REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZ

“DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE

PROBABILIDAD”

PROFESOR

FARIAS EMERSON

BACHILLER:

NUÑEZ YOSLEN

MARZO, 2010

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INDICE

INTRODUCCIÓN___________________________________________________- 3 -

CAPÍTULO 1________________________________________________________- 4 -

DISTRIBUCIÓN NORMAL______________________________________________- 4 -1.1 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL_______________________________- 5 -1.2 FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL__________________________________- 6 -1.3 EJERCICIOS____________________________________________________________- 7 -

CAPÍTULO 2________________________________________________________- 9 -

DISTRIBUCIONES APROXIMADAS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL_____- 9 -

2.1 BINOMIAL________________________________________________________- 9 -2.1.1 PROPIEDADES__________________________________________________________- 10 -2.1.2 FORMULAS____________________________________________________________- 11 -2.1.3 EJERCICIOS____________________________________________________________- 12 -

2.2 POISSON__________________________________________________________- 14 -2.2.1 PROPIEDADES_________________________________________________________- 14 -2.2.2 FORMULAS____________________________________________________________- 14 -2.2.3 EJERCICIOS____________________________________________________________- 15 -

2.3 EXPONENCIAL___________________________________________________- 17 -2.3.1 PROPIEDADES__________________________________________________________- 17 -2.3.2 FORMULAS____________________________________________________________- 18 -2.3.3 EJERCICIOS____________________________________________________________- 18 -

2.4 GAMMA__________________________________________________________- 20 -2.4.1 PROPIEDADES__________________________________________________________- 20 -2.4.2 FORMULAS____________________________________________________________- 20 -2.4.2 EJERCICIOS____________________________________________________________- 21 -

CONCLUSIONES__________________________________________________- 25 -

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS__________________________________- 26 -

ANEXOS_________________________________________________________- 27 -

3

INTRODUCCIÓN

Las distribuciones continuas de probabilidad tienen como objeto determinar las

probabilidades que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos

con la misma probabilidad.

El trabajo se divide en dos capítulos; el primero esencial para poder hablar de

distribuciones continuas como lo es la distribución normal, y el segundo de las

distribuciones aproximadas más comunes de la misma.

Capitulo 1: trata de la distribución normal, sus propiedades, formulas y dos

ejemplos explicados paso a paso para comprender la importancia de este tipo de

distribución.

Capitulo 2: se da un análisis (definición, propiedades, formulas y ejercicios) de

las distribuciones aproximas más comunes a la distribución normal, ellas son:

distribución binomial, poisson, gamma y exponencial.

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CAPÍTULO 1

DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de

Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró

desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la

conozca, más comúnmente, como la "Campana de Gauss" mostrada en la figura 1.

La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos

parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por y .

Figura 1 Campana de Gauss.

Las mediciones físicas en áreas tales como los experimentos meteorológicos, los

estudios acerca de las lluvias y las mediciones sobre partes manufacturadas se

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explican con una distribución normal en forma más adecuada. Además, los errores en

las mediciones científicas se aproximan hasta límites extremadamente pequeños

gracias a la distribución normal.

1.1 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene

destacar:

Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor

entre y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por

tanto, igual a 1.

Es simétrica con respecto a su media . Según esto, para este tipo de

variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la

media, y un 50% de observar un dato menor.

La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la

curva es igual a una desviación típica ( ). Cuanto mayor sea , más

aplanada será la curva de la densidad.

El área bajo la curva comprendida entre los valores situados

aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En

concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido

en el intervalo .

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros y. La media

indica la posición de la campana, de modo que para diferentes valores de la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de , más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

6

1.2 FORMULAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Función de densidad:

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de

parámetros μ y σ y se denota X~N (μ, σ) si su función de densidad está dada por:

Donde: μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).

Distribución Normal Estándar:

Es aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso

la función de densidad tiene la siguiente expresión:

Para Evaluar la Media:

E( X )= 1σ √ 2 π

∫−∞

∞

X e−( 1

2 )[ x−μσ

]2

dx

Es importante conocer que, a partir de cualquier variable X que siga una

distribución , se puede obtener otra característica Z con una distribución

normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

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1.3 EJERCICIOS

1._ Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas

siguen una distribución una distribución N (65, 18). Se desea clasificar a los

examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de

excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un

65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que

marcan el paso de un grupo al otro?

Solución:

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

8

2._ Determine la probabilidad de que neumáticos fabricados por Goodyear puedan

superar las 40.000 millas, si se tiene un promedio de 36.500 millas y una desviación

estándar de 5.000.

Solución:

P(x40000)=?

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CAPÍTULO 2

DISTRIBUCIONES APROXIMADAS A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

2.1 BINOMIAL

Sea X una variable que sigue una distribución binomial B(n, p). Si tipificamos la

variable restándole la media y dividiendo por la desviación típica (obtenemos una

nueva variable. Entonces, cuando la distribución de la variable Y tiende a la

distribución normal estándar N (0,1). Como consecuencia, puede utilizarse la tabla de

la normal para calcular de manera aproximada probabilidades binomiales. Hay que

tener en cuenta que estamos aproximando una variable discreta por una variable

continua.

Cuando tenemos n mayores de 20, np³5, y n (1-p) ³5 la distribución normal da

como resultado una aproximación a la distribución binomial.

En la tabla 2.1 se muestran las aproximaciones normales y probabilidades

binomiales acumuladas reales.

10

Tabla 2.1 Aproximaciones normales y probabilidades binomiales acumuladas reales.

2.1.1 PROPIEDADES

La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en

problemas prácticos cuando se trabaja con la función de distribución

acumulada.

Se utiliza la aproximación normal para evaluar probabilidades binomiales

siempre que p no esté cercano a 0 ó 1.

La aproximación es excelente cuando n es grande y muy precisa para

valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½.

11

Para determinar cuándo puede utilizarse la aproximación normal se debe

tener en cuenta el cálculo de np y nq.

Si ambos, np y nq, son mayores o iguales a 5, la aproximación será muy

buena.

Hay que tener en cuenta que para realizar correctamente esta transformación

de una variable discreta (binomial) en una variable continua (normal) es

necesario hacer una corrección de continuidad.

2.1.2 FORMULAS

Si X es una variable aleatoria binomial con media μ = np y varianza σ 2 = npq,

entonces la forma de límite de la distribución de:

Z= X−np√ npq

, cuandon→ ∞ esla distribuciónnormalestandar n(z ;0,1)

Cuando tenemos n mayores de 20, np³5, y n (1-p) ³5 en ese caso se iguala en la

definición de la curva normal:

μ=np

Y

σ 2=np(1−p)

Corrección por continuidad:

1.

2.

12

3.

4.

2.1.3 EJERCICIOS

1._ En una empresa se ha visto que en un 10% de sus facturas se cometen errores y

se desea calcular la probabilidad que de 100 facturas, 12 de ellas los contengan.

Solución:

2._ La probabilidad de que un

paciente se recupere de una extraña

enfermedad del cerebro es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta

enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 30 sobrevivan?

z1

z2

13

Solución:

Sea la variable binomial X que represente el número de pacientes que sobreviven.

Dado que n = 100, deben obtenerse resultados bastantes precisos utilizando la

aproximación de la curva normal con:

μ=np= (100 ) (0.4 )=40

σ=√npq=√ (100 ) (0.4 ) (0.6 )=4.889

Para obtener la probabilidad deseada, debe encontrarse el área a la izquierda de

X = 29.5. El valor correspondiente z para 29.5 es:

Z=20.5−404.899

=−2.14

σ=1

-2.14 0

Y la probabilidad de que menos de 30 pacientes de 100 sobrevivan, está dada por

la región sombreada de la figura. De allí:

14

P(X < 30) ≅ P (Z > - 2.14) = 0.0162.

2.2 POISSON

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de

experimentos tiende a infinito.

Por tanto si λ>5 ,podemos aproximar una Poisson P (λ) por una normal.

2.2.1 PROPIEDADES

Aunque para n finito las distribuciones de Poisson y Normal no coinciden, es posible aproximar la primera por la segunda, de acuerdo a la regla siguiente:

λ ≥ 10aproximar a la Normal de media

λ, varianza λ

λ < 10no aproximar, calcular con la

variable original

Cuando la media de una distribución Poisson es relativamente grande, puede

utilizarse la distribución normal de probabilidad para aproximar

probabilidades tipo Poisson.

La media y la desviación estándar de la distribución normal de probabilidad

se basan en el valor esperado y la varianza del número de eventos de un

proceso Poisson.

2.2.2 FORMULAS

Sea X una variable aleatoria continua que sigue una distribución de probabilidad de

Poisson: X ~ P (λ), si λ > 25, se pude aproximar por una distribución normal:

15

La media viene dada por:

μx = E(X) = λ

Y la varianza viene expresada por:

σx2 = E [(X - μx)2 = λ

Corrección por continuidad:

1.

2.

3.

4.

P(X≥ x) = e− λx.

Entonces la función de distribución acumulada para X es:

P (0 ≤ X ≤ x ¿=1−e− λx

2.2.3 EJERCICIOS

1._ En un hospital, el número medio de pacientes con dolor abdominal atendidos por

día es 26.

16

Calcular la probabilidad de que un día determinado haya más de 35 pacientes con

dolor abdominal.

Solución:

Sea la variable aleatoria X, número de pacientes con dolor abdominal. El enunciado nos sugiere que la variable aleatoria sigue una distribución de Poisson: X ~ P (26).

Comprobaremos, si se puede aproximar a la normal, para ello, se debe cumplir la siguiente condición:

1. λ = 26 > 25

Como podemos comprobar, cumple las restricciones necesarias, por lo que resolveremos este problema usando la aproximación a la normal:

Por lo tanto: X ~ .

Debemos calcular: P(X > 35), operamos la desigualdad: 1 - P(X ≤ 35), aplicamos la corrección por continuidad: 1 - P(X ≤ 35.5).

Tipificamos:

Así qué:

Buscamos el valor en las tablas (ver anexos) y sustituyendo valores, obtenemos la solución a este problema:

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2.3 EXPONENCIAL

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma.

El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicios y el tiempo de falla de

los componentes y sistemas eléctricos frecuentemente involucran la distribución

exponencial.

2.3.1 PROPIEDADES

La distribución exponencial posee una característica a tener en cuenta:

Carencia de memoria.

La función de densidad de probabilidad f(x), de una variable aleatoria

continua X que tiene una distribución exponencial con parámetro β, es igual a

1 para todo x<0.

El parámetro de la distribución exponencial es igual al cuadrado del

parámetro de la distribución de Poisson.

La función de densidad de probabilidad f(x), de una variable aleatoria

continua X que tiene una distribución exponencial, es simétrica respecto de un

eje vertical que pasa por la media.

Las aplicaciones de la distribución exponencial más importantes

corresponden a situaciones donde se aplica el proceso de Poisson.

La función de densidad de probabilidad f (x)=λ e− λx es la función de

densidad de probabilidad de la distribución exponencial con λ=1β

.

2.3.2 FORMULAS

18

Se dice que una variable aleatoria continua X, tiene una distribución exponencial

de parámetro , si su función de densidad de probabilidad es:

Para > 0.

Se representa por: X ~ Exp ( ).

La media de la distribución normal viene dada por:

E(X) =

Y la varianza de la distribución normal viene expresada por:

Var(X) =

Sea X ~ Exp ( ). Si x, y , se verifica que:

P(X< x + y | X. >x) = P(X< y)

2.3.3 EJERCICIOS

1._ Determinar la probabilidad de que un camión que llega a un puerto sea cargado

en 6 minutos o menos. Se sabe que en promedio se demoran 15 minutos.

Solución:

P(X≤6)¿1−e−6 /15=0 .329

F(x)

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2._ Supóngase que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de

falla en años esta dado por la variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con

tiempo promedio de falla β = 5. Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes

sistemas, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después

de 8 años?

Solución:

La probabilidad de que un determinado componente este funcionando aún después

de 8 años es:

P (T > 8) = 15∫8

∞

e−t5 dt

= e−8

5

≅ 0.2

Sea X el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces,

mediante la distribución binomial,

P(X≥ 2) = ∑x=2

5

b(x ;5 ,0 , .2)

= 1−¿ ∑x=0

51

b(x ;5 ,0 ,.2)

60 Tiempo(min)

20

= 1−0.7373

= 0.2627.

2.4 GAMMA

La distribución gamma toma su nombre de la bien conocida función gamma, que

se estudia en muchas áreas de las matemáticas. Se utiliza para estudiar variables cuya

distribución puede ser asimétrica.

2.4.1 PROPIEDADES

La media y la varianza de función gamma son αβ y α β2 respectivamente.

La importancia de la distribución gamma esta en el hecho de que define una

familia de las que otras distribuciones son casos especiales, aunque por si

misma tiene importantes aplicaciones en tiempo de espera y teoría de

confiabilidad.

El tiempo (o espacio) que transcurre hasta que ocurre un número especifico

de eventos Poisson es una variable aleatoria cuya función densidad esta

descrita por la función gamma.

Γ ( 12)=√ π

La distribución gamma especial para la que α=1 se llama distribución

exponencial.

2.4.2 FORMULAS

La función gamma se define como:

21

∫0

∞

xα−1 e−x dx ; para α >0

Distribución gamma. La variable aleatoria continua X tiene una distribución

gamma, con parámetros α y β, si su función de densidad es:

f ( x )={ xα−1 e−x

β

βα Γ (α); x>0

0 , encualquier otrocaso

,

Donde α >0 y β>0.

2.4.2 EJERCICIOS

1._ Suponga que llegan llamadas telefónicas a un conmutador en partículas y que

siguen el proceso de Poisson con un promedio de 5 llamadas por minuto. ¿Cuál es la

probabilidad de que pase hasta 1 minuto antes de que lleguen 2 llamadas?

Solución:

El proceso de Poisson corresponde al tiempo hasta que 2 eventos de Poisson que

sigue una distribución gamma con β=15

y α=2. Sea la variable aleatoria X el tiempo

que transcurre antes de que entren 2 llamadas. La probabilidad requerida es:

P(X ≤ x¿=∫0

x1β2 x e

−xβ dx

22

P(X ≤ 1¿ = 25 ∫0

1

x e−5 x dx

= [1−e−5(1) (1+5)¿=0.96

2._ El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina para mantenimiento

es una variable aleatoria con distribución gamma con parámetros a=3, b=2

a) Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento

sea mayor a 8 horas

b) Si el costo de mantenimiento en dólares es C = 30X + 2X 2, siendo X el tiempo

de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimiento.

Solución:

Sea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria) su densidad de probabilidad es:

f(x)=

a) P(X>8) es el área resaltada en el gráfico

1

βα Γ (α )xα−1e−x / β= 1

23 Γ (3 )x3−1e−x /2= 1

16x2e− x /2

23

P(X>8) = 1 – P(X£8) = 1 -

116

∫0

8

x2 e− x /2 dx

Para integrar se pueden aplicar dos veces la técnica de integración por partes:

∫ x2 e− x /2 dx,

u = x2 Þ du = 2x dx

dv = e-x/2 dx Þ v = -2 e-x/2

= -2x2 e-x/2 + 4∫ xe− x /2dx

∫ xe− x /2 dx

u = x Þ du = dx

dv = e-x/2dx Þ v = -2 e-x/2

24

= -2x e-x/2 + 2∫ e−x /2dx

Sustituyendo los resultados intermedios,

P(X>8) = 1 -

116

[-2x2 e-x/2+4( -2x e-x/2+2(-2 e-x/2))]80 = 0.2381

b) E[C] = E[30X + 2X2] = 30 E[X] + 2 E[X2]E[X] = ab = 3(2) = 6

E[X2] =∫−∞

∞

x2 f (x )dx=∫0

∞

x2 116

x2e− x /2dx=

116 ∫

0

∞

x4 e−x /2dx

Sustituya y = x/2 para usar la función Gamma

=

116 ∫

0

∞

(2 y )4 e− y(2dy )=

2∫0

∞

y4 e− y dy = 2G(5) = 2(4!) = 48

Finalmente se obtiene:

E[C] = 30(6) + 2(48) = 276 dólares.

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CONCLUSIONES

La distribución normal tiene gran relevancia en el campo de los experimentos

meteorológicos, los estudios acerca de las lluvias y las mediciones sobre partes

manufacturadas. Así como los errores en las mediciones científicas los cuales se

aproximas hasta límites muy pequeños gracias a este tipo de distribución.

Esta distribución Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre y

es teóricamente posible. El área total bajo la curva(Campana de Gauss) es, por

tanto, igual a 1.

En las distribuciones aproximadas a la distribución normal se puede decir que en el

caso de la distribución exponencial el tiempo entre las llegadas en las instalaciones de

servicios y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos

frecuentemente involucran con este tipo de distribución.

26

La distribución gamma define una familia de las que otras distribuciones son casos

especiales, aunque por si misma tiene importantes aplicaciones en tiempo de espera y

teoría de confiabilidad.

La distribución binomial se aproxima bastante bien con la normal en problemas

prácticos cuando se trabaja con la función de distribución acumulada. La

aproximación es excelente cuando n es grande y muy precisa para valores pequeños

de n si p está razonablemente cercana a ½.

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de

experimentos tiende a infinito.

Por tanto si λ>5 ,podemos aproximar una Poisson P (λ) por una normal.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Libros.

Myers, R; Myers, S & Walpole, R. (1999). Probabilidad y Estadística para Ingenieros (4ta. Edición), Prentice-Hall Hispanoamericana, México.

Murray, R. (1977). Teoría y Problemas de Probabilidad y Estadística, McGraw-Hill, México.

Páginas Web.

<http://unbarquero.blogspot.com/2009/03/variables-aleatorias-continuas-y.html>

Versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:

Bioestadística: Métodos y Aplicaciones. Consulta: 13 de marzo del 2010

27

<http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node79.htm>

<http://www.jorgegalbiati.cl/nuevo_06/Formulas.pdf>

<http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tabinomialpornormal.htm>

28

ANEXOS

29

Grafica de las Aéreas Bajo la Curva Normal.

Distribuciones Normales Original y Transformada.

Distribución gamma.

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