CAPITULO IIICAPITULO III

““EL MODELO DEL EL MODELO DEL TRANSPORTE”TRANSPORTE”

EL MODELO DEL TRANSPORTEEL MODELO DEL TRANSPORTE

El Modelo de Transporte busca determinar un “Plan El Modelo de Transporte busca determinar un “Plan de Transporte” de una mercancía de varias de Transporte” de una mercancía de varias fuentes fuentes a varios a varios destinosdestinos. .

LOS DATOS DEL MODELO SONLOS DATOS DEL MODELO SON::

1. Nivel de 1. Nivel de Oferta en cada fuenteOferta en cada fuente y la cantidad de y la cantidad de Demanda en cada destinoDemanda en cada destino..

2. El 2. El Costo de Transporte UnitarioCosto de Transporte Unitario de la mercancía a de la mercancía a cada Destino.cada Destino.

Como solo hayComo solo hay una Mercancía-un Destinouna Mercancía-un Destino, puede , puede recibir su demanda de una o más fuentes.recibir su demanda de una o más fuentes.

El El ““Objetivo del ModeloObjetivo del Modelo”” es el de determinar la es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se destino, tal que se minimiceminimice el el Costo del Transporte Costo del Transporte

Total.Total.

La suposición básica del Modelo es que el Costo del La suposición básica del Modelo es que el Costo del Transporte en una Ruta, es directamente Transporte en una Ruta, es directamente proporcional al Número de Unidades Transportadas. proporcional al Número de Unidades Transportadas.

La definición de La definición de “Unidad de Transporte”“Unidad de Transporte” variará variará dependiendo de la dependiendo de la “Mercancia”“Mercancia” que se transporte. que se transporte.

El esquema siguiente representa el Modelo de El esquema siguiente representa el Modelo de Transporte como una Red con Transporte como una Red con “m” fuentes y “n” “m” fuentes y “n” destinos. destinos.

Una Una Fuente o un DestinoFuente o un Destino está representado por un está representado por un NodoNodo..

El El ArcoArco que une una que une una Fuente y un DestinoFuente y un Destino representa representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. la ruta por la cual se transporta la mercancía.

La La Cantidad de la OfertaCantidad de la Oferta en la Fuente “i” es en la Fuente “i” es “ai”“ai” y la y la DemandaDemanda en el Destino “j” es en el Destino “j” es “bj”“bj”. .

El costo de transporte unitario entre la fuente “i” y El costo de transporte unitario entre la fuente “i” y el destino “j” es el destino “j” es CijCij. .

1

FUENTEFUENTESS

DESTINOSDESTINOS

a1a1

2

m

1

2

n

a2a2

amam

b1b1

b2b2

bnbn

Unidades Unidades

de Ofertade Oferta

Unidades Unidades de de

DemandaDemanda

C11 ; X11C11 ; X11

Cmn ; XmnCmn ; Xmn

Si Si “Xij”“Xij” representa la cantidad transportada desde la representa la cantidad transportada desde la Fuente “i”Fuente “i” al al Destino “j”Destino “j”, entonces el , entonces el Modelo General Modelo General de PLde PL que representa el Modelo de Transporte es: que representa el Modelo de Transporte es:

Minimiza Minimiza Z =Z = Cij . Xij Cij . Xij

Sujeto a:Sujeto a: Xij <= ai, i=1,2,3,…,m Xij <= ai, i=1,2,3,…,m

Xij >= bj, j=1,2,3,…,nXij >= bj, j=1,2,3,…,n

Xij >= 0, para todas las i y j Xij >= 0, para todas las i y j

m

i=1

n

j=1

n

j=1

m

i=1

El primer conjunto de restricciones estipula que la El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda.destino satisfaga su demanda.

El modelo que se acaba de escribir implica que:El modelo que se acaba de escribir implica que:

La La Oferta TotalOferta Total: : ai; ai; debe ser cuando menos debe ser cuando menos igual a la igual a la

Demanda totalDemanda total: : bj bj

m

i=1n

j=1

Cuando la Oferta Total es igual a la Demanda Total, la Cuando la Oferta Total es igual a la Demanda Total, la formulación resultante recibe el nombre de Modelo de formulación resultante recibe el nombre de Modelo de Transporte Equilibrado. Este difiere del Modelo sólo en Transporte Equilibrado. Este difiere del Modelo sólo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:es decir:

Xij = ai; i=1,2,3,…,mXij = ai; i=1,2,3,…,m

Xij = bj; j=1,2,3,…,nXij = bj; j=1,2,3,…,n

En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un igual a la demanda o mayor que ella. Sin embargo, un Modelo de Transporte siempre puede equilibrarse. El Modelo de Transporte siempre puede equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a equilibrio, además de su utilidad en la representación a través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es través de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo del método de solución importante para el desarrollo del método de solución que explote completamente la estructura especial del que explote completamente la estructura especial del Modelo de Transporte. Modelo de Transporte.

El Método de Transporte es un problema clásico El Método de Transporte es un problema clásico dentro de la Programación Matemática; se analiza dentro de la Programación Matemática; se analiza la manera de obtener el Costo Mínimo de la manera de obtener el Costo Mínimo de transportar una serie de productos desde “n” transportar una serie de productos desde “n” fábricas, hasta “m” almacenes; cada envió tiene un fábricas, hasta “m” almacenes; cada envió tiene un costo particular que estará en función de la costo particular que estará en función de la distancia, el tipo de carretera, la cantidad y otras distancia, el tipo de carretera, la cantidad y otras variables.variables.

EJEMPLOEJEMPLOUna Empresa de Explosivos tiene tres fábricas donde prepara Explosivos, Una Empresa de Explosivos tiene tres fábricas donde prepara Explosivos, con capacidades de Producción de 25 mil, 25 mil y 10 mil unidades y debe con capacidades de Producción de 25 mil, 25 mil y 10 mil unidades y debe surtir a 4 almacenes de distintas Unidades Mineras con demandas de 20 surtir a 4 almacenes de distintas Unidades Mineras con demandas de 20 mil, 15 mil, 20 mil y 5 mil unidades. La capacidad de produccion, la mil, 15 mil, 20 mil y 5 mil unidades. La capacidad de produccion, la demanda de los almacenes y los costos de enviar desde cualquier fábrica demanda de los almacenes y los costos de enviar desde cualquier fábrica a cualquier almacén se pueden ver en las tablas siguientes:a cualquier almacén se pueden ver en las tablas siguientes:

CAPACIDAD DE PRODUCCIONCAPACIDAD DE PRODUCCION (Unidades) (Unidades)

Fábrica 1Fábrica 1(miles)(miles)

Fábrica 2Fábrica 2(miles)(miles)

Fábrica 3Fábrica 3(miles)(miles)

2525 2525 1010

DEMANDA DE LOS ALMACENESDEMANDA DE LOS ALMACENES (Unidades) (Unidades)

COSTO DE TRANSPORTE DESDE COSTO DE TRANSPORTE DESDE

LA FÁBRICA i AL ALMACEN jLA FÁBRICA i AL ALMACEN j (US$/unidad) (US$/unidad)

Almacén 1Almacén 1

(miles)(miles)Almacén 2 Almacén 2

(miles)(miles)Almacén 3Almacén 3

(miles)(miles)Almacén 4Almacén 4

(miles)(miles)

Fábrica 1Fábrica 1 22 22 00 44

Fábrica 2Fábrica 2 55 99 88 33

Fábrica 3Fábrica 3 66 44 33 22

Almacén Almacén 11

(miles)(miles)

Almacén 2 Almacén 2 (miles)(miles)

Almacén Almacén 33

(miles)(miles)

Almacén Almacén 44

(miles)(miles)

2020 1515 2020 55

La pregunta es, La pregunta es, ¿cuánto se debe enviar desde ¿cuánto se debe enviar desde cada fábrica a cada almacén, con el fin de cada fábrica a cada almacén, con el fin de obtener el mínimo costoobtener el mínimo costo??

Min Z =Min Z = 2X2X1111 + 2X + 2X1212 + 0X + 0X1313 + 4X + 4X1414 + 5X + 5X2121 + 9X + 9X2222 + 8X+ 8X2323 + 3X + 3X2424 + 6X + 6X3131 + 4X + 4X3232 + 3X + 3X3333 + 2X + 2X34 34

SUJETO ASUJETO A::

I. I. SATISFACER LA DEMANDA DE LOS ALMACENESSATISFACER LA DEMANDA DE LOS ALMACENES::

Almacén 1:Almacén 1: XX1111 + X + X2121 + X + X3131 >= 20>= 20

Almacén 2:Almacén 2: XX1212 + X + X2222 + X + X32 32 >= 15>= 15

Almacén 3:Almacén 3: XX1313 + X + X2323 + X + X3333 >= 20 >= 20

Almacén 4:Almacén 4: XX1414 + X + X2424 + X + X3434 >= 5 >= 5

II. NO SOBREPASAR LA CAPACIDAD DISPONIBLE DE LAS II. NO SOBREPASAR LA CAPACIDAD DISPONIBLE DE LAS FÁBRICAS:FÁBRICAS:

Fábrica 1:Fábrica 1: XX1111 + X + X1212 + X + X1313 + X+ X1414 <= 25<= 25Fábrica 2:Fábrica 2: XX2121 + X + X2222 + X + X23 23 + X+ X2424 <= 25<= 25Fábrica 3:Fábrica 3: XX3131 + X + X32 32 + X+ X3333 + X + X3434 <= 10 <= 10

III. POR SUPUESTO LA CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD III. POR SUPUESTO LA CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD Y TODAS LAS VARIABLES ENTERAS.Y TODAS LAS VARIABLES ENTERAS.

La idea aquí es la de tener La idea aquí es la de tener dos matricesdos matrices y y dos dos vectoresvectores; una ; una matrizmatriz se corresponderá con las se corresponderá con las variables de decisiónvariables de decisión y la y la otra matrizotra matriz con los con los costoscostos. . La primera la dejamos simplemente señalada, con La primera la dejamos simplemente señalada, con algún formato para distinguirla, y la otra la algún formato para distinguirla, y la otra la digitamos. La digitamos. La celda objetivocelda objetivo será la será la suma del suma del productoproducto de cada una de las posiciones de cada de cada una de las posiciones de cada matriz con su correspondiente en la otra.matriz con su correspondiente en la otra.

Esto lo podemos hacer rápidamente con la función Esto lo podemos hacer rápidamente con la función “sumaproducto”“sumaproducto” del Excel. Las restricciones estarán en las del Excel. Las restricciones estarán en las columnas de columnas de “Consumo”“Consumo” y de y de “Entregado”“Entregado”. Primero . Primero preparemos el formato del problema, así:preparemos el formato del problema, así:

Las Variables de Decisión están en el rango Las Variables de Decisión están en el rango B4-E6B4-E6. La celda . La celda objetivo seráobjetivo será:= B4*B10+C4*C10+…:= B4*B10+C4*C10+…, pero eso sería muy , pero eso sería muy largo. largo. La manera más corta esLa manera más corta es:= SUMAPRODUCTO(B4:E6,B10:E12):= SUMAPRODUCTO(B4:E6,B10:E12)..

La cantidad entregada a cada Almacén se ve en la fila 8. La cantidad entregada a cada Almacén se ve en la fila 8. Por ejemplo para la celda Por ejemplo para la celda B8B8, su fórmula es, su fórmula es:=B4+B5+B6:=B4+B5+B6..La restricción de la capacidad de las fábricas las escribiremos La restricción de la capacidad de las fábricas las escribiremos en función del consumo en la columna G; por ejemplo para la en función del consumo en la columna G; por ejemplo para la celda celda G4G4:=B4+C4+D4+E4:=B4+C4+D4+E4. Las restricciones las escribiremos . Las restricciones las escribiremos en el cuadro de diálogo como lo entregado debe ser mayor o en el cuadro de diálogo como lo entregado debe ser mayor o igual a lo requerido y lo consumido debe ser menor o igual igual a lo requerido y lo consumido debe ser menor o igual que lo disponible, tal como se puede ver en la captura que lo disponible, tal como se puede ver en la captura siguiente: siguiente:

Las Variables de Decisión deben ser enteras. Luego de Las Variables de Decisión deben ser enteras. Luego de introducir los datos en este cuadro de diálogo y de hacer introducir los datos en este cuadro de diálogo y de hacer click en resolver, se hallará la solución.click en resolver, se hallará la solución.

Problema PropuestoProblema PropuestoUna Compañía comercializadora de minerales tiene sus Una Compañía comercializadora de minerales tiene sus almacenes de concentrados ubicados en A, B, C y D con almacenes de concentrados ubicados en A, B, C y D con capacidades de 200, 225, 175 y 300 miles de toneladas capacidades de 200, 225, 175 y 300 miles de toneladas respectivamente, las que proveen concentrados para venta a respectivamente, las que proveen concentrados para venta a los cinco continentes, en almacenes ubicados en E, F, G, H e I.los cinco continentes, en almacenes ubicados en E, F, G, H e I.

Las necesidades mensuales de estos almacenes son 130, 110, Las necesidades mensuales de estos almacenes son 130, 110, 140, 260 y 190 miles de toneladas de concentrado 140, 260 y 190 miles de toneladas de concentrado respectivamente.respectivamente.

Los Costos Unitarios de Embarque (en US$/t) sonLos Costos Unitarios de Embarque (en US$/t) son::

Determínese la distribución para esta Compañía a fin de Determínese la distribución para esta Compañía a fin de Minimizar los Costos de Embarque.Minimizar los Costos de Embarque.

EE FF GG HH II

AA 1414 1919 3232 99 2121

BB 1515 1010 1818 77 1111

CC 2626 1212 1313 1818 1616

DD 1111 2222 1414 1414 1818