el señor tompkins en el pais de las maravillas

8/4/2019 el seor tompkins en el pais de las maravillas

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Departamento de Fsica y Qumica del I.E.S. La Jara de Villanueva de Crdoba

Lectura recomendada 2 Bachillerato Pgina 1de 27

EL PASEL PASEL PASEL PAS DEDEDE DE LAS MARAVILLASLAS MARAVILLASLAS MARAVILLASLAS MARAVILLASAutor:GEORGE GAMOW

PRESENTACIN PRLOGO Primer sueo: Un universo de juguete Tercer sueo: Velocidad mxima Cuarto sueo: Ms Incertidumbre Quinto sueo: El seor Tompkins sale de vacaciones Sexto sueo: Aventura final Primera conferencia: La relatividad del espacio y el tiempo LECTURAS COMPLEMENTARIAS

PRESENTACINEL FONDO DE CULTURA ECONMICA ha publicado cuatro libros del eminente fsico George Gamow,en su coleccin Breviarios. Se trata de obras que han sido reeditadas varias veces debido a su agradablelectura y a su ancha aceptacin entre estudiantes y pblico en general. Esta doble virtud se debe a que eldoctor Gamow ofrece en sus libros una sugestiva serie de relatos que tienen el propsito de encaminar allector, profano de las ciencias o curioso por naturaleza, por diversos temas y ramificaciones de la fsica.Mucho del xito que tienen los textos de Gamow se debe a su personaje, el seor Tompkins, un hombresimptico y aventurero que se embarca en exploraciones raras y bizarras: recorre los paisajes de lateora de la relatividad y se interna en los bosques de la teora cuntica. Tompkins se vuelve una suertede maestro entraable, al mismo tiempo que uno de los mejores guas para adentrarnos en el mundo dela ciencia.FONDO 2000 presenta aqu una seleccin de En el pas de las maravillas. Relatividad y cuantos, dondeGamow, a travs de los sueos de Tompkins, nos pasea por el campo de las nociones fundamentalesde la fsica, como el espacio, la gravitacin, la materia y la energa. Estas pginas nos confirman laclaridad de sus exposiciones, y su estilo, aun con un toque humorstico, no lo aleja del rigor cientfico.

George Gamow naci en Odessa, Ucrania, el 4 de marzo de 1904, con el nombre de Georgy AntonovichGamow. Estudi en la ciudad de Leningrado, que hoy se llama de nuevo San Petersburgo; en 1924 setraslad a Gotinga y, posteriormente, estuvo en el Instituto de Fsica Terica de Copenhague. En 1934emigr a los Estados Unidos. All fue primero profesor de la Universidad George Washington, enWashington, D. C., y en 1956 pas a ocupar la ctedra de fsica en la Universidad de Colorado, enBoulder. Gamow perteneci a las ms prestigiosas academias cientficas del mundo; sus teorascontribuyeron de manera significativa al proceso del conocimiento y reconocimiento del DNA, y a laconsolidacin de las teoras del big bang, aquellas que sugieren que el Universo se form gracias a unamegaexplosin ocurrida hace billones de aos. Sin embargo, Gamow fue mejor conocido por sus librosde intencin didctica dirigidos a los legos en temas cientficos, y en particular por su serie de libros en

donde invent al seor Tompkins. George Gamow muri el 19 de agosto de 1968 en Boulder, Colorado.


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PRLOGODesdela infancia nos acostumbramos al mundo que nos rodea, percibido a travs de nuestros

cinco sentidos; es en esta etapa del desarrollo mental cuando se constituyen los conceptosfundamentales de espacio, tiempo y movimiento. La mente no tarda en aferrarse a estas nociones,hasta tal punto que ms tarde llegamos a creer que nuestra imagen del mundo externo, basada enellas, es la nica posible; imaginar la menor transformacin nos resulta demasiado paradjico. Pese atodo esto el desarrollo de mtodos fsicos exactos de observacin y el ahondamiento en el anlisis delas relaciones observadas han conducido a la ciencia moderna a la conclusin de que este fundamento"clsico" fracasa al ser aplicado a la descripcin detallada de los fenmenos generalmente inaccesiblesa la experiencia cotidiana. Lo cual exige, para la descripcin correcta y coherente de nuestros nuevos yprecisos experimentos, introducir ciertas modificaciones en los conceptos fundamentales de espacio,tiempo y movimiento.

En el campo de la experiencia ordinaria, sin embargo, las desviaciones introducidas por la fsicamoderna en las nociones tradicionales son insignificantes. Nada impide, por otra parte, imaginarmundos sometidos a las mismas leyes que el nuestro, pero con diferentes valores numricos en lasconstantes fsicas que determinan los lmites de la aplicabilidad de los antiguos conceptos: de estamanera, las ideas correctas de espacio, tiempo y movimiento, que la nueva ciencia alcanza solamentetras investigaciones tan largas como complejas, se volveran patrimonio comn, hasta el grado de quecualquier salvaje en semejantes mundos estara, sin duda, bien familiarizado con los principios de larelatividad y la teora cuntica, los que incluso aplicara a sus necesidades ms inmediatas o a la caza,por ejemplo.

El hroe de las historias siguientes va a parar, en sueos, a varios mundos de este tipo, en loscuales los fenmenos que suelen escapar a nuestros sentidos aparecen tan exagerados que resultanfcilmente observables, como los dems acontecimientos de la vida cotidiana. Confiamos en que lasextraordinarias experiencias del seor Tompkins en estos mundos ayudarn al lector a formarse uncuadro claro del trasfondo oculto del mundo fsico que nos rodea.

Como Apndice a estas historias se incluyen tres de las conferencias* del profesor acerca de larelatividad y la teora cuntica, dirigidas al oyente ordinario. La asistencia a esas conferencias indujo enel seor Tompkins los sueos que vamos a relatar. En estas conferencias, cualquier lector -con ciertaidea de los elementos de la fsica clsica- encontrar un anlisis de los hechos e ideas que hanintroducido modificaciones revolucionarias en los conceptos fsicos, e igualmente la explicacin de los

numerosos acontecimientos inesperados que salen al paso a nuestro hroe. Es un placer para el autorexpresar aqu su agradecimiento al doctor C.P. Snow, quien public por primera vez estos sueos en larevista Discoveryy a la Cambridge University Press por la excelente edicin de esta obra.

G. George GAMOW Universidad Washington Marzo, 1939Primer sueo: Un Universo de Juguete

El seorTompkins, modesto empleado de un gran banco de la ciudad, estaba muy cansado. Sujornada, dedicada totalmente a sumar las columnas interminables de las cuentas bancarias, lo habasumido en un completo embotamiento. Indudablemente, necesitaba distraerse un poco. Cogi un diariode la tarde y busc la pgina de espectculos. Pero no se sinti atrado por ninguna pelcula. Detestaba

todas esas historias de Hollywood, llenas de innumerables romances entre los artistas de moda. Conque hubiera una sola pelcula de verdaderas aventuras, con algo extraordinario, o incluso fantstico!


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Pero no haba nada de eso. Su mirada se pos sin querer en un anuncio pequeo, en la esquina de lapgina. La universidad local anunciaba una serie de conferencias sobre los problemas de la fsicamoderna; la de aquella tarde versara sobre el espacio, el tiempo y la cosmologa. Ya era algo! Recordvagamente haber ledo en su juventud un libro que describa las aventuras de un astrnomo, a bordo deuna nave cohete que cruzaba el espacio interestelar y que le serva para visitar diversos planetas yhasta algunas estrellas lejanas. Ira a la conferencia; bien podra ser eso lo que necesitaba.

Cuando lleg al gran auditorio de la universidad, ya haba empezado la conferencia. El localestaba lleno de estudiantes, jvenes en su mayora, que escuchaban atentamente al caballero alto, debarba blanca, que estaba junto a la pizarra. Precisamente en el momento en que el seor Tompkinsentr, el profesor estaba escribiendo una frmula matemtica de aspecto escalofriante.

Como los conocimientos matemticos del seor Tompkins se limitaban a las cuatro operacionesfundamentales de la aritmtica (de las cuales le bastaban dos para su trabajo en el banco), el sentido deaquella frmula extraa qued oculto para l. Senta una vaga esperanza de que, despus de cubrir lapizarra con frmulas todava ms complicadas que la primera, el profesor orientara su pltica hacacuestiones ms accesibles y acabara por describir la imagen que se haca del universo.

No fue as, sin embargo; y el seor Tompkins no pudo sacar nada en limpio, de no ser la frasetantas veces repetida: "Vivimos en un espacio curvo, cerrado sobre s mismo y, adems, en expansin".No es que semejante expresin le resultase mucho ms comprensible que el resto de la conferencia,pero al menos lo impresion profundamente. Mientras volva a su casa trat de concebir un espaciocurvo, sin que se le ocurrieran ms que cosas parecidas al parachoques de un Ford antiguo... No,nunca debi asistir a la conferencia; las cumbres de la ciencia no eran para l. En este estado dedepresin mental, se desnud y se ech las mantas sobre la cabeza.

El seor Tompkins despert con la extraa sensacin de yacer sobre algo duro. Abri los ojos ysu primera impresin fue que estaba tendido sobre una gran roca junto al mar. No tard en descubrirque era ciertamente una roca, de unos nueve metros de dimetro, pero suspendida en el espacio sin

soporte visible alguno. A trechos creca musgo y por las grietas asomaban unos pocos matorrales.Alrededor, el espacio estaba iluminado por una luz incierta y haba mucho polvo por todas partes; nuncahaba visto tanto, ni siquiera en las pelculas que representaban tormentas de arena en el desierto. Seat el pauelo delante de la nariz y sinti considerable alivio. Pero no faltaban a su alrededor cosas mspeligrosas que el polvo. A cada momento revoloteaban cerca de su roca piedras tan grandes o ms queuna cabeza; algunas se estrellaban con un ruido extrao y sordo. Advirti tambin un par de rocas, entodo similares a la suya, que flotaban en el espacio a cierta distancia. Mientras el seor Tompkinsreconoca as los alrededores, se aferraba desesperadamente a las escasas salientes de la piedra,temiendo sin cesar precipitarse en las simas polvorientas que se vislumbraban abajo. Pronto cobr valory se decidi a deslizarse hasta el filo de la roca, para ver si efectivamente no tena nada que lasustentase. Al irse arrastrando, advirti con gran sorpresa que no corra el menor peligro de caer,porque su propio peso lo comprima contra la superficie de la roca, pese a que ya haba recorrido ms

de un cuadrante de su circunferencia. Se asom por detrs de un montn de piedras sueltas en el poloopuesto a aquel en que despertara, pero no descubri nada que sostuviese la roca en el espacio.Distingui con gran asombro, sin embargo, la silueta de un hombre alto, de larga barba blanca, queestaba de pie pero de cabeza (tal pareca) y tomaba notas en un librito. Reconoci al profesor a cuyaconferencia haba asistido aquella tarde. El seor Tompkins empez a comprender. Record haberaprendido en la escuela que la Tierra es una enorme mole esfrica que gira libremente alrededor delSol, a travs del espacio. Record tambin una ilustracin en que se representaba un par de antpodas,en puntos diametralmente opuestos del planeta. Sin duda, esta roca era un minsculo cuerpo celesteque todo lo atraa haca su superficie y contaba con l y el anciano profesor por toda poblacin. Estosrazonamientos lo consolaron un poco. Al menos no haba peligro de caer!

-Buenos das! -dijo el seor Tompkins, para llamar la atencin del anciano, sumido en susclculos. El profesor alz los ojos de su libro de notas.


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-Aqu no hay das -dijo- ni sol. Ni siquiera una estrella luminosa. Afortunadamente, los cuerposexhiben algn proceso qumico en su superficie. De no ser as, me resultara imposible observar laexpansin de este espacio. Dicho esto, volvi a su libro.

El seor Tompkins se sinti muy infeliz. Que la nica persona del universo entero fuera taninsociable! De pronto, uno de los meteoritos pequeos vino en su ayuda: con un crujido arrebat el librode notas de manos del profesor y lo lanz al espacio en veloz carrera, que lo alejaba cada vez ms deldiminuto planeta.

-Ya no podr recuperarlo -exclam el seor Tompkins, mientras el libro iba desapareciendo en lalejana.

-Todo lo contrario -replic el profesor-. Ya ve usted que el espacio que nos rodea no es deextensin infinita. S, s; bien s que a usted le ensearon en la escuela que el espacio es infinito y quedos paralelas jams se encuentran, Sin embargo, todo eso es tan falso en el espacio que habita el restode la humanidad como en ste. El primero, ni qu decir tiene, es enorme; los sabios le atribuyen unaextensin de ms de 15.000.000 000.000.000.000.000 kilmetros, lo cual para una mentalidad ordinaria

coincide ciertamente con el infinito. Si hubiera perdido all mi libro, tendra que esperar un tiempoincreblemente largo para que volviera. Pero aqu la situacin es muy distinta. Lo ltimo que alcanc aapuntar es que el dimetro de este espacio asciende apenas a unos ocho kilmetros, si bien est enrpida expansin. Cuento con recuperar el libro de notas antes de media hora.

-Es que, segn usted, el cuaderno va a comportarse como el bumerang de un australiano, esdecir, seguir una trayectoria curva para caer a sus pies? -se aventur a decir el seor Tompkins.

-De ninguna manera -fue la respuesta-. Para comprender lo que realmente sucede, piense en ungriego antiguo, quien no saba que la Tierra es esfrica. Supongamos que ordenase a alguien marcharindefinidamente hacia el norte, en lnea recta. Imagnese su asombro al ver volver al viajero por el sur.

Nuestro griego no sabra lo que es dar la vuelta al mundo (a la Tierra, quiero decir en este caso) yopinara que el trayecto del viajero no haba sido recto sino curvo. En realidad el recorrido se hizo a lolargo de la lnea ms recta que puede trazarse sobre la superficie terrestre, pero dio la vuelta al planetay retorn al punto de partida por la direccin opuesta. Lo mismo le pasar a mi libro, a no ser quetropiece con alguna piedra y se desve de su trayectoria rectilnea. Tome estos prismticos y vea sipuede distinguirlo todava.

El seor Tompkins mir por los prismticos y, aunque el polvo haca bastante confuso elpanorama, alcanz a distinguir el libro de notas del profesor viajando por el espacio muy, muy lejos. Lesorprendi mucho la coloracin rosada de todos los objetos lejanos, y del propio libro.

-El libro est volviendo! -exclam al poco rato-. Cada vez lo veo mayor.-No -dijo el profesor-. Sigue alejndose. Si usted lo ve ms grande, como si estuviera de vuelta,

es en virtud de un efecto de enfoque peculiar del espacio esfrico cerrado sobre los rayos luminosos.Volvamos al antiguo griego. Si se pudiera hacer que los rayos de luz marcharan siempre al ras de lasuperficie terrestre (por refraccin en la atmsfera, digamos), el griego podra, usando unos prismticosmuy poderosos, seguir al viajero durante toda su jornada. Si mira usted un globo terrqueo, advertirque las lneas ms rectas posibles en su superficie, los meridianos, empiezan por alejarse entre s,partiendo del polo, pero una vez cruzado el ecuador, convergen hacia el polo opuesto. Si los rayosluminosos viajaran por los meridianos y usted se situase, por ejemplo, en uno de los polos, vera alviajero cada vez ms pequeo, conforme se alejara, hasta que alcanzase el ecuador. Desde esemomento sus dimensiones iran aumentando y a usted le parecera que se acercaba, si bien andandode espaldas. Cuando el viajero llegase al polo opuesto, lo vera usted tan grande como si lo tuviera allado, mas no podra tocarlo, como no puede tocarse la imagen que produce un espejo esfrico. Graciasa esta analoga bidimensional, puede usted imaginarse lo que sucede con los rayos luminosos en el


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espacio tridimensional misteriosamente curvado. Me parece que la imagen del libro debe estar ya biencerca de nosotros.

Efectivamente, el seor Tompkins dej los prismticos y vio el libro a pocos metros. Pero quextrao era su aspecto! Sus contornos no eran definidos, sino un tanto desledos, y las frmulas escritasen sus pginas por el profesor eran apenas reconocibles. El libro entero recordaba una fotografa fuerade foco y a medio revelar.-Como puede usted ver -dijo el profesor -, se trata nicamente de la imagen del libro, profundamentedeformada por la luz, que ha tenido que recorrer la mitad del universo. Para convencerse del todo notiene ms que observar cmo se transparentan a travs de sus pginas las piedras que estn detrs dellibro.

El seor Tompkins trat de cogerlo, pero su mano pas a travs de la imagen sin encontrarresistencia.

-El libro verdadero -explic el profesor- se encuentra ahora muy cerca del polo opuesto del

universo, y desde aqu puede usted ver dos imgenes de l. Precisamente le est usted dando laespalda a la segunda. Cuando se superpongan ambas, el libro pasar exactamente por el polo opuesto.

El seor Tompkins no atenda; estaba demasiado embebido tratando de recordar cmo seforman las imgenes de los objetos en los espejos cncavos y en las lentes, segn la ptica elemental.Cuando dej el asunto por la paz, las dos imgenes se alejaban en direcciones opuestas.

-Pero qu es lo que curva el espacio y produce todos estos efectos tan divertidos? -pregunt alprofesor.

-La presencia de materia ponderable -fue la respuesta-. Cuando Newton descubri la ley de la

gravedad, crey que se trataba de una fuerza ordinaria ms, del mismo tipo, por ejemplo, que laproducida por una cinta elstica tendida entre dos cuerpos. Pero queda en pie, sin embargo, el hechomisterioso de que todos los cuerpos, independientemente de su peso y dimensiones, reciben la mismaaceleracin y se mueven todos de idntica manera bajo la accin de la gravedad, con tal que se eliminela friccin del aire, desde luego. Einstein fue el primero en demostrar claramente que el efecto primariode la materia ponderable es una curvatura del espacio y que las trayectorias de todos los cuerpos quese mueven en campos gravitatorios son curvas por la simple razn de que el propio espacio tiene unacurvatura. Pero me parece que ser demasiado difcil para usted entender todo esto, sin sabersuficientes matemticas.

-As es -concedi el seor Tompkins-. Pero, dgame, si no hubiera materia, tendra validezentonces la geometra que nos ensearon en la escuela, y las paralelas no se juntaran nunca?

-Nunca, efectivamente -respondi el profesor-. Pero tampoco habra criaturas materiales paracomprobarlo.

-Pues bien, a lo mejor Euclides jams existi y pudo as construir la geometra del espacioabsolutamente vaco.

Pero el profesor no mostr el menor inters por entrar en esta discusin metafsica.Mientras tanto, la imagen del libro volvi a alejarse en la direccin original, y ahora volva por

segunda vez. Era todava ms defectuosa que antes y apenas poda reconocerse, lo cual, segn elprofesor, se deba a que los rayos luminosos haban dado ahora la vuelta al universo entero.


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-Si se vuelve usted -advirti al seor Tompkins- ver por fin volver a mi libro, cerrada ya su jornada entorno del universo.

Extendi la mano, tom el libro y se lo guard en el bolsillo.-Como usted ve -dijo entonces-, hay tanto polvo y piedras en este universo, que es casi

imposible distinguir claramente los alrededores. Esas sombras informes son probablemente imgenesde los objetos que nos rodean y de nosotros mismos. Pero estn tan deformadas por el polvo y lasirregularidades de la curvatura espacial, que no puedo siquiera decirle qu es qu.

-Se produce el mismo efecto en el gran universo en que estbamos acostumbrados a vivir?

-Pregunt el seor Tompkins.-Naturalmente -fue la respuesta-. Pero aquel universo es tan grande que la luz necesita miles de

millones de aos para darle la vuelta. Para verse cortar el pelo en la coronilla, sin espejo, tendra usted

que esperar miles de millones de aos despus de haber ido a la peluquera. Aunque, ni qu decir tiene,el polvo interestelar confundira enteramente la imagen. Por este camino, un astrnomo ingls llegcierta vez a la conclusin de que algunas de las estrellas que vemos ahora en el cielo no son sinoimgenes de otras que existieron hace mucho tiempo. Pero era una broma.

Fatigado de esforzarse por entender todas estas explicaciones, el seor Tompkins mir a sualrededor y qued muy sorprendido al advertir que el aspecto del cielo haba cambiado profundamente.Al parecer haba menos polvo, de modo que se quit el pauelo que le cubra la cara. Las piedrasmenores eran mucho ms raras, y chocaban contra la roca con violencia mucho menor. Por otra parte,las rocas grandes, comparables con la que ocupaban y que distingui desde el primer momento, sehaban alejado tanto que apenas resultaban visibles.

-Bueno, la vida se va haciendo ms cmoda -pens el seor Tompkins- Tem constantementeque una de esas piedras voladoras mealcanzasen. -Y volvindose hacia el profesor. -Puede usted explicar estos cambios en losalrededores?

-Con toda facilidad. Nuestro pequeo universo se expande rpidamente y en el tiempo quellevamos aqu sus dimensiones han crecido desde cinco hasta ciento sesenta kilmetros,aproximadamente. Desde que llegu advert la expansin por el enrojecimiento de los objetos distantes.

-Efectivamente; yo tambin he notado que todo adquiere un tinte rosado cuando se halla a grandistancia -dijo el seor Tompkins-. Acaso es un sntoma de expansin?

-Ha notado usted alguna vez que el silbato de un tren que se acerca produce un sonido muyagudo, pero que, una vez que el tren ha pasado, el tono desciende notablemente? -explic el profesor-.Es el llamado efecto Doppler: la relacin entre la altura del sonido y la velocidad de la fuente. Cuando elespacio entero est en expansin, todos los objetos comprendidos en l se alejan del observador convelocidad proporcional a la distancia que los separa. De aqu que la luz emitida por esos objetos seenrojezca, lo cual en ptica corresponde a una menor "altura". Cuanto ms alejado est un objeto, tantoms de prisa retrocede y ms rojo nos parece. En nuestro bueno y viejo universo, que tambin est enexpansin, este enrojecimiento, o desplazamiento hacia el rojo, como solemos llamarlo, permite a losastrnomos determinar aproximadamente las distancias de los cmulos estelares muy remotos. Uno delos ms cercanos, la nebulosa de Andrmeda, muestra un enrojecimiento del 0.05%, lo cualcorresponde a la distancia recorrida por la luz en ochocientos mil aos. Pero hay tambin nebulosas, enlos lmites del alcance actual de nuestros telescopios, que exhiben enrojecimientos prximos al 15%,correspondientes a distancias de varios centenares de millones de aos luz. Es de suponerse que talesnebulosas se encuentran cerca del punto medio del ecuador del gran universo, de modo que el volumen


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total de espacio accesible a los astrnomos terrestres representa una fraccin considerable del volumentotal del universo. El ritmo actual de expansin es ms o menos del 0.00000001% anual, lo cualdemuestra que, cada segundo, el radio del universo recibe un incremento de diecisis millones dekilmetros. El pequeo universo en que ahora nos hallamos crece en comparacin mucho msrpidamente, pues sus dimensiones aumentan en alrededor de 1% por minuto.

-Nunca cesar esta expansin? -interrog el seor Tompkins.-Claro que s. Y entonces empezar la contraccin. Todos los universos oscilan entre radios

mximos y mnimos. El periodo del universo grande es bastante largo, de unos cuantos miles demillones de aos; pero este universo pequeo tiene un periodo de apenas dos horas. Observamos, sino me equivoco, el estado de mxima expansin. No nota el fro que hace?

En efecto, la radiacin trmica encerrada en aquel universo, distribuida ahora en un volumenmuy grande, calentaba apenas el pequeo planeta, y la temperatura se acercaba a la del hielo.

-Tenemos la suerte -indic el profesor- de que desde un principio hubo la radiacin suficiente

para mantener cierta temperatura, incluso en este grado de expansin. De no ser as, el fro bien podrallegar hasta el extremo de que el aire que rodea nuestra roca se licuara y muriramos congelados. Peroya se ha iniciado la contraccin y pronto har calor otra vez.

El seor Tompkins mir al cielo y vio que todos los objetos mudaban de color, del rosa al violeta,fenmeno que explicaba el profesor suponiendo que ahora todos los cuerpos estelares se movan haciaellos. Record asimismo la analoga que el profesor trazara, en relacin con el tono agudo del silbato deun tren que se acerca, y se estremeci de espanto.

-Si ahora todo se contrae -pregunt angustiado al profesor- no debemos esperar que, bienpronto, todas las rocas de este universo se junten y nos trituren?

-Exactamente -contest el profesor con la mayor tranquilidad-. Pero supongo que antes latemperatura se elevar tanto que seremos disociados en tomos separados. Es una imagen enminiatura del fin del universo grande: todo se convertir en una esfera uniforme de gas caliente. Con lanueva expansin empezar otra vez la vida.

-Dios mo! -murmur el seor Tompkins-. En el universo grande contamos, usted lo ha dicho,con miles de millones de aos antes que llegue el fin, pero aqu todo marcha demasiado velozmentepara m. Empiezo a tener calor, aunque estoy en pijama.

-Ms vale que no se lo quite -aconsej el profesor- porque de nada le servira. Sencillamente,acustese y observe mientras pueda.

El seor Tompkins no respondi; el aire caliente resultaba insoportable. El polvo, muy densoahora, se acumulaba a su alrededor y le pareci rodar por un lecho blando y clido. Hizo un movimientopara liberarse y sinti el aire fresco en una mano.

-Es que he abierto un agujero en este universo inhospitalario? -fue su primer pensamiento. Ibaa hacer esta pregunta al profesor, pero ya no lo encontr por ningn lado. En su lugar distingui, a lamedia luz del amanecer, los perfiles familiares de su alcoba. Estaba en la cama, envueltoapretadamente en una manta de lana, y haba logrado sacar fuera una mano.

-Con la nueva expansin empieza otra vez la vida -pens, recordando las palabras del viejoprofesor-. Menos mal que estamos todava en expansin! Y fue a tomar su bao matinal.Nota:El universo descrito a continuacin corresponde a una velocidad de la luz diez millones de vecesmenor y a una constante gravitatoria


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un billn de veces mayor que en nuestro universo. El radio de tal universo, en su grado mximo deexpansin, es de unos 160 kilmetros, y la correspondiente densidad del polvo, de algo ms de 100gramos por kilmetro cbico. El periodo de pulsacin de dicho universo es de cosa de dos horas, ladensidad de las rocas es la misma que en la Tierra.

Tercer sueo: Velocidad mxima.Al seorTompkins le gustaban sus sueos; por eso esperaba ansiosamente la conferencia de

la semana siguiente, que le dara material para sus aventuras nocturnas. Qued muy desilusionado,pues, al averiguar que la pltica sobre la teora cuntica haba sido la ltima, y que no se dictaran msen el resto del ao. Algo se consol, sin embargo, cuando logr agenciarse un manuscrito de la primera,a la que haba podido asistir.

Aquella maana, el vestbulo del banco estaba casi vaco, de modo que el seor Tompkins,oculto tras su ventanilla, abri el apretado manuscrito y trat de avanzar por la maraa impenetrable defrmulas y complicadas figuras geomtricas con las que el profesor intentaba explicar a sus discpulos

la teora de la relatividad. Pero slo pudo comprender el hecho clave en torno al cual giraba laconferencia entera, a saber: que existe una velocidad mxima, la de la luz, que ningn cuerpo materialpuede rebasar y que de ello se desprenden consecuencias de lo ms inesperadas y extraordinarias. Seafirmaba, sin embargo, que, como la velocidad de la luz es de 300 000 kilmetros por segundo, losefectos relativistas son casi imposibles de discernir en la vida ordinaria. Pero lo ms difcil de entenderera la naturaleza de tan extraos efectos, y el seor Tompkins tuvo la impresin de que todo aquellocontradeca al sentido comn. Mientras trataba de imaginar la contraccin de las varas de medir y elcomportamiento anmalo de los relojes -efectos que eran de esperar a velocidades prximas a la de laluz-, su cabeza se fue inclinando sobre el manuscrito abierto.

Cuando volvi a abrir los ojos, se encontr de pie en una esquina de una hermosa ciudadantigua. Sospech estar soando pero, para su sorpresa, no suceda nada de particular a su alrededor:hasta el polica de la esquina opuesta tena el aspecto que los policas suelen tener. Las manecillas delgran reloj de la torre que estaba al final de la calle sealaban casi medioda y todo estaba desierto. Sloun ciclista bajaba lentamente por la calle y, conforme se acercaba, los ojos del seor Tompkins sefueron abriendo desmesuradamente de asombro. Porque tanto la bicicleta como el joven que ibamontado en ella aparecan increblemente aplanados en la direccin del movimiento, como vistos conuna lente cilndrica. El reloj dio las doce y el ciclista, con prisa innegable, empez a pedalear con msfuerza. Al seor Tompkins no le pareci que ganase mucho en velocidad pero, como premio a aquelesfuerzo, el ciclista se aplan ms todava y pas de largo. Pareca exactamente una figura recortadaen cartn. El seor Tompkins se sinti de repente muy orgulloso, pues comprenda lo que le pasaba alciclista: se trataba simplemente de la contraccin de los cuerpos en movimiento, cuya descripcinacababa de leer.

-Indudablemente, el lmite natural de velocidades es inferior en esta regin -concluyo-, y por esoaquel polica muestra un aire tan aburrido: no tiene que cuidarse de que nadie corra demasiado. Enefecto, en ese momento pasaba un taxi por la calle y, pese al estrpito que haca, no avanzaba muchoms velozmente que el ciclista: no pasaba de arrastrarse. El seor Tompkins decidi alcanzar al ciclista,que pareca buena persona, para pedirle ms detalles. Cerciorndose de que el polica miraba en otradireccin, se encaram a una bicicleta que estaba arrimada a la acera y sali dndole a los pedalescalle abajo.

Confiaba en aplanarse de inmediato, lo cual le satisfaca mucho, pues su gordura incipiente lohaba preocupado en los ltimos tiempos. De ah su sorpresa al advertir que nada le suceda ni a labicicleta ni a l. Pero, por otra parte, el cuadro que lo rodeaba cambi completamente. Las calles se

acortaron, los escaparates se convirtieron en rendijas angostas y el polica de la esquina result elhombre ms delgado que haba visto en su vida.


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-Caramba! -exclam excitado-. Ya veo el truco! Aqu es donde encaja la palabra "relatividad".Todo lo que se mueve en relacin a m, me parece ms corto, sin importar quin pedalee.

Era buen ciclista y haca todo lo posible por alcanzar al joven. Pero no le resultaba nada fcilsacar partido de aquella bicicleta. Ya poda acelerar la rapidez con que pedaleaba: su velocidad casi noaumentaba. Las piernas empezaban a dolerle, pero al pasar junto al farol que haba en una esquina vioque no iba mucho ms de prisa que al principio. Pareca que todos sus esfuerzos por correr eranintiles. Comprendi ahora, perfectamente, por qu el ciclista y el coche que acababa de encontrar ibantan despacio, y record las palabras del profesor, que decan que era imposible superar la velocidadlmite de la luz. Con todo, se dio cuenta de que las manzanas de casas se acortaban algo ms, y elciclista que iba delante de l pareca ms prximo. Despus de dar un par de vueltas lo alcanz al fin, ycuando empez a marchar a su lado lo llen de asombro ver que era un joven de lo ms normal, conaire de deportista.

-Ah! -Pens-. Esto se debe a que ahora no nos movemos en relacin uno del otroY, dirigindose al joven, le pregunt:

-Perdone, seor! No le resulta engorroso vivir en una ciudad con un lmite de velocidad tan

bajo?-Lmite de velocidad? -pregunt el otro, sorprendido-. Aqu no hay ningn lmite de velocidad.

Voy adonde quiero, tan de prisa cmo me place. Podra hacerlo, mejor dicho, si tuviera una motocicletaen vezde este artefacto viejo, que no sirve para nada!

-Pues iba usted bien despacio cuando pas junto a m hace un momento. Me di perfecta cuenta. -Ah, s? De modo que se dio perfecta cuenta?, -replic el joven, evidentemente ofendido-. Loque parece que no ha notado es que hemos pasado cinco calles desde que usted me dirigi la palabra.

No le parece velocidad suficiente?-Es que las calles se acortan -arguy el seor Tompkins.-Y qu diferencia hay entre decir que vamos ms de prisa o que las calles se acortan? Tengo

que pasar diez calles para llegar al correo, y si muevo ms rpidamente los pedales, las manzanas seacortan y llego antes. Mire usted, ya estamos -dijo el joven, apendose de la bicicleta.

El seor Tompkins mir el reloj del correo, que sealaba las doce y media.-Pues bien! -exclam triunfante-. Sea como quiera, le llev a usted meda hora recorrer esas

diez cuadras! Cuando lo vi pasar eran las doce en punto.-Y usted notesa media hora? -pregunt el otro. El seor Tompkins tuvo que reconocer que

slo le haban parecido unos cuantos minutos. Adems, al consultar su reloj de pulsera vio que nomarcaba msque las doce y cinco.

-Vaya! -exclam-. Es que el reloj del correo adelanta?-Naturalmente. O el suyo atrasa: como que viene usted de correr un buen trecho. Qu es, pues,

lo que le afana? Es que se ha cado de la Luna? -y luego de decir estas palabras, el joven entr alcorreo.


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Tras esta conversacin, el seor Tompkins lament de veras no tener a su viejo amigo elprofesor, para que le explicase aquellos sucesos, tan extraos para l. Evidentemente, el joven era dellugar y se haba acostumbrado a semejante situacin antes de aprender a andar. De modo que el seorTompkins tuvo que resignarse a explorar por su cuenta aquel extrao mundo. Puso en hora su reloj conel del correo y, para cerciorarse de que marchaba bien, esper diez minutos. Su reloj no atras. Siguisu paseo calle adelante hasta que vio una estacin de ferrocarril y decidi verificar de nuevo la marchade su reloj. Comprob, sorprendido, que haba vuelto a atrasar un poco. -Bueno -concluy-, debe serotro efecto relativista. Decidi entonces consultar a alguien ms inteligente que el joven.

La oportunidad no tard en presentarse. Un caballero cuarentn baj del tren y avanz hacia lasalida. Una dama muy anciana sali a su encuentro y, con gran asombro del seor Tompkins, se dirigia l llamndolo "abuelo querido". Era demasiado para el seor Tompkins. Con el pretexto de ayudar allevar el equipaje, inici una conversacin.

-Perdneme si me inmiscuyo en sus asuntos familiares -empez-, pero es usted de veras elabuelo de esta encantadora anciana? Vea usted, soy extranjero, y nunca...

-Ah, ya veo -dijo el caballero, esbozando una sonrisa-. Pienso que me estar usted tomando porel judo errante o algo por el estilo. Pero la cosa no puede ser ms sencilla. Mis negocios me obligan aviajar continuamente y, como paso la mayor parte de mi vida en tren, es claro que envejezco msdespacio que mis parientes, que viven en la ciudad. Me da tanto gusto volver y encontrar a mi queridanietecita todava viva! Pero disclpeme, por favor. Tengoque ayudarla a tomar un taxi.

Y escap, dejando al seor Tompkins otra vez con sus problemas. Un par de sandwiches delrestaurante de la estacin fortalecieron un poco su capacidad mental. Hasta pretendi haber dado conla contradiccin en el famoso principio de relatividad. -Es claro -se dijo; mientras sorba el caf-; si todofuese relativo, el viejo se presentara a sus parientes como un anciano, y ellos le pareceran muy viejosa l, aunque en realidad todos fuesen bastante jvenes. Pero lo que estoy diciendo es absurdo: No hay

quien tenga bigotes relativos! En vista de lo cual decidi hacer un ltimo intento por averiguar la verdad,y se dirigi a un hombre solitario, con uniforme de ferroviario, que estaba sentado cerca.-Podra hacerme el favor, seor -empez-, el gran favor de indicarme quin es el culpable de

que los pasajeros del tren envejezcan mucho ms despacio que las personas que quedan en la ciudad? -Yo soy el culpable -dijo el hombre, con gran sencillez. -Ah! -exclam el seor Tompkins-. De modo que ha descubierto usted el elixir de los

alquimistas! Usted debe ser famossimo en el mundo mdico. Ocupa usted una ctedra de medicinaen esta ciudad?

-No, por cierto -respondi el hombre, enteramente desconcertado-. No soy sino el guardafrenosde este ferrocarril.

-El guardafrenos! El guardafrenos ha dicho...! -clam el seor Tompkins, sintindosetambalear-. Quiere decir que usted se limita a poner los frenos cuando el tren llega a la estacin?

-Eso es justamente lo que hago: y cada vez que el tren reduce su velocidad, los pasajeros gananedad en relacin con el resto de la gente. Ni qu decir tiene -aadi modestamente- que el maquinistaque acelera el tren tiene tambin algo que ver en el asunto.

-Y eso qu tiene que ver con el conservarse joven? -pregunt el seor Tompkins, muysorprendido.


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-Ver usted -dijo el guardafrenos-. Yo no s exactamente lo que pasa, pero as es. Una vez se lopregunt a un profesor de la universidad que viajaba en el tren, pero se embarc en una explicacinincomprensible y muy larga, y acab dicindome que es lo mismo que los "desplazamientos hacia elrojo", creo que eso dijo, del sol. Ha odo usted hablar alguna vez de esos desplazamientos hacia elrojo?

-No... -dijo el seor Tompkins, con cierto aire de duda. El guardafrenos se alej, meneando lacabeza. Un camarero grandulln, de aspecto sombro, se acerc a la mesa con una cuenta en la mano,y el seor Tompkins empez a buscar dinero en sus bolsillos. Como no encontr nada, pregunt aloscuro personaje que si poda aceptarun cheque.

-No -ladr el mesero-, lo quiero en efectivo.-Es que no tengo dinero -explic el seor Tompkins, empezando a alarmarse.-En efectivo! -grito el otro-. En efectivo!... Haga el favor de cambiarlo! -repiti la voz, irritada.El seor Tompkins levant la cabeza de la mesa. Al otro lado no estaba el siniestro camarero,

sino su viejo amigo el profesor, que le tenda un cheque.-Oh, me da tanto gusto verlo! -exclam el seor Tompkins-. Precisamente quera preguntarle si

se logra vivir eternamente con slo pasarse la vida dando vueltas.-Lo siento, pero no tengo tiempo -dijo el profesor-. Quiere cambiarme este cheque? Tengo prisa

en acudir a una cita.Indudablemente, el anciano profesor era mucho menos amistoso en la vida real que en sueos.

El seor Tompkins suspir y empez a contarle los billetes.NOTA: En este relato, la velocidad de la luz es de unos 15 kilmetros por hora; las dems

constantes fundamentales tienen los valores ordinarios.Cuarto sueo: Ms incertidumbreUna maanagris de noviembre, el seor Tompkins dormitaba en su cama cuando cay en la

cuenta de que no estaba solo en la habitacin. Mirando con mayor cuidado descubri que el profesor,su viejo amigo, estaba sentado en el silln, embebido en el estudio de un mapa desplegado sobre susrodillas.

-Viene usted? -pregunt el profesor, alzando la cabeza. -A dnde? -el seor Tompkins estaba perplejo al encontrar al profesor en su habitacin.-A ver los elefantes y los dems animales de la selva cuntica. Est bien claro. El propietario del

billar que visitamos me revel hace poco el secreto de la procedencia del marfil usado para hacer susbolas de billar. Ve usted esta regin que he marcado con lpiz rojo en el mapa? Parece ser que en ellatodos los objetos se hallan sometidos a leyes cunticas con una constante sumamente elevada Losindgenas creen que la regin est habitada por demonios, as que me temo que nos va a resultar casiimposible conseguir un gua. Pero si va usted a acompaarme, le aconsejo que se levante cuanto antes.El barco sale dentro de una hora, y tenemos que recoger a Sir Richard.

-Quin es Sir Richard? -pregunt el seor Tompkins.


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-Es que nunca ha odo hablar de l? -el profesor pareca sorprendido-. Es un famoso cazadorde tigres, y se decidi a venir con nosotros en cuanto le promet una cacera interesante.

Llegaron al muelle a tiempo de ver cmo suban al barco una porcin de cajas alargadas quecontenan los rifles de Sir Richard y las balas especiales, hechas de plomo extrado por el profesor deunas minas prximas a la selva cuntica. Estaba el seor Tompkins ordenando el equipaje en elcamarote cuando la montona vibracin del barco indic que haba zarpado. La jornada por mar no tuvonada de notable, y el seor Tompkins no sinti pasar el tiempo hasta que llegaron a una fascinanteciudad oriental, el paraje poblado ms prximo a las misteriosas regiones cunticas.

-Ahora -indic el profesor- debemos comprar un elefante para nuestro viaje tierra adentro. Comome parece que ningn nativo querr acompaarnos, tendremos que conducir nosotros mismos elelefante, y de eso, querido seor Tompkins, tendr que encargarse usted. Yo estar demasiadoocupado con mis observaciones cientficas y Sir Richard manejar las armas de fuego.

El seor Tompkins se sinti desdichado al llegar al mercado de elefantes, en las afueras de laciudad, y ver los enormes animales, a uno de los cuales debera conducir. Sir Richard, que entenda

mucho de elefantes, escogi un animal de esplndido aspecto y pregunt el precio al propietario.

-Hrup hanweck ,o hobot hum. Hagori ho, haraham oh Hohohohi -dijo el nativo, mostrando susdientes relucientes. -Quiere muchsimo dinero -tradujo Sir Richard-, pero dice que es un elefante de laselva cuntica: por eso resulta ser tan caro. Lo compramos?

-Desde luego -explic el profesor-. O en el barco que los nativos capturan a veces elefantesprovenientes de las regiones cunticas. Son mucho mejores que los dems y, en nuestro caso,representar una indiscutible ventaja, pues el animal se sentir a sus anchas en la selva cuntica.

El seor Tompkins examin al elefante por los cuatro costados; era un hermoso animalcorpulento, pero no se comportaba diferente de los elefantes que haba visto en el zoolgico. Se dirigi

al profesor:-Dice usted que es un elefante cuntico, pero no me parece distinto de los dems elefantes, ni

acta de manera divertida, como aquellas bolas de billar hechas con los colmillos de sus parientes.Por qu, pues, no se dispersa en todas direcciones?

-Manifiesta usted una comprensin peculiarmente lerda -dijo el profesor-. No lo hace por la raznde que su masa es considerable. Hace tiempo le expliqu a usted que toda incertidumbre en la posicino en la velocidad depende de la masa: cuanto mayor es sta, tanto menor resulta la incertidumbre. Deah que las leyes cunticas no se hayan observado, en el mundo ordinario, ni siquiera en cuerpos tandiminutos como las partculas de polvo. Se tornan importantsimas en los electrones, que son billonesde veces ms ligeros que un grano de polvo. Pues bien, aunque en la selva cuntica la constante

cuntica es considerable, no basta, con todo, para hacer que se manifiesten efectos notables en unanimal tan pesado como este elefante. La nica manera de apreciar la incertidumbre en la posicin delelefante cuntico es examinar de cerca sus contornos. Tal vez haya usted notado que la superficie de lapiel no es del todo definida, sino que aparece algo confusa. Con el tiempo, esta incertidumbre va enlento aumento, lo cual me parece el. origen de una leyenda de los nativos, segn la cual los elefantesmuy viejos de la selva cuntica tienen pelo largo. Espero, sin embargo, que todos los animales demenor tamao exhibirn efectos cunticos notables.

-Que suerte -pens el seor Tompkins- que no vamos a hacer la expedicin a caballo, pues nohabra sabido si el animal estaba entre mis rodillas o andaba detrs de cualquier cerro.

En cuanto el profesor y Sir Richard con sus fusiles hubieron trepado a la cesta qu llevaba elelefante sobre el lomo, y el seor Tompkins, en su nuevo papel de conductor, se hubo instalado en elcuello, aguijn en mano, partieron hacia la selva misteriosa.


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Los lugareos les informaron de que tardaran alrededor de una hora en llegar, as que el seorTompkins, esforzndose por guardar el equilibrio, decidi aprovechar el tiempo aprendiendo delprofesor ms detalles sobre los fenmenos cunticos.

-Tendra usted la amabilidad de explicarme -pregunt, volvindose haca l- por qu loscuerpos de masa pequea se comportan en forma tan especial y cul es, a fin de cuentas, el significadode esa constante cuntica a la que invoca usted a cada paso? -No es muy difcil de entender -dijo elprofesor-. El comportamiento divertido que observa en todos los objetos del mundo cuntico se debe,sencillamente, a que usted los est mirando.

-Tan vergonzosos son? -pregunt sonriendo el seor Tompkins.-"Vergonzosos" no es la palabra justa -fue la fra respuesta-. Lo que pasa es que, para efectuar

cualquier observacin de un movimiento, es inevitable perturbarlo. En realidad, para percibir algunascaractersticas de un cuerpo en movimiento es necesario que ste ejerza cierta accin sobre lossentidos o sobre el aparato empleado. En virtud de la igualdad de la accin y la reaccin, debemos

concluir que el instrumento de medicin tambin ha actuado necesariamente sobre el cuerpo, que haestropeado su movimiento, por as decirlo, introduciendo una incertidumbre tanto en su posici6n comoen su velocidad.

-Estoy de acuerdo -dijo el seor Tompkins- en que si hubiera tocado la bola de billar cunticacon el dedo, habra perturbado su movimiento. Pero no pas de mirarla.Tambin eso la trastorna?

-Por supuesto. Es imposible ver la bola en la oscuridad, pero si se enciende la luz, los rayosreflejados por la bola (que son los que la hacen visible) actan sobre ella y "estropean" su movimiento. "Presin de la luz" llamamos a este efecto.

-Pero supongamos que utilizo aparatos sumamente delicados y sensibles. No puedo lograr asque la accin de mis instrumentos sobre el cuerpo mvil se reduzca hasta lo insignificante? -Tal era laopinin de la fsica clsica antes del descubrimiento del cuanto de accin. A principios del presente siglohubo que reconocer que la accinde cualquier objeto no puede ser inferior a cierto lmite, representadopor la constante cuntica, la cual es designada por el smbolo h. En el mundo ordinario, el cuanto deaccin es diminuto; en las unidades acostumbradas se expresa por un nmero con 27 ceros tras elpunto decimal, de modo que slo es importante en partculas ligersimas, como los electrones, que,gracias a su minscula, masa, son afectados por acciones muy pequeas. Pero vamos rumbo a la selvacuntica, donde el cuanto de accin es enorme. Es un mundo tosco, donde son imposibles las accionesdbiles. All, si alguien intentara acariciar a un gatito, no sentira nada o lo desnucara al primer cuantode caricia.

-Todo eso esta muy bien -dijo el seor Tompkins, pensativo-, pero cuando nadie los estmirando me imagino que los cuerpos se comportarn normalmente, quiero decir: en la forma a que nostienen acostumbrados.

- Cuando nadie mira -dijo el profesor-, nadie puede saber lo que est pasando, de modo que supregunta carece de sentido fsico.

-Vaya, vaya! -exclam6 el seor Tompkins. Francamente eso me suena a filosofa.-Llmelo as, si gusta -el profesor evidentemente se haba ofendido-. En realidad es el principio

fundamental de la fsica moderna: nunca hablar de aquello que no se puede conocer, La totalidad de lateora fsica moderna se funda en este principio, que el filsofo suele pasar por alto. Por ejemplo, Kant,el famoso filsofo alemn, dedic muchsimo tiempo a considerar las propiedades de los cuerpos, perono tal como se nos aparecen, sino como son "en s". Para el fsico moderno slo tienen sentido los


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"observables" (propiedades observables, sobre todo), y la ciencia se basa en sus relaciones mutuas.Las cosas imposibles de observar no sirven ms que a la especulacin ociosa: puede usted inventarlasa placer, pero jams lograr confirmar su existencia o aplicarlas a cualquier fin. Debo aadir que...

En aquel preciso instante reson un rugido pavoroso y el elefante dio tal respingo que el seorTompkins estuvo a punto de caer al suelo. Una nutrida banda de tigres acosaba al elefante por todaspartes. Sir Richard se ech el fusil a la cara y tir del gatillo, apuntando precisamente entre los ojos deltigre ms cercano. Inmediatamente el seor Tompkins le oy murmurar cierta palabrota que suelen usarlos cazadores: haba atravesado la cabeza del tigre sin hacerle el menor dao.

-Siga disparando! -grit el profesor-. Reparta el fuego alrededor, sin cuidarse de hacer blancosprecisos! No es ms que un tigre, pero est disperso en torno a nuestro elefante. Nuestra nicaesperanza es alzar el hamiltoniano!

El profesor cogi otro rifle y el estruendo de las descargas se mezcl con los rugidos del tigrecuntico. Al seor Tompkins le pareci que pasaba una eternidad. Finalmente, una de las balas "acert"y, para gran sorpresa del seor Tompkins, el tigre (pues en uno se convirti) sali por el aire con tal

mpetu que, tras describir un arco, fue a caer detrs de un palmar distante.

-Quin es el hamiltoniano? -pregunt el seor Tompkins cuando volvi la calma-. Algnfamoso cazador que trat usted de sacar de la tumba para que viniera en nuestra ayuda?

-!Oh, lo siento de veras! -explic el profesor-. Excitado por el combate empec a utilizar ellenguaje cientfico, que usted no entiende. Hamiltoniana se llama a una expresin matemtica quedescribe la interaccin cuntica entre dos cuerpos. Toma el nombre de un matemtico irlandsHamilton, quien fue el primero en aplicarla. Slo quise decir que disparando ms balas cunticasaumentaramos la probabilidad de interaccin entre la bala y el cuerpo del tigre. En el mundocuntico, como acaba usted de ver, por cuidado que se ponga al apuntar, es imposible contar con daren el blanco. Como la bala se dispersa, lo ms que llega a alcanzarse es cierta probabilidad finita de

acertar, jams la certidumbre. Hemos gastado aproximadamente 30 balas para lograr un verdaderoblanco sobre el tigre. Lo mismo sucede en nuestro mundo de todos los das, pero en escala muchomenor. Lo que pasa es que, como ya le he explicado, en el mundo ordinario hay que investigarpartculas diminutas, como los electrones, para advertir estos efectos. Tal vez sepa usted que todotomo consta de un ncleo relativamente pesado, en torno al cualgira determinado nmero de electrones. En un principio se crey que el movimiento de estos electronesen torno al ncleo era del todo anlogo al de los planetas alrededor del Sol hasta que un anlisis msprofundo demostr que las nociones ordinarias acerca del movimiento son demasiado groseras para lossistemas de dimensiones atmicas. Las acciones que intervienen en los tomos son del mismo ordende magnitud que el cuanto elemental de accin; de ah que el cuadro .se haga muy confuso. Elmovimiento de un electrn alrededor de un ncleo atmico es, en buena parte, anlogo al del tigre porlos alrededores de nuestro elefante: pareca estar en todas partes a la vez.

-Y alguien se dedica a disparar a los electrones, como nosotros al tigre?-Naturalmente! El ncleo mismo emite en ocasiones cuantos de luz de elevada energa,

unidades elementales de accin luminosa. Y tambin es posible disparar a los electrones desde elexterior, iluminando el tomo con un rayo de luz. Sucede lo mismo que con el tigre: muchos cuantos deluz atraviesan la zona ocupada por el electrn sin afectarlo en lo ms mnimo, hasta que uno acaba poractuar sobre l, expulsndolo del tomo. Es imposible perturbar levemente un sistema cuntico; o nosucede nada o el cambio es decisivo.

-Igual que el gatito que no puede ser acariciado en el mundo cuntico sin perecer -concluy elseor Tompkins.


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-Miren, gacelas! Son muchas! -exclam Sir Richard alzando el fusil. Efectivamente, unamanada de gacelas surga entre los bambes.

-Gacelas amaestradas -dijo el seor Tompkins para s-. Van tan bien formadas como lossoldados en un desfile. Me imagino que no se tratar de otro efecto cuntico.

El grupo de gacelas se acercaba velozmente al elefante y Sir Richard estaba ya dispuesto adisparar cuando el profesor se lo impidi.

-No desperdicie sus cartuchos -recomend- muy poco probable hacer blanco en un animalcuando se est difractando.

-Qu es eso de unanimal? -exclam Sir Richard-. Por lo menos hay unas cuantas docenas.-En modo alguno! Es una sola gacelita, seguramente asustada, que corre entre los bambes.

Ahora bien, la "dispersin" delos cuerpos conduce a propiedades anlogas a las de la luz ordinaria, por lo cual al atravesar una serie

ordenada de aberturas, como las que separan a las caas de bamb se produce el fenmeno de ladifraccin, que quiz le hayan explicado en la escuela. Por eso hablamos del carcter ondulatorio de lamateria.

Ni Sir Richard ni el seor Tompkins alcanzaban a explicarse el significado de la misteriosapalabra "difraccin", y la conversacin se interrumpi.

En su recorrido por las tierras cunticas, los tres viajeros tropezaron con innumerablesfenmenos interesantes, como los mosquitos cunticos, dificilsimos de localizar, en virtud de sureducida masa, y tambin algunos monos cunticos muy graciosos. Al fin vislumbraron lo que, segntodas las apariencias, era una aldea indgena.

-No tena noticia de que estas regiones estuviesen habitadas -dijo el profesor-. El ruido me hacesospechar que celebran una especie de festival. Escuchen el campanilleo.Sera casi imposible discernir por separado las siluetas de los nativos que bailaban una danza

salvaje alrededor de una enorme hoguera. A cada instante se alzaban sobre la turba manos morenasque sacudan campanas de todas dimensiones. Conforme se acercaban, todo, incluso las chozas y losrboles frondosos, se empez a confundir y el tintineo de las campanillas lleg a hacerse insoportablepara los odos del seor Tompkins. Tendi la mano, agarr algo y lo tir. El despertador dio en el vasode agua que tena en la mesa de noche, y un chorro de agua fra acab de despertar al seorTompkins. Se puso en pie de un salto y empez a vestirse a toda prisa. Media hora despus deberaestar en el banco.

NOTADebido indudablemente a la tercera conferencia.Quinto sueo: El seor Tompkins sale de vacaciones

El seorTompkins haba quedado encantado con sus aventuras en la ciudad relativista, perolamentaba de veras la ausencia del profesor, que le hubiera explicado los extraos acontecimientos queobserv: los misteriosos mtodos aplicados por el guardafrenos para evitar que los pasajerosenvejecieran lo preocupaban particularmente. Ms de una noche se meti en la cama con la esperanzade volver a aquella interesante ciudad, pero los sueos eran escasos y casi siempre desagradables; enel ltimo, el director del banco le echaba en cara la incertidumbre que introduca en las cuentas... De

modo que resolvi tomar una buena semana de vacaciones en alguna playa. Sentado en uncompartimento de ferrocarril miraba por la ventanilla cmo los tejados grises de las afueras iban


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cediendo poco a poco su lugar a la campia verde. Cogi un peridico al azar y trat de interesarse enel conflicto franco-italiano, pero todo era tan soso... y el vagn lo arrullaba tan dulcemente...

Cuando baj el peridico y volvi a mirar por la ventanilla, el paisaje haba cambiadoconsiderablemente. Los postes del telgrafo estaban tan juntos que hacan el efecto de una valla, y losrboles tenan copas tan angostas que parecan cipreses italianos. Frente a l iba sentado su viejoamigo el profesor, mirando afuera con gran inters. Seguramente haba entrado mientras el seorTompkins lea el peridico.

-Estamos en el pas de la relatividad -dijo el seor Tompkins-. No es cierto?-Caramba! -exclam el profesor-. Parece usted bien enterado! Dnde averigu esos datos?- Es que ya he estado aqu, aunque sin poder disfrutar de su compaa. - De modo que, por esta vez, usted va a ser mi gua -dijo el anciano.-Me temo que no -protest el seor Tompkins-. Vi una porcin de cosas raras, pero la gente aquien interrogu no entendi mi desconcierto.-Es bien natural -explic el profesor-; han nacido en este mundo y consideran naturales los

fenmenos que los rodean. Pero supongo que se quedaran de una pieza si llegaran al mundo en quevivimos nosotros. Les parecera de lo ms extraordinario.

-Quisiera hacerle una pregunta -intervino el seor Tompkins-. Cuando estuve aqu en otraocasin, me encontr con el guardafrenos de un tren. Pretenda que los viajeros envejecen menos quela gente de la ciudad por el solo hecho de que el tren se detiene y vuelve a partir. Tambin esto escompatible con la ciencia moderna, o es pura magia?

-Nada justifica apelar a la magia a modo de explicacin. Todo eso se desprende directamente delas leyes de la fsica. Einstein, en su anlisis de las nuevas nociones de espacio y tiempo (que, enverdad, no tienen nada de nuevas, pero fueron descubiertas hace poco), demostr que todos losprocesos fsicos marchan ms despacio cuando modifica su velocidad el sistema en que estncomprendidos. En nuestro mundo, la pequeez de tales efectos los hace casi inobservables, pero aqu,gracias a la poca velocidad de la luz, son bien evidentes. Supongamos que en estas tierras tratara ustedde escalfar un huevo y que, en vez de dejar quieta la sartn sobre el fuego, la moviera continuamente,cambiando as incesantemente su velocidad: si la operacin con la sartn quieta llevara cinco minutos,el movimiento de la sartn hara que se tardara ms, tal vez seis minutos, en poner el huevo a punto.De la misma manera, todos los procesos del cuerpo humano van ms despacio si la persona estsentada, por ejemplo, en una mecedora, o en un tren que cambia de velocidad; en tales condiciones sevive ms despacio. Pero como todos los procesos se moderan en idntica escala los fsicos prefieren

decir que en un sistema en movimiento no uniforme, el tiempo fluye ms despacio. -Es que los cientficos llegan a observar esos fenmenos en nuestro mundo?

-Los observan, aunque se necesita gran pericia. Lograr las aceleraciones necesarias representauna grave dificultad tcnica, pero las condiciones de un sistema en movimiento no uniforme sonanlogas (ms bien dira idnticas) a las producidas por un aumento considerable en la fuerza degravedad. Habr usted notado que dentro de un ascensor se siente uno ms pesado al recibir unarpida aceleracin hacia arriba y que, por el contrario, parece que se pierde peso al descender. Si elcable se rompe se nota muy bien. La explicacin es que el campo gravitatorio generado por laaceleracin se agrega a la gravedad de la Tierra o se resta de ella. Pues bien, el potencial gravitatorioes mucho mayor en el Sol que en la superficie terrestre, lo cual hace ms lentos los procesos. Y losastrnomos los observan.


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-Se van al Sol, acaso?-No hace falta. Observan la luz que nos llega del Sol. Esta luz es emitida por la vibracin de

diversos tomos en la atmsfera solar. Si todos los procesos marchan all ms despacio, se reduceigualmente el ritmo de las vibraciones atmicas, y para apreciar la diferencia basta con comparar la luzdel Sol con la producida en la Tierra. Y, dicho sea de paso -dijo el profesor, interrumpindose-, sabeusted el nombre de la estacin que estamos cruzando?

El tren pasaba por la pequea estacin de un poblado. En el andn slo estaban el jefe deestacin y un cargador de equipajes, que lea el peridico sentado en una carretilla. De pronto, elprimero abri los brazos y cay de bruces. El seor Tompkins no oy el ruido del disparo, perdido sinduda entre el estrpito del tren, pero el charco de sangre que empezaba a formarse alrededor delcuerpo cado no dejaba lugar a dudas. El profesor tir inmediatamente del cordn de emergencia, y eltren se detuvo con una sacudida. Al salir del vagn vieron al mozo de estacin que corra hacia su jefemientras un polica rural entraba en escena.

-Le han partido el corazn -dijo el polica, despus de examinar el cuerpo, yaadi

inmediatamente agarrando al mozo por el hombro de un manotazo-: Queda usted detenido por elasesinato del jefe de la estacin.-Yo no lo mat! -exclam el desdichado joven-. Estaba leyendo el peridico cuando o el

disparo. Estos seores que bajan del tren seguramente lo vieron todo y testificarn mi inocencia!- S -dijo el seor Tompkins-; vi con mis propios ojos cmo este hombre lea el peridico en el

momento en que el jefe de la estacin caa muerto. Puedo jurarlo sobre la Biblia.-Pero usted estaba en el tren en movimiento -interrumpi el polica, adoptando un tono

autoritario-. Visto desde aqu bien pudiera ser que este hombre estuviera disparando en ese precisoinstante. No sabe que la simultaneidad depende del sistema desde el cual se observe? Vamos,

andando! -aadi, volvindose hacia el cargador de equipajes.-Perdone usted, sargento -intervino el profesor-, pero est usted enteramente equivocado, y no

creo que su ignorancia hiciera buen efecto en la comisara. Es verdad que el concepto de simultaneidades muy relativo en este pas y que dos acontecimientos ocurridos en lugares diferentes pueden parecersimultneos o no, segn el movimiento del observador. Pero ni siquiera en esta tierra es posibleobservar el efecto antes de la causa. Nunca habr usted recibido un telegrama antes de que fueraenviado verdad? Y se ha emborrachado alguna vez antes de abrir la botella? Me parece entenderque, segn usted, el movimiento del tren pudo hacer que viramos el disparo mucho despusque suefecto, de modo que, como salimos del tren en cuanto vimos caer al jefe de estacin, nos quedamos sinver disparar a este hombre. Supongo que tiene usted rdenes de no creer ms que lo escrito en susreglamentos. Consltelos, pues, y probablemente encontrar algo pertinente.

El tono del profesor impresion profundamente al polica, quien sac en seguida un libro deinstrucciones del bolsillo y empez a leer lentamente. No tard en aparecer una sonrisa avergonzada ensu cara ancha y roja.

-Aqu est -dijo-; seccin 37, subseccin 12, prrafo e:"Probar su coartada aquel sospechosoque pueda presentar testigos probos, de cualquier sistema en movimiento, que atestigen que elsospechoso estaba en otro sitio en el momento del crimen o dentro de un intervalo de tiempo ed(siendo eel lmite natural de velocidad y d la distancia al lugar del crimen)". Queda usted libre, buenhombre -dijo al joven. Y agreg, volvindose al profesor-: Le agradezco mucho, caballero, el habermesalvado de complicaciones con mis superiores. Soy nuevo en el cuerpo de polica y todava no estoyacostumbrado a todas estas reglas. En todo caso, debo dar parte del asesinato -y se dirigi a la cabinade telfonos. Un minuto despus le oyeron gritar:


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-Todo est en orden! Ya han pescado al verdadero asesino cuando escapaba de la estacin.Gracias una vez ms!

-Debo de ser muy estpido -dijo el seor Tompkins cuando el tren se puso otra vezenmovimiento-, pero qu enredos son esos de la simultaneidad? Es que no tiene sentido en este pas?

-Lo tiene -fue la respuesta-, pero slo hasta cierto punto; de no ser as, me habra resultado deltodo imposible auxiliar al mozo de la estacin. Vea usted: la existencia de un lmite natural para lavelocidad de cualquier cuerpo o la propagacin de cualquier seal hace que la simultaneidad, ennuestro sentido ordinario, se vuelva una palabra sin sentido. Me entender usted mejor con un ejemplo.Imaginemos que tiene usted un amigo en una ciudad distante, con el cual se comunica por carta, yaceptemos que el tren correo es el mtodo ms rpido de comunicacin. Supongamos ahora que austed le sucede algn percance el domingo y que se entera, de paso, que lo mismo le va a suceder a suamigo. Evidentemente, la noticia que usted le enviara no llegara antes, digamos, del mircoles. Por otraparte, si su amigo llegara a saber lo que a usted le iba a suceder, le sera imposible prevenirlo a usteddespus del jueves anterior al suceso. De modo que, entre el jueves y el mircoles siguiente, o seadurante seis das, el amigo estara incapacitado para influir en el destino de usted el domingo o para

enterarse de lo que le sucediera ese da. Por as decirlo, desde el punto de vista de la causalidad, sepas seis das incomunicado de usted.-Y si pongo un telegrama? -sugiri el seor Tompkins.-Sea. Acept que la velocidad del correo era la mxima posible, lo cual sucede

aproximadamente en este pas. En nuestro mundo, la mxima velocidad es la de la luz, y el radio es elmedio de comunicacin ms rpido.

-Como usted quiera -repuso el seor Tompkins-, pero aunque la velocidad del expreso que llevael correo fuera la mxima posible en qu afecta eso a la simultaneidad? Mi amigo y yo comeramossimultneamente el domingo no es cierto?

-No; puestas as las cosas, se trata de un enunciado carente de sentido. sa podra ser laopinin de un observador, pero otros, que hicieran sus observaciones desde trenes diferentes, noestaran de acuerdo y aseguraran que usted coma el domingo mientras su amigo desayunaba elviernes, o cenaba el martes, por ejemplo. Eso s: nadie podra observar a usted y a su amigo comiendocon ms de tres das de diferencia.

-Pero cmo va a ser posible eso? -exclam incrdulamente el seor Tompkins.-De un modo muy sencillo, como debera usted haber deducido de mis conferencias. El lmite

mximo de velocidad permanece inalterado mientras se le observa desde diferentes sistemas enmovimiento, aceptando lo cual llegamos a esta conclusin....

El seor Tompkins advirti extraos cambios en el rostro del profesor mientras pronunciaba lasltimas palabras. Su cabello gris adquiri un hermoso tono dorado; sus cejas adelgazaron de repente,hasta volverse encantadores arcos. Las pestaas crecieron, la barba acab por desaparecer y el seorTompkins se encontr frente a una preciosa muchacha que haba subido en la ltima estacin. Lomiraba sorprendida con oculta sonrisa. El seor Tompkins recogi a toda prisa el peridico, que habacado al suelo, y se ocult tras l por el resto del viaje. era muy tmido, sobre todo delante de lasmujeres.

NOTA Las condiciones son las del tercer sueo: la velocidad de la luz es de unos 15 kilmetros porhora; las dems constantes permanecen inalteradas.


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Sexto sueo: Aventura finalUna gran sorpresa esperaba al seor Tompkins a la maana siguiente de su llegada al

balneario, cuando baj a desayunar a la gran terraza encristalada del hotel. En una mesa de la esquinaopuesta del saln distingui al viejo profesor, acompaado de la muchacha que haba encontrado en eltren. La joven relataba algo al anciano, alegremente, sin dejar de echar ojeadas hacia la mesa ocupadapor el seor Tompkins.

-Me imagino lo estpido que deb parecerle dormido en el tren -pens el seor Tompkins, cadavez ms indignado consigo mismo-. Y el profesor recordar todava la tontera que le pregunt sobre elrejuvenecimiento, en vez de cambiarle el cheque. Pero estos detalles me servirn por lo menos pararelacionarme con l y poder preguntarle una porcin de cosas que sigo sin entender.

Ni aun para s quera reconocer que no era slo la conversacin del profesor lo que leinteresaba.

-Oh, s, s, creo recordar haberlo visto en mis conferencias -dijo el profesor mientrasabandonaban el comedor-. sta es mi hija Maud; estudia pintura.

Es un placer conocerla, seorita Maud - dijo el seor Tompkins, pensando que aqul era elnombre ms hermoso que oyera en su vida -. Espero que este paisaje le dar esplndido material parasus bosquejos. -Ya se los mostrar alguna vez -ofreci el profesor-. Pero dgame, sac usted muchoen claro de mis conferencias?

-No faltara ms! Gracias a usted estoy tan familiarizado con el universo en expansin que hastahe credo vivir en l.

-Es que viveusted en l -replic el profesor, sin entender-. Pero ha comprendido usted, porejemplo, la diferencia entre curvaturas espaciales positivas y negativas?-Pap -interrumpi la seorita Maud, haciendo un puchero-, si otra vez vas a hablar de fsica me

parece que saldr a trabajar un poco.-De acuerdo, nena, mrchate -dijo el profesor, hundindose en una poltrona-. Veo, joven, que no

ha estudiado usted muchas matemticas, pero creo que podr explicarle muy sencillamente la cuestin,tomando, para simplificar, el caso de las superficies. Imaginemos que el seor Pozo -ya sabe usted, elpropietario de las estaciones de gasolina- decide averiguar si sus estaciones estn distribuidasuniformemente en cierta regin; Norteamrica, por ejemplo. Con este fin, da rdenes a sus oficinascentrales, situadas hacia el centro del pas (tengo entendido que se considera a la ciudad de Kansascomo el corazn de Norteamrica), para que sean contadas las estaciones en superficies de radioscrecientes: 100, 200, 300 kilmetros, etc. Todava recuerda que, segn le ensearon en el colegio, elrea de un crculo es proporcional al cuadrado de su radio; espera, pues, que, de ser uniforme ladistribucin de las estaciones, el censo dar cifras que aumentarn como la serie de los cuadrados: 1,4, 9, 16, etc. Pero al recibir los datos quedar muy sorprendido al ver que el nmero de estacionescrece bastante ms despacio, digamos as: 1, 3.8, 8.5, 15.0, etc. - Vaya una lata! - exclamar -. Misrepresentantes en Norteamrica no saben lo que hacen. De quin es la brillante idea de concentrar lasestaciones cerca de la ciudad de Kansas? - Ahora bien estar en lo cierto al llegar a esa conclusin?

-Lo estar? -repiti el seor Tompkins, que pensaba en otra cosa.

-No -dijo el profesor gravemente-. Ha olvidado que la superficie terrestre no es plana sinoesfrica. Y sobre una superficie esfrica, el rea comprendida dentro de un radio dado aumenta msdespacio con el radio que sobre una superficie plana. De veras no lo ve claramente? Bueno tome un


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globo terrqueo y convnzase por si mismo. Si se coloca usted, por ejemplo, en el polo norte y describea su alrededor una circunferencia con radio igual a la mitad de un meridiano, esa circunferencia ser elecuador, y el rea encerrada por ella corresponder al hemisferio norte. Duplique usted el radio de sucircunferencia y abarcar toda la superficie terrestre: el rea se ha duplicado con el radio, en vez decuadruplicarse, como sucedera en un plano. Est claro ahora?

-Lo est -respondi el seor Tompkins, esforzndose por prestar atencin-. Y se trata de unacurvatura positiva o negativa?

-Se denomina curvatura positiva y, como acaba usted de ver sobre el globo, corresponde a unasuperficie finita conrea definida. La superficie de una silla de montar tiene curvatura negativa y nopositiva como la esfera.

-Una silla de montar?-S, una silla de montar o, en la superficie terrestre, un collado entre dos montaas.

Imaginmonos a un botnico que vive en una cabaa situada en un collado y se interesa por la

densidad con que estn distribuidos los pinos que rodean a su habitacin. Si, partiendo de la cabaa,cuenta el nmero de pinos que crecen en superficies con radios de 100, 200 metros, etc., descubrirque el nmero de rboles aumenta ms de prisa que el cuadrado de la distancia o, lo que es igual: lasreas encerradas por un radio determinado sobre una superficie de esta forma son mayores que lascorrespondientes sobre un plano. A semejantes superficies se les atribuye curvatura negativa. Si intentausted desplegar sobre un plano la superficie de una silla de montar, tendr que hacerle pliegues,mientras que si se trata de hacer lo mismo con una superficie esfrica, la desgarrar, de no ser elstica.

-Ya veo -dijo el seor Tompkins-. Quiere usted decir que una superficie como la de un collado esinfinita, aunque curva.

-Exactamente -aprob el profesor-. Una superficie as se prolonga hasta el infinito en todas

direcciones, sin cerrarse jams sobre s misma. En mi ejemplo del collado entre dos montes, ni qudecir tiene, la curvatura negativa cesa en cuanto se rebasan las montaas y se pasa a la superficieterrestre ordinaria, de curvatura positiva. Pero nada impide imaginar una superficie con una curvaturanegativa en cualquier punto.

-Y cmo aplicamos todo esto al espacio tridimensional curvo?-Exactamente del mismo modo. Imagine que tiene objetos distribuidos uniformemente por el

espacio, entindase: que estn separados entre s por distancias siempre iguales. Entonces no tienems que contar cuntos quedan comprendidos hasta determinadas distancias de usted. Si el nmero deobjetos crece con el cuadrado de la distancia, el espacio no estar curvado; si crece ms o menosvelozmente, el espacio tendr curvatura negativa o positiva, respectivamente.

-O sea que los espacios de curvatura positiva encierran menos volumen con un radio dado, y losde curvatura negativa encierran ms -dedujo el seor Tompkins, sorprendido.

-As es -dijo el profesor, sonriendo-. Y ahora veo que me ha entendido usted correctamente.Para conocer el signo de la curvatura del gran universo en que vivimos, slo tenemos que hacer censosde objetos distantes. Las grandes nebulosas, de las que tal vez tenga usted noticia, estn repartidasuniformemente por el espacio y se distinguen situadas hasta distancias de varios miles de millones deaos luz. Son, por lo tanto, objetos muy apropiados para investigar la curvatura del universo.

-Y de su estudio se deduce que nuestro universo es finito y cerrado sobre s mismo -aadi elseor Tompkins, recordando su primer sueo y el extrao incidente del retorno del libro de notas delprofesor. -Ver usted -explic el profesor, con aire reflexivo-; as se aceptaba generalmente y, de hecho,as lo crea yo cuando di mis conferencias. Pero hace algunas semanas le un artculo en la revista


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Naturedonde dos jvenes fsicos sugieren que se trata de una idea equivocada y que el universo es, enrealidad, influido, con curvatura negativa. Y me parece que tienen razn.

-As que habitamos una silla de montar en expansin, que jams se contraer para estrujarnoshasta la muerte con nuestros descendientes - exclam el seor Tompkins con alivio -. Entonces vale lapena vivir!

Se volvi para echarse un poco de agua en el vaso, pero aunque vaci en l una jarra biengrande, pareci que el vaso segua casi vaco.

-El espacio del interior de ese vaso posee probablemente una curvatura negativa muypronunciada -indic la voz del profesor-, de modo que encierra un volumen enorme con una pequeasuperficie. Si encuentra usted un vaso con gran curvatura positiva en su interior, bastarn seguramenteunas pocas gotas para colmarlo hasta los bordes. Me imagino que van a iniciarse curiosos cambios enla curvatura espacial por estos rumbos. Una especie de "terremoto espacial"

En efecto, a sus alrededores empezaron a presentarse transformaciones de veras

sorprendentes: un extremo del saln se volvi diminuto, con mobiliario y todo, mientras el extremoopuesto creca hasta el punto de parecerle al seor Tompkins que el universo entero hallara cabida all.Lo asalt de pronto un pensamiento terrible. Y si un trozo de espacio en la playa, donde estabapintando la seorita Maud, se dislocaba del resto del universo? Jams volvera a verla! Mientras seabalanzaba hacia la puerta oy gritar detrs al profesor:

-Cuidado! Tambin la constante cuntica est enloqueciendo!Al llegar a la playa la encontr muy concurrida. Millares de muchachas corran en todas

direcciones.-Cmo encontrar a mi Maud entre esta muchedumbre? -pens. Pero enseguida advirti que

todas eran idnticas a la hija del profesor y que se trataba de una broma del principio de incertidumbre.Un instante despus ya haba pasado la onda de constante cuntica anormalmente elevada, y laseorita Maud apareci en la playa, con mirada aterrorizada.

-Ah, es usted! -murmur aliviada-.Me pareci que se me vena encima una multitud! Debe serculpa del sol. Espere un minuto, mientras corro al hotel por mi sombrero.

-Eso s que no! -protest el seor Tompkins. No debemos separarnos! Me temo que tambin lavelocidad de la luz est cambiando. Al volver del hotel me encontrara hecho un viejo!

-Simplezas -dijo la joven, pero desliz su mano en la del seor Tompkins. Sin embargo, antes deque llegaran al hotel los alcanz otra onda de incertidumbre, y tanto el seor Tompkins como lamuchacha se dispersaron por toda la playa. Al mismo tiempo, un gran pliegue de espacio comenz a

deformarse desde las cercanas colinas, curvando las rocas y las casas de los pescadores de maneramuy divertida. Los rayos del sol, desviados por un inmenso campo gravitatorio, desaparecieron delhorizonte, y el seor Tompkins qued hundido en las tinieblas.

Pas un siglo hasta que una voz muy querida lo devolvi a la realidad.-Ay! -deca la muchacha-; veo que mi padre acab por dormirlo con su charla sobre fsica, No

quiere acompaarme a nadar? El agua est esplndida.El seor Tompkins se levant de su asiento como impulsado por un resorte. -As que slo era un sueo! -pensaba, bajando hacia la playa-. O es ahora cuando empieza? Celebraron su boda y fueron felices


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NOTAEn esta historia se trastornan todas las constantes.Primera conferencia: La relatividad del espacio y el tiempo

DAMAS Y CABALLEROS:En unaetapa muy primitiva de su desarrollo, la mente humana se form nociones definidas del

espacio y del tiempo como el marco dentro del que tienen lugar los distintos acontecimientos. Estasnociones, sin sufrir cambios esenciales, se han transmitido de generacin en generacin y, desde laaparicin de las ciencias exactas, han constituido los fundamentos mismos de la descripcinmatemtica del universo. Posiblemente fue Newton el primero en formular claramente las nocionesclsicas de espacio y tiempo, al escribir en sus Principia:

"El espacio absoluto, por su propia naturaleza y sin relacin con nada externo, persiste por

siempre, inmutable e inmvil" y tambin: "El verdadero tiempo, absoluto y matemtico, por s mismo ypor su propia naturaleza, fluye uniformemente sin relacin con nada externo".?

Tan arraigada estaba la conviccin de que estas ideas clsicas sobre el espacio y el tiempo eranabsolutamente correctas, que los filsofos han sostenido a menudo su carcter a priori, y ni un solocientfico lleg siquiera a imaginar la posibilidad de dudar de ellas.

Con todo, precisamente al iniciarse el presente siglo, result innegable que diversos resultados,alcanzados por losmtodos ms refinados de la fsica experimental, conducan a contradiccionesinevitables al ser interpretados dentro del clsico marco espacio-temporal. Fue esto lo que llev a unode los mximos fsicos contemporneos, Alberto Einstein, a concebir la idea revolucionaria de que esdifcil descubrir razones, como no sea la tradicin, que obliguen a considerar absolutamente ciertas lasnociones clsicas de espacio y tiempo, que podan y deban ser modificadas hasta que hallaran cabidaen ellas los resultados de nuestros nuevos experimentos. Es claro que, como los conceptostradicionales fueron formulados de acuerdo con la experiencia humana en la vida ordinaria, no essorprendente que los mtodos refinados de observacin de que disponemos hoy en da, fundados enuna tcnica experimental altamente desarrollada, indiquen que las antiguas nociones son demasiadogroseras e inexactas y que, si pudieron aplicarse en la vida cotidiana y durante las primeras etapas dela fsica, fue nicamente porque sus desviaciones respecto de los principios correctos eransuficientemente pequeas. Ni tiene nada de particular que la ampliacin de los campos explorados porla ciencia moderna alcance regiones en las cuales tales desviaciones crecen hasta el punto de volverenteramente intiles las nociones clsicas.

El resultado experimental ms importante que condujo a la crtica fundamental de nuestrosconceptos tradicionales fue el descubrimiento de que la velocidad de la luz en el vaco representa ellmite mximo de todas las velocidades fsicamente alcanzables. Esta conclusin tan importante yradical se deriva, ante todo, de los experimentos del fsico norteamericano Michelson, quien, a fines delsiglo pasado, intent observar el efecto del movimiento de la Tierra sobre la velocidad de propagacinde la luz y descubri, para gran sorpresa suya y de todo el mundo cientfico, que no existe tal efecto yque la velocidad de la luz en el vaco es siempre la misma, independientemente del sistema desde elcual se le mida o del movimiento de la fuente en que sea generada. No hace falta insistir en quesemejante resultado es de lo ms extraordinario y contradice nuestros ms fundamentales conceptossobre el movimiento. Ciertamente, si un cuerpo se mueve velozmente a travs del espacio y alguiencorre a su encuentro, el objeto chocar con l con mayor velocidad relativa, igual a la suma de suvelocidad y la del observador. Si ste corre, por el contrario, en la misma direccin y sentido que el

objeto mvil, recibir el choque por la espalda, aunque la velocidad ser menor e igual a la diferencia delas velocidades.


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De anloga manera, si se sale en un coche al encuentro de una onda sonora que viene por elare, la velocidad del sonido medida en el coche ser mayor que la ordinaria, pues se le habr sumadola velocidad del coche, la que, en cambio, se le restara si el coche recibiera el sonido por detrs. Setrata del teorema de la adicin de velocidades, que siempre se consider evidente por s mismo.

Sin embargo, las experiencias ms cuidadosas han demostrado que, en el caso de la luz, dichoteorema no es vlido, pues la velocidad de la luz en el vaco no altera su valor de 300.000 kilmetrospor segundo (designado siempre con la letra c), independientemente de la velocidad del observador.-Deacuerdo -dirn ustedes-. Pero no es posible construir una velocidad mayor que la de la luz sumandovelocidades menores que la de sta, fsicamente alcanzables?

Podemos considerar, por ejemplo, el caso de un tren velocsimo, cuya velocidad es igual a trescuartas partes de la de la luz, y un polizn que corre sobre los techos de los vagones, igualmente conuna velocidad de 225.000 kilmetros por segundo.

Segn el teorema de la adicin, la velocidad total del polizn ser una vez y media la de la luz,

con lo cual podra rebasar al rayo luminoso de un faro. En realidad, sin embargo, como la constancia dela velocidad de la luz es un hecho establecido experimentalmente, la velocidad resultante en este casohipottico debe ser inferior a la esperada, pues no puede sobrepasar el valor crtico c. Llegamos as a laconclusin de que el teorema de adicin debe ser falso, incluso para velocidades menores.

El tratamiento matemtico del problema, que no es mi intencin desarrollar aqu, conduce a unanueva frmula sencilla, que permite calcular la velocidad resultante de dos movimientos sobrepuestos.

Sean v1y v2las velocidades que van a sumarse. La velocidad resultante es dada por: V = v1+-v2 / (1 (v1v2 / c2))

Mediante esta frmula apreciarn ustedes que, en caso de que ambas velocidades originales

sean pequeas -en comparacin con la de la luz, se entiende-, el trmino de la derecha en eldenominador de (1) podr despreciarse si se compara con la unidad, y as tenemos la frmula clsicadel teorema de adicin de velocidades. Pero si v1y v2no son pequeas, el resultado ser siempre algomenor que la simple suma aritmtica. En el caso del polizn que corre sobre el tren, v 1= 3/4 cy v2= 3/4 cy nuestra frmula da la velocidad resultante, V= 24/25 cque es todava menor que la de la luz. En elcaso particular de que una de las velocidades originales sea igual a c, la frmula (1) da el valor ca lavelocidad resultante, independientemente de cul sea la segunda velocidad. As, sumando cualquiernmero de velocidades no se puede rebasar la de la luz.

Tal vez les interese a ustedes saber que esta frmula se ha verificado experimentalmente y seha encontrado que la resultante de dos velocidades es siempre algo menor que su suma aritmtica.

Una vez reconocida la existencia de la mxima velocidad posible, podemos emprender la crticade las ideas clsicas de espacio y tiempo, asestando el primer golpe al concepto de simultaneidadquede ellas se desprende.

Cuando decimos que "la explosin en las minas prximas a la Ciudad del Cabo ocurriexactamente en el mismo momento enque los huevos con jamn eran servidos en nuestrodepartamento de Londres", creemos saber lo que decimos. Voy a demostrarles, sin embargo, que no esas y que, estrictamente hablando, este enunciado carece de significado preciso. Qu mtodo, pues,se usar para comprobar si dos acontecimientos en dos lugares diferentes son simultneos o no? Diranustedes que el reloj marcaba la misma hora en los dos sitios, pero entonces surge la cuestin de cmopodran acoplarse los relojes separados, de modo que marcasen la misma hora simultneamente, conlo cual caemos en el mismo problema.


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En vista de que la independencia de la velocidad de la luz en el vaco respecto del movimientode su fuente o del sistema en que se le determine es uno de los hechos experimentales establecidoscon mayor exactitud, hay que aceptar que el mtodo siguiente es el ms racional para medir lasdistancias y acoplar los relojes correctamente. Si reflexionan ustedes cuidadosamente, tendrn quereconocer que es el nico razonable.

Desde la estacin A se enva una seal luminosa que, al llegar a la estacin B, es devueltainstantneamente a A. La distancia entre A y Bquedar definida como la mitad del tiempo transcurridoen la estacin A e

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el señor tompkins en el pais de las maravillas