ekonometri ders notları 7

Sıfır Noktasından Geçen BaglanımÖlçekleme ve Ölçü Birimleri

Baglanım Modellerinin Islev Biçimleri

Iki Degiskenli Baglanım Modelinin Uzantıları

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA

TOBB Ekonomi ve Teknoloji ÜniversitesiIktisat Bölümü

IKT351 – Ekonometri I

Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010) Iki Degiskenli Baglanım Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)



Kullanım Sartları

Isbu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından,"Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License"

(CC-by-SA-3.0) lisans sartları altında bir açık ders malzemesi olarakgenel kullanıma sunulmustur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi vegeçerli lisansın korunması sartıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir,degistirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansıile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresindebulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne

“http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ulasabilirsiniz.

Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)


http://creativecommons.org

http://yalta.etu.edu.tr



Ders Planı

1 Sıfır Noktasından Geçen Baglanım

2 Ölçekleme ve Ölçü BirimleriSayısal Hesaplama Sorunları

3 Baglanım Modellerinin Islev BiçimleriLog-Dogrusal ModellerYarılogaritmik ModellerEvrik ve Log-Evrik Modeller




Sıfır Noktasından Geçen Baglanım

Kuram bazen modelde sabit terimin bulunmamasını öngörür:

Yi = β2Xi + ui

Sıfır noktasından geçen baglanım modelinin uygun oldugu bazıdurumlar sunlardır:

“sermaye varlıgı fiyatlama modeli” (capital asset pricingmodel) ya da kısaca “SVFM” (CAPM),

Milton Friedman’ın “kalıcı gelir önsavı” (permanent incomehypothesis),

“Maliyet çözümlemesi kuramı” (cost analysis theory),

Enflasyon oranının para arzındaki degisim ile orantılıoldugunu ileri süren para kuramı çesitlemeleri.





Sıfır noktasından geçen baglanım için ÖBI asagıdaki gibidir:

Yi = β2Xi + ui

Yukarıdaki modele ait SEK tahmincileri su sekilde bulunur:

β1 = 0 Modeli

β2 =P

Xi YiP

X2i

var(β2) = σ2P

X2i

σ2 =P

ui2

n−1

Alısılmıs Model

β2 =P

xi yiP

x2i

var(β2) = σ2P

x2i

σ2 =P

ui2

n−2

Kısaca, β1 = 0 modeli formüllerinde ortalamalardan sapmayerine X ve Y degiskenlerinin gerçek degerleri kullanılır.





Sabit terimsiz modelin iki özelliginin bilinmesinde yarar vardır:1 Bu modellerde

∑ui kalıntı toplamı her zaman sıfır olmak

zorunda degildir.2 Alısılmıs modeller için hesaplanan belirleme katsayısı r2

sabit terimsiz modellerde zaman zaman eksi degerleralabilir ve bu nedenle kullanılması uygun degildir.

Sıfır noktasından geçen baglanımlarda “ham” (raw) r2 kullanılır:

Ham r2

ham r2 =(∑

XiYi)2

∑X 2

i

∑Y 2

i

Alısılmıs r2

r2 =(∑

xiyi)2

∑x2

i

∑y2

i





Önsel dayanaklar çok güçlü olmadıgı sürece sabit teriminmodele eklenmesinde yarar vardır.

Eger modele sabit terim eklenir ve bu terim istatistikselolarak anlamsız bulunursa, zaten elde sıfır noktasındangeçen bir baglanım modeli var demektir.

Diger yandan, gerçekte modelde sabit terim varken sabitterimsiz model yakıstırılmaya çalısılırsa “model belirtimhatası” (model specification error) yapılmıs olur.





Sıfır noktasından geçen baglanıma örnek olarak, asagıdakiyatırım çözümlemesi modelini ele alalım:

Yi = α + βXi + ui

Burada:Yi , belli bir fona ait yıllık getiri oranını (%);Xi , piyasa portföyünün yıllık getiri oranını (%);β, portföy kuramında beta diye bilinen egim katsayısını;α ise sabit terimi göstermektedir.

α’nın degeri konusunda yazında bir uzlasma olmamaklabirlikte, görgül çalısmalar α’nın istatistiksel olarak sıfırdanfarklı olmadıgını göstermistir.





Bu modeli sıfır noktasından geçen baglanım olarak hesaplarsakasagıdaki bulguları elde ederiz:

Yi = 1,0899 Xi

öh (0,1916) ham r2 = 0,7825t (5,6884)

Sabit terimsiz baglanımın uygun olup olmadıgını sınamak içinalısılmıs baglanıma da bakalım:

Yi = 1,2797 + 1,0691 Xi

öh (7,6886) (0,2383) r2 = 0,7155t (0,1664) (4,4860)

Xi katsayı tahminlerinde çok fark yoktur. Ikinci baglanımda sabitterimin sıfır oldugu sıfır önsavı da reddedilmez. Demek ki, sıfırnoktasından geçen baglanımın kullanılması burada uygundur.



Baglanım Modellerinin Islev BiçimleriSayısal Hesaplama Sorunları

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri

Baglanım çözümlemesinde dikkat edilmesi gereken bir noktada “verileri ölçekleme” (data scaling) konusudur.

Verilerin ölçeklenmesi ile ilgili iki önemli soru sudur:1 X ve Y degiskenlerinin ölçü birimleri baglanım bulgularını

etkiler mi?2 Baglanım çözümlemesi için ölçü biriminin seçilmesinde

izlenilmesi gereken bir yol var mıdır?





ABD’ye ait asagıdaki yatırım ve üretim verilerini ele alalım:

Çizelge: Gayrisafi Yurtiçi Özel Yatırım ve Gayrisafi Milli Hasıla

Yıl GSYIÖY GSYIÖY GSMH GSMH(milyar $) (milyon $) (milyar $) (milyon $)

1988 828,2 828200 5865,2 58652001989 863,5 863500 6062,0 60620001990 815,0 815000 6136,3 61363001991 738,1 738100 6079,4 60794001992 790,4 790400 6244,4 62444001993 863,6 863600 6389,6 63896001994 975,7 975700 6610,7 66107001995 996,1 996100 6761,6 67616001996 1084,1 1084100 6994,8 69948001997 1206,4 1206400 7269,8 7269800




Ölçekleme ve Ölçü BirimleriOrtaya atmıs oldugumuz iki soruyu yanıtlayabilmek için asagıdaverilen baglanım bulgularını inceleyelim:

Hem GSYIÖY, hem GSMH milyar dolar:GSYIÖYi = −37,0015205 + 0,17395 GSMHt

(76,2611278) (0,05406) r2 = 0,5641

Hem GSYIÖY, hem GSMH milyon dolar:GSYIÖYi = −37001,5205 + 0,17395 GSMHt

(76261,1278) (0,05406) r2 = 0,5641

GSYIÖY milyar dolar, GSMH milyon dolar:GSYIÖYi = −37,0015205 + 0,00017395 GSMHt

(76,2611278) (0,00005406) r2 = 0,5641

GSYIÖY milyon dolar, GSMH milyar dolar:GSYIÖYi = −37001,5205 + 173,95 GSMHt

(76261,1278) (54,06) r2 = 0,5641

Not: Ölçünlü hatalar parantez içerisinde verilmistir.





Baglanım bulgularının dördü de GSMH’deki bir milyondolarlık bir degisimin GSYIÖY’de ortalama 0,17395 milyondolarlık bir degisime yol açtıgını göstermektedir.

Öyleyse, SEK tahmincilerinin bilinen özellikleri farklı ölçübirimlerinin kullanılmasından etkilenmemektedir.

Öte yandan, baglanım hesapları bilgisayar kullanılarakyapıldıgı için, verilerin uygun biçimde ölçeklendirilmesiuygulamada zaman zaman önemli olabilir.




Sayısal Hesaplama Sorunları

Ekonometri, birçok karmasık matematiksel ve istatistikselyöntem içeren bir bilim dalıdır.Ancak çogu arastırmacı çesitli tekniklerin yalnızca birkaçfare tıklaması ile uygulanabilecegi izlenimini tasımaktadır.Bilgisayar yazılımlarının her zaman sayısal olarak tutarlıoldugunu varsaymak hatalı bir yaklasımdır.Günümüz bilimsel yazılımlarının çogu tüm hesaplamalarda64bit “kayan nokta” (floating point) aritmetik kullanmaktadır.Bu altyapı gerçel sayı sistemini tümüyle karsılayamayarakdört tür hataya yol açabilmektedir:

“Yuvarlama hataları” (rounding errors)“Iptal etme hataları” (cancellation errors)

“Kırpma hataları” (truncation errors)“Çözümyolu hataları” (algorithm errors)




Yuvarlama Hataları

Yuvarlama hatası, bazı sayıların bilgisayarların kullandıgıikili düzende tam olarak gösterilememesinden kaynaklanır.

Örnek olarak 0,1 ondalık sayısının ikili düzende gösterimi0,00011’dir. Bu sayı yeniden ondalık sisteme çevrildiginde0,09999999403953 olur.

Bu nedenle, cebirsel olarak birbirine esdeger olan (p = q)ve (p − q = 0) gibi iki denklem bilgisayarda uygulandıgındafarklı sonuçlar verebilmektedir.




Iptal Etme Hataları

Iptal etme hatası, yuvarlama hatasının özel bir durumudur.Gözlemlerde fazla sayıda sabit öncül basamak oldugundaortaya çıkar.

Bu özelligi gösteren veri setlerine “katı” (stiff) veri seti denir.

Örnek olarak 1,000,000,001 sayısından 1,000,000,000çıkarılınca geriye yalnızca en sagdaki tek basamak kalır.

Bastaki sayının büyüklügünden dolayı, bu son basamakyuvarlama hatalarına fazla duyarlıdır.




Kırpma Hataları

Kırpma hatası, “yinelemesel” (iterative) islemlerde görülenve yazılımdan zorunlu olarak kaynaklanan bir hata türüdür.

Örnek olarak exp(x) islevi x = 1 noktasında asagıdaki gibigenisletilir:

exp(x) =∞∑

i=0

x i

i!=

x0

0!+

x1

1!+

x2

2!+

x3

3!+ . . . = e

Görüldügü gibi, “oransız sayı” (irrational number) e’ninhesaplanabilmesi sonsuz sayıda toplama gerektirmektedir.

Ancak bilgisayar hesaplaması sınırlı sayıda islem içerebilirve sonuçta bir kırpma hatası ortaya çıkar.




Çözümyolu Hataları

Çözümyolu hatası, bir problemin çogu zaman birden fazlasekilde çözülebilecegi gerçeginden kaynaklanır.

Sonuçta bazı çözümler digerlerinden daha iyidir.

Örnek olarak, dogrusal SEK modelini hesaplamak içinkullanılabilecek yöntemlerden bazıları sunlardır:

“Gaussçu eleme” (Gaussian elimination)“Tekil deger ayrıstırması” (singular value decomposition)

“Cholesky çarpanlaması” (Cholesky factorization)“QR çarpanlaması” (QR factorization)

Bunlar içinde QR yöntemi, çokluesdogrusal veriler dısındadigerlerine göre daha güvenilir sonuçlar vermektedir.




Sayısal Hesaplama Sorunları

Sonuç olarak, bilgisayar matematigi kagıt-kalemmatematiginden tümüyle farklıdır.

Sayısal hataları azaltmanın kolay yolu, çözümleme öncesiverileri uygun sekilde ölçeklemektir.

Tüm verileri öntanımlı olarak [0, 1) veya [0,10) aralıklarınagöre ölçeklemek dogru bir yaklasımdır.

Çok büyük ve çok küçük sayıları birlikte kullanmanın hatalısonuçlara davetiye çıkarmak oldugu unutulmamalıdır.

Ayrıca arastırmacı çalısmasında yalnızca veri kaynaklarınıbelirtmekle yetinmemeli, verilerin nasıl ölçüldügünü veölçeklendigini de mutlaka açıklamalıdır.




Log-Dogrusal ModellerYarılogaritmik ModellerEvrik ve Log-Evrik Modeller


Dogrusallık kavramının degiskenlerde dogrusallık vedegistirgelerde dogrusallık olmak üzere iki ayrı sekildetanımlandıgını anımsayalım.

KDBM için degistirgelerde dogrusallık zorunlu olsa dadegiskenlerde dogrusallık zorunlu degildir.

Degistirgelerde dogrusal ama degiskenlerde dogrusal-dısıbazı modelleri uygun dönüstürmelerle “dogrusallastırmak”(linearize) olanaklıdır.

Yaygın bazı dogrusallastırılmıs model biçimleri sunlardır:

“Log-dogrusal model” (Log-linear model)“Yarı-logaritmik model” (semi-logarithmic model)

“Evrik model” (reciprocal model)





Log-Dogrusal Modeller

“Üstel” (exponential) baglanım modeli diye adlandırılanasagıdaki modeli ele alalım:

Yi = β1Xβ2i eui

Yukarıdaki gösterim asagıdaki sekilde dogrusallastırılabilir:

ln Yi = ln β1 +β2 ln Xi + ui

= α +β2 ln Xi + ui

Bu model, α ve β2 anakütle katsayılarında dogrusaldır veSEK yöntemiyle asagıdaki gibi tahmin edilebilir:

Y ∗

i = α + β2X ∗

i + ui

Burada Y ∗

i = ln Yi ve X ∗

i = ln Xi ’dir.





Log-Dogrusal Model

Her iki yanının logaritması alınarak dogrusallastırılmısmodellere “log-dogrusal” (log-linear), “log-log” (log-log)veya “çifte-log” (double-log) modeller adı verilir.

Log-dogrusal modellerde, α ve β2’nin SEK tahmincileri αve β2 EDYT’dirler.

Ancak β1’in tahmincisi β1 = antilog(α) biçiminde tahminedildiginden yanlı bir tahmincidir.

Birçok uygulamada sabit terim ikinci derecede önemlioldugundan, β1’in yanlı olmasına aldırılmayabilir.





Log-Dogrusal Model

Log-dogrusal modelin yaygınlıgına yol açan çekici özelligi, β2

egim katsayısının Y ’nin X ’e göre esnekligini vermesidir:

Dogrusal Model

Yi = α + β2Xi + ui

Egim (birim degisim):dYidXi

= β2

Esneklik (yüzde degisim):d(Yi/Yi )d(Xi/Xi )

= dYidXi

XiYi

= β2XiYi

Log-dogrusal Model

Yi = exp(α + β2 ln Xi + ui)

Egim (birim degisim):dYidXi

= exp(α + β2 ln Xi + ui)β21Xi

= β2YiXi

Esneklik (yüzde degisim):d(Yi/Yi )d(Xi/Xi )

= dYidXi

XiYi

=(β2

YiXi

)XiYi

= β2

Bu özelliginden dolayı log-dogrusal model “sabit esneklik”(constant elasticity) modeli diye de adlandırılır.





Log-Dogrusal Model

Örnek olarak kahve talebi modeline dönelim.

Veriler üzerinde log-log dogrusallastırması yapıldıktansonra hesaplanan baglanım su sonuçları vermektedir:

ln Y i = 0,7774 − 0,2530 ln Xi r2 = 0,7448öh (0,0152) (0,0494) F1,9 = 26,27

t (51,1447) (-5,1214)

Fiyat esnekligi katsayısı −0,25 olarak bulunmustur.

Buna göre kahve fiyatında yüzde 1 artıs olması durumundakahve tüketiminin ortalama yüzde 0,25 azalması beklenir.

Öyleyse kahve talebinin kendi fiyatına göre esnek olmadıgısöylenebilir.





Log-Dogrusal Model

Zaman zaman dogrusal ve log-dogrusal model arasındabir seçim yapmak gerekli olabilir.

Bagımlı degiskenler aynı olmadıgı için, böyle bir durumdaiki r2 degerini dogrudan karsılastırma yoluna gidilemez.

Katsayı tahminlerini karsılastırma konusunda ise β2(X/Y )tanımından yararlanılarak dogrusal model için bir ortalamaesneklik hesaplanabilir.

Kahve talebi örneginde, log-log modelden elde edilen β2

esneklik katsayısı −0,25 iken, dogrusal modelin ortalamaesnekligi de benzer biçimde −0,22 olarak bulunur.

Dikkat: β2(X/Y ) kullanılarak bulunan ortalama esneklikfarklı X ve Y degerlerine baglıdır. Log-dogrusal modelinesneklik katsayısı β2 ise her fiyat düzeyinde aynıdır.





Log-Dog Modeli

Ekonomistler sık sık para arzı, istihdam, GSMH gibidegiskenlerin büyüme oranlarının tahmini ile ilgilenirler.Bilesik faiz formülünü anımsayalım:

Yt = Y0(1 + r)t

Burada r , Y ’nin zaman içindeki (bilesik) büyüme hızıdır.Yukarıdaki denklemin logaritmasını alalım:

ln Yt = ln Y0 + t ln(1 + r)

β1 = ln Y0 ve β2 = ln(1 + r) tanımlamalarını yapıp hataterimini de ekledikten sonra modeli söyle yazabiliriz:

ln Yt = β1 + β2t + ut

Yukarıda gösterilen modele “log-dog” (log-lin) modeli denir.





Log-Dog Modeli

Bu noktada, sık sık karsılastıgımız “mutlak degisim” (absolutechange), “göreli degisim” (relative change) ve yüzde degisim(percentage change) terimleri arasındaki farka dikkat edelim:

Mutlak degisim

∆X

Göreli degisim

∆X/X

Yüzde degisim

100 × ∆X/X

Eger X ’deki degisim küçükse, asagıda gösterilen “yaklastırma”(approximation) uygulamada sıklıkla kullanılır:

∆ ln X ≈ ∆X/X (göreli degisim)





Log-Dog Modeli

Log-dog modeline geri dönelim:

ln Yt = β1 + β2t + ut

Bu modelde β2 katsayısı, açıklayıcı degisken t ’deki mutlakbir degismeye karsılık Y ’deki göreli degisimi ölçmektedir:

β2 =∆ ln Y

∆t

Diger bir deyisle, β2 katsayısı Yt degiskenindeki büyümehızını (β2 > 1) ya da küçülme hızını (β2 < 1) vermektedir.

Bu nedenle, log-dog modellerine aynı zamanda “sabitbüyüme” (fixed growth) modelleri de denir.





Log-Dog Modeli

Reel GSYIÜ örnegine dönersek, log-dog modeline dayananbaglanım bulgularının asagıdaki gibi oldugunu görürüz:

ln GSYIÜt = 8,0139 + 0,02469 t r2= 0,9738öh (0,0114) (0,00956)

t (700,54) (25,8643)

Buna göre, 1972-1991 döneminde ABD’de reel GSYIÜyılda ortalama yüzde 2,469 büyümüstür.

Ayrıca, ln Y0 = 8,0139’un anti-logaritmasını alacak olursakbulacagımız 3022,7 degeri de 1972 basında GSYIÜ’nün3023 milyar dolar olarak tahmin edildigini gösterir.





Dogrusal Egilim Modeli

Arastırmacılar kimi zaman log-dog modeli yerine asagıdakimodeli tahmin ederler:

Yt = β1 + β2t + ut

ln Yt yerine Yt ’nin zamana göre baglanımının hesaplandıgıbu modele “dogrusal egilim” (linear trend) modeli denir.

Buradaki t , “egilim” (trend) degiskeni diye adlandırılır.

Eger β2 egim katsayısı artı çıkarsa Yt ’de zaman içinde birartıs egilimi, eksi çıkarsa da bir düsüs egilimi var demektir.






Reel GSYIÜ örnegine geri dönelim ve dogrusal egilim modelinitahmin edelim:

GSYIÜt = 2933,0538 + 97,6806 t r2= 0,9674öh (50,5913) (4,2233)

t (57,9754) (23,1291)

Buna göre, 1972-1991 döneminde ABD’de reel GSYIÜortalama olarak yılda yaklasık 97,68 milyar dolar mutlakbüyüme göstermistir.

Demek ki bu dönemde reel GSYIÜ’de artıs egilimi vardır.






Log-dog ve dogrusal egilim modellerine iliskin iki noktayıözellikle belirtmekte yarar vardır:

1 Iki modelin bagımlı degiskenleri farklı oldugu için bumodellerin r2 degerlerini karsılastırmak dogru degildir.

2 Bagımlı degiskenin zaman içinde degisiminin bu sekildeincelenmesi ancak zaman serisinin “duragan” (stationary)olması durumunda uygundur.

Duraganlık kavramı ileride zaman serileri ekonometrisi konusualtında incelenecektir.





Dog-Log Modeli

Eger X ’deki yüzde degisime karsılık Y ’deki mutlak degisimile ilgileniyorsak, buna uygun bir modeli söyle yazabiliriz:

Yi = β1 + β2 ln Xi + ui

Yukarıdaki modele “dog-log” (lin-log) modeli denir.Bu modelde β2 katsayısını kullanarak sunu gösterebiliriz:

β2 =∆Y

∆X/X⇒ ∆Y = β2(

∆XX

)

Böylece X ’deki 0,01 (yüzde 1) oranındaki göreli degismeyekarsı Y ’de β2 ×0,01 boyutunda mutlak degisme olmaktadır.Dolayısıyla, dog-log modellerin egim katsayısı β2’yi 0,01 ileçarptıgını söyleyebiliriz.





Dog-Log Modeli

Örnek olarak 1973-1987 yıllarında ABD’deki GSMH ve paraarzı verilerini kullanarak dog-log modelini tahmin edelim:

Yt = −16329,0 + 2584,8 ln Xt r2 = 0,9832t (−23,494) (27,549)p (0,0000) (0,0000)

2585 büyüklügündeki egim katsayısının anlamı, örneklemdöneminde para arzındaki yüzde 1’lik bir artısın GSMH’deortalama 25,85 milyar dolarlık artısa yol açmıs oldugudur.





Evrik Modeller

Asagıda gösterilen türden modellere evrik model denir:

Yi = β1 + β21Xi

+ ui

Yukarıdaki model, X degiskeni modele evrik girdiginden,X ’te dogrusal degildir ama β1 ve β2’de dogrusaldır.

Modelin bir özelligi de X sonsuza yaklasırken Y ’nin β1

“kavusmazsal” (asymptotic) degerine yakınsamasıdır.

Dolayısıyla, evrik modeller açıklayıcı degisken büyürkenbagımlı degiskenin de yaklastıgı bir limit veya kavusmazdegeri içerirler.

Evrik modellere örnek olarak Phillips egrisi ya da üretiminortalama sabit gider ile olan iliskisi verilebilir.





Evrik Modeller

Örnek olarak 1950-1966 dönemi için Ingiltere’de ücretlerdekiyüzde degisim (Y ) ile issizlik oranı (X ) verilerini evrik modeleyakıstıralım:

Yt = − 1,4282 + 8,2743 1/Xt r2 = 0,3849t (2,0675) (2,8478) F1,15 = 9,39

Buna göre ücret düsüs tabanı −1,43’tür.

Diger bir deyisle X sonsuza dogru büyürken ücretlerdekidüsüs yüzde 1,43’ten fazla olamaz.





Log-Evrik Modeller

Evrik modellerin bir türü olan “log-evrik” (log-reciprocal)modeller asagıdaki biçimi alır:

ln Yi = β1 − β21Xi

+ ui

Türev hesabı kullanılarak burada Y ’nin X ’e göre egimid/dX (ln Yi) = β2(1/X 2

i ) olarak bulunur.

Model çizim üzerinde incelendiginde de X artarken Y ’dekiartısın önce dısbükey ve daha sonra da içbükey görünümsergiledigi anlasılır.

Öyleyse böyle bir model, sermaye sabitken üretimin önceartarak arttıgı ve sonra da azalarak arttıgı üretim-isgücüiliskisini çözümlemede kullanılabilir.





Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi

Hata terimi içermeyen asagıdaki baglanım modeline bakalım:

Yi = β1Xβ2i

Bu modeli tahmin amacıyla üçfarklı sekilde yazabiliriz:

Yi = β1Xβ2i ui

Yi = β1Xβ2i eui

Yi = β1Xβ2i + ui

Iki yanlı logaritmalarını alırsakda sunları elde ederiz:

ln Yi = α + β2 ln Xi + ln ui

ln Yi = α + β2 ln Xi + ui

ln Yi = ln(β1Xβ2i + ui)

Buradaki α = ln β1’dir.Ilk iki model degistirgelerde dogrusalken, üçüncü modelinözünde dogrusal-dısı olduguna dikkat ediniz.





Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi

SEK’in EDYT özelliginin hatalarda sıfır ortalama ve sabitvaryans aradıgını anımsayalım.Ayrıca önsav sınaması için ui ’lerin normal dagılımlı oldugu,kısaca ui ∼ N(0, σ2) varsayılmaktadır.Buna göre, örnegimizdeki ikinci modeli kullanmak istersekln ui ∼ N(0, σ2) varsaymamız gereklidir.Ancak eger ln ui ∼ N(0, σ2) ise, ilk modeldeki ui de eσ2/2

ortalama, eσ2(eσ2

− 1) varyansla log-normal dagılımlı olur.Üçüncü model ise degistirgelerde dogrusal-dısı oldugu içinancak yinelemesel bir yöntem ile çözülebilir.Sonuç olarak, modeli baglanım için dönüstürürken hataterimine özel bir dikkat göstermek gereklidir.Hatalı dogrusallastırma, arzulanan istatistiksel özellikleritasımayan bir modele yol açabilir.





Islev Biçiminin Seçimi

Görgül çalısmalarda model seçiminin deneyim gerektirdigiaçıktır. Yardımcı olabilecek birkaç nokta sunlardır:

Bazı durumlarda iktisat kuramı belli bir islev biçiminigösterebilir veya öngörebilir.

Tahmin edilen katsayıların önsel beklentileri karsıladıgıdogrulanmalıdır.

Almasık modelleri karsılastırmak için egim ve esneklikkatsayılarını hesaplamak yardımcı olabilir.

Veri setine iki farklı model yakıstırıldıgında, eger bagımlıdegiskenler aynı ise r2 degerleri karsılastırılabilir.

Ancak iki modeli r2 temelinde karsılastırmak her zamanuygun degildir. Bunun bir nedeni, eklenen her açıklayıcıdegiskenin r2’yi yükseltecek olmasıdır.





Model Islev Biçimlerinin Özeti

Çizelge: Çesitli Islev Biçimlerinin Egim ve Esneklikleri

Model Islev Biçimi Egim ( dYdX ) Esneklik ( dY

dXXY )

Dogrusal Y = β1 + β2X β2 β2XY

Log-Log ln Y = β1 + β2 ln X β2(

YX

)β2

Log-Dog ln Y = β1 + β2X β2(Y ) β2(X)

Dog-Log Y = β1 + β2 ln X β2(

1X

)β2

(1Y

)

Evrik Y = β1 + β2(

1X

)−β2

(1

X 2

)−β2

(1

XY

)

Log-Evrik ln Y = β1 − β2(

1X

)β2

(YX 2

)β2

(1X

)





Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev

Ödev

Kitaptan Bölüm 6 “Extensions of the Two-Variable RegressionModel” okunacak.

Önümüzdeki Ders

Çoklu Baglanım Çözümlemesi: Tahmin Sorunu


Documents

ekonometri ders notları 7