El numero y el calculo - Departamento de Matemática …maestriaedu/docs/asig2/El numero y el... · El cÆlculo estimado trabaja con datos que proceden de un juicio ... Base diez,

B.Gómez. DID. MAT.U.V. 1

El nEl núúmero y el cmero y el cáálculolculo

Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV del IPN. de México.

Bernardo Gómez Alfonso

Maestría en educación. Especialidad Matemáticas

Departamento de Didáctica de las matemáticas. Universidad de Valencia. España


• Análisis de los algoritmos escritos

• El cálculo pensado y el cálculo mental. Estrategias

Problemática relacionada con el tema, de acuerdo con el programa de la asignatura


Objetivo: Diferenciar los distintos tipos de cálculo aritmético. Caracterizar su evolución histórica en los libros de texto. Hacer el análisis de los algoritmos, poniendo de relieve los hechos del sistema de numeración y las propiedades aritméticas que los sustentan.

Objetivo, método y finalidad

Metodología: Presentación y análisis de distintas situaciones numéricas que involucran el cálculo aritmético. De este análisis se derivan las tareas que se proponen para ser resueltas en el �taller� posterior, con el objetivo de completar la reflexión y consolidar las ideas más relevantes.

Finalidad: Presentar criterios para el análisis de la forma de enseñanza del cálculo aritmético: identificar y señalar sus fortalezas y debilidades y hacer propuestas de mejora.


CCáálculo, lculo, del latín calculus, que quiere decir «guijarro» y, por extensión «bola» , «ficha» y «peón». Hace referencia no sólo a las antiguas técnicas de cálculo sobre el ábaco, sino también al método, todavía más primitivo, del montón de piedras ...

El significado de los términos


El cálculo mental no debe confundirse con el cálculo estimado y éste no debe confundirse con el cálculo aproximado. Se diferencian en que:

• El cálculo mental trabaja con datos exactos.

• El cálculo estimado y el cálculo aproximado no.

El cálculo estimado y el cálculo aproximado se diferencian en que:

1. El cálculo estimado trabaja con datos que proceden de un juicio o valoración. Suelen ser números redondos, acabados en cero, para aprovechar las ventajas de nuestro sistema de numeración

2. El cálculo aproximado trabaja con datos que proceden de la medición. Están condicionados por la inexactitud de los instrumentos de medida, lo que obliga a trabajar con números decimales

En el segundo caso se puede conocer el margen de error en el primero no

Diferencias entre los tipos de cálculo


Nota de prensa: El Partido de la oposición llevó 4,000,000 de firmas en 10 camionetas a la Cámara de los Diputados.

¿Es razonable usar 10 camionetas para 4,000,000 de firmas? ¿Llevaban cajas de paquetes de papeles sin firmas?

¿Cuántas?

El cálculo estimado sirve para anticipar el resultado de un cómputo o para juzgar su razonabilidad.


En una hoja de firmas hay, como mínimo, 10 firmas por hoja. Supondremos que hay 10 firmas por hoja y que las hojas NO SON A DOBLE CARA

Pues: 4,000,000 firmas / 10 firmas por hoja = 400,000 hojas

1º ¿Cuántas hojas se necesitarán?

Pues: 400,000 hojas / 500 hojas = 800 paquetes de 500 hojas

2º ¿Cuántos paquetes de 500 hojas se necesitarán?

3º ¿Cuánto ocupa un paquete de 500 hojas de DIN-A4? Pues: 297 x 210 x 55 mm = 0.0034 m3

4º ¿Cuánto ocupan 800 paquetes de 500 hojas? Pues: 0.0034 m3 x 800 paquetes = 2.72 m3


Una furgoneta de segmento medio tiene una capacidad aproximada de: 7.3 m3


5º ¿Cuántas camionetas de 7,3 m3 se necesitan para transportar 2,74 m3 que ocupan las firmas?

Si para transportar 2.74 m3 necesitaron 10 camionetas de 7.3 m3 de capacidad,

¡9 y ½ de 10 camionetas eran falsas!


Los métodos de cálculo mental no son en esencia diferentes de los métodos de cálculo escritos.

Nada hay en ellos que permita decir �éste es un método de cálculo mental� o �éste es un método de cálculo escrito�.

Esto es así, porque los métodos de cálculo de la aritmética elemental se basan en los mismos principios, hechos y propiedades.

Son los mismos métodos, es el uso mental o escrito que se hace de ellos lo que los denomina.

Los métodos de cálculo


¿Mental o escrito?

728. Cuando uno de los factores se compone de un número formado por uno o más nueves, la operación de multiplicar puede suplirse por una resta.

ANAYA (1993).

Dalmau Carles. 1900.


1.1) Base diez, 9 cifras, el cero.

1.2) Doble valor de la cifra: forma/posición

1.3) Representaciones alternativas:

Posicional, Multiplicativas, Polinómica/Científica, Orden de unidad, Equivalencias: 5= 10/2; �

Los principios que rigen el cálculo

1. Los hechos del sistema de numeración:99=100-1

3. El principio director.

Usar números redondos.

2. Los propiedades de las operaciones: Distributiva: 42x(100-1).

El análisis de las situaciones numéricas.


Los métodos de cálculo de la aritmética elemental han sido presentados en los libros de texto bajo enfoques diferentes:

• Reglas

• Cálculo abreviado

• Aritmética mental

• Cálculo mental

• Algorítmos

Enfoques de los métodos de cálculo elemental y su evolución


Hasta mediado del siglo XIX, la enseñanza del cálculo aritmético tenía un nivel de exigencia que hoy consideraríamos excesivo.

Se necesitaban expertos calculistas que resolvieran con rapidez y seguridad las cuentas que se les plantearan.

Estos calculistas, eran profesionales que conocía diferentes algorítmosde tal modo que podían usar el más adecuado en cada operación y situación.

La enseñanza, reflejada en los libros de texto, consistía en presentar varios algoritmos para cada una de las operaciones, de forma reglada y retórica.

En esta época no se hace mención al cálculo de �memoria� o �mental�.

Las reglas

Reglada, porque no se da razón ni fundamento matemático y retóricaporque no se usa el lenguaje abreviado y simbólico de las matemáticas


La forma reglada y retórica

Pérez de Moya, 1563)

REGLA PARA EL SEIS

Cuando multiplicares un número dígito por otro, si el uno de ellos fuere 6, o ambos,

añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del número menor.

Ejemplo, ¿2 veces 6 cuánto es?

Saca la mitad del dos (que es el menor) y será uno, hágase dieces, y júntale con el mismo número menor (que es dos) y serán doce, �

B.Gómez. DID. MAT.U.V. 16Pérez de Moya, 1563.

REGLA PARA EL NUEVE

Todas las veces que multiplicando un número dígito por sí mismo, o por otor, el uno, o ambos fueren nueves, se tendráesta regla.

Quita uno del número menor, y los que quedare serán dieces, y mira desto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare serán unidades, y juntase han con los dieces,

como por los ejemplos mejor entenderás.

Pongo, que quieres saber ¿ocho veces nueve cuántos son? Quita del menor de estos números (que es ocho) uno, y quedarán siete, estos siete harás dieces, y así serán setenta, mira ahora cuanto falta del siete para nueve, y hallarás faltar dos, los cuales añade a los setente, y serán setenta y dos�


La implantación del sistema general y público de educación, en el siglo XIX, obligó a establecer un contenido común que se tradujo en un programa que limitaba la enseñanza del cálculo a �las cuatro reglas�.

Bajo la forma de métodos alternativos, algunos libros de aritmética, reformularon los viejos métodos reglados como métodos particulares para el cálculo abreviado.

En ningún caso formaron parte de la enseñanza común.

No se hace mención a su uso como cálculo de �memoria� o �mental�

El cálculo abreviado


729. Multiplicar un número cualquiera por 45; por ejemplo 864.

864 x 100 …………………………..……………. 86400 Mitad de 86400 ………………………..……….. 43200Esta 1/2, corriendo un lugar a la derecha … - 43200 Diferencia, que es el producto ……………… 38880

Dalmau Carles. 1900.

Ejemplo de cálculo abreviado


Una vieja teoría, que consideraba que la mente se constituía por facultades, que como músculos se fortalecen y forman con el entrenamiento.

Llevó a considerar la "disciplina mental" como un objetivo educativo,algo que se concretó, a finales del XIX, en una enseñanza con materias apropiadas para este fin.

Entre ellas, destacó la Aritmética mental.

Bajo este nombre se reproducían en los libros de texto largos listados de operaciones con números para ser resueltos una y otra vez de cabeza.

La aritmética mental


La aritméticamental en un

texto de comienzos del XX

Bruño. Serie


Poco a poco se irá abandonando la teoría de las facultades hasta llegar a otra más orientada al utilitarismo y a las aplicaciones de la vida real.

Bajo esta idea se asocia el término �cálculo mental� a un tipo de cálculo que pretende desarrollar la �agilidad mental y el �cálculo rápido�.

Se enmarca en un programa de enseñanza de la aritmética que asume a el lenguaje simbólico, horizontal, de igualdades y paréntesis del álgebra.

Este lenguaje unifica la descripción, el ejemplo y el fundamento de los métodos de cálculo, como realización de las propiedades de las operaciones

El cálculo mental


Anaya. Azimut., 1987. p. 116 y 117

Ejemplo de enseñanza del cálculo mental con el lenguaje horizontal que unifica el método, el ejemplo y el fundamento


Hoy, se entiende por cálculo mental un tipo de cálculo con números de pocas cifras que utiliza métodos alternativos.

Se puede justificar su enseñanza en un programa de cálculo flexible. Esto es, cálculo mental, estimado, con calculadora o con algoritmos estándar, según convenga a la situación numérica (momento, tamaño y características de los números involucrados).

Se trataría de disminuir el énfasis puesto en el cálculo escrito mecánico y rígido para favorecer la disponibilidad de métodos basados en el conocimiento y la compresión de los conceptos relacionados con la operatoria.

Propuestas para la enseñanza


La enseñanza del cálculo flexible plantea la necesidad de integrar la enseñanza del cálculo mental con la del algoritmo escrito.

Esta idea va dirigida contra la práctica escolar de ejercitar el cálculo mental después del cálculo escrito, ya que esto produce que muchos alumnos tiendan a resolver el problema de cálculo mental emulando las técnicas del cálculo escrito.

Un programa de integración de la enseñanza del cálculo mental, no debería buscar la rapidez, la inmediatez, o la uniformidad en los procedimientos, sino el análisis de las situaciones numéricas basado en los hechos del sistema de numeración, en el significado y en las propiedades de las cuatro operaciones.

Propuestas para la enseñanza


¿De qué maneras diferentes se puede resolver 25 x 48?

Descomponiendo y distribuyendo:25x48 = 25 x (40 + 8) = 25 x 40 + 25 x 8 = ...25x48 = (20 + 5) x 48 = 20 x 48 + 5 x 48 = ...25x48= (20+5)x(40+8) =20x40+5x40+20x8 + 5x8

Transformando el producto en división: 25x48 = 100x(48:4) = ...

Redondeando : 25x48=25x (50-2) =25x50-25x2= ...

Factorizando: 25x48= 5x5x6x8 =5x6x5x8=30x40 = ...

�Doble y mitad�: 25x48= 50x24 = 100x12 = �

Promediando: 25x48= (20x48+30x48):2 = �

Como en el algoritmo usual

El análisis de las situaciones numéricas. Ejemplo


El análisis/síntesis de los algoritmos numéricos


El análisis de la suma

Usando el lenguaje horizontal del álgebra se ven las propiedades (asociativa) y los hechos de la numeración (descomposición por orden de unidad) que sustentan la operatoria.

Se hace por

Conteo ascendente,

Conmutación: 8+3 en vez de 3+8

Descomposición: 6+7= (6+6)+1; 6+7=(6+4)+3

Compensación: 7+7 en vez de 6+8; 10+7 en vez de 9+8

1er Caso.

Suma de dos números de una cifra.

2º Caso.

Suma de dos números, al menos uno de más de una cifra

Se reduce al caso anterior, descomponiendo los sumandos por órdenes de unidad, para hacer sumas parciales de una cifra:

45+38 = (40+5) + (30+8) = (40+30) + (5+8) = = 70+13 = 70+(10+3) = 83


La práctica de la suma se puede optimizar usando columnas

80 + 3 = 8370 + 10+3 =

70 + 13 =+ 30 + 8

40 + 5

Expandido

83

+ 70

13

+ 38

45Extendido

83

+ 7

13

+ 38

45Abreviado

83+ 38

451

Estándar


486+75813

1114

1244

486+758111314

1244

Otras formas de usar columnas

3435+3635

70707070

486+758

111134

1244

¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos de columnas?

1 2 3 4

Preguntas y problemas


El análisis de la resta

Se hace por

Conteo descendente, cuando la diferencia es grande: 14 -3.

Conteo ascendente, cuando la diferencia es pequeña: 12 -9.

No es posible la conmutativa.

Descomposición: 12-6=(6+6)�6=6+(6-6)

Compensación: 17-9=(17+1)-(9+1)=18-10

1er Caso.

Resta de un número de una cifra.

2º Caso.

Resta de un número de más de una cifra.

2.1) Todas las cifras del minuendo son mayores que las del sustraendo.

Se reduce al caso anteriordescomponiendo los datos por órdenes de unidad, para hacer restas parciales de una cifra:

67-41=(60+7)-(40+1)=(60-40)+(7-1)=20+6

2.2). Hay cifras en el substraendo mayores que las correspondientes del minuendo.


La conservaciónDa lugar al método de compensacióncon dos variantes:

2.2) Hay cifras en el substraendo mayores que las correspondientes del minuendo: 54 -27

El complemento

54 + 3 57

- 27 + 3 - 30

El doble valor de 1 50 + 14 5 414

- 30 + 7 -21 7

La descomposiciónDa lugar al método de reagruparmiento natural

El préstamo54 40 + 14 4 14-27 -20 + 7 -2 7

54 + 10 - 27 + 10



¿Qué reglas se han seguido en este algoritmo de columnas?

3043-2139

04090904

1654321654321

-876543876543

¿Cómo se puede hacer esta resta con una calculadora normal de ocho dígitos?


El análisis de la multiplicación

Se hace

Conmutando: 7 x 8 en vez de 8 x 7

Doblando: 2 x 2 x 6 en vez de 4 x 6

Descomponiendo y distribuyendo. 6x5 = (5+1)x5

98x101=9898

Compensando: 5x6=10x3;

9x8=(10-1)x8=10x8-8

49x51=50x50-1

1er Caso.

Números de una cifra.

2º Caso.

Algún número es de varias cifras

Se reduce al caso anteriordescomponiendo los factores por órdenes de unidad, para obtener productos parciales de una cifra.

2.2). Los dos números son de varias cifras

23x27 = (20+3) x (20+7) =

= 20x20+ 20x7 + 3x20 + 3x7

2.1). Un número es de una cifra y el otro de varias.

23 x 7 = (20+3) x 7 = 20 x 7 + 3 x 7


La práctica de la multiplicación se puede optimizar usando tablas de doble entrada y columnas :

Ejemplo: 27 x 23 = (20 + 7) x (20 + 3) =400+60+140+21=

Los cuatro productos

20 + 3

7 7x20 7x3

+

20 20x20 20x3

1

Productos parciales

20 + 3

7 140 21

+

20 400 60

2

Suma por columnas

Sumando por filas

20 + 3

7 140 + 21 = 161

+ +

20 400 + 60 = 460

621

3

Estándar23

x 27161 746 2621

54

Posicional2 3

1 6 1 74 6 0 26 2 1


2327

1404002160621

2327

144 21 6

621

232721

4 14 6

621

23467

134201 268

15678

Otras formas de usar “columnas” en la multiplicación

¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos de columnas?

4359

2580 - 43 2537

4359

1290+12902580-43

2537

231292

276

4739357

331731658651691823

437621511081248138365

3500972052514580

484937136580


Pérez de Moya, 1563

¿Qué reglas se han seguido en estos algoritmos para multiplicar 7435 x 327?

¿Cómo se puede hacer esta multiplicación con una calculadora normal de ocho dígitos?

43214321X 43214321



El análisis de la división

1. Cociente y divisor de una cifra.

Adición. Se suma el divisor consigo mismo hasta obtener el dividendo

Sustracción. Se resta el divisor del dividendo tantas veces como se pueda

Multiplicación. Se busca en la tabla de multiplicar de modo inverso o por tanteo

3. Cociente de varias cifras

Se reduce al caso 2.

2. Cociente de una cifra, divisor de varias

Ejemplo : 3456 : 789.

Multiplicación. Puesto que el cociente es de una cifra, se busca en la tabla de productos del divisor por 2, 3, 4, ..., 8 y 9.


El divisor termina en ceros: 435 ÷ 70

¿Cuánto vale el cociente y cuanto el resto en las siguientes divisiones

Preguntas

El dividendo termina en ceros: 4350 ÷ 7

Dividendo y divisor terminan en ceros:

4350 ÷ 70


3. Cociente de varias cifras. Los ceros

El dividendo termina en ceros: 4350 ÷ 7

Se divide con los ceros

4350 7

15 621

10

3

Dividendo y divisor terminan en ceros:

4350 ÷ 70

Se quita el mismo número de ceros en el dividendo y en el divisor y se divide.

Explicación 10D÷10d = D÷d.

435 7

15 62

1

Atención al cociente y al resto: D=dq+r ↔ 10D= 10dq+10r.

El cociente q es el mismo, pero el resto no. En un caso es r y en el otro 10r.

El divisor termina en ceros: 435 ÷ 70

Se quitan los ceros, se pone la coma decimal �

Explicación D÷d=D/10÷d/10

43’5 7

1 5 6’2

1

Atención al cociente y al resto:

D/10=d/10·q+r ↔ D=dq+r/10

El cociente es el mismo pero el resto no.


Ejemplo: 844:4

(800+40+4):4 = 800:4+40:4+4:4

= 200 + 10 + 1 =211

Al descomponer el dividendo en una suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros, el cociente será una suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros.

Por lo tanto será la descomposición decimal de un número cuyas cifras son las cifras significativas de cada uno de los sumandos.

Las divisiones parciales son enteras y exactas

Extendido844 4

-800 200+10+144-40

4-4

Abreviado844 4

-8 2114-4

4-4

40 4-40 10

Expandido800 4

-800 20040 4-4 1


Las divisiones parciales no son enteras y exactas

Ejemplo: 765:4 = (700+60+5):4 = 700:4 + 60:4 + 5:4 Aparecen restos parciales

700 4-400 100300

60 4-40 1020

5 4-4 11

Se puede reagrupar antes de seguir dividiendo:

700+60+5 4-400 100300+60 70

- 28080+5

Si al resto parcial obtenido se le añade la siguiente suma parcial de la descomposición del dividendo, se obtiene un nuevo dividendo parcial que termina con un cero menos, lo que permite sacar un cociente parcial también con un cero menos que el anterior, lo que es fundamental para obtener la suma de números acabados en sucesión decreciente de ceros, cuyas cifras significativas son una a una las cifras del cociente total.

Se puede seguir dividiendo y al final reagrupar los restos y seguir dividiendo, �


La división larga se puede abreviar con la regla de multiplicar y restar a un tiempo

3

“3x5, 15 y 1, 16, a 19 son 3

5

“3x4, 12 y 1, 13, a 18 son 5

Se procede cifra a cifra, 1987654 5438 3 “3x3, 9, a 17 son 8;


Explica qué tipos de calculo haces para responder : estimado, aproximado, mental o escrito. ¿Usas alguna estrategia?

• Una determinada ciudad reclama 400 hm3 de agua para cubrir sus necesidades. Para dar una idea de la magnitud de esta petición tómese como referencia el estadio Azteca e Imagínese que es un recipiente que se puede llenar de agua. ¿Sería suficiente para atender la demanda o se necesitarían más estadios? Nota: Las medidas oficiales de un campo de fútbol son : 105x68 m2

• Imaginemos que la Avenida Reforma se vuelve en un recipiente en forma de prisma. ¿Cuánta agua cabría?

• El partido de la oposición llevó 4,000,000 de firmas en 10 furgonetas llenas de �palets� con cajas de paquetes de hojas de firmas. ¿Cuántos paquetes estaban llenos de papeles falsos sin firmas?



Usando el lenguaje horizontal explica las siguientes reglas:

• Regla del 6. añade al número menor tantos dieces como unidades hubiere en la mitad del número menor.

• Regla del 9. Quita uno del número menor, y los que quedare serán dieces, y mira desto que quedare cuanto falta para nueve, y lo que faltare serán unidades, y juntase han con los dieces.

• Para multiplicar un número cualquiera por 45, toma la mitad del número, y le restas de sí misma corriendo un lugar a la derecha. El resultado es el producto.



Preguntas

9458 72-7 13124-2225

-2115

-698-728-226

Explica este algoritmo de la división


ReferenciasANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1993). Matemáticas 4º Primaria. L. Ferrero,

I. Gaztelu, Mª J. Luelmo, P. Mastín y L. Martínez. Grupo Anaya. Madrid.ANAYA (Serie de libros de texto. Ed. de 1987). Azimut. Matemáticas 4º Primaria.

Equipo Signo: Manuela A. Gómez Vázquez, Juan Alvaro Muñoz Gómez. Grupo Anaya. Madrid.

Bruño. SerieDalmáu Carles. J. (Serie. Ed de 1944). Aritmética razonada y Nociones de álgebra.

Tratado teórico-práctico demostrado con aplicación a las diferentes cuestiones mercantiles para uso de las Escuelas Normales y de las de Comercio. Nueva Edición corregida y aumentada. Libro del alumno. Grado profesional. Ed. Dalmáu Carles. 1898. Gerona.

Gómez, B. (1986). Numeración y cálculo. Síntesis. Madrid.Gómez, B. (1995). Los métodos de cálculo mental en el contexto educativo: un

análisis en la formación de profesores. Mathema. Ed. Comares. Granada.Gómez, B. (2006). La enseñanza del cálculo mental. Unión. Revista

Latinoamericana de Educación Matemática. Diciembre de 2005. Nº 4. Pág 17-29. ISBN 1815-0640

Pérez de Moya, J. (1573). Tratado de Mathematica en que se contienen cosas de Arithmetica, Cosmografía, y Philosophia natural. Juan Gracian. Alcalá de Henares.

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