Ekonometrija 3

Ekonometrija, Osnovne studije

Predavač: Aleksandra Nojković

Struktura predavanja

Zaključivanje u KLRM sa jednom objašnjavajućom promenljivom

Predviđanje

Testiranje moći predviđanja

Ocene metodom ONK

Ocene ONK:

n

i

i

n

i

ii

n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

x

yx

XXn

YXYXn

b

1

2

1

1

2

1

2

1 1 1

XbYb

00

Varijansa ocena

Daje odgovor na pitanje u kojoj meri promena uzorka utiče na ocenjene vrednosti b0 i b.

Varijanse ocena ONK su:

2

2

2

0

1var

ix

X

nb

2

i

2

xbvar

Ocena varijanse slučajne greške σ2

Ocena varijase slučajne greške (s2) se određuje kao:

S2 je nepristrasna ocena σ2 (pokazati...)

s je broj koji se obično naziva standardna greška regresije.

.2n

e

s

n

1i

2

i2

Statističko zakljucivanje u KLRM

Izvođenje zaključaka o svojstvima parametara osnovnog skupa na osnovu ocenjenih regresionih parametara.

Primer: Ocenjen je model oblika:

(6.57) (0.04)

Ocena 0.35 je (tackasta) nepoznatog parametra nagiba. Koliko je ta ocena pouzdana?

Odgovor na to pitanje daje standardna greška ocene.

ii XY 61.012.15

Raspodela verovatnoće ocenadobijenih metodom ONK

Standardizovanjem slučajnih promenljivih b i b0

dobijamo:

Medutim, varijanse ocena su su nepoznate veličine. Ako ih zamenimo odgovorajućim ocenama, tada dobijamo slučajne promenljive sa t-raspodelom (pokazati...)

Intervali poverenja za nepoznate parametre.

)1,0(N:

bvar

b),1,0(N:

bvar

b

0

00

).2(:),2(:

0

00

nts

bnt

s

b

bb

Interval poverenja za nepoznate parametre

Na osnovu rezultata o t-raspodeli, moguće je odrediti granice intervala poverenja za parametre βo i β sa odgovarajućom verovatnoćom.

Intervali poverenja nepoznatih parametara βo i β na nivou značajnosti su :

Interval poverenja za β

Testiranje hipoteza: algoritam

Posmatramo model oblika:

Testiramo vaidnost hipoteze:

H0: β = β*, H1:β ≠ β*

Koraci u postupku testiranja:

1. Ocenjujemo: b i sb na poznati nacin.

2. Racunamo test-statistiku koristeci sledeću formulu:

gde je β * vrednost β u uslovima važenja nulte hipoteze.

),2(:

*

nt

s

bstatistikatest

b

.n,...,2,1iza,uXY ii0i

Testiranje hipoteza: algoritam

(nastavak)

3. Sastavni deo testiranja hipoteze je izbor nivoa značajnosti,

koji se cesto oznacava sa To je verovatnoća odbacivanja nulte

hipoteze u situaciji kada je ona tačna. Uobičajeno se koristi nivo

značajnosti 5%.

4. Definišemo pravilo odlučivanja, kriterijum po kojem

odbacujemo nultu hipotezu. Ako je:

Odbacujemo H0 kao netačnu uz nivo značajnosti 5%.

5. Konačno sprovodimo testiranja. Ako izračunata test statistika

leži u oblasti prihvatanja nulte hipoteze, tada se nulta hipoteza ne

odbacuje. Obratno, ako izračunata test statistika pripada kritičnoj

oblasti testa, tada nultu hipotezu odbacujemo za dati nivo

značajnosti.

.

,025.0*

)2(

n

b

ts

b

Testiranje hipoteze: osnovni elementi

Interesuje nas da li parametar nagiba uzima tacno odredenu vrednost.

Postavljamo dve hipoteze: nultu (oznaka H0) i alternativnu hipotezu (oznaka H1).

Nulta hipoteza je iskaz ciju valjanost ispitujemo, odnosno testiramo. Alternativna hipoteza obuhvata sva alternativna tvrđenja.

Na primer, interesuje nas da li se zavisna promenljiva menja u istom obimu kao i objašnjavajuca, odnosno da li je β jednako 1.

Koristimo sledeću notaciju:

H0 : β =1

H1 : β ≠1

Specijalni tip hipoteze: t-odnos

Pretpostavimo da nas interesuje:

H0: β = 0, H1:β ≠ 0.

Ako je tačna nulta hipoteza, tada objašnjavajuća promenljiva

ne utiče na kretanje zavisne promenljive. Na ovaj način

proveravamo opravdanost postavke modela.

U tom slučaju opšti oblik test statistike postaje t-odnos, zapravo odnos ocene i odgovarajuce standardne greške ocene:

).2(: nts

bodnoststatistikatest

b

Testiranje statističke značajnosticele regresije

Hipoteze od interesa:

H0: R2=0 (β = 0),

H1: R2≠0 (β ≠ 0).

Nulta hipoteza: regresija nije statistički značajna (uticaj objašnjavajuće promenljive nije statistički značajan).

Alternativna hipoteza: regresija je statistički značajna (objašnjavajuća promenljiva ostvaruju statistički značajan uticaj na kretanje zavisne promenljive).

Veza između t i F-raspodele u jednostavnoj regresiji(tb

2=F) – pokazati…

Ispitivanje kvaliteta regresije na osnovu koeficijenta determinacije

Relevantna statistika je:

Pravilo odlučivanja:

Ako je izračunata vrednost date statistike veća od kritične vrednosti F-raspodele sa 1 i n-2 stepeni slobode, tada se nulta hipoteza odbacuje uz izabrani nivo značajnosti(objasniti br. stepeni slobode tri relevantna varijabiliteta...).

)2/()1(

)1/(

)2/(litet varijabiniNeobjasnje

(1) / litet varijabiObjasnjeni

2

21

2

1

2

nR

RF

nF

n

n

Predviđanje

Na osnovu ocenjenih parametara jednostavnog KLRM moguće je predvideti kretanje izabrane zavisne promenljive.

Podaci vremenskih serija: prognoziranje se odnosi na buduće vrednosti zavisne promenljive.

Uporedni podaci: predviđa se vrednost zavisne promenljive za onu vrednost objašnjavajuće promenljive koja nije uključena u uzorak.

Greška predviđanja

Ako je na osnovu T opservacija vremenskih serija ocenjen model:

Za novu vrednost objašnjavajuće promenljive u periodu T+1 (XT+1) prognozirana vrednost zavisne promenljive se dobija kao:

Greška predviđanja (razlika stvarne i ocenjene vrednosti za YT+1):

T,...,2,1t,bXbY t0t

T,...,2,1t,bXbY t0t

.XbbYYgp 1T1T0o1T1T

Varijansa greške predviđanja

Predvišanje je nepristrasno, a varijansa greške predviđanja meri odstupanje stvarne od ocenjene vrednosti Y u periodu T+1:

Pokazati...

Ako su zadovoljene sve pretpostavke KLRM:

.x

XX

T

11

2

t

2_

1T

22

gp

.,0N:gp 2

gp

Interval poverenja predviđanja

Zamenom σgp sa sgp dobićemo slučajnu promenljivu sa t-raspodelom sa n-2 stepena slobode:

Rešavanjem po YT+1 dobijamo interval poverenja predviđanja:

.t:s

YY2n

gp

1T1T

.95.0tsYYtsYP 025.02ngp1T1t025.02ngp1T

Širina intervala predviđanja

Predviđanje je preciznije za manje sgp, koja je manja za:

a) manju varijansu σ2,

b) veći uzorak (T),

c) veći varijabilitet objašnjavajuće promenljive Xt

(Σxt2), i

d) manju razliku između XT+1 i ar. sredine X.

Interval poverenja predviđanja

Testiranje moći predviđanja Hipoteza o tačnosti prognoze, odnosno hipteza da ne

postoji greška prognoze testira se koristeći test-statistku:

gde je Xp vrednost vrednost promenljive X za koju se

prognozira vrednost Yp (izvan utorka od n opservacija).

Uobičajen postupak testiranja i zaključivanja.

Odbacivanjem Ho zaključujemo da model nije dobro predvideo vrednost zavisne promenljive za opservacije izvan uzorka (za podatke VS u periodu prognoze).

,0YYH pp:0

.n,..,2,1i;t~

x

XX

T

11s

YYt 2n

2

i

2_

p

gp

pp*

Sistematske mere tačnosti prognoze

Kada postoji više parova (m) predviđenih i ostvarenih vrednosti, koristi se SKG (ili koren SKG):

SKG zavisi od jedinica merenja Y, pa se kao relativna mera koristi koeficijent nejednakosti prognoze (odnos SKG za period prognoze prema varijansi zavisne promenljive u uzorku korišćenom za ocenjivanje):

Perfektna prognoza za U=0, sa rastom U moć predviđanja je sve slabija.

2

pp YYm

1SKG

.ny

mYY

U2

i

2

pp

Upotreba modela za predviđanje

Model može zadovoljavati ekonomske, statističke i ekonometrijske kriterijume vrednovanja ocena za period koji pokrivaju podaci iz uzorka, ali da ima slabu moć predviđanja.

To se može desiti iz sledećih razloga: kvalitet korišćenih podataka u uzorku (tačne, ali nepouzdane ocene param. modela); vrednosti objašnjavajuće promenljive na osnovu koje se predviđa nisu tačne; promena strukturnih uslova (model ne odražava dinamički karakter ispitanih uslova).