el fortoplano al finitaj elementoj

el

fortoplano al

finitaj elementoj

Bazo

Kibernetika vidpunktoLa vojo estas celoSen forto nenia shanghoLaboro de fortoResuma kuplografo

Klasikaj NEWTON-leghojMekanikaj unuojMekanikaj taskoj

Versio 03

Mekanika vidpunktoRigida korpo kun ligilojInternaj fortojRisorto-modeloInternaj strechojBazaj rilatojPrincipo de reciprokecoLigiloj

Konstrukcio statike determinitaKonstrukcio statike nedeterminita

Lau kibernetika vidpunkto,lernanto devas chiam esti konscia pri sia lernstato.

Li/shi devas koni sian estantan instrusituacion, trapasitan vojon, kaj aktualan manieron gvidantan al celo.

Tiaj demandoj ekestas dum lernado en la retrokuplada brancho de pensado, kiu kunligas reflektan pensadon pri nuna lern-situacio Li kaj samtempe aktivigas

koncepton por proksima decido.

En kibernetika didaktiko la lernenhavo estas precize ordigita je elementoj kaj operatoroj. Chiuj rilatoj inter elementoj estas notitaj helpe de grafteorio. Tiamaniere oni povas grafike ekspliki reton da relacioj t.e. strukturon de pritraktata sistemo.

Kaj transsendi informojn en konata strukturo estas kompreneble la plej alta celo de komunikado.

Prezentata metodo ebligas bildigi la tradician verbalismon, eviti erarojn en informkanalo.

aro da operatoroj L0 L1

lernsistemo

estanta stato

aplikita operatoro

estonta stato

aplikota operatoro

Kien iri ?

Kiamaniere ?

Kie mi estas ?

De kie mi venis ?

kibernetika vidpunkto

Noto: Chi tiu traktato estu instigo por alia pensadmaniero pri konstruteorioj.Ghi estas lernhelpilo, kiu povas esti aplikata kiel gvidilo dum instruado. Ghi estas unua provo kompili tutan konstru-statikon rilate al ghia strukturo kaj per tio prepari unuigitan, ordigitan kaj kondensitan, facile aplikeblan sciencan bazon. Variaj problemoj je tiu vojo povos esti rapide solvotaj helpe de kunlaboremajinstruistoj kaj uzantoj de mekaniko.Mi dankeme atendas Vian opinion au proponon!

Autoro

Enkonduko al kibernetika pritrakto

Surbaze de spertoj oni rajtas konkludi, ke chiu obiekto provas konservi sian staton kaj shanghighas nur sub influo de ia kauzo. Ia “forto” kauzas, ke la elementa ero transformighas unuan fojon kaj ekestas du statoj: interna kaj eksterna flanko – simbole dirite, kun plej granda respekto al tradiciaj pensad-sukcesoj - la Jin- kaj Jang-stato.

Grafike dirite, la bazajn du statojn oni povas demonstri en multaj grafikaj au verbaj au fizikaj formoj.Ekestis el unuismo la dualismo. Unuismo estas infinite senmova stato kaj ne taugas en teknikaj agadoj. Dualismo estas jam movebla stato, tauga al transformoj priskribeblaj per siaj statoj dum trapaso de tempo. Au eble shanghoj de statoj elvokas la tempon, kiel komuna eco de transformadoj? Tio ne gravas. Por ni estas nur grave ekvidi, ke la tempo estas baza parametro de transformoj.

La dualismo difinita en harmonia unueco lau antikva rekono de china filozofo simbolas la simbolo Jin-Jang. La baza ideo de tiu simbolo ne shanghas, se ni transormighos ghin al iu ajn obiekto kun du vizaghoj – ekzemple ebeno en spaco, kiun oni povas rigardi el du variaj direktoj (el supren kaj malsupren). Pli konkreta modelo estus monero kun siaj du flankoj (averso kaj reverso).

kauzo elemento

+ -

sentempa


Nuntempe jam chiu obiekto posedas sian Jin- kaj Jang-aspekton. Ambau aspektoj estas ne la samaj sed komplementaj. Tiu ekkono permesas pli precise studi kaj konatighi kun la varaj aspektoj, iliaj radiadoj kaj influoj al aliaj obiektoj.

Pritrakti la obiektojn el ambau flankoj estas grava ekzerco kaj scienca vojo de homa intelekto.Unue oni devas serchi kaj difini la rilatojn inter la Jin- kaj Jang-aspektoj. Imagu, ke vi estas nur dudimensia estajho kaj volus trairi la limon inter Jin kaj Jang. Tiu limo – la simpla linio sur ebeno ne estus trapasebla. La pasanto devus trapasi limon, farante pashon el nigra al blanka parto, tra la tria dimensio super la linio. La pasanto ankau ne povus viziti la dorsan flankon de ebeno sen transiri la ebeno-bordon tra la tria dimensio. Sed oni povas imagi situacion, ke la homo-mikrobo povus viziti ambau flankoj de Jin-Jang-mondo sen bezono de transiro de bordo. Tian modelon ni povas sperti – t.e. viziti ambau flankojn de ebeno sen trapaso de bordo - per la banto de Moebius. Tiu modelo ekestos se oni tordigas la ebenon en spaco. Tian komfortan eblecon pritrakti la obiekton el Jin-Jang-flankoj ni devus serchi, lerni kaj praktiki en chiu situacio, por pli profunde kompreni la kompleksecon de chiu obiekto en la naturo. Au, certe oni povas imagi ankau (momente ekzakte nekonataj) tridimensiaj Jin-Jang modeloj – (JJ)3, en kiu oni devas pritrakti ne 2 sed 3 sendependaj statoj kun 23 eblaj situacioj. La modelo de tia teorio estus iu Moebius-spaco, tordigita 3-dim-spaco tra 4-dim-spaco. Sed shajnas, ke oni ne bezonas eniri al 4-dim-spaco. Ni povas ankorau sufiche bone klarigi la rilatojn helpe de elementa dualisma teorio – nur la priskritataj strukturoj estos pro tio pli longaj kaj pli komplikaj. Komparu ekzemple logiko-teoriojn (duvalora, multvalora, akra, malakra) kaj komputadsistemojn (binara, decimala nombrosistemoj)

La bordoproblemo

kaj ghia solvo

+ +


funk

cioj

de

tem

po

Ne sufichas pro sciencisto paroladi pri la unueco. Oni devas scii kiamaniere tiu unueco estighis kaj dauras surbaze se siaj multnombraj elementoj. Do, estas necese ekkoni en procezo de lernado la elementojn kaj la obiekto-strukturon, kiu faras harmonion inter elementoj.

Por sciencaj celoj ni splitu la belan unuecon de Jin-Jang. Do, ekestitaj spliteroj -Jin- kaj -Jang- radiadas proprajn ecojn kaj interferencas kun aliaj spliteroj. Inter la spliteroj ekestos rilatoj, kiujn ni priskribos depende de tempo kaj aliaj cirkonstancoj. Chefaganto en tiu modelo estas la tempo, kiu formigas la rilatojn. Sen tempo ni povus nur pritrakti la komencan staton de Jin-Jang, la saman en chiu momento, neshanghebla al infino. La Jin-Jang simbolo estu plue la unuec-simbolo por eterne valida sistem-komplekso.

Por dinamika esplorado de aspektoj en nunaj pli rapidaj vivo-cirkonstancoj ni bezonas ankau dinamikan Jin-Jang-modelon, en kiu oni povas bildigi la agantojn:

tempo, forto, rezisto

kaj la rilaton: kauzo-efiko.

rilatoj

proprecoj proprecoj


La vojo estas celo

La homo posedas ghis nun la plej richajn spertojn pri sia mekanika chirkauajho.La spertoj de mikro- kaj makrokosmoso estas nur atingeblaj pere de helpmodeloj.La leghoj, regantaj en naturo estas lau niaj scioj la samaj en chiu kazo. Do, estu nia celo ekkoni la leghojn de kunekzisto en naturo de tiom variaj elementoj kaj rilatoj inter ili, unuvorte - la strukturon.

Dum jarcentoj akumulighis multaj scienceroj kiuj atendas hodiau al kompleksa prilaboro, koncentrigho kaj strukturigo. La metodo estas la kibernetika pensado, kiu strukturigas la elementojn kaj rilatojn inter ili. Chu vi ankau rememoras – kiel profesoro de mekaniko klarigis, kiun valoron oni devas substituti en tiun ekvacion por ricevi deziratan rezulton? Mi neniam audis kial nur tia vojo estas korekta. Mankis en prelegoj la strukturo de tuteco, pro tio oni ne povis sekvi la vojon, kompari la trakuron kaj organizadon de obiektoj. Finfine la instruad-komunikado estis malfacila, la komprenebleco malalta. Hodiau ni scias: necesa estas kibernetika pensado, kiu bazighas je meditativa kaj koncepta pensado.

Ni pritraktu tiun kibernetikan metodon sur modelo de mekaniko, konforme al grafoteoriaj nocioj kaj reguloj.

Kuplogramo - grafajho de nocioj kaj rilatoj


Sen forto nenia shangho

diris Newton. Do, la forto estas kauzo de chiu shangho. Se la forto agas al iu korpo, tiam ghi intencas kauzi, ke la korpo shanghighu (shanghu sian lokon au formon). Se oni povas observi kaj mezuri la shanghon de korpo (ekzemple ghian vojon) kaj la agantan forton, tiam ni povas jam esprimi la rilaton inter kauzo - la forto kaj ghia efiko – vojo. Au, se vi volas – reciprokan rilaton inter efiko (vojo) kaj kauzo (forto). Ni rimarku, ke la forto povas esti mekanika au elektrika, magnetika ktp. La korpo povas esti mekanika punkto au elektrono, la efikoj ankau komplementaj al speco de kauzo. Ekestas nun la chefa problemo: kiamaniere mezuri kaj kalkuli la grandecojn de kauzoj kaj efikoj. Ekzemple en mekaniko ni povus multmaniere mezuri la fortojn kaj vojojn. Ekzistas aparta scienco de mezurado en mikro- kaj makrokosmo. chi tie ni apliku nur la unuojn de internacia mezursistemo SI.

Oni povas mezuri au kalkuli la mekanikan vojon (efiko), kiun kauzas la mekanika forto (kauzo) kaj difini rilatojn:

s = D.F au F = d.s = s /D

oni nomu :D – rezisteco (eco de korpo rilate al kauzo)d = 1/D – flekseco (eco de korpo rilate al efiko)

Parametron D ni prikalulos/mezuros se oni enkondukos F = 1 (je unueco da forto)Sur tiu bazo ni agordighas, ke la grandoj (s, F) interrilatas proporcie. Ni devas konscii, ke tia proporcia rilato ne chiamvalidas.

konata (mezurita) grando

nekonata (serchata) grando

puto

celo

forto

d

Fs Dvojo

kauzoefiko

kauzo-efiko-rilatoj

en tempo-spaco

Oni diras, ke tia teorio estas de unua rango. En teorio de dua rango jam ne ekzistas simpla proporcio inter kauzo kaj efiko.


nodo pritraktata grando

Laboro de forto

Se forto kauzis delokighon (efiko), tiam unuvorte ekestis – laboro. Klare, sen efiko - nenia laboro!La nocion laboro enkondukis unuafoje Ponselet en 1926. Se konstanta forto F agis dum tuta vojo s, tiam ni mezuru faritan laboron simple per ghia skalara produto:

L = Fs.cos(F,s) = Fss = FsF = Ff = skalarokie: sF = f estas komponanta delokigho lau forto-direkto, Fs estas komponanta forto lau delokigha direkto.

Atenton! Paron (F,f) oni pritaktu kiel kuplitajn grandojn. Ghi gvidas gravan rolon en konstru-mekaniko.

Derivajhoj de vojo kaj forto lau tempo

Observu la vojon kiun trapasas la (korpo)punkto dum la tempo. Oni povas prikalkuli la vojon kiun trapasas la punkto dum tempo (t) , ekz. dum unu minuto au sekundo. Tiamaniere ni trovos la rapidon (v) de punkto. Ni ricevos

v = s/t au se vi preferas: v = ds/dt = s’

Plua observado montras, ke la rapido ankau povas shanghighi dum tempo, kaj tio priskribas la akcelon (a) de punkto. Ni kalkulu

a = v/t au: a = dv/dt = d2s/dt2 = v’ = s’’

I = F.t au: I = Fdt Simile la derivajho de forto lau tempo gvidas al nocio de impulso (I) au fortopusho:

I = F.t au: I = Fdt

Fs D

L

d

vs1/t

vs ,au

,1/t

v

a

v

a

au

FIt


F

s

Fs

f = sF

- skalara produto

Fizika rilato

Malsube estas priskribitaj la geometria flanko (variaj vojoj kaj ghiaj derivajhoj) kaj statika flanko (variaj forto-specoj agantaj kaj impulso). Ambau flankoj kunligitaj estas pere la fizika rilato, kiu enhavas la specifikan fizikan econ de la pritraktata movo-problemo. En kazo de movo de masopunkto la kvanto da movo estas la produkto de maso kaj rapido:

I = m.v

Internaj grandoj (v, I)

Oni povas konstati, ke la derivitaj grandoj v kaj I eksplikas internan energion, kies grando estas:

E = I.v au: E = I.v dv = ½mv2 = ½Fs2

Energia principo

Estas principo, ke la ekstera laboro egalas al interna energio.L = E

Tiu principo legebla estas sur resuma kuplografo.

mv I

E

(½)

mv I


Resuma kuplografokunligas chiujn partajn rilatojn priparolataj malsube. ghi prezentas strukturon de pritraktata problemo (chi tie mekaniko de masopunkto) kaj servas kiel modelo kaj gvidilo en solvado de chiuj mekanikaj problemoj. Helpe de tiu kuplografo oni povas fari pluajn kalulojn lau reguloj de grafo-teorio.

s v I F

a

m

m

1/s 1/s

1/s

1/(s.s)

s (sekundo) m (kg da maso) m (metro)

SI-unuoj

geometria flanko

stat

ika fl

anko

fizika flanko

L / E

, ,

,, ,

2

korpo A

B

3

1 se F = 0 tiam a = 0

varmo

B

ma

m‘a‘


, simbolas derivajhon lau tempo

Termodinamika rimarko Energio estas nedetruebla! Energio ne povas perdighi, nur shanghi sian formon!Simpla ekkono, sed tre utila en la praktika prikalkulado.Rimarko: Dum shangho de energio ekestas chiam iu kvanto da varmo (V), kiu trafluas el la pli varma loko al malpli varma, lau principo de termodinamiko, do ghuste:

E = L + V

En la ordogramo ni notis tiun efekton.

A) Klasikaj NEWTON-aksiomoj

La klasika mekaniko bazighas je 3 aksiomoj formulitaj de I. Newton:

Se ΣF = 0, tiam v = konst. (escepte v = 0) ,

F = ma ,

akcio = reakcio (m1a1 + m2a2 = 0 )

Ili estas facile legeblaj el resuma kuplografo.


B) Mekanikaj unuoj derivitaj lau SISurbaze de resuma ordogramo oni povas prikalkuli chiujn necesajn mezurunuojn de mekanika sistemo. Oni devas nur elekti la bazajn unuojn por longo maso kaj tempo. Tiu elekto estas lauvola se oni intencas mezuri kaj kalkuli por si mem. Se oni volas internacie komuniki, tiam la mezuroj kaj kalkuloj devas bazighi je komune agnoskitaj unuo-sistemo. Tia unuo-sistemo ekzistas kaj nomighas SI. Lau tiu sistemo la bazaj unuoj estas: metro, sekundo kaj maso-kilogramo. Difinoj de mekanikaj unuoj prezentita estas per suba kuplografo. Praktika uzado de unuoj (simboloj, prefiksoj) devas detale kongrui kun nacia normo.


s v I F[m]

longo maso

[kg]

tempo

S-1

[ms-1] [kgms-1]S-1

[kgms-2]1 Njuteno

aS-2 kg

S-1

varmo

[kgm2s-2] = 1 Julo = [J] [Nm] = [W] = 1 vato = 1 Js-1 = varmofluo

Germana normo: DIN 1301-1

vojo

rap

ido

Imp

eto

forto

lab

oro

en

erg

io

akc

elo Atenton: Nm - Njuteno-metro

mN - mili-Njuteno kN - kilo-Njuteno kgm - kilo-gramo-metroerare mkg - mili-kilo-gramo mg - mili-gramo

[ms-2]

C) Mekanika tasko El alteco h = 100 m eljhetita estas horizonten korpo de pezo 5 N kun rapido v0 =10 m/s .

Prikalkulu kiom da energio ghi posedos en momento de trafo teron.

SolvoNi notu unue la taskon sur ordogramo.1) La korpo trapasos vertikalan vojon s da h=100 m kauze de ghia pezo F, pro tio ghi faros laboron L2) La korpo ricevis komencan rapidon v0 = 10 m/s, do ghi posedas

kinetikan energion W 3) Solvo de tasko signifas, ke chiuj necesaj nodoj kaj branchoj de ordogramo ekestis prikalkulitaj.4) F=mg, m = F/g E = L + W = Fh + v0

.I/2 = Fh + v0.m.v0/2 =Fh + F.v0

2/(2g)

E = 5.100 + 5.102/(2.9,81) = 525,48 J

E=?

h FI=?v0

100 m 10 m/s 5 N

g=9,81 m/s2

m

mF=5 N


D) Vojo de elektrono en bildtubo

Bildtuba katodo pafas elektronon, kiu elkuras el truo A kun rapido v.La elektrono kurus je rekta linio ghis punkto B de tuba vitro, sed ghi trakuras sur longeco s=8 cm la elektrikan kampon, kie la elektrika forto ghin akcele deflankigas, pro tio ghi trafas punkton C. Prikalkulu la deflankigon BC se katodo posedas tension U = 2000 V, kaj elektrika kampointenseco E = 200 V

SolvoRimarko: La deflankigo de elektrono dependas ankau de la komenca rapido. Ju malpli rapida estas la elektrono en la elektra kampo tiam pli granda estos ghia deflankigo y=(BC).

1) Dum eljheto de elektrono ekestis laboro e.U, kiu egalas al kinetika energio de elektrono, do el tiu relacio prikalkulu la rapidon de elektrono: mev2/2 = eU . . . .

v = 2,7.107 m/s2) La elektrono trakuras distancon s dum tempo t: s = vt, t = s/v 3) Dum tempo t ghi deflankighas en elektra kampo kauze de forto eU/d Lau 2. legho de Newton ni prikalkulos la akcelon de elektrono. mea = eU/d, a = eU/(med)

4) Akcelatan movon en homogena elektrokampo priskribas relacio y = at2/2 , kiu donas serchatan deflankigon BC.

Finfine y = eU(s/v)2/(2.med) = 7,7.10-3 m = 7,7 mm

BC

A

+

-

s=8 cmU

E

e Ume

eU/ds=0,08 m y

v

9,109.10-31 kgripozo-maso de elektrono

1,602.10-19 As elektrika shargo

1/2

2.103 V

vt=?

a

met2/2

1

(s/v)2/(2.med)


Resumo

La demonstrita instrumetodo, bazighanata je ordigaj kuplografoj, pritraktata lau reguloj de grafoteorio kaj individuaj, lernenhavo-dependaj ikonoj kaj simboloj de operacioj, permesas kunigi arojn da nocioj kun iliaj rilatoj. Ghi estas la komplementa demonstro al pure matematika priskribo, kies statikaj formuloj ne ekvidigas la dinamikan vojon de problemsolvado. Tiu instrumetodo subtenas precipe la strukturigitan pensadon kaj helpas kompreni la rilatojn inter najbaraj kaj malproksimaj eventoj. Tiu metodo uzadas esence la saman lingvon, kiun oni aplikas en informatiko por priskribi algoritmojn.


Mekanika vidpunkto

PRpr=0

rigida ligiloi

L=Pp

chirkauajho

• Forto, same kiel energio - estas ghenerale nevidebla. Oni povas nur observi ghian efikon - en mekaniko - translokon.

• El statika vidpunkto forto estas kauzo de transloko, do ni pritraktu chiam la paron transloko & forto q & Qoni uzu signojn:granda litero : forto (kauzo)malgranda litero: transloko (efiko)matematike: Q, q estas vektoroj

Ni notos ofte Q (q) kiel aro da fortoj (translokoj) kaj matematike pri matrico de fortoj (translokoj). Indeksoj de ambau matricoj indikas numerojn de agadpunktoj.

• Se forto kun transloko estas konataj tiam oni povas konekti ilin je fizika nocio de laboro (L) lau rilato

L = Qq = Qiqi (i - agadpunkto)

ghenerale: L estas skalara produto de vektoroj Q kaj q

• Rememoru fizikan leghon: laboron ekvilibrigas energio, kiu ne perdighas kaj nur transformighas je alia formo, ekz. varmo.

Estas tre utile analizi laboron, kiel resumo de kauzoj kaj efikoj.

Por kompreni tian sintezon ni unue pritraktu komponantojn de

mekanika evento: fortoj kun translokoj; deformoj kun strechoj.

principoj

Rigida korpo kun ligiloj

Kinematika analizo• Je unua okuljheto chiu konstruajho povas esti pritraktata

kiel rigida korpo konektita kun sia chirkauajho pere ligiloj.

• Unue oni devas analizi manieron lau kiu la korpo konektita estas kun chirkauajho kaj konstati chu estas plenumitaj kondichoj de ghia daura ekvilibro - konstruajho ne povas havi eblecon de ech momenta movigho.

• La kinematika analizo permesas determini necesan nombron da ligiloj, kiuj garantias senmovecon de konstruajho kiel tuteco, do - ke ghi ne estighu kinematika cheno.

• Post determino de ligiloj oni povas difini la konstrukcion de konstruajho. Por tio ni mense izolas ghin el chirkauajho per trancho de ligiloj. Tranchitajn ligilojn oni devas anstataui per konformaj fortoj Xi, nomitaj reakcioj. Lau 1a

legho de Newton aperas en trancho samtempe la kontraue direktita forto, nomita akcio.

• Nun oni povas kunmeti, grupigi, aranghi, listigi chiujn sharghojn Qi agantaj al konstrukcio.Tio okazas lau fizikaj

ecoj kaj brancha, teknika normigo.

tro multe da ligiloj

Suficha kvantoda ligiloj(en ebeno!)

malpermesita pozo,ekestis turnpunkto A

A

rigida korpo

dudirekta ligilo ( stango)

unudirekta ligilo ( kablo)

Xi

2 31

4

6

5

Qi

( aktiva)

( pasiva)

Q2

X4

principoj

sharghoj de konstrukcio

• Unue, chiu ekstera forto de konstrukcio trafluas, kiel strechoj de elementoj, el sia agadpunkto ghis punktoj de ligiloj kaj plue - iom post iome malaperas en chirkauajho.

• Tasko de enkondukitaj reakcioj X estas ekvilibrigi aktivan aron da fortoj Q.

Specoj de fortoj

• el kinematika vidpunkto oni distingas: - linia transloko p (shovo),- angula transloko m (turno)

statike parencaj fortoj estas:- linia forto P (punkta au distribua)- fortoparo M (nomata ankau fortomomento)

La parenceco indikas, ke nur parencaj grandoj kreas laboron.

Regulo de komponantoj

• Oni permesas, ke chiu forto povas esti anstatauigota per siaj statike ekvivalentaj komponantoj. Tiu regulo ebligas multfoje esence faciligi analizon.

• Mi opinias, ke por profunde kompreni fortoludon de konstrukcio estas necese unue sperti la tradician grafikan statikon, kiu ekde 300 jaroj estas bazo de mekanika edukado. (vidu: Grafikaj operacioj je fortoj)

Q

X

Q

X

d

Mi=Pd

P

P

i

Mi

i

Mxy

y

mxy

mi

x

pi = p0 cos

Pi

pi

p0

i

en ebeno2 komponantoj

en spaco3 komponantoj

2

1

31

2

same por fortoj kaj momentoj

principoj

P&p

M&m

Internaj fortoj

i

i

i

i

rRi

rUi

lUi

lRi

flanko rtrancho i

rUirRi

rUi

rUi,y

rUi,x

xy

c N = rUi,x

y

dy

d = Uixdy M

T = rUi,y

rezultforto komponantoj redukto al centro c(c-komponantoj)

• Simile oni apliku tranchometodon por eniri internen de korpo. Per trancho liberigataj estas internaj ligiloj, do - oni devas anstataui ilin per fortoj U.

• chiu trancho dividas korpon je du partoj, ni nomu - dekstran kaj maldekstran. La fortoj U anstatauas la internajn intermolekulajn ligilojn kaj agadas je ambau tranchoflankoj, kontraue direktitaj. Ni povus indeksigi ilin per supra indekso r (right) kaj l (left), sed chiam estas lU +rU = 0. Pli utila estas indekso (i) montranta trancholokon.

• chiu parto devas resti plue senmova, do la rezultforton rRi de

eksternaj fortoj agantaj je dekstra parto ekvilibrigas forto rUi , do

rRi + rUi = 0 au simple rQi = 0

same lRi + lUi = 0 au simple lQi = 0

La fortokomponantoj

Oni ne povas adicii linian forton kun momento, do oni devas ekvilibrigi ambau fortospecojn separate. Uzante la fortokomponantojn ni deziras ekvilibron por chiu komponantospeco, je chiu tranchoflanko:

(Rx + Ux) = 0 , (Ry + Uxy) = 0, (Rz + Uz) = 0

Mx= 0 , Mx= 0 , Mz= 0

„Fino de statika analizo“

principoj

U au [ M , N , T ]rezultforto au c-komponantoj !

c

r

Risorto - primara modelo

Q

q

Qq k

f

Llaboro

k = konst

k1

q

Q =kq

mola risorto

rigida risorto(malgranda q kauzasgrandan Q)

q = fQ

Q

f

f1

fleksa risorto(malgranda Q kauzas grandan q)

mal-fleksa

Chiu konstrukcio posedasla samajn ecojn

k au f = k-1 i

por unupunkto i

Risortoestas bone konata baza konstruelemento. ghi karakterizighas, sendepende de siaj konstrukciaj ecoj, per sia globala parametro - risort-koeficiento:

• rigideco k , au inversa nocio

• fleksebleco f.

k estas forto, kiun kauzas unueco de transloko q

f estas transloko, kiun kauzas unueco de forto Q

Rilatoj inter forto kaj tranloko videblas sur kuplografo.

Laborounuigas la statikan kaj kinematikan

flankon al unu skalara grando,

ghi egalas al strechenergio (laboro de internaj fortoj). La mezurunuo estas [Nm]

Se Q au q kreskas malrapide (por eviti dinamikajn efektojn), tiam

L = qdQ = fQdQ = fQ2/2, au

L = Qdq = kqdQ = kq2/2

L

principoj

Kial konstrukcio rompas?trancho traversa (i)

-Qx = σxdA = Ni Qx

dA

Ni

σx

i

-1

Primaraj elementoj

kablo stango trabo

- char ghia shargho elvokis troan deformon, kiun la intermolekulaj fortoj de uzita materialo ne sukcesis kontraustari! Kvantecan respondon je problemoj de konstrukcia detruo liveras materialscienco surbaze de eksperimentejaj rezultoj. Ni uzas nun la eksperimentajn rezultojn enforme de fizikaj leghoj.

Strechoj Strecho estas mekanika grando, kiu esprimas intensecon de forto (kauzo) rilate al sia chirkauajho.

chi tie la chirkauajho estas la pense farita tranchsurfaco kaj ghia geometriaj ecoj.

Baza mezurunuo: N/m2

Praktike aplikataj mezurunuoj: kN/cm2 ,

Grafike ni notu strechon kiel forteto-vektoro.

Analitike strecho povas esti pritraktata ekvivalente, same kiel forto, helpe de siaj strecho-komponantoj x , y k.t.p.

chi tie oni rajtas jam formuli kondichon de secura konstrukcio-laboro:

• Elvokitaj strechoj () devas esti chiam malgrandaj (<) ol permesita strecho (perm - lima strecho priskribita lau aktuale deviga normo) : < perm

Primaraj elementoj

kablo: tauga nur por sharghoj per tira forto

stango: aplikata por sharghoj per tira kaj prema fortoj

trabo: tauga por shargho per momentoj

statika elemento

Bazaj rilatoj

Q

q1

1

1 +

dF

Q

i

i

F

l

q QE

F1/l

l

1/E

1/F

parencaj!

Tiro au premoStango sharghita per tira (+) au prema (-) forto Q kauzas, ke agadpunkto de forto translokighos je q.

En chiu vertikala al akso trancho agas strechoj , vertikalaj kaj konstante distribuitaj je trancho F

Al transmitanco (Qq) gvidas rilatoj:

Q = F

= q/l

kaj legho de HOOKE*: = /E

kie, E - konata kiel YOUNG-koeficiento**

Rezulte,

q = (l/EA)Q ,

au k=l/EA, kaj q = kQ

k

=/ = tg

lineareco de konstrukcio rompo

statika elemento

t

t - traversa deformo

* legho formulita en 1679 fare de Robert HOOKE (1635 - 1703)** koeficiento mezurita en 1807

Traversa deformo

Oni povas facile observi, ekzemple che eksperimentoj kun stango el gumo, keforto, kiu etendas stangon kauzas, ke ankau la tranchofaco de stango shanghighas; tranchofaco pligrandighas se agas forto kunpremiganta au ghi mallarghighas se agas forto tiranta (kontraue!).

Shangho de transversa relativa grando d/d estas lau labor-eksperimentoj preskau proporcia al tensio , do:

= L/L

t = d/d = r,

kie r estas faktoro de transversa kunpremigho au etendigho.

La proporcio: t / =

nomata estas koeficiento de POISSON * (Pùason) au POISSON-nombro, kaj ghi egalas por izotropaj metalaj materialoj proksimume 0,25.

Sed chiam validas rilato:

0 < < 0,5

*) Siméon Denis POISSON (1781 - 1840)

statika elemento

Lo L1

L1 - L0 = Ld1 - d0 = d

d0

d1

t

-r

E-1

Bazaj rilatoj

Tranchokauze de tranchforto T al elementa kubo agas al elementa

kubo tranchstrechoj , kaj la efiko estas tranchangulo .Por malgrandaj tranchangulo validas lineara rilato inter ili.

Lau eksperimentoj de Bach kaj aliaj oni trovis rilaton inter

tranchstrechoj kaj kaj angula deformo :

= G

kajsimpligite: kie G = E/(1+), nomata estas tranchmodulo,

koeficiento dependas de tranchfaco (por rektangulo 1,2)

Por orientigho, meznombraj elastkonstantoj de kelkaj materialoj:

Materialo

betono Cu Fe

Elastmodulo E [kN/mm2] 30 125 210

Tranchmodulo G [kN/mm2] 12 46 84

POISSON-nombro [1] 0,2 0,35 0,28

T = dA

Tt

statika elemento

G

simple:

1/A

Bazaj rilatoj

M

m

1

1

p

t

t

dV

i

i

l

m M

E

J/y? 1/E

y/J

p

p

y

t

p

(y)d M

dV =

Vt

M/d

M/dy

b

h

dy

= dV

Vp

F

y dA = M

Por rektangulo: dA = bdy,kaj (y) = ky : kb +h/2y2

dy = kbh3/12 = kJ = M-h/2

Por ekstremaj fibrojyeks = h/2 : W = J/yeks

eks = kyeks = M/ W

(y) = ky = My/J

?

KurbigoSe al trabo agas fleksa momento (M) tiam ghi elwokas kurbigajn deformojn kaj en sia agadtrancho turnangulon (m).

Tio signifas, ke supra (t) kaj malsupra (p) fibroj de trabo deformighas varie. Tiujn deformojn () oni povas mezuri en eksperementejo.

Sed ekestas demando: kiamaniere distribuighas deformoj () ene de trancho?

Plej simple estas akcepti la linian distribuon.

Lau principo de Hooke ankau strechoj distribuighos linie, chi tie

(y) = E.(y)

Nun ni devas sumigi la unudirektitajn strechojn kaj prikalkuli ilian rezultforton.

Ekvilibro-kondichoj: a) En trancho, tira rezultforto (volumo de tirantaj strechoj) egalas al prema rezultforto (volumo de premaj fortoj)

b) sumo de momentoj kauzitaj en trancho per strechoj egalas al trancha rezultmomento M

Ankorau mankas situo de neutrala fleksoakso. ghia situo estas eco de tranchfiguro, difinita per statika figurmomento, kiu je tiu akso nulighas (figurocentro)

statika elemento

Bazaj rilatoj

Distordoestas angula efiko mt, kauzita de torda (drila) momento Mt.

Tiu efiko estas mezurita en radiano.

Torda momento elvokas en trancho strechojn , kiuj agas en ebeno de trancho. Ilia dispartigo ene de trancho estas dependa de tranchofiguro kaj ghenerale tre komplika. Estas eble nur por simplaj tranchofiguroj priskribi sufiche rekte la strechovolumon.

Lau eksperimentoj de Bach kaj aliaj oni trovis rilaton inter

tordostrechoj kaj kaj angula deformo :

= G, E/2G = (1+)

E/3 < G < E/2

0,2 < < 0,5

trancho traversa (i)

-Mt = dA Mt

dA

Mt

i

-1

Mt

reakciomt

i

mt

statika elemento

GM t

drr

rL

L

?

Principo de reciprokeco (1864)

12

q Q

1 2

1

2

= 0Q 1

= 0Q 2

+q 1 2

q 2 2

q 1 1

q 2 1

q 1 1

q 2 1

0Q 2

Q 1

0

q 1 2

q 2 2

q 1

q 2

1 = Q 1

1 = Q 2

q 1 1

q 2 1

q 1 2

q 2 2

F

q 1 Q 1

Q 2q 2

L 2 1

L 1 2

g h e n e r a l e : F i k = F k i

=F 1 1 F 1 2 F 1 3 .

F 2 1 F 2 2 F 2 3 .

F 3 1 F 3 2 F 3 3 .

. . . .

Q 1

Q 2

Q 3

. .

q 1

q 2

q 3

. .

l o k o d e e f i k o l o k o d e k a u z o

q = F Q

L 2 1 = L 1 2

Se, al konstrukcio agas lauvice du fortoj, tiam ekestos translokoj kiuj estas sendependaj de ilia agad-vicordo.

La sumo de faritaj laboroj estas sendependa de vicordo de fortoj dum valideco de linieco kaj superpozicieco de fortoj kaj iliaj translokoj.

statika elemento

1-speca libero m 0

M = 0M 0

d

M/d

M/d

m = 0

1

malpermesite

SD

SnD

Ligiloj- plej konata estas najlo, kiu permesas kunligi unu obiekton kun alia.

Alnajli - senmovigi unu obiekton al alia per unu najlo ne eblas. Restos 1-grada (movo)libero.

„ Unu najlo- nenia najlo“ - (Germana proberbo)

La demonstrita tabulo (1) posedas turno-eblecon chirkau punkto (0) do, 1-specan liberon.

Konstrukcio kaj ghiaj elementoj devas posedi

nenian movoliberon, eventuale ghi ekestos

mashino.

Por senmovigi obiekton (1) sufichos unu aldona najlo. (Pluaj najloj estos teorie superfluaj, sed praktike utilaj.)

Rigidigi konstrukcion ne chiam dezirinde estas. Praktike oni ofte forigas el statika au konstruktiva vidpunktoj

kelkiuj ligiloj. Pro tio konstrukcio farighas pli facila pro statika kalkulado au pli bone laboras en sia chirkauajho (ekz. longa ponto).

El statika vidpunkto la nombro de superfluaj ligiloj difninas la statikan nedifinecon (SnD). Statike difina (SD) konstrukcio/elemento rajtas posedi nur 3 (6) ligiloj en ebeno (spaco).

Se superfluaj ligiloj aperas inter reakcioj, tiam ni diras pri ekstera SnD. Se aldonaj ligiloj aperas ene de konstrukcio, tiam ni havas internan SnD.

statika elemento

Ligiloj

1-grada ligilo(1 forto)

2-grada ligilo(2 fortoj)

3-grada ligilo(3 fortoj)

nur tiro (+)(+)

tiro (+) kaj premo (-)

N

movo neeblas

+ (kablo)

N 0, n = 0 (vertikale movodirekton)M = 0, m 0

movoj neeblas

Q 0, q = 0M = 0, m 0

nenia movo eblas

rigida fiksoQ 0, q = 0M 0, m = 0

neshovebla lagro

shovebla lagro

Konstrukcio statike determinata (SD)

estas tia, kies reakcioj kaj internaj fortoj (strechoj) estas kalkuleblaj nur surbaze de statikaj ekvilibro-kondichoj. SD-konstrukcio posedas nur necesajn ligilojn!

Avantaghoj

- facile statike analizebla

- temperaturo ne elvokas internajn strechojn,

- teknologie facila realigo

- teknologia neprecizeco ne influas la strechojn

Malavantaghoj

- perdo ech unu ligilo kauzas katastrofon

- neekonomia uzado de konstrumaterialo

Elementaj SD-konstrukcioj

L

M=0

Mi = 0

i

+

eskalo

statika elemento


Internaj fortoj de SD-konstrukcio povas esti kalkulataj lau:

- grafika metodo:

- analitika metodo:

Pasho post pasho:

(1) Priskribi geometrion de konstrukcio kaj ghia apogoj

(2) Difini aktivajn fortojn

(3) Izoli konstrukcion el chirkauajho kaj vidigi reakciojn

(4) Surbaze de ekvilibro-ekvacioj kaj apartaj kondichoj prikalkuli reakciojn

(5) Elekti sufiche da tranchoj en kiuj oni intencas prikalkuli internajn fortojn

(6) En chiu trancho prikalkuli per ekvilibrigo la internajn fortokomponantojn

(7) Lau konataj relacioj prikalkuli normalajn kaj tranchajn strechojn

(8) Kompari kalkultiajn strechojn kun la normigitajn

(9) Lau bezono ripeti analizon por pli favoraj parametroj,

Internaj fortoj por kelkaj bazaj konstruelementoj estas montritaj aparte por chiu komponanato kiel funkcio de trancho-loko.

Lau principo de superpozicio oni rajtas kombini lauvole partajn rezultojn je entuta sumo.

3,0 m 1,5 m1,5

0,8 m

0

2 46

1 3 57

8

M4=0

4 reakcioj: X0, Y0, M0 Y6

aparta kondicho

30 kN

25 kN

4

02

68

X = 0Y = 0M = 0

Mi = 0

Mj = 0

Mk = 0

au&

1

3

4

2 25 kN

30 kN

-(Y6)1,5 +(25)1,5 = 0

X: (X0) +(0) = 0Y: (Y0) + (-30) +(Y6) + (-25) = 0M: (M0) + (30)1,5 –(Y6)4,5 +(25)6,0 = 0

+

+

+

+

X0 = 0, Y0 = 5 kN, Y6 = 50 kNM0 = 30 kNm, reakcioj:

resume

Qa

Qr

Ui

Q

4

i U

Qa

Qp

σn

σt

σi i

4

iσ

(xyz)i

(xyz)j

priskribo

x

y 0 N T

Σ]i[ Σ

Σ]i[

σnorm

(8)

Σ]i[ Σ

statika elemento

NL2 – NR2 = 0

TL2 – TR2 –30 = 0

ML2 – MR2 = 0

Σ(ULi + URi + Qi) = 0

30

25

4

02

68

1 3 57

Y6 = 50 kN

X0 = 0,

Y0 = 5 kN,

M0 = 30 kNm,X0

Y0 ,

M0 Y6

Σ 7[

Σ L6[

β

7

11,8 = N7

13,35=T7

-18,75 = M7 25

0,75

N7 – 25sinβ = 0

T7 – 25cosβ = 0

M7 + 25*0,75 = 0

Ni

Ti

Mi

Σ R6[

R61,50

NL6 = 0

TL6 +50 -25 = 0

ML6 +25*1,5 = 0 0 = NL6

25 =TL6

-37,5 = ML6

25

1,50

R2

50 0 = NR2

-25 =TR2

+37,5 = MR2

3,0

NR2 = 0

TR2 +50 -25 = 0

MR2 +25*4,5 –50*3,0 = 0

Σ R2[ 1

X0 = 0

Y0 = 5

M0 = 30

0,75

0

N1 = 0

T1 = +5

M1 = +33,75

N1 + 0 = 0

-T1 +5 = 0

-M1 +30 +5*0,75 = 0

Σ ]1

X0 = 0

Y0 = 5

M0 = 30

1,5

0

NL2 = 0

TL2 = +5

ML2 = +37,5

NL2 + 0 = 0

-TL2 +5 = 0

-ML2 +30 +5*1,5 =0

Σ ]L2L2

L2R2

30

Σ ]i[

ekvilibro-testo

2

25

1,50

L6

50

Por

statika elemento


Energio de SD-konstrukcio

statika elemento


Translokoj de SD-konstrukcio

statika analizo

Konstrukcio statike ne determinata (SnD)estas tia, kies reakcioj kaj internaj fortoj (strechoj) ne estas kalkuleblaj surbaze de statikaj ekvilibro-ekvacioj. SnD-konstrukcio posedas tro multe da ligiloj!

Avantaghoj

- pli belaj aspektoj

- ekonomia konstruado

- perdo unu au kelkajn ligilojn ne detruas.

Malavantaghoj

- statike malfacile analizebla

- teknologia neprecizeco kauzas pluajn strechojn

- temperaturo elvokas pluajn fortojn.

SD-konstrukcioj

lau forto-specoj: ebena au spaca

lau konstruelementoj

- 1-dimensiaj: rektliniaj, kurbaj, plataj, spacaj

- 2-dimensiaj: ebenaj, sheloj

- 3-dimensiaj:

Ebenaj SnD-konstrukcioj

statika analizo

Documents

el fortoplano al finitaj elementoj