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Guía de Ecuaciones e Inecuaciones lineales
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALACalidad, pertenencia y calidez
VIVERRECTORADO ACADÉMICO
PRIMER SEMESTRE 2015
GUIA DE MATEMÁTICAS
“El CLUB DE LAS ECUACIONES”
INTEGRANTES:
Gonzales Zarai
Guzmán Jefferson
Martínez David
Reyes Dayanara
ÁREA:
EDUCACIÓN COMERCIAL Y AFINES
ASIGNATURA:
Matemáticas
PARALELO:V02
MACHALA - EL ORO - ECUADOR
2015
PRESENTACION
El presente trabajo consiste en desarrollar de manera creativa y
divertida la unidad 5, sistema de ecuaciones e inecuaciones
lineales. Mediante la realización de esta guía se pretende facilitar al
estudiante el proceso de aprendizaje ya que es considerada como
una herramienta para el uso de este.
Teniendo como objetivo conseguir que los estudiantes apliquen los
conocimientos adquiridos, mediante una breve, pero clara
exposición de ejercicios varios, estudiados en el presente periodo
del curso de nivelación, logrando que al estudiantado le gusten las
matemáticas. Suprimiendo algunos mitos, como que las
matemáticas son complicadas.
Tabla de contenidoDESARROLLO DE LA GUIA..................................................................................................4
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA........................................................4
Resolución del ejercicio:...............................................................................................4
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS........................5
Resolución del ejercicio:...............................................................................................5
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS......................7
Resolución del ejercicio:...............................................................................................7
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA..................................................11
Resolución del ejercicio:.............................................................................................11
Conclusiones.........................................................................................................................14
Bibliografía.................................................................................................................................15
DESARROLLO DE LA GUIA
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número
desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para un
determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denomina ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades
algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a 1 que no se
escriben) (Profesor en linea, 2006)
Resolución del ejercicio:
Paso 1:
Encontrar mcm general
En este caso seria 24 porque es divisible para todos sus denominadores.
4 8 6
1 2 6 4
1 1 3 2
1 1 1 3
Mcm= 4x2x3 = 24
Paso 2:
Dividir el mcm para cada uno de los denominadores y luego multiplicar
por su numerado
Paso 3:
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos
independientes al otro lado de la igualdad
4
-9x - 8x = 12 – 6 – 6
Paso 4:
Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente
-17x = 0
X = 0/17
X = 0
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS.
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, es un sistema de
ecuaciones formados por solo dos ecuaciones que admite un tratamiento
particularmente simple, junto con el caso de una ecuación lineal con una sola
incógnita y que permite su resolución empleando técnicas básicas de algebra.
(Ricardo, 2012)
Resolución del ejercicio:
5x+2y=1
-3x+3y=5
Paso 1:
Seleccionamos el método a aplicar que en este caso es “Método de
sustitución” y lo aplicamos en una de las ecuaciones.
-3x+3y=5
3y= 5+3x
Paso 2:
5
Una vez que tenemos despejada la variable en este caso “Y”, procedemos a
reemplazar en una de las dos ecuaciones originales.
Paso 3: Resolver el paréntesis
Paso 4:
Encontrar el mcm general, que en este caso es el 3.
15x+10+6x: 3
Paso 5:
Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos
independientes al otro lado de la igualdad.
15x+6x: 3-10
Paso 6:
Resolvemos las operaciones indicadas
21x: -7
Paso 7:
Despejamos la variable x
Paso 8:
Una vez encnotrado el volor de x, lo remplazo en cualquiera de las 2 ecuaciones
principales.
6
Paso 9:
Resolvemos las operaciones indicadas
SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS.
Mientras de que las ecuaciones lineales de dos dimensiones, es decir con dos
incógnitas, representan rectas, las ecuaciones lineales con tres variables ax +
by + cz = d, representan planos en tres dimensiones. ( Creative Commons
Attribution Share-Alike, 2014)
Resolución del ejercicio:
2 x− y+2 z=6
3 x+2 y−z=4
4 x+3 y−3 z=1
Resolución por el método de reducciónPaso 1.
Seleccionamos dos ecuaciones para así poder reducir una
incógnita puede ser la 1 a con la 2a, la 2a con la 3a o la 1a con la
3a, en este caso haremos la 1 a con la 2a.
2 x− y+2 z=6
7
3 x+2 y−z=4
Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que
eliminaremos en este caso sería en Z, la segunda ecuación la multiplicamos
por (2) y así tendremos la igualdad.
2 x− y+2 z=6
6 x+4 y−2 z=8
En donde tendremos ya eliminada la variable Z y así creando la cuarta
ecuación.
8 x+3 y=14
Paso 2.
Seleccionamos otras dos ecuaciones para así poder reducir la
misma incógnita que eliminamos anteriormente incógnita puede
ser la 1a con la 3a o la 2a con la 3a, en este caso haremos la 2 a
con la 3a.
3 x+2 y−z=4
4 x+3 y−3 z=1
Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que
eliminaremos en este caso sería en Z, la primera ecuación la multiplicamos por
(3) y la segunda por (-1) así tendremos la igualdad.
9 x+6 y−3 z=12
−4 x−3 y+3 z=−1
En donde tendremos ya eliminada la variable Z y así creando la quinta
ecuación.
5 x+3 y=11
Paso 3.
Seleccionamos las dos ecuaciones que encontramos la 4 a y la 5a y
reducimos una incógnita.
8
8 x+3 y=14
5 x+3 y=11
Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que
eliminaremos en este caso sería en Y, la primera ecuación la multiplicamos por
(1) y la segunda por (-1) así tendremos la igualdad.
8 x+3 y=14
−5 x−3 y=−11
En donde ya eliminamos la variable Y, luego despejamos el valor de X y
tendremos su valor.
3 x=3
x=33𝑥=1
Paso 4.
Cuando ya tenemos el valor de la variable x, lo reemplazamos en
la 4a o 5a ecuación, para así encontrar el valor de Y, en este caso
reemplazamos en la 4 a ecuación.
8 x+3 y=14
8(1)+3 y=14
8+3 y=14
Despajamos Y, y los valores pasan al lado derecho con signo cambiado.
3 y=14−8
3 y=6
y=63𝑦=2
Paso 5.
Cuando ya tenemos el valor de la variable X e Y, lo reemplazamos
en cualquiera de las 3 ecuaciones principales para así poder
encontrar el valor de Z. en este caso reemplazaremos en la 1 a
ecuación.
9
2 x− y+2 z=6
2(1)−(2)+2 z=6
2−2+2 z=6
Despajamos Z, y los valores pasan al lado derecho con signo cambiado.
2 z=6−2+2
Reducir términos semejantes.
2 z=6
Despejar Z.
Z=62
z=3
Paso 6.
Ya encontrados los valores de:𝑥=1𝑦=2
z=3
Paso 7.
Cuando ya tenemos el valor de la variable X, Y e Z lo
reemplazamos en cualquiera de las 3 ecuaciones principales para
así poder hacer la comprobación si es necesaria. En este caso
reemplazaremos en la 3 a ecuación.
4 x+3 y−3 z=1
4 (1 )+3 (2 )−3(3)=1
4+6−9=1
10−9=1
1=1
Como nos da una igualdad de 1=1 están correctos los valores de cada
incógnita.
INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.
10
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellas que pueden
ponerse en la forma ax + b < 0, siendo a y b numero reales y a ≠ 0. Puede ser
cualquier otra desigualdad: > <, ≥ o ≤, si fuese a = 0 entonces nos quedaría la
desigualdad numérica b < 0 que sería siempre cierta o siempre falsa según
fuese el signo de b. (Muñoz, 2006)
Resolución del ejercicio:
X−1−3
+ 15≤X2
−3
PASO 1:
Para resolver la inecuación lineal con 1 incógnita se debe encontrar el mcm de
sus denominadores
X−1−3
+ 15≤X2
−3 mcm: 30
PASO 2:
Se divide el mcm para cada uno de sus denominadores y luego se los
multiplica por cada uno de los numeradores.
10 (x – 1) + 6(1) ≤ 15(x) – 3(30
10x – 10 + 6 ≤ 15x – 90
PASO 3:
Pasar todos los números que contienen x al lado izquierdo y los números
enteros al lado derecho con signo cambiado, se reduce términos semejantes y
se despeja la variable x.
10x - 10 + 6 – 15x + 90 ≤ 0
-5x + 86 ≤ 0
11
X ≤ −86−5
X= 17.2
PASO 4:
Se representa en números enteros el valor de x, y cuando ya esté graficado
dicho valor en la recta, seleccionamos 2 valores (mayor o menor) del valor ya
antes mencionado.
PASO 5:
Con cada uno de los supuestos valores seleccionados se remplaza en la reducción de
la inecuación original, para determinar si es verdadera o falsa.
1. -5x + 86 ≤ 0
-5 (16) + 86 ≤ 0
- 80 + 86 ≤ 0
+ 6 ≤ 0 ( f )
2. -5x + 86 ≤ 0
-5 (18) + 86 ≤ 0
- 90 + 86 ≤ 0
- 4 ≤ 0 ( v )
12
PASO 6:
Graficar en la recta numérica el resultado verdadero hallado con los posibles
números con los que se podría dar la solución a la inecuación, y como punto
final se escribe la inecuación, tomando en cuenta que siempre se leerá de
izquierda a derecha.
[−86−5,+∞]
13
Conclusiones
En conclusión las ecuaciones e inecuaciones lineales son muy importantes
porque nos facilitan encontrar el valor de la incógnita
Los métodos de reducción, sustitución e igualación son un mecanismo que
nos ayudan a la resolución de las ecuaciones
Esta guía nos permite conocer la resolución de ejercicios que se
encuentran con una o más incógnitas según sea el caso de forma detallada
explicando paso a paso la resolución de cada ejercicio de ecuaciones e
inecuaciones ayudando a comprender con mayor facilidad.
14
BibliografíaCreative Commons Attribution Share-Alike. (17 de junio de 2014). Interpretacion de Soluciones.
Obtenido de Interpretacion de Soluciones: http://interpretacion-de-soluciones.wikispaces.com/SISTEMAS+DE+ECUACIONES+CON+TRES+INCOGNITAS
Muñoz, J. J. (13 de Mayo de 2006). Proyecto Descartes. Obtenido de Proyecto Descartes: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/inec_sist_inec/inecu2.htm
Profesor en linea. (23 de Abril de 2006). Profesor en linea. Obtenido de Profesor en linea: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html
Ricardo, A. (12 de Enero de 2012). Profaamarelys. Obtenido de Profaamarelys: http://profaamarelys.blogspot.com/2012/01/definicion-de-sistemas-de-ecuaciones.html
15