Dr. A. Ozols 1

Dr. Dr. AndresAndres OzolsOzols

Dra. María Rebollo Dra. María Rebollo

El ÁTOMO de El ÁTOMO de HIDRÓGENOHIDRÓGENO

FIUBA

2006

Dr. A. Ozols 2

ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO

espectros de emisión

espectro de absorción

Dr. A. Ozols 3

Regiones de visible y ultravioleta del espectro de emisiónJ. Balmer

2

2

14

nBnλ

=−

ESPECTROS DE HIDROGENOESPECTROS DE HIDROGENO

Secuencias de las líneas

Dr. A. Ozols 4

Modelo atómico de Modelo atómico de RutherfordRutherford

Ernest Rutherford (1871-1937) estudia los

rayos α (alfa) partículas con carga posita

rayos β (beta) chorros de electrones

rayos γ (gama) rayos γ ondas electromagnéticas

protónpartículas con carga positiva en el núcleo

Modelo planetario

Dr. A. Ozols 5

MODELO ATOMICO de BOHRMODELO ATOMICO de BOHR

El átomo de hidrógeno protón + electrón en órbita circular

Idea de cuantificación

La absorción o emisión de radiación por la materia ≡intercambios de energía en forma discontinua, por «saltos» o por cuantos.

Modelo atómico de Bohr(1911)

Dr. A. Ozols 6

1º Las órbitas de los electrones en torno al núcleo son estacionarias, es decir, el electrón gira en ellas sin emitir ni absorber energía.

2º La emisión o la absorción de radiación por un átomo va acompañada de saltos electrónicos de una órbita a otra de diferente energía. La radiación emitida o absorbida tiene una frecuencia ν tal que verifica la ecuación

E2 – E1 = hν

donde E2 y E1 son las energías de las órbitas entre las cuales se produce la transición, siendo h la constante de Planck.

POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR

Dr. A. Ozols 7

POSTULADOS de BOHRPOSTULADOS de BOHR

3. Las leyes de la mecánica clásica permiten explicar el carácter circular de las órbitas electrónicas, pero no las transiciones de una órbita a otra.

L n=

4. No todas las órbitas circulares están permitidas para un electrón. Sólo aquellas que satisfacen la condición:

n = 1,2….

Dr. A. Ozols 8

"Ecuación de Onda“

MODELO ATÓMICO de MODELO ATÓMICO de SchrSchröödingerdinger

densidad de probabilidad

Orbital ≡ El volumen del espacio donde puede encontrar al electrón

con mayor probabilidad

Función de onda (ψ)

ψ2 es una medida de la probabilidad de encontrar al electrón en el espacio

Dr. A. Ozols 9

ÁTOMO DE HIDRÓGENO (ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER)

•Energía cinética del electrón2

2CpEm

=

•Energía Potencial (atracción electrostática del protón) 2

( ) ZkeV rr

= −

Z = 10

14

kπε

=

masa reducida e n

e n

m Mm M

µ =+

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el electrón

( )2 2 2 2

2

2

22

, , 222 x y z V V Ex y z

ϕ ϕµ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

µ ∂ ∂ ∂

= − + + + =− ∇ + ∂ ∂ ∂

Dr. A. Ozols 10

sen cossen sencos

x ry rz r

θ φθ φθ

===

2, ,x y z∇ 2

, ,r θ φ∇

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADASTRANSFORMACIÓN DE COORDENADASen coordenadas esféricas

(4)

Z

X

Y

r

r senθ X= r sen cosθ φ

y= r sen senθ φ

z= r cosθθ

φ

Dr. A. Ozols 11

2 2 22

2 2 2 2

1 1 1sen ( )2 2 sen sen

r V r Er r r r

ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ

µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ecuación de Ecuación de SchrödingerSchrödinger con un Potencial Centralcon un Potencial Central

( )1

2 2 2 2r x y z= + +V(r) tiene simetría esférica -potencial central

Dr. A. Ozols 12

2 2 22

2 2 2 2

1 1 1sen ( )2 2 sen sen

r V r Er r r r

ϕ ϕ ϕθ ϕ ϕ

µ µ θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

separación de variables ( , , ) ( ) ( ) ( )r R rϕ θ φ θ φ= Θ Φ

SEPARACIÓN de VARIABLESSEPARACIÓN de VARIABLES

reemplazando y dividiendo toda la ecuación por ( , , )rϕ θ φ

Dr. A. Ozols 13

multiplicando por:2

22

2 senrµθ−

agrupando: 1- términos dependientes de r y θ en el primer miembro 2- términos dependientes de φ en segundo miembro

[ ]2 2 2

2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V rR r r

µ θ θθ θ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

2 22

2 2 2

1 1 1 1 1sen2 sen

( )s

0en

Rr

Vrr

rr R

Eθµ θ θ θ θ φ

∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ − + + ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂ + − =

separación de variablesseparación de variables

Dr. A. Ozols 14

( )( ) [ ] ( )2 2 2

2 2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR r rr E V r m

R r r rθµ θ θ

θ θθ θ φ

∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ Φ+ − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

Para la función Φ:

22

2

( ) 0mφφ

∂ Φ+ Φ =

∂

ime φ±Φ =

para cada valor de φ, debe haber un solo valor de Φ

( ) ( 2 ) φ φ πΦ = Φ +

2 1ime π± = 0, 1, 2, 3, ........m = ± ± ±

separación de variablesseparación de variables

( 2 ) im ime eφ φ π± ± +=

Número cuántico magnético

Dr. A. Ozols 15

[ ]2 2 2

2 2 22 2

1 2 sen sen 1sen ( ) senR rr E V r mR r r

µ θ θθ θ

θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ Φ + − + = − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ ∂

[ ]2 2

2 2 22

1 2 sen sensen ( ) sen 0R rr E V r mR r r

µ θ θθ θ

θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂

separación de variablesseparación de variables

Dr. A. Ozols 16

[ ]2 2

22 2

1 2 1( ) sen 0sen sen

R r mr E V rR r r

µθ

θ θ θ θ∂ ∂ ∂ ∂Θ + − + − = ∂ ∂ Θ ∂ ∂

β β−

( ) ( )2

2

1 ( )sen 0sen sen

m θθθ β θ

θ θ θ θΘ∂ ∂ Θ − + Θ = ∂ ∂

Ecuación de Legendre

separación de variablesseparación de variables

Dr. A. Ozols 17

Las soluciones: funciones de Legendre (cos )mlP θ

soluciones finitas ⇔ ( 1)l lβ = + 0, 1, 2, 3, ....l =

( ) sen (cos )(cos )

mmm

l lm

dP Pd

θ θ θθ

=

ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE

( ) ( )2

2

1 ( )sen 0sen sen

m θθθ β θ

θ θ θ θΘ∂ ∂Θ − + Θ = ∂ ∂

Polinomios de Legendre

Dr. A. Ozols 18

21 (cos 1)(cos )2 ! (cos )

l l

l l ldP

l dθ

θθ

−=

Por lo tanto: ml ≥

)cos()(cos

cos)(cos)(cos

1321

1

22

1

0

−=

=

=

θθ

θθ

θ

P

PP

Con la cte. de normalización :

(2 1)( )!( ) ( )2( )!

mlm l

l l m Pl m

θ θ+ −

Θ =+

Número cuántico orbital

ECUACIÓN de LEGENDREECUACIÓN de LEGENDRE

Dr. A. Ozols 19

FUNCIÓN DE ONDA ANGULARFUNCIÓN DE ONDA ANGULAR = ARMÓNICOS ESFÉRICOSARMÓNICOS ESFÉRICOS

( )1( , ) ( ) ( )

2

mml lm mY θ φ θ φ

π

−= Θ Φ

),( φθmlY función ortonormal ⇔ ''

''

* sen),(),( mmllml

ml ddYY δδφθθφθφθ

π π

=∫∫2

0 0

Dr. A. Ozols 20

FUNCIÓN DE ONDA RADIALFUNCIÓN DE ONDA RADIAL

[ ]2

22

1 2 ( ) 0R rr E V rR r r

µβ

∂ ∂ + − − = ∂ ∂

( 1)l lβ = +2

( ) keV rr

= −

2 22

2 2 2

1 ( ) 2 ( 1) ( )( ) 0d R r r ke l l R rr E R rr dr r r r

µ ∂ + + + − = ∂

Ecuación de Laguerre

Dr. A. Ozols 21

Las soluciones polinomios de Laguerre asociadas con un conjunto discreto de valores de energía.

0

0 0

2 2( ) L ( )lr

nanl nl nl

r rR r A ena na

− =

02nEEn

= −

rn y la En coinciden con las obtenidas en el átomo de Bohr

ECUACIÓN DE LAGUERREECUACIÓN DE LAGUERRE

l ≤ n-1

a0 (radio de Bohr)2

0nr a n=n número cuántico principal

Dr. A. Ozols 22

SOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENOSOLUCIÓN GENERAL del ÁTOMO de HIDRÓGENO

( , , ) ( ) ( ) ( )nlm nlm nl lm mr N R rϕ θ φ θ φ= Θ Φn, l y m números cuánticos.

lm ≤

( , , , ,1, 2,3,.....0, 1, 2,......... 1 0, 1, 2,........

, ) (2 1)

s p d f g etorbitnl nm l

c n valoresl valora

se

el s

== −= ± +± ±

=

La solución completa ( , , )niE t

nml nlm r eϕ θ φ−

Ψ =

l ≤ n-1

Dr. A. Ozols 23

transiciones dipolareseléctricas

0; 1l 1 m∆ = ±

∆ = ±

REGLAS de SELECCIÓNREGLAS de SELECCIÓN

Dr. A. Ozols 24

PROBABILIDAD RADIALPROBABILIDAD RADIAL

P(r)dr: probabilidad de encontrar al electrón entre r y r +dr

drr

El diferencial de volumen en coordenadas esféricas es:

2 sen dV r d dθ θ φ=2

2

0 02

2

0 02

2 2

0 0

( ) * sen

( )* * ( ) se

n

( ) * se

n

m mnl l nl l

m mnl l l

P r dr dr r d d

dr R r Y R r Y r d d

dr R r r Y Y d d

π π

π π

π π

ϕ ϕ θ θ φ

θ θ φ

θ θ φ

= =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ 2 2( ) ( )nlP r R r r=

Dr. A. Ozols 25

R(r)

FUNCIONES RADIALES

2 2( ) ( )nlP r R r r=

DENSIDAD DE PROBABILIDAD RADIAL

Dr. A. Ozols 26

orbital s(n = 1, l=0, m=0)

Orbitales atómicos

Dr. A. Ozols 27

Orbitales atómicos

orbital p (n = 2, l=1, m=0)

Dr. A. Ozols 28

Orbitales atómicos

orbital d(n = 3, l=2, m=0)

Dr. A. Ozols 29

MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR

L r p= ×

ˆp p i→ = − ∇ˆ ( )

i j kL r i i x y z

x y z

= × − ∇ = −∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

ˆ sen cot cos

ˆ cos cot sen

ˆ

x

y

z

Li

Li

Li

φ θ φθ φ

φ θ φθ φ

φ

∂ ∂= − − ∂ ∂

∂ ∂= − − ∂ ∂

∂=

∂

22 2 2 2 2

2 2

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ sensen senx y zL L L L θ

θ θ θ θ φ ∂ ∂ ∂ = + + = − + ∂ ∂ ∂

Dr. A. Ozols 30

2 2ˆ ( 1)nml nmlL l lϕ ϕ= + 2 ; L L 2 ( 1)L L l l= = +

ˆz mnl mnlL mϕ ϕ= zL m=

l=2

6L =

Imposible determinar con precisiónla dirección del impulso angular

MOMENTO ANGULARMOMENTO ANGULAR

constantes de movimiento

Dr. A. Ozols 31

SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN

1. Stern-Gerlach observan desdoblamiento de las líneas espectrales

2. Pauli debe existir un 4º. número cuántico.

3. Goudsmit y Uhlenbeck, número cuántico ms asociado spin

.(momento angular intrínseco del electrón)

s : número cuántico de la cantidad de movimiento total del spin

Dr. A. Ozols 32

habrá 2s+1 valores de ms, como sólo se observan 2

1 12 1 2 2 2ss s m+ = ⇒ = ⇒ = ±

3( 1)4

12z s

S s s

S m

= + =

= = ±

S

z

zS

SPIN DEL ELECTRÓNSPIN DEL ELECTRÓN

Dr. A. Ozols 33

NÚMEROS CUÁNTICOS Y TABLA PERIÓDICA

PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI: dos electrones no pueden ocuparel mismo estado cuántico

n: número cuántico principal: 1, 2, 3, ….

l: número cuántico orbital: 0, 1, 2 ….(n-1)

m: número cuántico magnético o azimutal: 0, ±1, ±2, …. ±l

ms: número cuántico de spin: ±1

Dr. A. Ozols 34

CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)CONFIGURACIONES ELECTRONICAS (4 números cuánticos)

Dr. A. Ozols 35

siete periodos

nueve grupos

TABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOSTABLA PERIÓDICA de los ELEMENTOS