El teorema de Stokes

stokes regiones de green teorema de stokes interpretación

El teorema de Stokes

Jana Rodriguez HertzCálculo 3

IMERL

14 de mayo de 2012


stokes

stokes

sir george stokes


stokes

gossip

gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterra

fue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades


stokes

gossip

gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889

se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades


stokes

gossip

gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridge

fue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades


stokes

gossip

gossipfue presidente de la Royal Society de Inglaterrafue nombrado Baronet en 1889se graduó con honores en Cambridgefue distinguido con premios y doctorados honoríficos enmuchas universidades


regiones elementales


región y elementalD es una región y -elemental si

Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuasΦ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)










Φ1,Φ2 : [a,b]→ R continuas

Φ1(x) ≤ y ≤ Φ2(x)









región x-elementalD es una región x-elemental si

Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuasΨ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)










Ψ1,Ψ2 : [c,d ]→ R continuas

Ψ1(y) ≤ x ≤ Ψ2(y)









región elementalD es región elemental si

1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental





1 D es región x-elemental y

2 D es región y -elemental





1 D es región x-elemental y2 D es región y -elemental


orientación de las curvas borde

curvas borde

observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple

(sin autointersecciones)



curvas borde

observaciónla curva borde de una región elemental es una curvasimple(sin autointersecciones)



orientación de la curva orde

orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva




orientación de la curva bordeorientación antihoraria o positiva




orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa




orientación de la curva bordeorientación horaria o negativa



región de green

región de greenD es una región de Green

si es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario



región de green

región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,

y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario



región de green

región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma que

cada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario



región de green

región de greenD es una región de Greensi es unión finita de regiones elementales Dn,y ∂D está orientado de forma quecada ∂Dn está orientado en sentido anti-horario



región de green

región de green



región de green

región de green

si caminamos a lo largo de ∂D, D queda a la izquierda



región de green

región de green

si caminamos a lo largo de ∂D, D queda a la izquierda


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de Green

Φ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂D

X : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα


teorema de stokes

teorema de stokes

teorema de stokesD región de GreenΦ : D → S superficie paramétrica ∂S orientada como ∂DX : S → R3 campo vectorial C1

⇒ ∫∫S

rot X .d~S =

∫∂S

Xdα


teorema de stokes

observación

orientación de ∂S

// cuando se camina a lo largo de ∂S,S queda a la izquierda


teorema de stokes

observación

superficies sin bordesi S superficie cerrada (sin borde)

entonces ∫∫S

rot Xd~S = 0


teorema de stokes

observación

superficies sin bordesi S superficie cerrada (sin borde)entonces ∫∫

Srot Xd~S = 0


teorema de stokes

demostración

demostraciónharemos la demostración sólo para superficies

z = f (x , y) con f ∈ C2

X = (P,Q,R)

rot X = (Ry −Qz ,Pz − Rx ,Qx − Py )


teorema de stokes

demostración

demostraciónharemos la demostración sólo para superficiesz = f (x , y) con f ∈ C2

X = (P,Q,R)



teorema de stokes

demostración


X = (P,Q,R)



teorema de stokes

demostración


X = (P,Q,R)



teorema de stokes

demostración

demostraciónrecordemos que Φ(x , y) = (x , y , z(x , y))

⇒ n = (−zx ,−zy ,1)∫∫S

rot Xd~S =

∫∫D

rot X .n dS


teorema de stokes

demostración


⇒ n = (−zx ,−zy ,1)

∫∫S

rot Xd~S =

∫∫D

rot X .n dS


teorema de stokes

demostración


⇒ n = (−zx ,−zy ,1)∫∫S

rot Xd~S =

∫∫D

rot X .n dS


teorema de stokes

demostración

demostraciónentonces∫∫

Srot X d~S =

∫∫D−(Ry−Qz)zx−(Pz−Rx )zy +(Qx−Py )dxdy

por otro lado ∫∂S

Xdα =

∫ b

aPx + Qy + Rz dt

por regla de la cadena

z = zx x + zy y


teorema de stokes

demostración


Srot X d~S =


por otro lado

∫∂S

Xdα =

∫ b

aPx + Qy + Rz dt


z = zx x + zy y


teorema de stokes

demostración


Srot X d~S =



Xdα =

∫ b

aPx + Qy + Rz dt


z = zx x + zy y


teorema de stokes

demostración


Srot X d~S =



Xdα =

∫ b

aPx + Qy + Rz dt


z = zx x + zy y


teorema de stokes

demostración

demostraciónreemplazando:∫∂S Xdα =

∫ ba (P + Rzx )x + (Q + Rzy )y dt

=∫∂D(P + Rzx )dx + (Q + Rzy )dy

aplicando teorema de Green

=∫∫

D∂(Q+Rzy )

∂x − ∂(P+Rzx )∂y dxdy

=∫∫

D (Qx + Rx zy + Rzyx )− (Py + Ry zx + Rzxy ) dxdy

=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

demostración





=∫∫

D∂(Q+Rzy )


=∫∫


=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

demostración





=∫∫

D∂(Q+Rzy )


=∫∫


=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

demostración





=∫∫

D∂(Q+Rzy )


=∫∫


=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

demostración





=∫∫

D∂(Q+Rzy )


=∫∫


=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

demostración





=∫∫

D∂(Q+Rzy )


=∫∫


=∫∫

S rot X .d ~X


teorema de stokes

ejemplo 1

ejemplo 1X = (yez , xez , xyez)

demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0∫α Xdα =

∫∫S rot X d~S x Stokes

rot X =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zyez xez xyez

∣∣∣∣∣∣

= ~0


teorema de stokes

ejemplo 1


demostrar que la integral a lo largo de cualquier curvasimple cerrada que bordea una superficie S vale 0

∫α Xdα =


rot X =


∣∣∣∣∣∣

= ~0


teorema de stokes

ejemplo 1




rot X =


∣∣∣∣∣∣

= ~0


teorema de stokes

ejemplo 1




rot X =


∣∣∣∣∣∣

= ~0


teorema de stokes

ejemplo 1




rot X =


∣∣∣∣∣∣ = ~0


teorema de stokes

ejemplo 1




rot X =


∣∣∣∣∣∣ = ~0


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2

evaluar∫α−y3dx + x3dy − z3dz

donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1

la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


donde α es la ∩ del cilindro x2 + y2 = 1 y el planox + y + z = 1la orientación corresponde al sentido antihorario en elplano xy


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2

∫∫S rot Xd~S = 3

∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2

S dada por z = 1− x − y

sobre

D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2

S dada por z = 1− x − ysobre

D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2

S dada por z = 1− x − ysobre

D = {(x , y) : x2 + y2 ≤ 1}


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr

= 3π2


teorema de stokes

ejemplo 2

ejemplo 2


∫∫D(x

2 + y2)dxdy

= 3∫ 1

0

∫ 2π0 r2rdθdr

= 6π∫ 1

0 r3dr = 3π2


teorema de stokes

ejemplo 3

ejemplo 3X = (y ,−x ,exz)

S la superficie de la figuracalcular

∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =

∫∂S Xdα x Stokes

∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π

0 (sin2 t + cos2 t)dt= −2π


teorema de stokes

ejemplo 3


S la superficie de la figura

calcular∫∫

S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π



teorema de stokes

ejemplo 3



∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π



teorema de stokes

ejemplo 3



∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π



teorema de stokes

ejemplo 3



∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π



teorema de stokes

ejemplo 3



∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π

0 (sin2 t + cos2 t)dt

= −2π


teorema de stokes

ejemplo 3



∫∫S rot X .d~S

∫∫S rot Xd~S =


∫α Xdα =

∫α ydx − xdy

= −∫ 2π



interpretación

interpretación física

interpretación físicaX campo de velocidades de un fluido

n vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n


interpretación


interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitario

Sρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n


interpretación


interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n


interpretación


interpretación físicaX campo de velocidades de un fluidon vector unitarioSρ disco de centro P y radio ρ perpendicular a n


interpretación


interpretación físicapor teorema valor medio:∫∫

Sρ

rot X .ndS = rot X (Q).n.A(Sρ) = rot X (Q).nπρ2

limρ→01πρ2

∫∂Sρ

Xdα = limρ→0∫∫

Sρrot Xd~S

= limρ→0 rot X (Q).n= rot X (P).n


interpretación



Sρ


limρ→01πρ2

∫∂Sρ


Sρrot Xd~S



interpretación



Sρ


limρ→01πρ2

∫∂Sρ


Sρrot Xd~S

= limρ→0 rot X (Q).n

= rot X (P).n


interpretación



Sρ


limρ→01πρ2

∫∂Sρ


Sρrot Xd~S



interpretación


interpretación físicaX (P).n es la circulación por unidad de área en P en unasuperficie perpendicular a n


interpretación



∫C

Xdα > 0


interpretación



∫C

Xdα < 0


interpretación



∫C

Xdα = 0


interpretación


ejemplo 4

X campo de velocidadesde un fluido

la circulación alrededor deC es cero


interpretación


ejemplo 4

X campo de velocidadesde un fluidola circulación alrededor deC es cero


interpretación


ejemplo 4

X campo de velocidadesde un fluido

la circulación alrededor deC es distinta de cero


interpretación


ejemplo 4

X campo de velocidadesde un fluidola circulación alrededor deC es distinta de cero

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El teorema de Stokes