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ElTensordeDeformación
Pensemosquépasacuandoaplicamosunafuerzaauncuerpo,esposiblequeéstesedeforme(cambiedeforma)
Nodeformado
Deformado
Cambioeneldesplazamientorela1voduranteladeformación
dddx’dddx
dddx’
P
Q
P’
Q’
• Consideremoslaposicióndeunpunto: P(x1, x2, x3) lellamaremoselradiovectorSiunsólidosedeforma,todoslospuntosqueloconsDtuyencambiandeposiciónaunanueva:
P´(x´1, x´2, x´3)
• Eldesplazamientodeestepuntoesentoncesladiferenciadesusposicionesfinaleinicial:
P´(x´1, x´2, x´3) - P(x1, x2, x3) Yaestenuevovectorledenominamoscomou
u = x´i– xi
Estevectorseconocecomoelvectordedesplazamiento
Consideremosdospuntosmuycercanosentresí,PyQ elradiovectorentreellosantesdedeformarsees:dxi Elradiovectordespuésdeladeformaciónes:dxi´ = dxi + dui LaprimeraderivadaesconJnuaymuypequeñayusandolaregladelacadena:
dui =∂ui∂xk
dxk
dui =∂ui∂x1
dx1 +∂ui∂x2
dx2 +∂ui∂x3
dx3
Notarque relacionadosvectoresy Porloqueesuntensordeorden2
∂ui∂xk
dui dx j
Ladistanciaentrelospuntosantesdedeformarseesentonces:Ladistanciaentrelospuntosdespuésdedeformarsees:UsandolaregladelanotacióndesubíndicesrepeDdos(regladelasumatoria):
SusDtuyendopodemosexpresara:ComolasumatoriadelsegundotérminodeladerechaseexDendesobrelossubíndicesi yk,podemosescribir:
dui =∂ui∂xk
dxk
Eneltercertéminointercambiamoslossubíndicesiylparaescribirladistanciaentrelospuntosunavezdeformadoelcuerpo:EndondehemosintroducidounconceptoqueeselllamadoTensordeDeformación:
Estetensor,debidoasudefiniciónessimétrico:Notarqueenladefiniciónanteriorsehaescrito:Enlaforma:queesclaramentesimétrica
Tarea1a)descomponer(expandir)elsegundotérminodeladerecha:Ydemostrarqueesposibleescribir:
b)descomponer(expandir)eltercertérminodeladerechade:Parallegara:siendo:
ElTensordeDeformación2aparte
HabíamosescritoElTensordeDeformacióndeformageneralcomo:
Sinembargo,ennuestrocaso(yenmuchosotros)estaremostratandocondeformacionesmuypequeñas,porloquepodemosdespreciareltercermiembrodelaecuación(sontérminosdesegundoorden,omulDplicacionesdediferenciales)demaneraque:
εik
εik
Ahorabien,lossubíndicesson“mudos”ynoimportacómolosdenominemos(i, j, k, l, pedroolupe),mientrasseamoscongruentesenloquesignifican.Además,paranoconfundirlosdesplazamientosconloselementosdeltensor(lanotaciónanterioresladellibrodeLandauyLifshitz),cambiemoselnombre,asíquepodemosre-escribireltensordedeformación:
Veamosnuevamentealgunapropiedadesdelasdiferencialesinvolucradasenestetensor.Recordemosqueunadiferencialparcial,noesotracosaquelavariacióndeunafunciónconrespectoaunadelascoordenadas(ovariabledependiente).
Parapoderdescribirladeformaciónusamosvectoresdedesplazamiento:
Ladiferencialδuilapodemosdescomponerendospartes,sisumamosyrestamos:
Alhacerestoestamosenefectodesacoplandolapartededeformaciónrígida(ωij)deladedistorsión(eij).¿reconocesalgunapartedelaecuación?
Cambioeneldesplazamientoconrespectoalejexj
Desplazamientodelpuntox
Lapartequellamamosωijcorrespondeaunarotaciónrígida.Lapartequeproducedistorsiónesloquehabíamosllamadotensordedeformación:cuyoselementosson(escribirlos):
Fijarsequeloselementossonvariaciones(tasas)decadacomponentedelvectordedesplazamientoconrespectoalosejescoordenados.
Ejemplosdeposiblesdeformacionesparaunelementodedosdimensiones
Latrazaosumadeladiagonaldeltensordedeformaciónnosdaloquesellamaladilatancia:
Paraunvolumeninicialdx1 dx2 dx3 elvolumenqueresultadespuésdeladeformaciónes:
SielvolumeninicialesV=dx1 dx2 dx3 ,elvolumenfinalesV+dV=(1+q)V, porloque:
Supongamosunadeformaciónuniaxial,endirecciónaleje1.¿Cuálseríalaformadeltensordedeformación?