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al ori,en a partir de una

ecuación dada.

2olución para problemas en que la 6ecta pasa por un punto

1eterminar las rectas del plano que pasan por el punto (x/+y/.

La ecuación de la recta ha de ser+ como ya se sabe"

; ha de pasar por el punto (x/+y/+ lue,o tendr que cumplirse"

1espejando b+ tenemos esta ecuación"

2ustituyendo b en la ecuación ,eneral de la recta"

Ordenando t:rminos"

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Punto Gedio de una recta

6ectas Paralelas

2on Paralelas al eje cuando ambas rectas tienen la misma pendiente

6ectas Perpendiculares

2on Perpendiculares entre ellas cuando el producto de ambas pendientes es -#

4n,ulo entre 6ectas

--=or,etr /%"') &H jul &//I (U87

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Gediatr9z

La mediatr9z de un se,mento es la recta perpendicular al se,mento en el punto medio

Los puntos de la mediatr9z estn a i,ual distancia de los extremos del se,mento.

Problemas 6esueltos

Ejeplo 1

!ncontrar la ecuación de la mediatr9z del se,mento formado por los puntos 4(%+& y >(-&+#/.

Lee mas en " La 6ecta+ La L9nea 6ecta+ rectas+ problemas resueltos - AiBimatematica.or,

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Ejeplo 2

!ncontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos

7alculamos la pendiente.

4hora aplicamos la ecuación de la recta sustituyendo los valores que

tenemos

tomamos cualquier punto y lo evaluamos para hallar el valor de b

por lo tanto la ecuación de la recta es

Ejeplo 3

encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto 4( -#+ ' y es paralela a la recta &y -Hx $ #/

procedimiento"

lue,o utilizamos la ecuación ,eneral de la recta y lle,amos a "


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la ecuación de la recta que pasa por ese punto es"

Pendiente $ '

intersección con el eje ; $ (/+H Jhacemos cero a xJ

intersección con el eje x $ (-&+/ Jhacemos cero a yJ


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Ejeplo #

?alle la ecuación de la recta que pasa por y es paralela a

utilizamos la ecuación ,eneral de la recta "

la ecuación de la recta que pasa por ese punto es"


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Ejeplo

?alle la ecuación de la recta que pasa por y es perpendicular a

utilizamos la ecuacion ,eneral de la recta "

la pendiente de una recta perpendicular a ella es el reciproco ne,ativo

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Ejeplo 5

!ncuentre la ecuacion de la recta que pasa por los puntos ()+#+(@+'

Primero encontramos el valor de la pendiente"

!ntonces"

;a que tenemos el valor de nuestra pendiente introducimos los valores en la ecuacion de la recta


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Ejeplo 1/

'el segento )orado por los puntos 4()+& y >(-&+#& encontrar la ediatriz

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6ora punto-pendiente de la ediatriz del segento

Respuesta


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