El concepto de función (primera aproximación)

Como veremos una función esuna ley de asociación entre los elementos de 2 conjuntos.

Antes de profundizar en este concepto, será necesario adquirir algunas nociones sobre lenguaje básico que, posteriormente, nos servirá para concretar una definición formal para función matemática.

1) Definición 1:

Es cualquier tipo de asociaciónentre los elementos de 2 conjuntos …

… conjuntos iguales entre sí odistintos.

Para comprender el trasfondoconceptual de la definiciónanterior, utilizamos un tipo de gráfica muy básica denominada:DIAGRAMA SAGITAL, veamos …

A B

Relación: Es cualquier tipo de asociación entre los elementos de 2

conjuntos, por ejemplo, un conjunto, A (inicial), al que denominamos

CONJUNTO DE PARTIDA.y un conjunto, B (final) ), al que denominamos CONJUNTO DE

LEGADA.

A B

Según se dijo, estos conjuntos pueden ser iguales entre sí …

(conjuntos iguales son aquellos que tienen los mismos elementos)

= A

A B

O, en el caso más general, pueden ser, conjuntos distintos(dos conjuntos son distintos entre si al menos se

diferencianen un único elemento o por supuesto en todos sus

elementos)

= A A nota: A está formado por { rectángulo, óvalo, estrella }

B está formado por { óvalo cruzado, óvalo, cruz }

A A B

Pero para que esta representación cumpla con la definición de

relación, es necesario que exista una vinculación entre los elementos de ambos conjuntos.

A A B

En este tipo de diagramas (diagramas sagitales), tal vinculación,

criterio de asociación o ley de formación (diferentes locuciones

para referirnos al mismo concepto: vinculación), se define mediante

flechas que parten en todos, uno o algunos de los elementos del

conjunto de partida y finalizan en todos, uno o algunos de los

elementos del conjunto de llegada, sin restricciones, es decir, la

vinculación puede ser de cualquier manera imaginable …

A A B

Para una relación matemática, específica, no hay criterios de

restricción en la forma en que la vinculación puede ser definida,

veamos ...

A B

Esta es una relación matemática, ya que hay dos conjuntos, uno de

partida, otro de llegada y una vinculación entre sus elementos.

R

A B

Para referirnos a una relación en particular, como la actual, siempre debemos mencionar, el nombre bajo el cual nos

referiremos a ella (las relaciones se nombran con una letra, en este caso yo escogí llamarle relación R), el nombre de los conjuntos participantes, primero el del conjunto de partida, luego el del conjunto de llegada y finalmente, especificar cómo se vincularán

los elementos de estos conjuntos, por ejemplo, con respecto a la relación actual, decimos …

R

A B

Esta es la relación R,

R

1) Nombre de la relación,2) especificación de los conjuntos de definición,

definida de A en B

3) especificación la ley de formación.

, tal que:rectángulo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo y óvalo cruzado (en el conjunto de llegada).

óvalo (en el conjunto de partida) está asociado con óvalo cruzado y óvalo

(en el conjunto de llegada).

estrella ( en el conjunto de partida) está asociado a ningún elemento del

conjunto de llegada; lo mismo que cruz en B.

2) Simbología y designaciones(nombres).

2.a) A cualquiera sea un elemento del conjunto de llegada se le

simboliza con una letra minúscula cualquiera. Por tradición es

común utilizar la letra minúscula “y”. En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para

referirnos a esta condición escribimos:y BSe lee: “y” es un elemento (cualquiera) de B.

2) Simbología y designaciones(nombres).

2.b) A cualquiera sea un elemento del conjunto de partida se le

simboliza con una letra minúscula cualquiera (sólo por facilitar

las cosas, habitualmente, distinta de la que se ha elegido para

representara los elementos del conjunto de llegada, pero a

veces incluso puede ser utilizada la misma letra, sobre todo

cuando A y B son conjuntos idénticos), por tradición es común utilizar la letra minúscula “x”

En síntesis, si acordamos utilizar la letra de tradición, para

referirnos a esta condición escribimos:

x ASe lee: “x” es un elemento (cualquiera) de A.

Respecto de los elementos y, puedes notar que, en el caso

más general, no todos ellos tendrán, necesariamente, algún

asociado en el conjunto de las “x” (conjunto de partida) y

recíprocamente, no todo “x” de A, tendrá, necesariamente,

algún asociado en B. Este hecho es la base para las siguientes

definiciones.

A BR

2.c) Imagen, valor dependiente o valor de la relación: Es

cualquier elemento del conjunto de llegada que cumpla con la

condición de tener algún asociado en A.

A BR

Nota que al decir “algún asociado” estamos considerando

indistintamente el caso en que este asociado pueda ser único o

más de uno solo.

En el caso de nuestro ejemplo son valores de la relación R, es

decir son imágenes, los elementos:

A BR

óvalo cruzado y óvalo, ya que

1) Son elementos de B y 2) tienen algún asociado en A.

Para simbolizar, en forma general, a una cualquiera de las

imágenes de una relación, se escribe la letra del nombre de la

relación, seguida de un paréntesis y dentro de este paréntesis

la letra que hemos escogido para representar a un elemento

cualquiera de A, en este caso particular la letra “x”, por

ejemplo:

óvalo cruzado y óvalo

son en general una R(x) es decir, son en general una imagen de la relación R,

asociadas con algún x de A. luego R(x) es un símbolo que

se lee como: “ imagen de la

relación R, asociada con algún

x de A ”.

Otra lectura para R(x) es“erre de x”, pero a la horade un análisis es más

efectivotener en cuenta el primer

tipode lectura, a la cual, por

esta razón llamo lectura

inteligente de R(x).

El elemento, , cruz, en cambio, es un “y” de B, pero

no una R(x). pero no una “ imagen asociada con algún x de A ”

2.d) Argumento, preimagen o valor independiente de una

relación: Es cualquier elemento del conjunto de partidaque cumpla con la condición de tener algún asociado

en B.

En el caso de nuestro ejemplo son argumentos de la relación R,

es decir, valores independientes o preimágenes de R, los

elementos:

1) Son elementos de A y 2) tienen algún asociado en B.

rectángulo y óvalo, ya que:

rectángulo y óvalo, son “x” de A

y al mismo tiempo argumentos de R.

estrella es otro “x” de A, pero no un argumento de

R.

Para simbolizar, en forma particular, a una imagen específica

con su argumento específico escribimos:El nombre de la relación, seguida de un paréntesis

dentro del cual ubicamos al argumento específico y todo esto

igualado a la imagen específica para ese argumento, por ejemplo:R( ) =

La imagen de la relación R,

asociada al argumento rectángulo es …

óvalo cruzado

R( ) =

y además es también …óvalo

2.e) Recorrido de una relación o conjunto imagen:

Es el conjunto de todos las imágenes de una relación,

al cual se denota como: Rec(nombre de la relación)En este caso particular, el Recorrido de

la relación R es:

Rec(R) = { , }

Rec(R)

2.f) Dominio de una relación o conjunto argumento:

Es el conjunto de todos los argumentos de una relación,

al cual se denota como: Dom(nombre de la relación)En este caso particular, el dominio de

la relación R es:

Dom(R) = { , }

Dom(R)

Nota: Es importante no confundir los conceptos de

imagen v/s Recorrido.

y

argumento v/s Dominio.

Recorrido y Dominio aluden a conjuntos, es decir a la totalidad

de ciertos elementos.

Imagen y argumento aluden a uno solo de los elementos de los

conjuntos anteriores o a todos ellos, pero en este último caso

siempre considerados individualmente, es decir de uno en uno.

Si has aprendido el lenguaje anterior, estarás listo para

comprender el concepto de función.

El concepto de función (primera aproximación)

Es …

Una ley especial …

… una regla especial …

…¿ De qué?

… De asociación,

de asignación,de vinculación …}Sinónimos

… entre los elementos de 2conjuntos

A B

… iguales …

= A

o …

distintos …… entre los elementos de 2conjuntos

A

… iguales …o …

= AB

Por lo anterior una función es un caso

particular, especial de relación.

(hasta ahora se ve que tanto una función como una relación, se

definende un mismo modo)

¿Por qué es una asociación (relación) especial ?

BA

R: Porque debe cumplir 2condiciones …

BA

BA

C1: Cada (todo) elemento de A debe tener un asociado en B

BA

C2: éste asociado es único para él.

BA

Síntesis: Para todo elemento deA hay un único asociado en B

A B

Contra ejemplos

¿Es o no es? función …

A B

Contra ejemplos

No, porque no cumple C1.

Contra ejemplos

¿Es o no es? función …

A B

Contra ejemplos

No, porque no cumple C2

A B

¿Es o no es?

BA

Sí lo es, pues la definiciónde función fija condicionessólo a los elementos de A.

función …

A B

1

2

¿Es o no es?No lo es.

función …

A

3

2

B

¿Es o no es? función …No es posible saberlo, pues la definición de funciónrequiere examinar la vinculación a partir de los elementos de A.

A

3

2

B

¿Es o no es?En el caso particular de estalámina …

función …Sí, lo es.

Denominaciones y simbolismos

Las funciones (como las relaciones) se nombran conletras escogidas a voluntad,por ejemplo …

A B1

2

g

A B1

2

f

Se trata de la función g (“ge”)

Se trata de la función f (“efe”)

A B1

2

Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto A (conjunto de partida) se representan por una letra minúscula, en general “x”, pero esto podría variar según sea la convención establecida.

1 es un x, de A

es otro x de A

2 es otro x de A

g

A B1

2

Sea o no que la relación analizada corresponda a una función, los elementos del conjunto B (conjunto de llegada) se representan por una letra minúscula, en general “y” pero esto podría variar según sea la convención establecida, naturalmente, la única restricción será elegir una letra distinta a la elegida para los elementos de A (esto evitará confusiones innecesarias).

es otro y de B

es un y,

de B

es otro y

de B

g

A B

-12

h

0 -3

45 223

Si, la función EXISTE, entoncesal conjunto A se le denominaDominio de la función (o conjuntoargumento)

A B

-12

h

0 -3

45 223

Un dominio funcional existe si y solo sí la ley de formación existe sobre todos los elementos de A y es UN CONJUNTO DE OBJETOS,(no confundir el concepto de conjunto con el de elemento)

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2

De lo contrario será el dominio de una simple relación,no el dominio de una función.

A B

-12

h

0 -3

45 223

Si, la función EXISTE, entoncesaquel conjunto formado por las yde B que son, además, asociados de las x de A, se denomina recorrido de la función o conjunto Imagen de ella.

Rec(h)-3

4523

A B

-12

h

0

2

El recorrido de una funciónes un conjunto (no confundir el concepto

de conjunto con el de elemento), aquel formadopor todos las y de B que son, además, asociados de algún x en A.

Rec(h)-3

4523

De lo contrario será el recorrido de una simple relación,no el recorrido de una función.

A B

-12

h

0 -3

45 223

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

-3

4523

A B

-12

h

0 -3

45 223

Cada x del dominose llamaargumento o pre imagen de lafunción.

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

-3

4523

A B

-12

h

0 -3

45 223

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2

Cada y del recorrido se llama imogen de la función.

-3

4523

A B

-12

h

0 -3

45 223

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2Todo y es un elemento de B, pero sólo algunosde estos y son,también, imágenes.

-3

4523

A B

-12

h

0 -3

45 223

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2 Sólo a estas y, especiales, se les representa en formagenérica por el nombre de la función y una x dentro de un paréntesis: h(x)

-3

4523

A B

-12

h

0 -3

45 223

Rec(h) = {-3, , 2 , 4 } 23

Dom(h) = {-1, -, 0 , }2Cualquiera de estoselementos** es, genéricamente, un h(x).

Es un y, pero no es un h(x).

-3

4523

**(no confundir el concepto de elemento con el concepto de conjunto)

Todas las y, son elementos del conjuntode llegada, pero …

A Bh

x y

… sólo para algunas de estas y tendrásentido la escritura genérica …:

y

Todas las y, son elementos del conjuntode llegada, pero …

A h

x y

y

… sólo para algunas de estas y tendrásentido la escritura genérica …:

y = h(x)

y = h(x)

= h(x)

y = h(x)

B

A B

-12

h

0 -3

45 223

En particular …

Es una h(x), llamadah(-1)

Es una “imagen de x”, llamada “imagen de -1”

Es un h(x), llamadoh( )2Es una

“imagen de x”, llamada “imagen de raíz cuadradade 2”.

A B

-12

h

0 -3

45 223

Recíprocamente …Es el argumento ,x, dela “imagen de x”

Es el argumento ,-1, dela “imagen de -1”

-1 es el argumento de4, etc.

Control 1 de funciones.

1) Para cada una de las proposicionessiguientes reemplace el signo de interrogacióncon el concepto que debe corresponderse.

Si no existiese tal concepto explique a quése debe.

2) Responda a otras interrogantes planteadasen el momento pertinente.

-3-8

916

-3-8

916

A Af

-44-8

916

-33-8

919

B Cg g(-44) = ?

Qué elementos y,no son g(x)?

g(9) = ?g(?) = -8g(3) = ?

f(?) = -3f(?) = 9f(16) = -?f(-3) = ?

Qué elementos y,no son del Rec(f)?

g(?) = 9

1)

2)

-35

-612

83

912

A Bh

Respecto de h cuáles son los argumentos de: 3, h(-3), -6,9, h(5), 8 ?

Respecto de h cuáles son las imágenes de: 12, h(-3), 5,-6 ?

3 -9

3)

x1x2

x4x5

y1y2

y4y5

A Bh

x3 y3

4)

z1z2

z4z5

z3

CI

Dom(I)=?

Dom(h)=?

h (x1)=?

I (h(x3))=?

I (h(?))=z5

h(?)=z1

h(?)=y5

I (?)=z5

I (h( x4 ))=?

I (y5)=?

Rec(I)=?

Rec(h)=?

Representación cartesiana de funciones: